1) O documento introduz conceitos de sequências numéricas, definindo-as como conjuntos ordenados de números e apresentando formas de representá-las. 2) São descritas três maneiras de definir a lei de formação dos termos de uma sequência: por fórmula de recorrência, expressando cada termo em função de sua posição ou por propriedade dos termos. 3) Exemplos ilustram como escrever sequências finitas e infinitas usando essas três formas de definição.

1. INTRODUÇÃO
Vamos pensar nos anos bissextos que virão a partir do ano de 2000. Eles formam uma
sequência ou sucessão:
2000, 2004, 2008, 2012, …
Uma sequência numérica é um conjunto ordenado de números. No exemplo, 2000 é o
primeiro termo da sequência, 2004 é o segundo termo, e assim por diante.
Costuma-se indicar o primeiro termo de uma sequência por a1, o segundo termo por a2, e
assim por diante. Dessa forma, uma sequência de n elementos é indicada por:
(a1, a2, a3, …, an)
Há situações em que a sequência é infinita, e a representaremos por
(a1, a2, a3,…)
Em nosso estudo, os elementos das sequências serão sempre números reais.
IGUALDADE DE SEQUÊNCIAS
Dizemos que duas sequências (a1, a2, a3, …, an) e (b1, b2, b3, …, bn) são iguais quando
seus termos correspondentes possuem o mesmo valor numérico, isto é:
a1 = b1; a2 = b2; a3 = b3; …; an =bn
FORMAÇÃO DOS ELEMENTOS DE UMA SEQUÊNCIA
Interessam à Matemática as sequências em que os termos se sucedem obedecendo a certa
regra, isto é, aquelas que têm uma lei de formação. Esta pode ser apresentada de três
maneiras:
POR FÓRMULA DE RECORRÊNCIA
São dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo (a1) e outra para calcular
cada termo (an) a partir do antecedente (an-1).

2. EXEMPLOS:
1) Escrever a sequência finita cujos termos obedecem à seguinte fórmula de recorrência:
a1 = 2 e an = an-1 + 3, ∀ n ∈ {2, 3, 4, 5, 6}.
2) Escrever os cinco termos iniciais da sequência infinita dada pela fórmula de recorrência:
b1 = 1 e bn = 3 . bn-1, ∀ n ∈ ℕ e n ≥ 2.
EXPRESSANDO CADA TERMO EM FUNÇÃO DE SUA POSIÇÃO
É dada uma fórmula que expressa an em função de n.
EXEMPLOS:
1) Escrever a sequência finita cujos termos obedecem à lei an = 2n, n ∈ {1, 2, 3, 4}
2) Escrever os cinco termos iniciais da sequência infinita em que os termos verificam a
relação bn = 3n + 1, ∀n ∈ ℕ*
POR PROPRIEDADE DOS TERMOS
É dada uma propriedade que os termos da sequência devem apresentar.
EXEMPLOS:
1) Escrever a sequência finita de seis termos em que cada termo é igual ao número de
divisores inteiros do respectivo índice.
2) Escrever os cinco termos iniciais da sequência infinita formada pelos números primos
positivos colocados em ordem crescente.
EXERCÍCIOS
1. Escreva os seis termos iniciais das sequências dadas pelas seguintes fórmulas de
recorrência:
a) a1 = 5 e an = an-1 + 2, ∀n ≥ 2 (5, 7, 9, 11, 13, 15)
b) b1 = 3 e bn = 2 . bn-1 + 2, ∀n ≥ 2 (3, 8, 18, 38, 48, 58)
c) c1 = 2 e cn = (cn-1)², ∀n ≥ 2 (2, 22,24,28,216,232)
d) d1 = 4 e dn = (-1)n . dn-1, ∀n ≥ 2 (4, 4, -4, -4, 4, 4)

3. e) e1 = -2 e en = (en-1)n, ∀n ≥ 2 (-2, 2², 26, 224, 2120, 2720)
2. Escreva os seis termos iniciais das sequências dadas pelas seguintes leis:
a) an = 3n – 2, ∀n ≥ 1 (1, 4, 7, 10, 13, 16)
b) bn = 2 . 3n, ∀n ≥ 1 (6, 18, 54, 162, 489, 1458)
c) cn = n(n + 1), ∀n ≥ 1 (2, 6, 12, 20, 30, 42)
d) dn = (-2)n, ∀n ≥ 1 (-2, 4, -8, 16, -32, 64)
e) en = n³, ∀n ≥ 1 (1, 8, 27, 64, 125, 216)
3. Descreva por meio de uma fórmula de recorrência cada uma das sequências abaixo:
a) (3, 6, 9, 12, 15, 18, …) a1 = 3 e an = an-1 + 3, ∀ n ≥ 2
b) (1, 2, 4, 8, 16, 32, …) a1 = 1 e an = 2.an-1, ∀ n ≥ 2
c) (1, -1, 1, -1, 1, -1, …) a1 = 1 e an = (-1).an-1, ∀ n ≥ 2
d) (5, 6, 7, 8, 9, 10, …) a1 = 5 e an = an-1 + 1, ∀ n ≥ 2
e) (0, 1, 2, 3, 4, 5, …) a1 = 0 e an = an-1 + 1, ∀ n ≥ 2
4. A definição por recorrência
pode definir uma sequência. Determine essa sequência. (4, 9, 14, 19, 24, 29, …)
5. Seja a sequência definida por an = -35 + 4n, n ∈ ℕ*. Verifique se os números a seguir
pertencem a ela. Em caso afirmativo, dê também as posições deles na sequência.
a) -11 O número -11 pertence à sequência; é o sexto termo.
b) 30 O número 30 não pertence à sequência.
c) 65 O número 65 pertence à sequência; é o vigésimo quinto termo.

4. 6. Temos duas sequências (an) e (bn), definidas, para n ∈ ℕ e n ≥ 1, por
an = -8 + 5n e bn = 51 – 2n
a) Verifique se o número 47 pertence a essas sequências. Pertence.
b) A partir de que termo os elementos da sequência an são maiores que os da sequência
bn? A partir do 9º termo.
7. (Covest-PE) Sobre os números da sequência an = n5 – n, n ∈ ℕ*, analise as seguintes
afirmações:
a) São múltiplos de 3. Verdadeiro
b) Não podem ser múltiplos de 7. Falso
c) Não são primos. Verdadeiro
8. (UF-RN) Uma pessoa que pesa 140 quilos submete-se a um regime alimentar, obtendo o
seguinte resultado: nas quatro primeiras semanas, perde 3 quilos por semana; nas quatro
seguintes, 2 quilos por semana; daí em diante, apenas ½ quilo por semana.
Calcule em quantas semanas a pessoa estará pesando:
a) 122 quilos 7ª semana
b) 72 quilos 104º semana
9. (Vunesp-SP) Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamíferos.
Considere uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e
denote por an o número de casais adultos dessa colônia ao final de n meses. Se a1 = 1, a2
= 1 e, para n ≥ 2, an+1 = an + an–1, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao
final do quinto mês será:
a) 13
b) 8
c) 6
d) 5
e) 4

5. 10. (U.F.Lavras/PAS-MG) Os números triangulares são definidos como o número de pontos
na sequências de figuras:
Uma fórmula geral para estes números é:
a) [n(n - 1)/3], n ≥ 3
b) [n(n +1)/2], n ≥ 1
c) 2n + 4, n ≥ 1
d) n/3 + 2n + 1, n ≥ 0
e) (n + 1)(n – 1), n ≥ 1