O documento descreve a sequência de Fibonacci, na qual cada número é a soma dos dois anteriores. Começa com 1, 1 e prossegue para 2, 3, 5, 8 e assim por diante. Essas quantidades descrevem o crescimento populacional de coelhos. O texto também discute generalizações como números de Lucas e aplicações em áreas como música, arquitetura e mercado financeiro.

1. Na matemática, os Números de Fibonacci são uma sequência (sucessão, em Portugal)
definida como recursiva pela fórmula abaixo:
Na prática: você começa com 1 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci
somando os dois anteriores para formar o próximo. Os primeiros Números de Fibonacci
(sequência A000045 na OEIS) para n = 0, 1,… são
0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181,
6765, 10946…
Esta seqüência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, também conhecido
como Fibonacci (Dc. 1200), para descrever o crescimento de uma população de coelhos.
Os números descrevem o número de casais em uma população de coelhos depois de n
meses se for suposto que:
• no primeiro mês nasce apenas um casal,
• casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês
de vida,
• não há problemas genéticos no cruzamento consangüíneo,
• todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, e
• os coelhos nunca morrem.
O termo seqüência de Fibonacci é também aplicado mais genericamente a qualquer
função g onde g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Estas funções são precisamente as de formato
g(n) = aF(n) + bF(n + 1) para alguns números a e b, então as seqüências de Fibonacci
formam um espaço vetorial com as funções F(n) e F(n + 1) como base.
Em particular, a seqüência de Fibonacci com F(1) = 1 e Ver artigo principal: Sequência
de Fibonacci F(2) = 3 é conhecida como os números de Lucas. A importância dos
números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea para as enésimas
potências:
Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmula:
L(n) = F(n - 1) + F(n + 1)
Com esta fórmula podemos montar a Seqüência de Fibonacci e descobrir, por exemplo,
quantos coelhos foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até
chegar ao ponto inicial de 1 e 1.
Como mostra a figura abaixo;

2. Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos
F(6) = (F(6) - 1) + (F(6) - 2) = 5 e 4 → 8 ( Soma do Resultado de F(5) e F(4) )
F(5) = (F(5) - 1) + (F(5) - 2) = 4 e 3 → 5 ( Soma do Resultado de F(4) e F(3) )
F(4) = (F(4) - 1) + (F(4) - 2) = 3 e 2 → 3 ( Soma do Resultado de F(3) e F(2) )
F(3) = (F(3) - 1) + (F(3) - 2) = 2 e 1 → 2
F(2) = (F(2) - 1) + (F(2) - 2) = 1 e 0 → 1
e a primeira posição 1.
Note que a Seqüência de Fibonacci esta no resultado de cada posição; 1,1,2,3,5,8 …
Aplicações
Os números de Fibonacci são importantes para a análise em tempo real do algoritmo
euclidiano, para determinar o máximo divisor comum de dois números inteiros.
Matiyasevich mostrou que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma
Equação diofantina, o que o levou à solução original do Décimo Problema de Hilbert.
Os números de Fibonacci aparecem na fórmula das diagonais de um triângulo de Pascal
(veja coeficiente binomial).
Um uso interessante da seqüencia de Fibonacci é na conversão de milhas para
quilômetros. Por exemplo, para saber aproximadamente a quantos quilômetros 5 milhas
correspondem, pega-se o número de Fibonacci correspondendo ao número de milhas (5)
e olha-se para o número seguinte (8). 5 milhas são aproximadamente 8 quilômetros.
Esse método funciona porque, por coincidência, o fator de conversão entre milhas e
quilômetros (1.609) é próximo de φ (1.618) (obviamente ele só é útil para aproximações
bem grosseiras: além do factor de conversão ser diferente de φ, a série converge para φ).
Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação, tal como nas artes
visuais, determinar proporções entre elementos formais. Um exemplo é a Música para
Cordas, Percussão e Celesta de Béla Bartók.
Le Corbusier usou a seqüência de Fibonacci na construção do seu modulor, um sistema
de proporções baseadas no corpo humano e aplicadas ao projeto de arquitetura.

3. Em The Wave Principal, Elliot defende a ideia que as flutuações do mercado seguem
um padrão de crescimento e decrescimento que pode ser analisado segundo os números
de Fibonacci, uma vez determinada a escala de observação. Defende que as relações
entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa tendem a seguir razões numéricas
aproximadas das razões de dois números consecutivos da sequência de Fibonacci.
Teorias mais recentes, defendem que é possível encontrar relações “de ouro” entre os
pontos de pico e os de vale, como no gráfico abaixo:
Se tomarmos o valor entre o início do ciclo e o primeiro pico, e o compararmos com o
valor entre este pico e o pico máximo, encontraremos também o número de ouro. O
ciclo, naturalmente, pode estar invertido, e os momentos de pico podem se tornar
momentos de vale, e vice-versa.
Generalizações
Uma generalização da seqüência de Fibonacci são as Seqüências de Lucas. Um tipo
pode ser definido assim:
U(0) = 0
U(1) = 1
U(n+2) = PU(n+1) − QU(n)

4. onde a seqüência normal de Fibonacci é o caso especial de P = 1 e Q = -1. Outro tipo de
seqüência de Lucas começa com V(0) = 2, V(1) = P. Tais seqüências têm aplicações na
Teoria de Números e na prova que um dado número é primo (primalidade).
Os polinômios de Fibonacci são outra generalização dos números de Fibonacci.
Identidades
F(n + 1) = F(n) + F(n − 1)
F(0) + F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1
F(1) + 2 F(2) + 3 F(3) + … + n F(n) = n F(n + 2) − F(n + 3) + 2
Podemos provar essas identidades usando diferentes métodos. Mas, entretanto, nós
queremos demonstrar uma elegante prova para cada um de seus usos aqui.
Particularmente, F(n) podem ser interpretados como o número de formas de adicionar
1's e 2's até n − 1, convencionando-se que F(0) = 0, significando que nenhuma soma irá
adicionar até -1, e que F(1) = 1, significando que a soma 0 será "adicionada" até 0. Aqui
a ordem dos números importa. Por exemplo, 1 + 2 e 2 + 1 são consideradas duas
diferentes somas e são contadas duas vezes.
Prova da primeira identidade
Sem perda de generalidade, podemos assumir n ≥ 1. Então F(n + 1) conta o número de
formas de somar 1's e 2's até n.
Quando a primeira parcela é 1, há F(n) formas de completar a contagem para n − 1;
quando a primeira parcela é 2, há F(n − 1) formas de completar a contagem para n − 2.
Portanto, no total, há F(n) + F(n − 1) formas de completar a contagem para n.
ohlé?
Prova da segunda identidade
Contamos o número de formas de somar 1's e 2's até n + 1 de forma que pelo menos
uma das parcelas é 2.
Como antes, há F(n + 2) formas de somar 1's e 2's até n + 1 quando n ≥ 0. Já que há
apenas uma soma n + 1 que não usa nenhum 2, a saber 1 + … + 1 (n + 1 termos),
subtraímos 1 de F(n + 2).
Equivalentemente, podemos considerar a primeira ocorrência de 2 como uma parcela.
Se, em uma soma, a primeira parcela é 2, então há F(n) formas de completar a contagem
para n − 1. Se a segunda parcela é 2, mas a primeira é 1, então há F(n − 1) formas de
completar a contagem para n − 2. Continuando este raciocínio iremos chegar à (n + 1)-
ésima parcela. Se é 2, mas todas as n parcelas anteriores são 1's, então há F(0) formas de
completar a contagem para 0. Se uma soma contém 2 como uma parcela, a primeira
ocorrência de tal parcela deve tomar lugar entre a primeira e a (n + 1)-ésima posição.
Portanto F(n) + F(n − 1) + … + F(0) dá a contagem desejada.

5. Prova da terceira identidade
Essa identidade pode ser estabelecida em duas fases. Primeiro, contamos o número de
formas de somar 1's e 2's até -1, 0, …, ou n + 1 tal que pelo menos uma das parcelas
seja 2.
Pela nossa primeira igualdade, há F(n + 2) − 1 formas de somar até n + 1; F(n + 1) − 1
formas de somar até n; …; e, finalmente, F(2) − 1 formas de somar até 1.
Como F(1) − 1 = F(0) = 0 , podemos adicionar todos as somas n + 1 e aplicar a segunda
igualdade novamente para obter: [F(n + 2) − 1] + [F(n + 1) − 1] + … + [F(2) − 1]
= [F(n + 2) − 1] + [F(n + 1) − 1] + … + [F(2) − 1] + [F(1) − 1] + F(0)
= F(n + 2) + [F(n + 1) + … + F(1) + F(0)] − (n + 2)
= F(n + 2) + F(n + 3) − (n + 2).
Por outro lado , observamos a partir da segunda igualdadee que existem
• F(0) + F(1) + … + F(n − 1) + F(n) meios somando com n + 1;
• F(0) + F(1) + … + F(n − 1) meios somando com n;
……
• F(0) meio somando com -1.
Somando todas as somas n + 1 , vemos que há
• (n + 1) F(0) + n F(1) + … + F(n) formas de somar até -1, 0, …, ou n + 1.
Já que os dois métodos de contagem se referem ao mesmo numero , temos : (n + 1) F(0)
+ n F(1) + … + F(n) = F(n + 2) + F(n + 3) − (n + 2)
Finalmente, completamos a prova subtraindo a igualdade acima de n + 1 vezes a
segunda igualdade.
Número Tribonacci
Um número Tribonacci assemelha-se a um número de Fibonacci, mas em vez de
começarmos com dois termos pré-definidos, a sequência é iniciada com três termos pré-
determinados, e cada termo posterior é a soma dos três termos precedentes. Os
primeiros números de uma pequena sequência Tribonacci são:
1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890,
66012, 121415, 223317, etc. [1]

6. A Espiral
Na espiral formada pela folha de uma bromélia, pode ser percebida a sequência de
Fibonacci, através da composição de quadrados com arestas de medidas proporcionais
aos elementos da sequência, por exemplo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… , tendentes à razão áurea.
Este mesmo tipo de espiral também pode ser percebida na concha do Nautilus marinho.
Repfigits
Um repfigit ou número de Keith é um número inteiro, superior a 9, tal que os seus
dígitos, ao começar uma seqüência de Fibonacci, alcançam posteriormente o referido
número. Um exemplo é 47, porque a seqüência de Fibonacci que começa com 4 e 7 (4,
7, 11, 18, 29, 47) alcança o 47. Outro exemplo é 197: 1+9+7= 17, 9+7+17= 33,
7+17+33= 57, 17+33+57= 107, 33+57+107= 197.
Um repfigit pode ser uma seqüência de Tribonacci se houver três dígitos no número, e
de Tetranacci se o número tiver quatro dígitos, etc.
Alguns Números de Keith conhecidos: 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537,
2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285…