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Matematica discreta fasciculo_3_v06
Universidade Federal Rural de Pernambuco

Reitor: Prof. Valmar Corrêa de Andrade
Vice-Reitor: Prof. Reginaldo Barros
Pró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos Carvalho
Pró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti Siepierski
Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José Freire
Pró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira
Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de Sena
Coordenação de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos

Produção Gráfica e Editorial
Capa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira e Italo Amorim
Revisão Ortográfica: Marcelo Melo
Ilustrações: Allyson Vila Nova e Diego Almeida
Coordenação de Produção: Marizete Silva Santos
Matematica discreta fasciculo_3_v06
Sumário

   Plano da Disciplina ...............................................................................6


          Ementa ...........................................................................................6


          Objetivo Geral.................................................................................6


          Objetivos Específicos .....................................................................6


          Conteúdo Programático..................................................................6


          Referências ....................................................................................7


   Apresentação ........................................................................................8


   Capítulo 1 - Função: uma ferramenta importante ............................10


      1.1 O que é função? ......................................................................... 11


      1.2 Domínio e Contradomínio ........................................................... 11


      1.3 Função Injetora ...........................................................................13


      1.4 Função sobrejetora .....................................................................13


      1.5 Função bijetora ...........................................................................14


      1.6 Função inversa ...........................................................................15


      1.7 Função composta .......................................................................17


      1.8 Seqüência ...................................................................................20


   Capítulo 2 - Recursão: um método de definição .............................27


      2.1 Recursão ....................................................................................27
Capítulo 03 - Teoremas e Técnicas de Provas .................................45


   3.1 Estratégias de Provas.................................................................47


      3.1.1 Prova Direta.........................................................................47


      3.1.2 Prova Indireta ......................................................................48


      3.1.3 Prova por contradição (Redução ao absurdo) ....................49


Capítulo 04 - Princípio de Indução Finita .........................................53
Plano da Disciplina


Ementa

   Conjuntos. Introdução à Lógica Matemática. Portas Lógicas. Somatório. Princípios
de Contagem. Matrizes. Relações. Funções. Recursão. Técnicas de provas. Indução
Matemática.


Objetivo Geral

     O objetivo geral é abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta que
realizam interface com o curso de Sistema de Informação, visando dar a base para
a compreensão de conceitos de estruturas de dados, bem como, para dar suporte na
construção de algoritmos em seus diferentes níveis de complexidade.


Objetivos Específicos

   • Aprender a encontrar modelos matemáticos que representem certos problemas
     concretos (noções de modelagem matemática), em especial quando estes se
     referem a situações práticas

   • Familiarizar-se com a escrita matemática formal e a linguagem computacional

   • Representar fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica

   • Conhecer técnicas de resolução de problemas

   • Desenvolver a capacidade de raciocínio abstrato (lógico-matemático).


Conteúdo Programático

   Módulo 1 – Fascículo 1

   Carga horária do Módulo 1: 20 h

   • Conjuntos.

   • Introdução à Lógica Matemática.

   • Portas Lógicas.
Módulo 2 – Fascículo 2

  Carga horária do Módulo 2: 20 h

  Somatório. Princípios de Contagem. Matrizes. Relações

  Módulo 3 – Fascículo 3

  Carga horária do Módulo 3:

  • Funções.

  • Recursão. Técnicas de provas.

  • Indução Matemática.


Referências

  GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação.
    Tradução Valéria de Magalhães Lorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

  SChEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de
    Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

  Livros de referência:

  ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo
    McGraw hill:, 1997

  ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel,
    1995.

  ROSS, Kenneth A; WRIGhT, Charles R. B. Discrete Mathematics. Prentice hall,
    1999.

  TRUSS, J. K. Discrete mathematics for computer scientist. Addison Wesley.
    1999.

  LIPSChUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática
     Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004
Apresentação

   Caro (a) cursista,

   Seja bem-vindo (a) ao terceiro módulo de Matemática Discreta!

    Ao finalizar a disciplina, abordaremos, neste terceiro fascículo, alguns temas
relevantes em aplicações nas áreas de informática, como função, recursão, teoremas e
técnicas de provas e o princípio de indução matemática.

     No primeiro capítulo, você estudará as funções. Estudaremos as funções injetoras,
sobrejetoras, bijetoras e a função inversa. Apresentaremos exemplos de funções
utilizadas na informática tais como seqüências numéricas, a função mod e a função
hash.

   No segundo capítulo, você descobrirá o que é uma definição recursiva ou indutiva.
Serão apresentados exemplos de seqüências e funções definidas recursivamente,
objetivando introduzir o conceito de um algoritmo recursivo.

   No terceiro capítulo, você terá oportunidade de conhecer diversas técnicas de provas
de proposições matemáticas, muito úteis na resolução de problemas da disciplina.

   Por fim, no quarto capítulo será abordado o princípio de indução matemática que é
usado quando se quer provar afirmações sobre propriedades dos números naturais.

    Esperamos que você tenha bom proveito neste terceiro fascículo, estudando com
afinco os assuntos e realizando todos os exercícios propostos.

   Bons estudos!
Matematica discreta fasciculo_3_v06
Matemática Discreta



                Capítulo 1 - Função: uma
                ferramenta importante




                                    Disponível em http://www.ipea.gov.br


                   A figura acima representa o gráfico de uma função que relaciona
                o percentual da renda total do Brasil auferido em 2004 pelos x% dos
                brasileiros de menor renda. Constata-se que a renda total dos 60%
                de menor renda representou apenas 20% da renda total do país e
                que 60% da renda total correspondem a 20% dos brasileiros de maior
                renda. Esta curva é chamada Curva de Lorenz e faz parte da prova
                do ENADE que examinou os estudantes dos cursos das áreas de
                computação e informática no ano de 2008.

                   O conceito de funções é largamente empregado em todos os
                ramos de atividade, por isso é comum os testes de avaliação conter
                questões versando sobre o assunto.

                   No caso da computação e informática, a sua importância torna-
                se clara quando queremos associar a cada elemento de um conjunto
                um elemento particular de outro conjunto. Desta forma, podemos
                definir seqüências e somas, estabelecer relações de causa e efeito,
                processar informações dos mais diferentes tipos, além de estimar o
                tempo necessário para que um computador realize uma determinada
                tarefa num determinado algoritmo.




                                     10
Matemática Discreta



1.1 O que é função?

   Sejam A e B dois conjuntos. Uma função de A em B é a associação
de exatamente um elemento de B a cada elemento de A. As seguintes
notações são usadas:

   f: A → B, se f é uma função de A em B.

   f(a) = b, se b é o único elemento de B associado pela função f ao
elemento a de A.


1.2 Domínio e Contradomínio

    Se f é uma função de A em B, diz-se que A é o domínio de f e B é
o contradomínio de f. Se f(a) = b, diz-se que b é a imagem de a por
f. Chama-se também de imagem de f o conjunto de todas as imagens
dos elementos de A, denotado por Im(f). Se f é uma função de A em
B, diz-se que f mapeia A em B.




    A figura acima apresenta uma função cujo domínio é A = {1, 4, 7}
e contradomínio B ={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e conjunto imagem Im(f) = {6,
9, 12}.

  Apresentaremos a seguir exemplos de funções, a maioria
empregada em construções nas áreas de computação.

    Exemplo 1. Consideremos que f seja uma função que associa um
número a cada um dos cursos de uma faculdade, de modo que esse
número represente a demanda (relação candidato/vaga) para cada
um dos seus cursos no Vestibular de 2009. Se domínio da função
f é o conjunto C = {Administração, Direito, Sistema de Informação,
Fonoaudiologia, Fisioterapia, Psicologia, Relações Internacionais,
Turismo}. O contradomínio é o conjunto dos números reais. Podemos
escrever, por exemplo, f(Direito) = 7,8; f(Administração) = 2,6;
f(Fisioterapia) = 7,4 ; f(Psicologia) = 5,4 e f(Sistemas de Informação)

                                              11
Matemática Discreta



                = 2,0, f(Relações Internacionais) = 1,4, f(Fonoaudiologia) = 1,7,
                f(Turismo) 2,4.

                   Exemplo 2. Seja S o conjunto de todas as pessoas do Recife
                cadastradas na Receita Federal e T o conjunto de todos os CPF. A
                função f: S → T associa cada pessoa x ao seu CPF y.

                    Exemplo 3. Se f é uma função de Z para Z que associa a cada
                inteiro o seu quadrado. Neste caso, f(x) = x2, onde o domínio é o
                conjunto dos números inteiros, assim como o contradomínio é conjunto
                dos números inteiros. A imagem de f é constituída de todos os inteiros
                não negativos.

                   Exemplo 4. Em linguagens de programação, domínio e o
                contradomínio das funções são sempre especificados. Tomemos por
                exemplo a declaração de uma função em Pascal seguinte:

                                     function QUAD (x: real): real

                  Ela especifica que o domínio da função QUAD é o conjunto dos
                números reais e o contradomínio é o conjunto dos números reais.

                   Exemplo 5. A definição de função inclui função de mais de uma
                variável. Podemos ter uma função f: A1xA2xA3 → B, que associa a
                cada terno do produto cartesiano A1xA2xA3 um elemento de B. Por
                exemplo, f : Z x N x {1, 2} → Z, dada por f(x, y, z) = xy +z . Podemos
                escrever: f(-4, 3, 1) = (-4)3 + 1 = -64 + 1 = 63.

                      Exemplo 6. A função chão f(x) = x associa a cada número real x
                o maior inteiro menor ou igual a x. A função teto g(x) = x associa
                a cada real x o menor inteiro maior ou igual a x. Ambas são funções
                de R em Z. Como exemplo, temos: f(2,35) = 2,35 = 2, f(0,9) = 0,
                g(4,78) = 4,78 = 5 e g(-1,3) = -1.

                   Exemplo 7. Considere x um número real. O valor inteiro de x,
                denotado por INT(x), converte x em um inteiro deletando a parte
                fracionária de x. É uma função de R em Z. Exemplos: INT(7,85) = 7
                INT(-4,9) = -4.

                   Exemplo 8. O valor absoluto de um número real x, denotado por
                ABS(x) é definido como o maior dos valores entre x e –x. É uma
                função de R em R+. Pois, ABS(-3) = 3, ABS(4,7) = 4,7 e ABS(0) = 0.

                   Exemplo 9. Dado um inteiro positivo m, a função f : N → N definida
                por f(x) = resto da divisão euclidiana de x por m, m > 0, será denotada
                por f(x) = xmod m. É também chamada função mod m.


                                        12
Matemática Discreta



   Por exemplo, para m = 5, temos que:

    f(7) = 7mod 5 = 2,     f(2) = 2mod 5 = 2,          f(13) = 13mod 5 = 3,
    f(8) = 3,              f(10) = 10mod 5 = 0,        f(5) = 5mod 5 = 0.



1.3 Função Injetora

   Uma função f é dita injetora (ou injetiva) se, e somente se, x ≠ y
então f(x) ≠ f(y), para quaisquer x e y do domínio de f.




                Figura 1                                Figura 2

    O gráfico mostrado na figura acima à esquerda, ilustra uma função
definida no conjunto A em B. Como elementos diferentes do domínio
a função tem imagens diferentes, então f é injetora. A figura acima à
direita ilustra uma função não injetora, pois existem dois elementos
diferentes com a mesma imagem.

   Exemplo 10. A função f: N em N tal que f(n) = 2n é uma função
                                n       n
injetora, pois se n1 ≠ n2 então 2 1 ≠ 2 2 . Mas a função f(x) = x2, definida
em Z, não é injetora, pois se tomarmos x = -2 e x = 2, obteremos f(2)
= f(-2) = 4.

    Exemplo 11. A função f: N em N, tal que f(n) = nmod 3 é uma função
que não é injetora, pois, existem diferentes valores de N com a mesma
imagem. De fato, f(0) = 0, f(3) = 0, f(6) = 0, f(1) = 1, f(4) = 1, f(9) = 1,
f(2) = 2, f(5) = 2, f(11) = 2.


1.4 Função sobrejetora

   Uma função f de A em B é dita sobrejetora se e somente se para
cada elemento b∈B existe um elemento a∈A tal que f(a) = b.




                                                  13
Matemática Discreta




                   O gráfico da figura acima à esquerda ilustra uma função de A em B.
                Como para cada um dos três elementos do contradomínio B faz parte
                do conjunto imagem de f, a função é sobrejetora. O gráfico acima
                à direita ilustra uma função que não é sobrejetora, pois existem
                elementos no conjunto B que não são imagem de nenhum elemento
                de A.

                  Observe que a figura à esquerda é o gráfico de uma função
                sobrejetora, mas não injetora!


                1.5 Função bijetora

                      Uma função é dita bijetora se ela é injetora e sobrejetora.




                   O gráfico acima refere-se a uma função f de X = {a, b, c, d} em
                Y = {A, B , C, D}, com f(a) = A, f( b) = B, f(c) = C e f(d) = D. Como
                cada valor do domínio a função tem um valor diferente de imagem e
                como cada um dos elementos do contradomínio faz parte do conjunto
                imagem da função, ele é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, ou
                seja, bijetora.

                  Outro exemplo de função bijetora pode ser construído considerando
                como domínio um grupo de pessoas e como contradomínio o conjunto


                                         14
Matemática Discreta



das impressões digitais dessas pessoas. É impossível que duas
pessoas compartilhem exatamente as mesmas impressões digitais.
Além disso, todas as impressões digitais pertencem a não mais que
uma pessoa.


1.6 Função inversa

    Seja f uma função bijetora de A em B. A função inversa de f é
a função que associa a um elemento b∈B um único elemento a∈A
tal que f(a) = b. Esta função é representada por f-1. Nesse caso
escrevemos f-1(b) = a

   A figura abaixo ilustra a função inversa da função f de X = {a, b, c,
d} em Y = {A, B, C, D}, com f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C e f(d) = D.

   Assim, temos f-1(A) = a, f-1(B) = b, f-1(C) = c e f-1(D) = d.




    Exemplo 12. A função mod tem muitas aplicações em Matemática
Discreta e Ciência da Computação. Uma das mais importantes
aplicações envolve a criptologia, que trata do estudo das mensagens
secretas. Uma das formas de escrever mensagens secretas é associar
uma letra do nosso alfabeto a outra letra. Por exemplo, cada letra do
nosso alfabeto (que contém 26 letras) está associada a sua posição
no alfabeto. Por exemplo, a letra A ocupa a posição 0, a letra B a
posição 1 e a letra E, a posição 4, de modo que Z ocupa a posição
25.




                                                 15
Matemática Discreta




                           a   b    c    d     e    f     g    h    i      j    k     l    m
                           0   1    2    3     4    5     6    7    8      9    10    11   12

                       n       o    p    q     r    s      t   u    v      w     x     y    z
                       13      14   15   16    17   18    19   20   21     22   23    24   25

                   Assim, podemos construir uma mensagem secreta por meio da
                troca de uma letra que ocupa a posição p pela letra que ocupa a 3ª
                posição após a letra p. Assim:

                   A função definida por f(p) = (p + 3)mod 26 tem a ação de cifrar a
                mensagem por meio da troca da letra de posição p pela letra que
                ocupa a posição representada pelo número (p + 3)mod 26.

                  Se quisermos enviar a seguinte mensagem “O SPORT ESTÁ EM
                ALTA”, faríamos a seguinte mensagem codificada:

                      17       21 18 17 20 22           7 21 22 3        7 15       3 14 22 3
                       R       V S R U X                h V X D          h P        D O W D

                   Ao receber a mensagem, para decodificar, o receptor usaria a
                função inversa de f, dada por

                      f-1(p) = (p-3)mod 26. De modo que f-1(17) = (17 - 3)mod 26 = 14mod 26 = 14

                  f-1(21) = (21-3)mod 26 = 18 e, assim por diante, de modo que a
                mensagem decifrada seria:

                      14       18 15 14 17 19           4 18 19 0        4 12       0 11 19 0
                      O        S P O R T                E S T Á          E M        A L T A




                                              16
Matemática Discreta




                                                            Atenção

      Uma função injetora, mas não sobrejetora, não é inversível,
   pois não temos como associar cada elemento do contradomínio
   com o elemento correspondente no domínio. Isto ocorre porque
   para alguns pontos do contradomínio, esta associação não
   existe, conforme pode ser observado na figura 4.

       Analogamente, uma função sobrejetora, mas não
   injetora, não é inversível, pois pelo menos para um ponto do
   contradomínio, teremos dois pontos correspondentes, conforme
   pode ser observado na figura 3.




1.7 Função composta

   Considere a função g de A em B e a função f de B em C, a função
composta de f e g é a composição das funções f e g, escrita f o g,
definida como:

                          (f o g) (x) = f (g(x))

   A figura abaixo ilustra o conceito de composição de funções f e g.




   Exemplo 13. Sejam f e g as funções do conjunto dos inteiros no
conjunto dos inteiros, definidas como: f(x) = 5x + 2 e g(x) = -2x + 4.
Qual a composição f o g? E g o f?

   (f o g) (x) = f (-2x + 4) = 5(-2x + 4) + 2 = -10x + 20 + 2 = -10x + 22

                                                   17
Matemática Discreta



                      (g o f) (x) = g(5x + 2) = -2(5x + 2) + 4 = -10x – 4 + 4 = -10x

                   Exemplo 14. Neste exemplo, recordaremos a representação de
                números nas bases decimal, binária e hexadecimal. Considere a
                função f definida no conjunto dos números naturais escritos na base
                decimal por f(x) = xbase 2 e g(x) = xbase 16. A função composta f(g(x))
                transforma um número natural escrito na base dez em um número
                natural na base dois. Assim:

                      para x = 21base 10, temos f(g(21base 10)) = f(15base 16) = 10101base 2.

                      para x = 10base 10, temos f(g(10)) = f(A) = 1010base 2.

                      para x = 200base 10, temos f(g(200)) = f(C8) = 11001000base 2.

                   Exemplo 15. Se quisermos armazenar e recuperar informações de
                forma eficiente em termos de espaço de armazenamento e de tempo
                de recuperação, podemos supor que os dados estejam armazenados
                em uma tabela e usar a chave de identificação (por exemplo, a
                matrícula de alunos, CPF, RG, etc). Quando o número de entradas
                identificadas pelas chaves é muito superior ao número de registros
                efetivamente armazenados (como o cadastro de clientes de uma
                empresa usando o CPF como chave), como podemos proceder, sem
                que isso resulte em um espaço de armazenamento excessivamente
                grande?

                   Suponha que o conjunto das chaves identificáveis C = {k1, k2, k3, ... ,
                km}, n seja o número de entradas na tabela e que m seja possivelmente
                muito maior que n, podemos definir uma função hash: C → {1, 2, 3,
                ... , n}, dito função de endereçamento, função de randomização ou
                função de hashing, da seguinte forma:

                                              hash (k) = (kmod n) + 1

                   Considere uma chave de identificação numérica constituída
                de números entre 0 e 1000 e uma tabela de armazenamento com
                entradas de 1 a 17. Assim, a função de hash que podemos definir é

                                              hash (k) = (kmod 17) + 1

                   Abaixo apresentamos um conjunto de valores de chaves e os
                correspondentes endereços de armazenamento, calculados pela
                função hash:

                  Chave k       365    634    2178    7615    730    974    2065    1222    3417
                 Endereço        9      6         3    17      17     6      9       16         1



                                             18
Matemática Discreta



    A função ideal é aquela que gera para cada chave um endereço
diferente, isto é, uma função injetiva, de modo que se k1 ≠ k2 se tenha
f(k1) ≠ f(k2).

    A função hash, acima definida, não é injetora, de modo que pode
gerar o mesmo endereço para chaves diferentes, correndo assim
colisões na alocação dos dados. Observe que hash(365) = hash(2065)
= 9, hash(7615) = hash(730) = 17. Para se obter o efeito de uma
função injetora no cálculo do endereçamento serão utilizados métodos
de tratamento de colisões que são estudados em profundidade na
disciplina Estruturas de Dados.

   Exemplo 16. Existem vários métodos de tratamento de colisões.
Um deles chama-se endereçamento aberto. Nesse caso, é necessário
que m > n e consiste em procurar sucessivos endereços alternativos
para o novo registro até que um endereço livre seja encontrado. Usa-
se uma função hi(k) com i variando de 0 até n-1:

    hi(k) = ((k)mod n + f(i))mod n onde f(i) pode ser f(i) = i, f(i) = i2, etc.

   Se tomarmos hi(k) = ((k)mod 7 + i)mod 7 teremos um endereçamento
aberto com teste linear. Para armazenar seqüencialmente os registros
com chaves {33, 44, 63, 66, 84, 93} teremos:

    k     i    hi(k) = (kmod 7 + i)mod 7                                 Situação
    33    0    hi(33) = (33mod 7 + 0)mod 7 = (5 + 0)mod 7 = 5mod 7 = 5   ok
    44    0    hi(44) = (44mod 7 + 0)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2mod 7 = 2   ok
    63    0    hi(63) = (63mod 7 + 0)mod 7 = (0 + 0)mod 7 = 0mod 7 = 0   ok
    66    0    hi(66) = (66mod 7 + 0)mod 7 = (3 + 0)mod 7 = 3mod 7 = 3   ok
    84    0    hi(84) = (84mod 7 + 0)mod 7 = (0 + 0)mod 7 = 0mod 7 = 0   Colisão

          1    hi(84) = (84mod 7 + 1)mod 7 = (1 + 0)mod 7 = 1mod 7 = 1   ok
    93    0    hi(93) = (93mod 7 + 0)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2mod 7 = 2   Colisão

          1    hi(93) = (93mod 7 + 1)mod 7 = (2 + 1)mod 7 = 3mod 7 = 3   Colisão

          2    hi(93) = (93mod 7 + 2)mod 7 = (2 + 2)mod 7 = 4mod 7 = 4   ok


   Os dados serão alocados nos seguintes endereços:

                0        1        2        3      4       5        6
                63       84       44       66     93      33




                                                          19
Matemática Discreta



                1.8 Seqüência

                   Uma seqüência é uma função definida em um subconjunto dos
                números naturais com imagens num subconjunto dos números reais.
                A imagem de um número natural n é denotada por F(n). Usamos a
                notação {F(n)} para descrever uma seqüência. O termo F(n) é o termo
                de ordem n ou termo geral da seqüência (definição fechada).




                                                                                       1
                      Exemplo 16: Considere a seqüência cujo termo geral é F(n) =        .
                                                                                       n
                                                                         1         1
                A lista dos termos da seqüência é F(1) = 1, F(2) =         , F(3) = , F(4)
                                                                         2         3
                    1         1
                =     , F(5) = .
                    4         5
                      Exemplo 17.

                      a) Os cinco primeiros termos da seqüência definida por

                      A(n) = 2 + 3(n-1) são:

                                    A1 = 2, A2 = 5, A3= 8, A4= 11, A5 = 14.

                   Observe que trata-se de uma Progressão Aritmética (PA) cujo
                termo inicial é 2 e razão r = 3.

                   Lembre-se que, uma P.A. de termo inicial A1 e razão r, tem termo
                geral A(n) = A1 + (n-1).r

                      b) Os cinco primeiros termos da seqüência definida por

                      A(n) = 3. 2n-1 são:

                                   A1 = 3, A2 = 6, A3 = 12, A4 = 24, A5 = 48.

                   Trata-se de uma Progressão Geométrica (PG) cujo termo inicial é
                3 e razão q = 2.

                                            20
Matemática Discreta



   Recorde que, uma PG de termo inicial A1 e razão q, tem termo
geral A(n) = A1.qn-1.

   Exemplo 18. Calcular os termos A1, A2, A3 e A4 das seguintes
seqüências {An} cujo termo geral Na, n ≥ 1, é definido por:

   a) An = n2                        b) An = 1 + 10n
   c) An = (-1)n.n                   d) An = 2n + 1
   e) An = n!                        f) An = 2 + 3(n-1)

   Solução:

   a) 1, 4, 9, 16                    b) 11, 101, 1001, 10001
   c) -1, 2, -3, 4                   d) 3, 5, 9, 17
   e) 1, 2, 6, 24                    f) 2, 5, 8, 11

   Exemplo 19. Escrever uma definição fechada (ou termo geral) para
as seguintes seqüências numéricas:

   a) 19, 14, 9, 4, ...              b) 400, 200, 100, 50, ...
   c) 17, 27, 37, 47, 57, ...        d) 7, 97, 997, 9997, ...
   e) 2, -2, 2, -2, 2, ...           f) 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, ...
   g) 1, 3, 6, 10, 15, ...           h) 1, 2, 5, 10, 17, ...

   Solução:

                                                 400
   a) A(n) = 24 – 5n , n ≥ 1         b) A(n) =        ,n≥1
                                                 2n−1
   c) A(n) = 7 + 10n, n ≥ 1          d) A(n) = 10n - 3, n ≥ 1
                                                   1
   e) A(n) = (-1)n + 1 . 2, n ≥ 1    f) A(n) =          ,n≥1
                                                 2n − 1
                n(n + 1)
   g) A(n) =             ,n≥1        h) A(n) = 1 + (n - 1)2, n ≥ 1
                   2




           Aprenda Praticando - Exercício Proposto 1.1

   Agora é com você... Apresentamos vários exercícios sobre função.
Você deve procurar solucioná-los e caso tenha alguma dificuldade
discuta com seus colegas nos chats que foram formados. Além disso,


                                            21
Matemática Discreta



                procure orientação dos professores executores e tutores da disciplina
                nos fóruns de discussão.

                      Apresentaremos as respostas dos exercícios de números pares.

                   1. Verificar se cada uma das funções definidas abaixo é injetora,
                sobrejetora e bijetora:

                      a) f : {1, 2, 3} → {a, b, c}               f = {(1,a), (2,b), (3,c)}
                      b) g : {1, 2, 3} → {a, b, c, d}            g = {(1,a), (2,b), (3,c)}
                      c) h ; {1, 2, 3} → {1, 2, 3}               h = {(1, 2) , (2,1), (3,2)}
                      d) p : N → N                               p (j) = j2 + 2
                      e) m : N → N                               m(x) = (x)mod 5
                      f) q : N → N                               q(j) = 1 se j é ímpar

                                                                 q(j) = 0 se j é par
                      g) r : N → {0, 1}                          r(j) = 1 se j é ímpar

                                                                 r(j) = 0 se j é par
                      h) t : {0, 1, 2, 3, ..., 6} → {0, 1, 2, 3, ..., 6}             t(x) = (3x)mod 7
                      i) f : Z → Z tal que f(x) = 10 + x
                      j) f: N → N tal que f(x) = 10 + x
                      k) g: Z → Z tal que f(x) = x/2 se x é par

                                           e f(x) = (x - 1)/2 se x é impar.
                      l) f: N → Z tal que f(x) = - x/2 se n é par

                                          e f(x) = (x + 1)/2 se x é impar.

                   2. Determine quais das seguintes funções de R em R são bijetoras.
                Apresente a função inversa, quando existir.

                      a) f(x) = 3x + 4                           b) f(x) = -3x2 + 7
                      c) f(x) = (x+1) / (x2+2)                   d) f(x) = x5 –1
                      e) f(x) = x

                   3. Para cada uma das funções bijetora f de R em R, encontre a
                inversa f-1.

                      a) f(x) = 2x                b) f(x) = x3                    c) f(x) = (2x + 4)/3

                    4. Dê uma fórmula explícita para uma função do conjunto dos
                inteiros Z com imagens no conjunto dos inteiros Z tal que seja:

                      a) injetora e não sobrejetora.

                      b) sobrejetora e não injetora.

                                            22
Matemática Discreta



   c) injetora e sobrejetora.

   d) não injetora e não sobrejetora.

   5. Sejam f, g: N → N, definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = 3x

   Calcule o seguinte:

    a) f o g                   b) g o f             c) f o f
    d) g o g                   e) f o g o f         f) g o g o f

   6. Sejam f e g as funções do conjunto dos inteiros no conjunto
dos inteiros, definidas como: f(x) = 5x + 2 e g(x) = -2x + 4. Qual a
composição de f o g e g o f?

   7. As funções a seguir são aplicações de R em R. Forneça
equações que descrevam as funções compostas g o f e f o g para
cada item.

   a) f(x) = 6x3 , g(x)= 2x

   b) f(x) =x , g(x) = x

   8. As funções a seguir são aplicações de R em R. Forneça
equações que descrevam as funções compostas g o f e f o g para
cada item.

   a) f(x) = (x-1)/2 , g(x) = 4x2

               x +1          x −1
   b) f(x) =        , g(x) =
               x −1          x +1
   9. Para cada uma das seguintes funções de hash, abaixo, mostre
como os dados seriam inseridos na ordem dada supondo inicialmente
células vazias. Use tratamento de colisões o endereçamento aberto
com teste linear.

   a) hash(x) = (xmod 11 + i)mod 11, células indexadas de 0 a 10, dados:
53, 13, 281, 743, 377, 20, 10, 796.

   b) hash(x) = (xmod 17 + i)mod 17 células indexadas de 0 a 16, dados:
714, 631, 26, 373, 775, 906, 509, 2032, 42, 4, 136, 1028.

    10. Armazenar seqüencialmente os registros com chaves {33, 44,
65, 66, 84, 93} numa tabela hash de tamanho 7 com tratamento de
colisões endereçamento aberto com teste quadrático, dado por hi(k) =
(kmod 7 + i2)mod 7, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.




                                              23
Matemática Discreta




                              Respostas dos Exercícios 1.1

                                                                                           x−4
                      2. a) f(x) = 3x + 4 é bijetora e a função inversa é f-1(x) =             .
                                                                                            3
                        b) f(x) = -3x2 + 7 não é uma função injetora, pois, f(2) = f(-2) = -5.
                            Além disso, não é sobrejetora em R. De fato, não existe x∈R,
                            tal que f(x) = 10.

                        c) f(x) = (x+1) / (x2+2) não é sobrejetora. Por exemplo, não existe
                            x∈R, tal que f(x) = 1. Se existisse, teríamos, (x+1)/(x2+2) =
                            1, ou seja, x2 + 2 = x + 1, que acarreta x2 - x + 1 = 0. Esta
                            equação não tem solução real, pois ∆ = b2 - 4ac = -3.

                        d) f(x) = x5 – 1 é bijetora. A inversa é f-1(x) =     5
                                                                                   x +1.
                        e) f(x) = x não é injetora nem sobrejetora. Observe que f(1,3) =
                            f(1,4) = 1 e que não existe x∈R tal que f(x) = 0,5.

                      4. a) f(x) = 3x + 1 se x ≥ 0, f(x) = 3x + 2 se x < 0

                        b) f(x) = x2 se x > 0, f(x) = -x2 + 8, se x ≤ 0.

                        c) f(x) = 2x + 1 se x∈Z

                        d) f(x) = x2 + 2 se x∈Z

                      6. (f o g)(x) = f(-2x + 4) = 5(-2x + 4) + 2 = -10x + 20+ 2 = -10x + 22

                        (g o f) (x) = g (5x + 2) = -2(5x + 2) + 4 = -10x – 4 + 4 = -10x

                                                                 2
                                         x −1          x −1 
                      8. a) g(f(x)) = g(      )=     4             = ( x − 1)2
                                           2           2 
                                              4 x2 −1
                           f(g(x)) = f(4x ) =
                                           2

                                                 2
                                                  x +1
                                                       −1   1
                                        x +1      x −1    =
                        b) g(f(x)) = g(       )=
                                        x −1     x +1       x
                                                       +1
                                                  x −1
                                                     x −1
                                                          +1
                                          x −1 ) =   x +1
                           f(g(x)) = f(                      = −x
                                          x +1       x −1
                                                          −1
                                                     x +1
                                               24
Matemática Discreta



  10.

  k     i    h(k) = (kmod 7 + i2)mod 7                             Situação

  33    0    h(33) = (33mod 7 + 02)mod 7 = (5 + 0)mod 7 = 5        ok
  44    0    h(44) = (44mod 7 + 02)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2        ok
  65    0    h(65) = (65mod 7 + 02)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2        Colisão

        1    h(65) = (65mod 7 + 12)mod 7 = (2 + 1)mod 7 = 3        ok
  66    0    h(66) = (66mod 7 + 02)mod 7 = (3 + 0)mod 7 = 3        Colisão

        1    h(66) = (66mod 7 + 12)mod 7 = (3 + 1)mod 7 = 4        ok
  84    0    h(84) = (84mod 7 + 02)mod 7 = (0 + 0)mod 7 = 0        ok
  93    0    h(93) = (93mod 7 + 02)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2        Colisão

        1    h(93) = (93mod 7 + 12)mod 7 = (2 + 1)mod 7 = 3        Colisão

        2    h(93) = (93mod 7 + 22)mod 7 = (2 + 4)mod 7 = 6        ok

  Os dados serão alocados nos seguintes endereços:

            0      1        2       3     4        5          6
            84              44      65    66       33         93




            Conclusão


   No primeiro capítulo deste fascículo você aprendeu sobre as
funções, como podem ser utilizadas em aplicações da informática e
computação. Em particular, conheceu a função mod e a função hash,
que serão empregadas em aplicações da disciplina Estrutura de
Dados.




            Saiba Mais


   Você poderá aprender muito mais sobre funções, consultando os
seguintes livros e sites:

   GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência

                                                  25
Matemática Discreta



                         da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de
                         Janeiro: LTC, 2004.

                      LIPSChUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas
                         de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004.

                      SChEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma
                        introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo:
                        Pioneira Thomson Learning, 2003.




                              Orientação de Estudos


                   O exemplo 12 deste capítulo versou sobre processos de transmissão
                de informações de forma segura, como por exemplo, informações de
                dados financeiros pela internet. Nesse processo usamos uma chave
                de codificação. Daí, a informação é codificada e enviada ao receptor.
                Ao recebê-la, o receptor pode decodificá-la usando uma chave de
                decodificação.

                    No sistema criptográfico com chave pública, a chave de
                decodificação pode ser obtida da chave de decodificação. O sistema
                criptográfico com chave pública inventado por R. L. Rivest, A. Shamir
                e L. Adleman usa a função mod e alguns conceitos da teoria dos
                números inteiros.

                   Se você tem interesse no assunto, leia os livros acima indicados
                que tratam do assunto de uma forma muito simples e visite os
                seguintes sites:
                      http://www.upis.br/revistavirtual/Cavalcante_%20Teoria%20dos%20
                         N%FAmeros%20e%20Criptografia_2005_UPIS.pdf

                      http://www.infowester.com/criptografia.php

                      http://domenico-deri.sites.uol.com.br/exemplos.html

                      http://www.penta.ufrgs.br/gere96/segur/cripto_.htm




                                            26
Matemática Discreta



Capítulo 2 - Recursão: um
método de definição




   O que é recursão?

    A figura acima é um triângulo eqüilátero. No seu interior, maior
triângulo eqüilátero branco de lado L1 tem em cada um de seus lados,
                                                   L1
vértices de um triângulo eqüilátero de lado L2 =      . Por sua vez, cada
                                                   2
triângulo eqüilátero de lado L2, tem em cada um dos seus lados, vértices
                                          L2
de triângulos eqüiláteros de lados L3 =      , e assim sucessivamente.
                                          2
De modo que a figura mostra uma sucessão de triângulos eqüiláteros
                Ln−1
de lados Ln =        , onde o lado de cada triângulo é metade do lado
                 2
do triângulo anterior. Essa é uma figura construída por recorrência!

   Faremos agora uma definição de recursão.


2.1 Recursão

    Uma definição na qual o item que está sendo definido aparece
como parte da definição é chamada definição recursiva ou indutiva.
Isto é, o item é definido por meio de uma regra que permite calcular
qualquer caso do item em função do item ou dos itens anteriores.

   Assim, uma definição recursiva é constituída de duas partes:

   a) Um passo inicial, onde alguns casos simples do item que está
sendo definido são dados explicitamente e,

                                              27
Matemática Discreta



                   b) Um passo indutivo ou recursivo, onde os outros casos do item
                que está sendo definido são dados em termos dos casos anteriores.

                   Como podemos fazer uso de uma definição recursiva? Podemos
                usar recursão para definir funções ou operações, algoritmos, conjuntos
                e seqüências.




                                                                             Atenção

                         Lembre-se:

                          Toda definição recursiva é constituída por duas partes.
                      A primeira parte é do passo inicial, onde serão fornecidos os
                      dados iniciais do item que se define. A segunda parte é o passo
                      recursivo, onde é feita de forma recorrente o calcule dos demais
                      itens em termos dos itens anteriores.


                   Exemplo 1: Uma seqüência é definida recursivamente,
                explicitando-se seu primeiro valor (ou seus primeiros valores) e, a
                partir daí, definindo-se outros valores na seqüência em termos dos
                valores iniciais.

                      A seqüência 3, 6, 12, 24, ... é definida recursivamente por:

                      Passo inicial: A(1) = 3

                      Passo Recursivo: A(n) = 2 . A(n-1), para n ≥ 2

                      O cálculo do 5º termo se faz assim:

                      A(5) = 2 . A(4)

                                    A(4) = 2 . A(3)

                                                  A(3) = 2 . A(2)

                                                                A(2) = 2 . A(1)

                                                                               A(1) = 3

                                                                A(2) = 2 . 3 = 6

                                                  A(3) = 2 . 6 = 12

                                    A(4) = 2 . 12 = 24

                      A(5) = 2 . 24 = 48


                                           28
Matemática Discreta



   Exemplo 2: A seqüência 2, 5, 8, 11, 14, ... é definida recursivamente
por:

   Passo inicial: A(1) = 2

   Passo recursivo: A(n) = A(n-1) + 3, para n ≥ 2

   Para calcular recursivamente o quinto termo A(5) procedemos
assim:

   A(5) = A(4) + 3

                 A(4) = A(3) + 3

                               A(3) = A(2) + 3

                                              A(2) = A(1) + 3

                                                            A(1) = 2

                                              A(2) = 2 + 3 = 5

                               A(3) = 5 + 3 = 8

                 A(4) = 8 + 3 = 11

   A(5) = 11 + 3 = 14

   Exemplo 3: A seqüência de Fibonacci é definida recursivamente
por:

   Passo inicial: F(1) = 1, F(2) = 1

   Passo recursivo: F(n)= F(n-1) + F(n-2), n ≥ 3 é constituída dos
termos 1, 1, 2, 3, 5, 8 ,13, 21, 34, ...

   Calcule recursivamente F(6).

   F(6) = F(5) + F(4)

                 F(5) = F(4) + F(3)

                               F(4) = F(3) + F(2)

                                              F(3) = F2) + F(1)

                                                            F(2) = 1

                                                            F(1) = 1

                                              F(3) = 1 + 1 = 2

                               F(4) = 2 +1 = 3



                                              29
Matemática Discreta



                                       F(5) = 3 + 2 = 5

                      F(6) = 5 +3 = 8

                    Exemplo 4: Uma função pode ser definida por recursividade. Por
                exemplo, a função MDC calcula o máximo divisor comum de dois
                inteiros positivos, pode ser definida assim:

                      MDC(x, y) = y se x ≥ y e xmod y = 0

                      MDC(x, y) = MDC(y,x) se x < y

                      MDC(x, y) = MDC(y, xmod y) caso contrário.

                      O cálculo do MDC de x = 72 e y = 20 se processa dessa maneira:

                      MDC (72, 20) = MDC(20, 12) = MDC (12, 8) = MDC(8, 4) = 4

                    Exemplo 5. Recursão em programação refere-se a um procedimento
                ou função que chama a si mesmo, um módulo recursivo. Para alguns
                tipos de problemas um módulo recursivo possibilita soluções mais
                simples e “naturais”, conforme exemplo seguinte:

                  {Função recursiva para multiplicação de dois inteiros. Efetua a
                multiplicação por somas sucessivas.}
                função multiplica (m, n: inteiro): inteiro

                      {Executa multiplicação utilizando somas sucessivas.

                      Entrada: dois operandos m e n e assume que n > 0

                      Saída: Retorna m * n

                inicio {multiplica}

                      se n = 1 então

                         multiplica : = m

                      senão

                         multiplica : = m + multiplica (m , n –1);

                fim {multiplica}

                   Observação: Para definir um módulo recursivo, precisamos
                identificar dois elementos: o passo recursivo e a condição de
                parada. No exemplo citado, a condição de parada é satisfeita quando
                n = 1, enquanto o passo recursivo aparece na linha “multiplica: = m +
                multiplica (m, n – 1)” onde aparece a função chamando ela mesma.

                   De um modo geral, um módulo recursivo segue o algoritmo
                seguinte:

                                             30
Matemática Discreta



   se <condição de parada é satisfeita> então

      Resolva

   senão

      Divida o problema num caso mais simples utilizando recursão.

   No exemplo acima, qual o valor de saída para m = 5 e n = 4?

   multiplica(5,4) = 5 + multiplica(5,3)

               multiplica(5,3) = 5 + multiplica(5,2)

                               multiplica(5,2) = 5 + multiplica(5,1)

                                                         multiplica(5,1) = 5

                               multiplica(5,2) = 5 = 5 = 10

               multiplica(5,3) = 5 + 10 = 15

   multiplica(5,4) = 5 + 15 = 20

   Exemplo 6. Forneça uma definição recursiva para cada uma das
seguintes sequências:

   a) 7, 97, 997, 9997, ...

   b) sequência T(n) de números triangulares:




    T(1) = 1        T(2) = 3           T(3) = 6               T(4) = 10

      n=1            n=2                 n=3                    n=4

   c) 231 é um número triangular?

   d) Quais os números triangulares entre 200 e 300?

  a) A seqüência 7, 97, 997, 9997, ... tem termo geral A(n) = 10n – 3,
com n ≥ 1. Logo, podemos escrever A(n-1) = 10n-1 -7, de modo que:

   10 . A(n-1) = 10(10n-1 – 3) = 10n – 30 = (10n – 3) - 27 = A(n) – 27.

   Assim, A(n) = 10.A(n-1) + 27 para n ≥ 2, A(1) = 7 é a definição
recursiva da seqüência.


                                                    31
Matemática Discreta



                   b) Observe que T(1) = 1, T(2) = T(1) + 2, T(3) = T(2) + 3, logo T(n)
                = T(n-1) + n , para n ≥ 2.

                      A definição recursiva é T(1) = 1, T(n) = T(n-1) + n, n ≥ 2.

                                                                     n2 + n
                      c) Uma fórmula fechada para T(n) é T(n) =             para n ≥ 1 (Prove).
                                                                       2
                Assim, para 231 seja um número triangular, devemos encontrar n tal
                                 n2 + n
                que 231 =               . Isto é, n2 + n - 462 = 0. Resolvendo a equação,
                                   2
                                     −1 ± 1 + 1848   −1 ± 43
                temos que n =                      =         . Assim, T(21) = 231.
                                          2             2
                      d) 231, 253, 276 e 300.

                   Exemplo 7. A função chão f(x) = x associa a cada número real x
                o maior inteiro menor ou igual a x. Definimos a seqüência T por:

                      T(1) = 1

                      T(n) = 2 . T ( n/2 ) para n ≥ 2.

                      Vamos calcular recursivamente T(73).

                      T(73) = 2 . T( 73/2 ) = 2 . T(36) =

                            T(36) = 2 . T ( 36/2 ) = 2 . T(18) =

                                      T(18) = 2 . T ( 18/2 ) = 2 . T(9)

                                              T(9) = 2 . T ( 9/2 ) = 2 . T (4)

                                                      T(4) = 2 . T ( 4/2 ) = 2 . T(2)

                                                              T(2) = 2 . T ( 2/2 ) = 2 . T(1)

                                                                         T(1) = 1

                                                              T(2) = 2 . 1 = 2

                                                      T(4) = 2 . 2 = 4

                                              T(9) = 2 . 4 = 8

                                      T(18) = 2 . 8 = 16

                            T(36) = 2 . 16 = 32

                      T(73) = 2 . 32 = 64

                      Exemplo 8. Considere o seguinte algoritmo recursivo em C que


                                            32
Matemática Discreta



ordena os elementos de uma lista L= [L(1), L(2), L(3), ... , L(j)] onde j é
o comprimento da lista:
Lista ORD(lista L, int J)

    if (J == 1) {

        return L; A lista está ordenada, imprima a lista.

    }

    else if (J > 1) {

        Procure o índice I entre 1 e J do maior elemento tal que L(I) > L(J)

        Troque L(I) por L(J)

        return ORD(L, J-1);

    }

    Simule a saída para a entrada L= [2, 7, 4, -3, 8, 5] e j = 6

    Solução:

    ORD([2, 7, 4, -3, 8, 5], 6) = [2, 7, 4, -3, 5, 8]

    ORD([2, 7, 4, -3, 5, 8], 5) = [2, 5, 4, -3, 7, 8]

    ORD([2, 5, 4, -3, 7, 8], 4) = [2, -3, 4, 5, 7, 8]

    ORD([2, -3, 4, 5, 7, 8], 3) = [2, -3, 4, 5, 7, 8]

    ORD([2, -3, 4, 5, 7, 8], 2) = [-3, 2, 4, 5, 7, 8]

    ORD([2, -3, 4, 5, 7, 8], 1) = [-3, 2, 4, 5, 7, 8]

   Exemplo 9. Considere a função F definida no conjunto dos números
naturais do seguinte modo:

    F(1) = 1

    F(n) = n + F(n-1) para n ≥ 2. Vamos calcular F(5).

    F(5) = 5 + F(4) = 5 + 4 + F(3)

          = 5 + 4 + 3 + F(2) = 5 + 4 + 3 + 3 + 2 + F(1)

          =5+4+3+2+1

          = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.

   Você percebeu que F(n) é a soma de todos os números inteiros
positivos menores ou iguais a n?
                         n
    Assim, F(n) =       ∑ i = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n.
                        i =1

                                                       33
Matemática Discreta




                             Aprenda Praticando - Exercício Proposto 2.1

                    Chegou a sua vez! Apresentamos vários exercícios sobre recursão.
                Você deve tentar solucioná-los e caso tenha alguma dificuldade,
                discuta com seus colegas nos chats que foram formados. Procure
                orientação dos professores executores e tutores da disciplina nos
                fóruns de discussão, caso persistam dúvidas.

                   Apresentaremos a seguir resposta dos exercícios de numeração
                par.




                   1. Nos exercícios seguintes, calcular o quinto termo das seqüências
                dadas:

                      a) A(1) = 10, A(n) = A(n-1) + 10, para n ≥ 2.

                      b) A(1) = 1, A(n) =
                                               1      , para n ≥ 2.
                                            A.(n − 1)
                                            34
Matemática Discreta



  c) B(1) = 1, B(n) = B(n-1) + n2, para n ≥ 2.

  d) A(1) = 1, A(n) = A(n-1) +
                                 1 , para n ≥ 2.
                                 n
  e) P(1) = 1, P(n) = n2.P(n-1) + (n-1), para n ≥ 2.

  f) D(1) = 3, D(2) = 5, D(n) = (n-1).D(n-1) + (n-2).D(n-2), para n ≥ 3.

   2. Calcule recursivamente o sexto termo de cada uma das
seqüências definidas abaixo:

  a) A(1) = 1, A(n) = A(n-1) + 2, n ≥ 2.

  b) A(1) = 1, A(n) = 3.A(n-1), n ≥ 2.

  c) A(1) = 2, A(n) = [A(n-1)]2, n ≥ 2.

  d) A(1) = 91, A(n) = A(n-1) + 9.10n, n ≥ 2.

  e) A(1) = 3, A(n) = -2.A(n-1), n ≥ 2.

  f) A(1)= 3, A(n) = 3.A(n-1) + 7, n ≥ 2.

  3. Forneça uma definição recursiva para:

  a) a progressão geométrica com termo inicial 7 e razão 3.

  b) a progressão aritmética com termo inicial -12 e razão 5.

  c) o fatorial n!, n ≥ 1.

  d) o produto de dois números inteiros positivos.

  e) o MDC de dois números naturais a e b, a < b.

  f) a seqüência 5, 9, 13, 17, ...

  g) a seqüência 4, 2, 1 ,½, ¼ , ...

  h) a seqüência a, 2a + b, 3a + 2b, 4a + 3b, ...

  i) a seqüência a, 2a - b, 3a - 2b , 4a - 3b, ...

  j) a seqüência An = 3n - 1 com n > 0

  k) a seqüência A(n) = n2 com n > 0

  l) a seqüência A(n) = n2 + n + 1

  m) a seqüência 1, -1, 1, -1, ...

  n) a divisão de dois inteiros positivos.


                                                 35
Matemática Discreta




                      o) a seqüência
                                             1 , 1 + 1 , 1 + 1 + 1 , 1 + 1 + 1 + 1 , ...
                                             0! 0! 1! 0! 1! 2! 0! 1! 2! 3!
                      p) a seqüência 2, 92, 992, 9992, ...

                   4. Uma quantia de 500 unidades monetárias foi investida em
                uma conta remunerada a uma taxa de juro composto anual de 10%.
                Descreva a definição recursiva para P(n), a quantia na conta no início
                do n-ésimo ano.

                   5. A seqüência de números 16, 144, ..., 304, ..., ..., 768, 1232,
                2000 é uma subseqüência finita obtida da seqüência de Fibonacci.
                Descubra os termos que estão faltando.

                   6. Que valor é computado pelo seguinte algoritmo, para um valor
                de entrada especificado?

                int F(int n) {
                      if (n == 1)
                             return 1
                      else
                             return n + 2*F(n-1);
                }

                      Qual o valor de saída para a entrada n = 6?

                   7. Que valor é computado pelo seguinte algoritmo, para um valor
                de entrada especificado?

                int MDC( int a, int b) {
                      if a = 0
                             return b
                      else
                             return MDC (bmod a, a)
                }

                   Qual o valor de saída para a = 20 e b = 72? Qual o valor de saída
                para a = 232 e b = 432?

                   8. Que valor é computado pelo seguinte algoritmo, para um valor
                de entrada especificado?

                int FIB (int n) {
                      if (n == 0)
                             return 0
                      else if (n == 1)
                             return 1


                                                    36
Matemática Discreta



                else
                        return = FIB(n-1) + FIB(n-2);
}

    Qual o valor de saída para n = 6?

  9. A função teto g(x) = x associa a cada real x o menor inteiro
maior ou igual a x. Definimos uma seqüência T por:

     a) T(1)= 1

     b) T(n) = 2 . T ( n/2 ) para n ≥ 2.

    Calcule recursivamente T(85).

    10. Definimos a sequência FACT da seguinte forma:

     FACT (0) = 1. FACT (n+1) = (n+1) . FACT (n), para n ≥ 0.

     Escreva os seis primeiros termos de FACT.

    11. Considere a relação de recorrência dada por:

                          1     2
     Y0 = 1, Yn+1 =         Yn +  , onde n ≥ 0.
                          2     Yn 
    Essa relação produz uma seqüência de valores tais que pode ser

usado para aproximar                2   com qualquer grau de precisão.

    12. Considere a seqüência definida recursivamente por:

    F(1) = 1 e F(n) =               1        , para n > 1.
                               F (n − 1) + 1
     a) Ache os valores dos seis primeiros termos dessa seqüência.

     b) Observe o numerador de cada um dos termos da parte (a). Que
        seqüência formam?

   13. Que valor é computado pelo seguinte algoritmo para um valor
de entrada especificado?

int Q(int a, int b) {
     if a < b
            return 0
     else
            return Q(a-b, b) + 1;
}

    Qual o valor de saída para Q(15,2)? E para Q(5,5)? E Q(5861,7)?

                                                         37
Matemática Discreta



                      14. Considere o seguinte algoritmo recursivo:

                int MAX (int A, int B) {
                      if (A == 0) or (B == 0)
                             return A + B
                      else
                             return MAX(A-1, B-1) + 1;
                }

                      Calcule o valor de retorno para a entrada A = 7 e B = 13?

                   15. Considere o seguinte algoritmo recursivo que ordena
                os elementos de uma lista L= [L(1), L(2), L(3), ... , L(j)] onde j é o
                comprimento da lista:

                Lista ORD(lista L, int J) {
                       if (j == 1)
                               return L //A lista está ordenada. Imprima a lista.
                       else if j > 1 //Procure o índice I entre 1 e J do maior elemento tal que L(I) > L(J)
                                     //Troque L(I) por L(J)
                               return ORD(L, J-1)
                }

                      Simule a saída para a entrada L = [10, 7, 9, 5, 0, -5, -2] e j = 7

                      16. Considere o seguinte algoritmo recursivo.

                int COMB(int n, int p) {
                       if (n == p) or (p == 0 )
                               return 1
                       else
                               return COMB(n-1, p-1) + COMB(n-1, p);
                }

                      Calcule o valor de saída para a entrada de n = 6 e p = 3.

                      O que calcula COMB para quaisquer inteiros não negativos n e p?

                   17. As figuras abaixo mostram quantos pedaços obtemos com n
                cortes numa pizza:




                                                 38
Matemática Discreta




   Dê uma definição recursiva para o número de pedaços P(n) em
função do número de cortes n.

        Resp.          n=1            n=2               n=3             n=4
                       P(n) = 2       P(n) = 4          P(n) = 7        P(n) = 11


 Definição recursiva   P(1) = 2       P(n) = P(n-1) + n, para n ≥ 2


   18. Forneça uma definição fechada e uma definição recursiva para
cada uma das seguintes sequências:

   a) 9, 99, 999, 9999, ...

   b) sequência P(n) de números pentagonais:




                                                 ...


  n=1        n=2              n=3            n=4                    n=5

 P(1) = 1   P(2) = 5      P(3) = 12         P(4) = 22              P(5) = 5


   19. Ache uma definição fechada (fórmula) para as seguintes
seqüências definidas recursivamente por:

   Resultados importantes que podem ser usados:
                                     (a1 + an )n
   A soma dos termos de uma PA: Sn =
                                          2
                                      a1 (q n − 1)
   A soma dos termos de uma PG: Sn =
                                         q −1


                                                       39
Matemática Discreta



                      a) S(1) = 1, S(n) = 3.S(n-1) + 1 , n ≥ 2

                      b) S(1) = 1, S(n) = 2 – S(n-1), n ≥ 2.

                      c) S(1) = 1, S(n) = 3.S(n-1) + n, n ≥ 2

                      d) S(1) = 0, S(2) = 1, S(n)=
                                                       S (n − 1) + S (n − 2) , n ≥ 2
                                                                 2
                      20. Considere o seguinte algoritmo recursivo:
                Função F(n: inteiro): inteiro

                      Se n < 5 então

                         Retorne 3*x

                      Senão

                         Retorne 2*F(n-1) + 7

                      Fim Se

                Fim

                      Calcular F(4), F(5), F(12).

                      21. Considere o seguinte algoritmo recursivo:
                Função F(n: inteiro, m: inteiro): inteiro

                      Se n < m então

                         Retorne -3

                      Senão

                         Retorne F(n-m, m+3) + m

                      Fim Se

                Fim

                      Calcular F(2,7), F(5,3) e F(15,3).




                                            40
Matemática Discreta




       http://www.interaula.com/matweb/alegria/fibon//seqfib1.htm




           Respostas dos Exercícios 2.1

2. a) 11

  b) 243

  c) 4.294.967.296

  d) 9999991

  e) -64

  f) 523

                                                41
Matemática Discreta



                      4. P(0) = 500

                        P(n) = 1,1.P(n-1), n ≥ 1.

                      6. 187

                      8. 8

                      10. 1, 2, 6, 24, 120, 720

                      12. a) 1,   1 , 2, 3, 5, 8
                                  2 3 5 8 13
                      b) Formas a seqüência de Fibonacci.

                      14.

                      MAX(7, 13) = MAX(6, 12) + 1

                              MAX(6, 12) = MAX(5, 11) + 1

                                     MAX(5, 11) = MAX(4,10) + 1

                                             MAX(4, 10) = MAX(3,9) + 1

                                                  MAX(3, 9) = MAX(2,8) + 1

                                                        MAX(2, 8) = MAX(1, 7) + 1

                                                               MAX(1,7) = MAX(0, 6) + 1

                                                                              MAX(0,6) = 6

                                                               MAX(1,7) = 7

                                                        MAX(2, 8) = 8

                                                  MAX(3, 9) = 9

                                             MAX(4, 10) = 10

                                     MAX(5, 11) = 11

                              MAX(6, 12) = 12

                      MAX(7, 13) = 13

                      A função MAX retorna o maior valor entre A e B.

                      16. a) 20

                             b) O algoritmo retorna C

                   18. a) S(n) = 10n – 1, para n ≥ 1 é uma definição fechada para a
                seqüência 9, 99, 999, 9999, ...


                                            42
Matemática Discreta



    Uma definição recursiva é: S(1) = 1, S(n) = 10.S(n-1) + 9, para n ≥
2

        b) Observe que:

          P(1) = 1

          P(2) = 5 = 1 + 4 = P(1) + 4

          P(3) = 12 = 1 + 4 + 7 = P(2) + 7

          P(4) = 22 = 1 + 4 + 7 + 10 = P(3) + 10

          P(5) = 35 = 1+ 4 + 7 + 10 + 13 = P(4) + 13

          ...

         P(n) = P(n-1) + 3n – 2, pois a seqüência 1, 4, 7, 10, 13, ... é
       uma PA de razão 3 e termo inicial 1, de modo que

          an = 1 + (n-1).3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2

          Assim, a definição recursiva é:

          P(1) = 1, P(n) = P(n-1) + 3n -2 , para n ≥ 2

          A definição fechada é obtida análoga:

          P(1) = 1

          P(2) = 5 = 1 + 4

          P(3) = 12 = 1 + 4 + 7

          P(4) = 22 = 1 + 4 + 7

          P(5) = 35 = 1+ 4 + 7 + 10 + 13

          ...

          P(n) = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ... (3n-2).

          Observe     que    P(n)   é     a   soma   dos   termos    de
       uma P.A. de termo inicial 1 e razão 3, logo P(n) =
       (1 + 3n − 2).n   (3n − 1)n   3n 2 − n
                      =           =          , para n ≥ 1.
             2              2          2
    20. F(4) = 12

        F(5) = 2.F(4) + 7 = 2(12) + 7 = 31

        F(6) = 2.F(5) + 7 = 62 + 7 = 69



                                               43
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                            Conclusão


                   Você conheceu no segundo capítulo deste fascículo o método da
                recursão. Ele é usado na definição de funções, seqüências, algoritmos
                e diversos outros procedimentos computacionais. Aprendeu como
                formular um algoritmo recursivo em aplicações da informática e
                computação.




                            Saiba Mais


                   Você poderá aprender muito mais sobre recursão, consultando os
                seguintes livros e sites:

                      GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência
                        da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de
                        Janeiro: LTC, 2004.

                      LIPSChUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas
                         de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004.

                      SChEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma
                        introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo:
                        Pioneira Thomson Learning, 2003.




                                       44
Matemática Discreta



Capítulo 03 - Teoremas e
Técnicas de Provas




   O que é um teorema?

    Você lembra o Teorema de Pitágoras, não é? A figura acima ilustra
muito bem o que esse teorema afirma: A soma dos quadrados dos
catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa.
A figura acima ilustra uma prova desse teorema.

   Definimos um teorema como qualquer afirmação declarativa
sobre matemática, para a qual existe uma prova. Afirmações cuja
veracidade não se pode garantir são chamadas de conjecturas.

    Os teoremas em geral são expressos sob a forma “se P então Q”
(P → Q) onde P e Q podem representar sentenças compostas. Na
afirmação “se P então Q”, P é chamado de hipótese e Q é a conclusão.
Podemos escrever teoremas também na forma P ↔ Q onde se lê: “P
se e somente se Q”. Recorde que P ↔ Q é equivalente a (P → Q) ∧
(Q → P).

   Por exemplo, considere a afirmação “Se x e y são números pares
então x + y é também um número par”. Aqui, a hipótese P é “x e y são
números pares” e a conclusão Q é “a soma x + y é um número par”.
O teorema afirma que, se x e y são ambos pares então, x + y é um
número par. A sentença não exclui a possibilidade de x + y ser par
quando x ou y não for par. Na verdade, se x e y não são pares então
x + y é par. A única circunstância em que a afirmação é falsa é quando
P é verdadeira (x e y pares) e Q é falsa (x + y ímpar).


                                             45
Matemática Discreta



                    Numa afirmação P → Q podemos ter a condição P verdadeira ou
                falsa e a condição Q verdadeira ou falsa. Se a afirmação P → Q é
                verdadeira temos o seguinte:

                                   Hipótese P       Conclusão Q      P→Q

                                 V (x = 2, y = 4)   V (x + y = 6)    possível
                                 V (x = 2, y = 4)   F (x + y = 7)   impossível
                                 F (x = 3, y = 5)   V (x + y = 8)    possível
                                 F (x = 2, y = 5)   F (x + y = 7)    possível


                   Exemplo 1. Como podemos escrever afirmações sob a forma “Se
                P então Q”? Veja os exemplos:

                      a) O produto de um inteiro ímpar e um inteiro par é par. Se x é um
                         inteiro ímpar e y é um inteiro par então x.y é um inteiro par.

                      b) O quadrado de um inteiro ímpar é ímpar. Se x um inteiro ímpar
                         então x2 é impar.

                      c) O quadrado de um inteiro primo não é primo. Se x é um número
                         primo então x2 não é primo.

                      d) A soma de um inteiro par com um ímpar é par. Se x é par e y é
                         ímpar então x + y é ímpar.

                    Exemplo 2. Suponha uma conjectura P → Q e queremos mostrar
                que é falsa. Devemos encontrar um contra-exemplo, ou seja, uma
                situação em que P é verdadeira e Q é falsa. No caso da afirmação
                “Se x é um número primo então x é ímpar”. Claramente trata-se de
                uma proposição falsa. Basta escolher x = 2.

                    No exemplo acima, vimos que quando queremos refutar uma
                conjectura, um contra-exemplo é suficiente. Mas para provar uma
                afirmação, em geral, muitos exemplos não provam a suposição.
                A única exceção dessa situação ocorre quando uma afirmação é
                feita sobre um conjunto finito. Nesse caso, podemos verificar se a
                proposição é verdadeira para todos os elementos do conjunto.

                    No caso da asserção: “Se um inteiro entre 2 e 13 é divisível por
                4 então também é divisível por 2”, ela pode ser provada verdadeira
                quando mostramos que é verdadeira para cada um dos números
                inteiros entre 2 e 13. É claro que não podemos usar o mesmo
                procedimento para provar que “todo número inteiro divisível por 4
                também é divisível por 2”.


                                          46
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3.1 Estratégias de Provas

    Diversas formas podem ser usadas para provar uma asserção do
tipo “Se P então Q”. Abordaremos algumas delas.


3.1.1 Prova Direta

   Quando você quer provar que uma proposição P → Q é verdadeira
deve-se supor que a hipótese P é verdadeira e deduzir que a conclusão
Q é verdadeira.

   Exemplo 3. Provar: “Se x e y são inteiros pares então x + y é par”.

   Prova:

   Suponha que x e y são inteiros pares (Hipótese). Isto significa que
x e y são ambos divisíveis por 2. Logo, existem inteiros m e n tais que
x = 2.m e y = 2.n. Como x + y = 2 . m + 2 . n = 2 . (m + n), concluímos
que existe um inteiro c = m + n tal que x + y = 2.c.

   Portanto x + y é divisível por 2. Logo, x + y é par (Conclusão).

    Exemplo 4. “Se um inteiro é divisível por 6 então ele também é
divisível por 3”.

   Prova:

   Seja x um inteiro divisível por 6. Então existe um inteiro k tal que x
= 6 . k. Pondo 6 = 3 . 2, podemos escrever x = (3 . 2) . k = 3 . (2 . k).

  Como 2 . k é um inteiro e escrevendo 2 . k = m, temos que x = 3.m,
com m inteiro. Logo, x é divisível por 3.

   Exemplo 5. Se x é um inteiro par então y = x + 5 é inteiro ímpar.

   Prova:

   Assumimos que x é um inteiro par. Então existe um inteiro n tal
que x = 2 . n.

  Como y = x + 5 então y = 2 . n + 5 = 2n + 4 + 1 = 2 . (n+2) + 1.
Pondo n + 2 = m, temos que y = 2 . m + 1, onde m é um inteiro.
Conseqüentemente, y é um número ímpar.

   Exemplo 6. A soma de um inteiro com o seu quadrado é um número
par. Pondo na forma P → Q temos: Se x é um número inteiro então x
+ x2 é par.



                                               47
Matemática Discreta



                      Prova:

                      Seja x um número inteiro.

                   Se x é par, então x = 2 . n e x2 = (2 . n)2 = 4 . n2, de modo que x + x2
                = 2 . n + 4 . n2 = 2(n + 2n2). Pondo m = n + 2n2, temos que x + x2 = 2m.
                Conseqüentemente x + x2 é par.

                   Se x é ímpar, x = 2.n + 1 para algum inteiro n. Assim, x + x2 =
                2n + 1 +(2n + 1)2 = 2.n + 1 + 4n2 + 4.n + 1 = 4n2 + 6.n + 2 = 2(2n2 +
                3n + 1). De modo que x + x2 = 2.m, onde m é o inteiro 2n2 + 3n + 1.
                Conseqüentemente x + x2 é par.


                3.1.2 Prova Indireta

                   Você deve lembrar que no fascículo 1 provamos algumas
                equivalências entre proposições. Uma delas foi que P → Q é
                logicamente equivalente a ¬Q → ¬P.

                      A tabela seguinte mostra isso!

                                P     Q        P→Q     ¬Q   ¬P      ¬Q→¬P
                                V     V         V      F     F          V
                                V     F         F      V     F          F
                                F     V         V      F     V          V
                                F     F         V      V     V          V

                   Assim, uma segunda estratégia de prova tem inicio quando
                assumimos que a conclusão Q é falsa e, então mostrar que a hipótese
                P é falsa.

                  A afirmação ¬ Q → ¬ P é chamada de contra-positiva da afirmação
                P → Q. A prova indireta é também chamada de contra-positiva.

                   Exemplo 7. Formularemos contra-positiva ¬ Q → ¬ P das seguintes
                proposições P → Q:

                      a) P → Q: Se x é ímpar, então x2 é ímpar. ¬ Q → ¬ P: Se x2 não
                         é ímpar então x não é ímpar. Equivalentemente podemos
                         escrever: Se x2 é par então x é par.

                      b) Se n é um inteiro ímpar então 3n + 5 é um inteiro par. P → Q: Se
                         x é inteiro ímpar então 3x + 5 um inteiro é par.

                  Exemplo 8. Use a prova indireta para provar a seguinte proposição
                P → Q: Se x é um número par, então x + 3 é ímpar.


                                          48
Matemática Discreta



   A contra-positiva ¬ Q → ¬ P é “Se x +3 não é ímpar, então x não é
par”. Isto é, se x + 3 é par, então x é ímpar.

    Inicialmente, suponha que x + 3 é par. Desse modo existe n∈Z
tal que x + 3 = 2n. Assim, x = 2n – 3 = 2n – 4 + 1 = 2(n-2) + 1.
Conseqüentemente x = 2.m + 1, onde m = n -2 é inteiro. Logo x é
ímpar.

    Exemplo 9. Prove pela contra-positiva que, se o quadrado de um
inteiro é par então x é par.

   A contra-positiva de “n2 par → n par ” é “n ímpar → n2 ímpar”.

   Assuma que n = 2x + 1 com x inteiro.

   Então n2 = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 = 2(2x2 + 2x) + 1 = 2.p + 1, onde
p = 2x2 + 2x é inteiro. Assim, n2 é ímpar.


3.1.3 Prova por contradição (Redução ao absurdo)

   Suponhamos que queremos provar P → Q. Sabemos, porém, que
(P ∧ ¬Q) → Falso. Assim, para provarmos P → Q, admitimos P e não
Q e mostraremos que isso implica algo falso. Veja tabela-verdade
abaixo:


      P     Q     P→Q      ¬Q     P ∧ ¬Q     F     (P ∧ ¬Q) → Falso

      V     V       V        F       F       F            V
      V     F       F       V        V       F            F
      F     V       V       F        F       F            V
      F     F       V       V        F       F            V

   Exemplo 10. Se x é um número par, então x + 3 é ímpar. Aqui, x
é um número par é a hipótese P e a conclusão Q é x + 3 é ímpar.

   Admitimos P e não Q. Isto é, suponhamos que x é um número par
e que x + 3 é par.

   Então, x = 2.n e x + 3 = 2.m para inteiros n e m. Assim, por um lado
x = 2.n e por outro x = 2.m – 3 = 2.m – 4 + 1 = 2.(m-2) + 1, isto é x é
par e x é ímpar, o que é uma contradição. Assim x + 3 é impar.

   Exemplo 11. O conjunto dos números primos é infinito.

   Suponha que o conjunto dos números primos seja finito. Então
existem n primos, a saber: p1, p2, p3, ... , pn.


                                              49
Matemática Discreta



                    Considere o número x = p1, p2, p3, ... , pn + 1. O número x não é
                divisível por nenhum dos primos p1, p2, p3, ... , pn (deixa resto 1). Logo,
                x é mais um primo além dos n primos existente inicialmente. O que
                é uma contradição. Logo, é verdadeira a proposição de que existem
                infinitos primos.




                             Aprenda Praticando - Exercício Proposto 3.1

                      1. Forneça um contra-exemplo para:

                      a) Se x é um inteiro par e y é um inteiro ímpar então o produto x.y
                         é impar.

                      b) Se um número inteiro é primo então o seu quadrado é primo.

                      2. Forneça uma prova direta das seguintes afirmações:

                      a) A soma de dois inteiros ímpares é par.

                      b) A soma de um inteiro ímpar e um par é ímpar.

                      c) O produto de dois inteiros consecutivos é par.

                      d) O quadrado de um inteiro par é divisível por 4.

                   3. Dê uma prova direta para as seguintes proposições ou
                apresente um contra-exemplo.

                      a) O produto de quaisquer três inteiros consecutivos é par.

                      b) A soma de quaisquer três inteiros consecutivos é par.

                      c) O produto de um inteiro pelo seu quadrado é par.

                      d) A soma de um inteiro com o seu cubo é par.

                      e) Se x é um inteiro primo então x + 4 é primo.

                      f) Se a e b são inteiros tais que a divide b e b divide a então a = b.

                      g) Se x é um inteiro positivo então x2 + x + 41 é primo.

                      4. Prove por contradição que:

                      a) A soma de dois inteiros negativos é um inteiro negativo.
                                                                      1
                      b) Se x é um número real tal que x > 0 então        >0
                                                                      x
                                          50
Matemática Discreta



   c) Se a soma de dois números primos é primo então um dos primos
      deve ser 2.

   d) Se x é diferente de zero, então x2 é positivo.

   e) Se n é um inteiro tal que 3.n + 2 é par, então n é par.

   5. Prove ou dê um contra-exemplo:

   a) Se x e y são números irracionais então o produto x.y é
      irracional.

   b) Se n é um inteiro positivo qualquer, então 2n + 1 é primo.

   c) Se n é um inteiro positivo, então n2 – 79n + 1601 é primo.

   6. Prove que o quadrado de um inteiro par é um inteiro par,
usando:

   a) prova direta.

   b) prova indireta

   c) prova por contradição.

   7. Prove que se n é um inteiro ímpar então n3 + 5 é um inteiro par,
usando:

   a) prova direta

   b) prova por contradição

   c) prova pela contra-positiva.

   8. Prove ou dê um contra-exemplo:

   Se x e y são inteiros primos então x.y + 1 é primo




          Conclusão


   Ao final deste terceiro capitulo, você aprendeu sobre técnicas de
provas de teoremas. Dentre elas, destacamos a prova direta, a prova
pela contra-positiva, prova por contradição e aprendeu a fornecer um
contra-exemplo de uma proposição falsa.




                                              51
Matemática Discreta




                            Saiba Mais


                   Caso você queira aprofundar seus conhecimentos sobre técnicas
                de provas, consulte os seguintes livros.

                      GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência
                        da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de
                        Janeiro: LTC, 2004.

                      LIPSChUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas
                         de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004.

                      SChEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma
                        introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo:
                        Pioneira Thomson Learning, 2003.




                                       52
Matemática Discreta



Capítulo 04 - Princípio de
Indução Finita




   O Princípio de Indução Finita é uma técnica freqüentemente
usada para demonstrar proposições sobre números inteiros positivos
do tipo ∀n∈N*, n∈N* → P(n), onde P(n) é uma propriedade relativa
aos números inteiros positivos n.

  Algumas vezes nos defrontamos com afirmações envolvendo os
números naturais, tais como:

   1. P(n) : A soma dos n primeiros números ímpares é n2.

      “1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2”

   2. P(n): A soma dos n primeiros números inteiros positivos é
       n(n + 1)
                .
          2
                                  n(n + 1)
      “1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n =            ”
                                     2
   3. P(n): 22n - 1 é divisível por 3, ∀n ≥ 1, n∈N

    Para verificar se tais afirmações são verdadeiras para qualquer
inteiro n ≥ 1, não basta “testar” a veracidade das fórmulas substituindo
valores específicos para n. Por mais que as igualdades ganhem
credibilidade, não poderemos garantir sua validade para algum valor
de n que não tenha sido testado.

   Vejamos alguns exemplos:

   Exemplo 1. Calculando o valor numérico da expressão P(n) = n2 –
n + 17 em vários casos particulares de números inteiros positivos n


                                               53
Matemática Discreta



                os resultados encontrados são sempre números primos? Vejamos:

                      Para n = 1, temos P(1) = 12 – 1 + 17 = 17 (primo)

                      Para n = 2, temos P(2) = 22 – 2 + 17 = 19 (primo)

                      Para n = 3, temos P(3) = 9 – 3 + 17 = 23 (primo)

                      Para n = 4, temos P(4) = 16 – 4 + 17 = 29 (primo)

                      ...

                  Podemos afirmar que, para todo número inteiro positivo n, P(n) é
                um número primo?

                      É claro que não!

                   Continuando o cálculo até n = 16 encontraremos sempre números
                primos, porém, para n = 17 encontramos que P(17) = 172 - 17 + 17 =
                172 = 17 . 17 que não é primo, pois é divisível por 17.

                      Então, P(n) = n2 – n + 17 não é primo para todo inteiro positivo n.

                   Exemplo 2. Ao somar os n primeiros números ímpares positivos. O
                que encontramos?

                      Se tentarmos valores pequenos de n obtemos:

                      S1 = 1 = 12

                      S2 = 1 + 3 = 22

                      S3 = 1 + 3 + 5 = 32

                      S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 42

                      S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52

                      S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 62

                      S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 72

                   É fácil observar que obtemos quadrados como soma. Na verdade,
                pelos exemplos, a soma dos n primeiros números ímpares positivos
                é

                   Sn = 1 + 3 + 5+ + 7 + ... + (2n-1) = n2. Mas a observação é válida
                apenas para os sete primeiros valores de n.

                   Será que isso é válido para todos os valores de n? Como podemos
                provar essa afirmação?



                                            54
Matemática Discreta



   A demonstração de que uma propriedade P, relativa aos números
naturais, é verdadeira para todo numero natural n ≥ 1, pode ser feita
pelo método que chamamos de Princípio de Indução Finita, que pode
ser enunciado assim:
   Seja P(n) uma proposição que queremos provar que é verdadeira para todo
número natural n ≥ 1. Se provarmos que:

    a) P(1) é verdadeira.

    b) Se P(k) verdadeira implica que P(k+1) é verdadeira, ∀k ≥ 1 então, a
       proposição P(n) é verdadeira, para todo inteiro n ≥ 1.


   Para melhor entender o princípio de indução finita vamos utilizar a
metáfora do dominó. Se você tem uma longa fila de dominós em pé e
você puder assegurar que:

   1. O primeiro dominó cairá quando se aplica uma força suficiente
      na peça do dominó.

   2. Sempre que uma peça de domingo cair, a peça vizinha também
      cairá.

   Então você pode concluir que todas as peças de dominó cairão.




  Como é na prática o principio de indução finita? Alguns exemplos
mostrarão isso.

                                                55
Matemática Discreta



                   Exemplo 3. Queremos provar que a proposição P(n) seguinte é
                verdadeira para todo numero natural n ≥ 1

                                       P(n): 1 + 3 + 5 + 7 ... + (2n - 1) = n.

                      Parte 1. Devemos provar que P(1) é verdadeira, isto é:

                                 1 = 12

                                 1=1

                      Parte 2. Supondo que P(n) é verdadeira para n = k, devemos
                        mostrar que P(n) é verdadeira para n = k + 1.

                   P(k) verdadeira significa que 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k2. Devemos
                mostrar que P(k+1) é também verdadeira, isto é, devemos mostrar
                que:

                      P(k+1): 1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 + 2(k+1) -1 = (k+1)2

                      Como

                      1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 + 2(k+1) -1 =

                      [1 + 3 + 5 + ... + 2k -1] + 2(k+1) -1 =

                      k2 + 2k +1 = (hipótese)

                      (k+1)2

                   Logo, pelo Princípio de Indução Finita, a fórmula vale para todo n
                ≥ 1.

                                                                           n(n + 1)
                      Exemplo 4. Provar que 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n =                , ∀n ≥ 1.
                                                                              2
                      Parte 1. Vamos provar que P(I) é verdadeira. De fato,

                                      1.(1 + 1)     1.(2)
                                 1=             ⇒1=       ⇒ 1 = 1.
                                          2           2
                      Parte 2. Suponha que P(n) seja verdadeira para n = k, isto é, que 1
                                                    k (k + 1)
                         + 2 + 3 + 4 + ... + k =              .
                                                        2
                      Queremos provar que P(k+1) é verdadeira, isto é, que 1 + 2 + 3 + 4
                                          (k + 1)(k + 2)
                + ... + k + (k+1) =                      .
                                                 2
                      Como 1 + 2 + 3 + 4 + ... + k + (k+1) =

                               [1 + 2 + 3 + 4 + ... + k] + (k+1) =




                                              56
Matemática Discreta



          k (k + 1)
                    + (k+1) = (Por hipótese)
              2
          k (k + 1) + 2(k + 1)
                               =
                    2
          (k + 1)(k + 2)
                 2
   Logo, pelo Princípio de Indução Finita, a fórmula vale para todo n
≥ 1.

    Exemplo 5. Mostre que a proposição P(n): 22n - 1 é divisível por 3,
∀n ≥ 1, n∈N é verdadeira.

   Parte 1. Devemos provar que P(1) é verdadeira, isto é, que para n
     = 1, 22.1 – 1 é divisível por 3 (múltiplo de 3).

   De fato, 22.1 – 1 = 22 – 1 = 4 – 1 = 3 (múltiplo de 3).

   Parte 2. Suponha que P(n) seja verdadeira para n = k, isto é, que
     22k - 1 é múltiplo de 3.

   Então 22k - 1 = 3.m para algum inteiro m.

   Quero provar que P(n) é verdadeira para n = k+1. Ou seja, quero
provar que 22(k+1) - 1 é múltiplo de 3.

   Como 22(k+1) - 1 = 22k+2 - 1 = 22k . 22 – 1

        = 22k . 4 - 1 = 22k . 3 + 22k - 1

        = 3. 22k + 22k -1 =

        3. 22k + 3.m = 3(22k + m) múltiplo de 3.

   Logo, pelo Princípio de Indução Finita, a fórmula vale para todo n
≥ 1.

   Exemplo 6. P(n): 2n ≥ n+1, ∀n∈N

   Parte 1. Para n = 0, tem-se que: 20 ≥ 0+1

                                            1 ≥ 1 verdadeiro.

   Parte 2. Devemos mostrar que P(n) é verdadeira para n = k+1
     sempre que P(n) é verdadeira para n = k.

   Ou seja, que 2k+1 ≥ k+2 sempre que 2k ≥ k +1

   Ora, 2k+1 = 2. 2k ≥ 2(k+1) = (hipótese)

               2k + 2 ≥ k + 2

                                                    57
Matemática Discreta



                      Logo, pelo Princípio de Indução Finita, a fórmula vale para todo n
                ≥1

                   Exemplo 7. Seja S(n) o termo geral de uma seqüência tal que S(1)
                = 2 e S(n) = 3*S(n-1) - 1 para n > 1.

                      a) Escreva os cinco primeiros termos de S.

                                                                3n + 1
                      b) Mostre por indução que S(n) =
                                                                  2
                      Solução: a) S(1)= 2,

                                     S(2) = 3.S(1) - 1 = 3.2 - 1 = 5,

                                     S(3) = 3.S(2) - 1 = 3.5 - 1 = 14,

                                     S(4) = 3.S(3) - 1 = 3.14 - 1 = 41,

                                     S(5) = 3.S(4) - 1 = 3.41 - 1 = 122

                                                            3n + 1
                      b) Queremos provar que S(n) =
                                                              2
                                                                     31 + 1   4
                      Parte 1. Para n = 1, temos que S(1) =                 =   = 2.
                                                                       2      2
                      Parte 2. Suponha que S(k) =         3k + 1 , queremos provar que S(k+1)
                                                            2
                             3k+1 + 1
                         =            .
                                2
                      Ora, pelo passo recursivo temos que
                                                   k
                      S(k+1) = 3.S(k) – 1 = 3. 3       +1 - 1
                                                       2
                                   3k +1 + 3      3k +1 + 3 − 2   3k +1 + 1
                               =             −1 =               =           .
                                       2                2             2
                   Exemplo 8. Prove por indução matemática que 23n – 1 é divisível
                por 7, ∀n ≥ 1, n∈N.

                      Parte 1. É claro que para n = 1, 23.1 – 1 = 8 – 1 = 7 é divisível por
                        7.

                      Parte 2. Suponha que para um inteiro k ≥ 1, 23k – 1 seja divisível
                        por 7, ou seja, que existe inteiro m tal que 23k – 1 = 7m.

                    Queremos provar que 23(k+1) – 1 é divisível por 7, isto é, que existe
                inteiro p tal que 23(k+1) – 1 = 3p.



                                            58
Matemática Discreta



   De fato, 23(k+1) – 1 = 23k + 3 – 1

                        = 23k. 23 – 1 = 23k.8 - 1

                        = (23k. 7) + (23k – 1)

   Como 23k. 7 é divisível por 7 e 23k – 1 é divisível por 7 por hipótese,
então 23(k+1) – 1 é divisível por 7, tendo em vista ser soma de dois
números divisíveis por 7.

   Assim, podemos escrever 23(k+1) – 1 = 23k. 7 + 7m = 7(23k + m)

                                            = 7p, com p = 23k + m.

   Exemplo 9. Uma seqüência F(n) é definida recursivamente assim:
F(1) = 3, F(n) = F(n-1) + n, para n>1.

   a) Quais os cinco primeiros termos de F?

                                                 n2 + n + 4
   b) Use indução para provar que F(n) =                    ,n≥1
                                                     2
   a) F(1) = 3,

      F(2) = F(1) + 2 = 3 + 2 = 5,

      F(3) = F(2) + 3 = 5 + 3 = 8

      F(4) = F(3) + 4 = 8 + 4 = 12,

      F(5) = F(4) + 5 = 12 + 5 = 17.

               n2 + n + 4
   b) F(n) =              ,n≥1
                   2
    Queremos provar que a fórmula dá os termos da seqüência 3, 5,
8, 12, 17, ...

                                                 12 + 1 + 4   6
   Parte 1. Para n = 1 temos que F(1) =                     =   = 3, a
                                                     2        2
      fórmula está correta.

                                  k2 + k + 4
   Parte 2. Suponha que F(k) =               , queremos provar que
                                       2
               (k + 1)2 + (k + 1) + 4
     F(k+1) =                         .
                         2
   Ora, pela definição recursiva temos que F(k+1) = F(k) + k+1, logo,
podemos escrever:

               k2 + k + 4
   F(k+1) =                  +k+1
                   2

                                                    59
Matemática Discreta



                                  k 2 + k + 4 + 2k + 2     k 2 + 2k +1+ k +1+ 4
                              =                          +            2
                                            2
                                                           (k +1)2 + (k +1) + 4
                                                         +                      .
                                                                     2
                      Está completa a prova por indução.




                              Aprenda Praticando - Exercício Proposto 4.1




                   1. Nos exercícios seguintes, use a indução matemática para
                demonstrar que os resultados abaixo indicados são válidos para
                qualquer inteiro positivo n. (n ≥ 1)

                      a) 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n2

                      b) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)

                      c) 1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) = n(2n - 1)


                                            60
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  • 2. Universidade Federal Rural de Pernambuco Reitor: Prof. Valmar Corrêa de Andrade Vice-Reitor: Prof. Reginaldo Barros Pró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos Carvalho Pró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti Siepierski Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José Freire Pró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de Sena Coordenação de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos Produção Gráfica e Editorial Capa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira e Italo Amorim Revisão Ortográfica: Marcelo Melo Ilustrações: Allyson Vila Nova e Diego Almeida Coordenação de Produção: Marizete Silva Santos
  • 4. Sumário Plano da Disciplina ...............................................................................6 Ementa ...........................................................................................6 Objetivo Geral.................................................................................6 Objetivos Específicos .....................................................................6 Conteúdo Programático..................................................................6 Referências ....................................................................................7 Apresentação ........................................................................................8 Capítulo 1 - Função: uma ferramenta importante ............................10 1.1 O que é função? ......................................................................... 11 1.2 Domínio e Contradomínio ........................................................... 11 1.3 Função Injetora ...........................................................................13 1.4 Função sobrejetora .....................................................................13 1.5 Função bijetora ...........................................................................14 1.6 Função inversa ...........................................................................15 1.7 Função composta .......................................................................17 1.8 Seqüência ...................................................................................20 Capítulo 2 - Recursão: um método de definição .............................27 2.1 Recursão ....................................................................................27
  • 5. Capítulo 03 - Teoremas e Técnicas de Provas .................................45 3.1 Estratégias de Provas.................................................................47 3.1.1 Prova Direta.........................................................................47 3.1.2 Prova Indireta ......................................................................48 3.1.3 Prova por contradição (Redução ao absurdo) ....................49 Capítulo 04 - Princípio de Indução Finita .........................................53
  • 6. Plano da Disciplina Ementa Conjuntos. Introdução à Lógica Matemática. Portas Lógicas. Somatório. Princípios de Contagem. Matrizes. Relações. Funções. Recursão. Técnicas de provas. Indução Matemática. Objetivo Geral O objetivo geral é abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta que realizam interface com o curso de Sistema de Informação, visando dar a base para a compreensão de conceitos de estruturas de dados, bem como, para dar suporte na construção de algoritmos em seus diferentes níveis de complexidade. Objetivos Específicos • Aprender a encontrar modelos matemáticos que representem certos problemas concretos (noções de modelagem matemática), em especial quando estes se referem a situações práticas • Familiarizar-se com a escrita matemática formal e a linguagem computacional • Representar fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica • Conhecer técnicas de resolução de problemas • Desenvolver a capacidade de raciocínio abstrato (lógico-matemático). Conteúdo Programático Módulo 1 – Fascículo 1 Carga horária do Módulo 1: 20 h • Conjuntos. • Introdução à Lógica Matemática. • Portas Lógicas.
  • 7. Módulo 2 – Fascículo 2 Carga horária do Módulo 2: 20 h Somatório. Princípios de Contagem. Matrizes. Relações Módulo 3 – Fascículo 3 Carga horária do Módulo 3: • Funções. • Recursão. Técnicas de provas. • Indução Matemática. Referências GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Lorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004. SChEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. Livros de referência: ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo McGraw hill:, 1997 ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1995. ROSS, Kenneth A; WRIGhT, Charles R. B. Discrete Mathematics. Prentice hall, 1999. TRUSS, J. K. Discrete mathematics for computer scientist. Addison Wesley. 1999. LIPSChUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004
  • 8. Apresentação Caro (a) cursista, Seja bem-vindo (a) ao terceiro módulo de Matemática Discreta! Ao finalizar a disciplina, abordaremos, neste terceiro fascículo, alguns temas relevantes em aplicações nas áreas de informática, como função, recursão, teoremas e técnicas de provas e o princípio de indução matemática. No primeiro capítulo, você estudará as funções. Estudaremos as funções injetoras, sobrejetoras, bijetoras e a função inversa. Apresentaremos exemplos de funções utilizadas na informática tais como seqüências numéricas, a função mod e a função hash. No segundo capítulo, você descobrirá o que é uma definição recursiva ou indutiva. Serão apresentados exemplos de seqüências e funções definidas recursivamente, objetivando introduzir o conceito de um algoritmo recursivo. No terceiro capítulo, você terá oportunidade de conhecer diversas técnicas de provas de proposições matemáticas, muito úteis na resolução de problemas da disciplina. Por fim, no quarto capítulo será abordado o princípio de indução matemática que é usado quando se quer provar afirmações sobre propriedades dos números naturais. Esperamos que você tenha bom proveito neste terceiro fascículo, estudando com afinco os assuntos e realizando todos os exercícios propostos. Bons estudos!
  • 10. Matemática Discreta Capítulo 1 - Função: uma ferramenta importante Disponível em http://www.ipea.gov.br A figura acima representa o gráfico de uma função que relaciona o percentual da renda total do Brasil auferido em 2004 pelos x% dos brasileiros de menor renda. Constata-se que a renda total dos 60% de menor renda representou apenas 20% da renda total do país e que 60% da renda total correspondem a 20% dos brasileiros de maior renda. Esta curva é chamada Curva de Lorenz e faz parte da prova do ENADE que examinou os estudantes dos cursos das áreas de computação e informática no ano de 2008. O conceito de funções é largamente empregado em todos os ramos de atividade, por isso é comum os testes de avaliação conter questões versando sobre o assunto. No caso da computação e informática, a sua importância torna- se clara quando queremos associar a cada elemento de um conjunto um elemento particular de outro conjunto. Desta forma, podemos definir seqüências e somas, estabelecer relações de causa e efeito, processar informações dos mais diferentes tipos, além de estimar o tempo necessário para que um computador realize uma determinada tarefa num determinado algoritmo. 10
  • 11. Matemática Discreta 1.1 O que é função? Sejam A e B dois conjuntos. Uma função de A em B é a associação de exatamente um elemento de B a cada elemento de A. As seguintes notações são usadas: f: A → B, se f é uma função de A em B. f(a) = b, se b é o único elemento de B associado pela função f ao elemento a de A. 1.2 Domínio e Contradomínio Se f é uma função de A em B, diz-se que A é o domínio de f e B é o contradomínio de f. Se f(a) = b, diz-se que b é a imagem de a por f. Chama-se também de imagem de f o conjunto de todas as imagens dos elementos de A, denotado por Im(f). Se f é uma função de A em B, diz-se que f mapeia A em B. A figura acima apresenta uma função cujo domínio é A = {1, 4, 7} e contradomínio B ={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e conjunto imagem Im(f) = {6, 9, 12}. Apresentaremos a seguir exemplos de funções, a maioria empregada em construções nas áreas de computação. Exemplo 1. Consideremos que f seja uma função que associa um número a cada um dos cursos de uma faculdade, de modo que esse número represente a demanda (relação candidato/vaga) para cada um dos seus cursos no Vestibular de 2009. Se domínio da função f é o conjunto C = {Administração, Direito, Sistema de Informação, Fonoaudiologia, Fisioterapia, Psicologia, Relações Internacionais, Turismo}. O contradomínio é o conjunto dos números reais. Podemos escrever, por exemplo, f(Direito) = 7,8; f(Administração) = 2,6; f(Fisioterapia) = 7,4 ; f(Psicologia) = 5,4 e f(Sistemas de Informação) 11
  • 12. Matemática Discreta = 2,0, f(Relações Internacionais) = 1,4, f(Fonoaudiologia) = 1,7, f(Turismo) 2,4. Exemplo 2. Seja S o conjunto de todas as pessoas do Recife cadastradas na Receita Federal e T o conjunto de todos os CPF. A função f: S → T associa cada pessoa x ao seu CPF y. Exemplo 3. Se f é uma função de Z para Z que associa a cada inteiro o seu quadrado. Neste caso, f(x) = x2, onde o domínio é o conjunto dos números inteiros, assim como o contradomínio é conjunto dos números inteiros. A imagem de f é constituída de todos os inteiros não negativos. Exemplo 4. Em linguagens de programação, domínio e o contradomínio das funções são sempre especificados. Tomemos por exemplo a declaração de uma função em Pascal seguinte: function QUAD (x: real): real Ela especifica que o domínio da função QUAD é o conjunto dos números reais e o contradomínio é o conjunto dos números reais. Exemplo 5. A definição de função inclui função de mais de uma variável. Podemos ter uma função f: A1xA2xA3 → B, que associa a cada terno do produto cartesiano A1xA2xA3 um elemento de B. Por exemplo, f : Z x N x {1, 2} → Z, dada por f(x, y, z) = xy +z . Podemos escrever: f(-4, 3, 1) = (-4)3 + 1 = -64 + 1 = 63. Exemplo 6. A função chão f(x) = x associa a cada número real x o maior inteiro menor ou igual a x. A função teto g(x) = x associa a cada real x o menor inteiro maior ou igual a x. Ambas são funções de R em Z. Como exemplo, temos: f(2,35) = 2,35 = 2, f(0,9) = 0, g(4,78) = 4,78 = 5 e g(-1,3) = -1. Exemplo 7. Considere x um número real. O valor inteiro de x, denotado por INT(x), converte x em um inteiro deletando a parte fracionária de x. É uma função de R em Z. Exemplos: INT(7,85) = 7 INT(-4,9) = -4. Exemplo 8. O valor absoluto de um número real x, denotado por ABS(x) é definido como o maior dos valores entre x e –x. É uma função de R em R+. Pois, ABS(-3) = 3, ABS(4,7) = 4,7 e ABS(0) = 0. Exemplo 9. Dado um inteiro positivo m, a função f : N → N definida por f(x) = resto da divisão euclidiana de x por m, m > 0, será denotada por f(x) = xmod m. É também chamada função mod m. 12
  • 13. Matemática Discreta Por exemplo, para m = 5, temos que: f(7) = 7mod 5 = 2, f(2) = 2mod 5 = 2, f(13) = 13mod 5 = 3, f(8) = 3, f(10) = 10mod 5 = 0, f(5) = 5mod 5 = 0. 1.3 Função Injetora Uma função f é dita injetora (ou injetiva) se, e somente se, x ≠ y então f(x) ≠ f(y), para quaisquer x e y do domínio de f. Figura 1 Figura 2 O gráfico mostrado na figura acima à esquerda, ilustra uma função definida no conjunto A em B. Como elementos diferentes do domínio a função tem imagens diferentes, então f é injetora. A figura acima à direita ilustra uma função não injetora, pois existem dois elementos diferentes com a mesma imagem. Exemplo 10. A função f: N em N tal que f(n) = 2n é uma função n n injetora, pois se n1 ≠ n2 então 2 1 ≠ 2 2 . Mas a função f(x) = x2, definida em Z, não é injetora, pois se tomarmos x = -2 e x = 2, obteremos f(2) = f(-2) = 4. Exemplo 11. A função f: N em N, tal que f(n) = nmod 3 é uma função que não é injetora, pois, existem diferentes valores de N com a mesma imagem. De fato, f(0) = 0, f(3) = 0, f(6) = 0, f(1) = 1, f(4) = 1, f(9) = 1, f(2) = 2, f(5) = 2, f(11) = 2. 1.4 Função sobrejetora Uma função f de A em B é dita sobrejetora se e somente se para cada elemento b∈B existe um elemento a∈A tal que f(a) = b. 13
  • 14. Matemática Discreta O gráfico da figura acima à esquerda ilustra uma função de A em B. Como para cada um dos três elementos do contradomínio B faz parte do conjunto imagem de f, a função é sobrejetora. O gráfico acima à direita ilustra uma função que não é sobrejetora, pois existem elementos no conjunto B que não são imagem de nenhum elemento de A. Observe que a figura à esquerda é o gráfico de uma função sobrejetora, mas não injetora! 1.5 Função bijetora Uma função é dita bijetora se ela é injetora e sobrejetora. O gráfico acima refere-se a uma função f de X = {a, b, c, d} em Y = {A, B , C, D}, com f(a) = A, f( b) = B, f(c) = C e f(d) = D. Como cada valor do domínio a função tem um valor diferente de imagem e como cada um dos elementos do contradomínio faz parte do conjunto imagem da função, ele é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, ou seja, bijetora. Outro exemplo de função bijetora pode ser construído considerando como domínio um grupo de pessoas e como contradomínio o conjunto 14
  • 15. Matemática Discreta das impressões digitais dessas pessoas. É impossível que duas pessoas compartilhem exatamente as mesmas impressões digitais. Além disso, todas as impressões digitais pertencem a não mais que uma pessoa. 1.6 Função inversa Seja f uma função bijetora de A em B. A função inversa de f é a função que associa a um elemento b∈B um único elemento a∈A tal que f(a) = b. Esta função é representada por f-1. Nesse caso escrevemos f-1(b) = a A figura abaixo ilustra a função inversa da função f de X = {a, b, c, d} em Y = {A, B, C, D}, com f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C e f(d) = D. Assim, temos f-1(A) = a, f-1(B) = b, f-1(C) = c e f-1(D) = d. Exemplo 12. A função mod tem muitas aplicações em Matemática Discreta e Ciência da Computação. Uma das mais importantes aplicações envolve a criptologia, que trata do estudo das mensagens secretas. Uma das formas de escrever mensagens secretas é associar uma letra do nosso alfabeto a outra letra. Por exemplo, cada letra do nosso alfabeto (que contém 26 letras) está associada a sua posição no alfabeto. Por exemplo, a letra A ocupa a posição 0, a letra B a posição 1 e a letra E, a posição 4, de modo que Z ocupa a posição 25. 15
  • 16. Matemática Discreta a b c d e f g h i j k l m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n o p q r s t u v w x y z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Assim, podemos construir uma mensagem secreta por meio da troca de uma letra que ocupa a posição p pela letra que ocupa a 3ª posição após a letra p. Assim: A função definida por f(p) = (p + 3)mod 26 tem a ação de cifrar a mensagem por meio da troca da letra de posição p pela letra que ocupa a posição representada pelo número (p + 3)mod 26. Se quisermos enviar a seguinte mensagem “O SPORT ESTÁ EM ALTA”, faríamos a seguinte mensagem codificada: 17 21 18 17 20 22 7 21 22 3 7 15 3 14 22 3 R V S R U X h V X D h P D O W D Ao receber a mensagem, para decodificar, o receptor usaria a função inversa de f, dada por f-1(p) = (p-3)mod 26. De modo que f-1(17) = (17 - 3)mod 26 = 14mod 26 = 14 f-1(21) = (21-3)mod 26 = 18 e, assim por diante, de modo que a mensagem decifrada seria: 14 18 15 14 17 19 4 18 19 0 4 12 0 11 19 0 O S P O R T E S T Á E M A L T A 16
  • 17. Matemática Discreta Atenção Uma função injetora, mas não sobrejetora, não é inversível, pois não temos como associar cada elemento do contradomínio com o elemento correspondente no domínio. Isto ocorre porque para alguns pontos do contradomínio, esta associação não existe, conforme pode ser observado na figura 4. Analogamente, uma função sobrejetora, mas não injetora, não é inversível, pois pelo menos para um ponto do contradomínio, teremos dois pontos correspondentes, conforme pode ser observado na figura 3. 1.7 Função composta Considere a função g de A em B e a função f de B em C, a função composta de f e g é a composição das funções f e g, escrita f o g, definida como: (f o g) (x) = f (g(x)) A figura abaixo ilustra o conceito de composição de funções f e g. Exemplo 13. Sejam f e g as funções do conjunto dos inteiros no conjunto dos inteiros, definidas como: f(x) = 5x + 2 e g(x) = -2x + 4. Qual a composição f o g? E g o f? (f o g) (x) = f (-2x + 4) = 5(-2x + 4) + 2 = -10x + 20 + 2 = -10x + 22 17
  • 18. Matemática Discreta (g o f) (x) = g(5x + 2) = -2(5x + 2) + 4 = -10x – 4 + 4 = -10x Exemplo 14. Neste exemplo, recordaremos a representação de números nas bases decimal, binária e hexadecimal. Considere a função f definida no conjunto dos números naturais escritos na base decimal por f(x) = xbase 2 e g(x) = xbase 16. A função composta f(g(x)) transforma um número natural escrito na base dez em um número natural na base dois. Assim: para x = 21base 10, temos f(g(21base 10)) = f(15base 16) = 10101base 2. para x = 10base 10, temos f(g(10)) = f(A) = 1010base 2. para x = 200base 10, temos f(g(200)) = f(C8) = 11001000base 2. Exemplo 15. Se quisermos armazenar e recuperar informações de forma eficiente em termos de espaço de armazenamento e de tempo de recuperação, podemos supor que os dados estejam armazenados em uma tabela e usar a chave de identificação (por exemplo, a matrícula de alunos, CPF, RG, etc). Quando o número de entradas identificadas pelas chaves é muito superior ao número de registros efetivamente armazenados (como o cadastro de clientes de uma empresa usando o CPF como chave), como podemos proceder, sem que isso resulte em um espaço de armazenamento excessivamente grande? Suponha que o conjunto das chaves identificáveis C = {k1, k2, k3, ... , km}, n seja o número de entradas na tabela e que m seja possivelmente muito maior que n, podemos definir uma função hash: C → {1, 2, 3, ... , n}, dito função de endereçamento, função de randomização ou função de hashing, da seguinte forma: hash (k) = (kmod n) + 1 Considere uma chave de identificação numérica constituída de números entre 0 e 1000 e uma tabela de armazenamento com entradas de 1 a 17. Assim, a função de hash que podemos definir é hash (k) = (kmod 17) + 1 Abaixo apresentamos um conjunto de valores de chaves e os correspondentes endereços de armazenamento, calculados pela função hash: Chave k 365 634 2178 7615 730 974 2065 1222 3417 Endereço 9 6 3 17 17 6 9 16 1 18
  • 19. Matemática Discreta A função ideal é aquela que gera para cada chave um endereço diferente, isto é, uma função injetiva, de modo que se k1 ≠ k2 se tenha f(k1) ≠ f(k2). A função hash, acima definida, não é injetora, de modo que pode gerar o mesmo endereço para chaves diferentes, correndo assim colisões na alocação dos dados. Observe que hash(365) = hash(2065) = 9, hash(7615) = hash(730) = 17. Para se obter o efeito de uma função injetora no cálculo do endereçamento serão utilizados métodos de tratamento de colisões que são estudados em profundidade na disciplina Estruturas de Dados. Exemplo 16. Existem vários métodos de tratamento de colisões. Um deles chama-se endereçamento aberto. Nesse caso, é necessário que m > n e consiste em procurar sucessivos endereços alternativos para o novo registro até que um endereço livre seja encontrado. Usa- se uma função hi(k) com i variando de 0 até n-1: hi(k) = ((k)mod n + f(i))mod n onde f(i) pode ser f(i) = i, f(i) = i2, etc. Se tomarmos hi(k) = ((k)mod 7 + i)mod 7 teremos um endereçamento aberto com teste linear. Para armazenar seqüencialmente os registros com chaves {33, 44, 63, 66, 84, 93} teremos: k i hi(k) = (kmod 7 + i)mod 7 Situação 33 0 hi(33) = (33mod 7 + 0)mod 7 = (5 + 0)mod 7 = 5mod 7 = 5 ok 44 0 hi(44) = (44mod 7 + 0)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2mod 7 = 2 ok 63 0 hi(63) = (63mod 7 + 0)mod 7 = (0 + 0)mod 7 = 0mod 7 = 0 ok 66 0 hi(66) = (66mod 7 + 0)mod 7 = (3 + 0)mod 7 = 3mod 7 = 3 ok 84 0 hi(84) = (84mod 7 + 0)mod 7 = (0 + 0)mod 7 = 0mod 7 = 0 Colisão 1 hi(84) = (84mod 7 + 1)mod 7 = (1 + 0)mod 7 = 1mod 7 = 1 ok 93 0 hi(93) = (93mod 7 + 0)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2mod 7 = 2 Colisão 1 hi(93) = (93mod 7 + 1)mod 7 = (2 + 1)mod 7 = 3mod 7 = 3 Colisão 2 hi(93) = (93mod 7 + 2)mod 7 = (2 + 2)mod 7 = 4mod 7 = 4 ok Os dados serão alocados nos seguintes endereços: 0 1 2 3 4 5 6 63 84 44 66 93 33 19
  • 20. Matemática Discreta 1.8 Seqüência Uma seqüência é uma função definida em um subconjunto dos números naturais com imagens num subconjunto dos números reais. A imagem de um número natural n é denotada por F(n). Usamos a notação {F(n)} para descrever uma seqüência. O termo F(n) é o termo de ordem n ou termo geral da seqüência (definição fechada). 1 Exemplo 16: Considere a seqüência cujo termo geral é F(n) = . n 1 1 A lista dos termos da seqüência é F(1) = 1, F(2) = , F(3) = , F(4) 2 3 1 1 = , F(5) = . 4 5 Exemplo 17. a) Os cinco primeiros termos da seqüência definida por A(n) = 2 + 3(n-1) são: A1 = 2, A2 = 5, A3= 8, A4= 11, A5 = 14. Observe que trata-se de uma Progressão Aritmética (PA) cujo termo inicial é 2 e razão r = 3. Lembre-se que, uma P.A. de termo inicial A1 e razão r, tem termo geral A(n) = A1 + (n-1).r b) Os cinco primeiros termos da seqüência definida por A(n) = 3. 2n-1 são: A1 = 3, A2 = 6, A3 = 12, A4 = 24, A5 = 48. Trata-se de uma Progressão Geométrica (PG) cujo termo inicial é 3 e razão q = 2. 20
  • 21. Matemática Discreta Recorde que, uma PG de termo inicial A1 e razão q, tem termo geral A(n) = A1.qn-1. Exemplo 18. Calcular os termos A1, A2, A3 e A4 das seguintes seqüências {An} cujo termo geral Na, n ≥ 1, é definido por: a) An = n2 b) An = 1 + 10n c) An = (-1)n.n d) An = 2n + 1 e) An = n! f) An = 2 + 3(n-1) Solução: a) 1, 4, 9, 16 b) 11, 101, 1001, 10001 c) -1, 2, -3, 4 d) 3, 5, 9, 17 e) 1, 2, 6, 24 f) 2, 5, 8, 11 Exemplo 19. Escrever uma definição fechada (ou termo geral) para as seguintes seqüências numéricas: a) 19, 14, 9, 4, ... b) 400, 200, 100, 50, ... c) 17, 27, 37, 47, 57, ... d) 7, 97, 997, 9997, ... e) 2, -2, 2, -2, 2, ... f) 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, ... g) 1, 3, 6, 10, 15, ... h) 1, 2, 5, 10, 17, ... Solução: 400 a) A(n) = 24 – 5n , n ≥ 1 b) A(n) = ,n≥1 2n−1 c) A(n) = 7 + 10n, n ≥ 1 d) A(n) = 10n - 3, n ≥ 1 1 e) A(n) = (-1)n + 1 . 2, n ≥ 1 f) A(n) = ,n≥1 2n − 1 n(n + 1) g) A(n) = ,n≥1 h) A(n) = 1 + (n - 1)2, n ≥ 1 2 Aprenda Praticando - Exercício Proposto 1.1 Agora é com você... Apresentamos vários exercícios sobre função. Você deve procurar solucioná-los e caso tenha alguma dificuldade discuta com seus colegas nos chats que foram formados. Além disso, 21
  • 22. Matemática Discreta procure orientação dos professores executores e tutores da disciplina nos fóruns de discussão. Apresentaremos as respostas dos exercícios de números pares. 1. Verificar se cada uma das funções definidas abaixo é injetora, sobrejetora e bijetora: a) f : {1, 2, 3} → {a, b, c} f = {(1,a), (2,b), (3,c)} b) g : {1, 2, 3} → {a, b, c, d} g = {(1,a), (2,b), (3,c)} c) h ; {1, 2, 3} → {1, 2, 3} h = {(1, 2) , (2,1), (3,2)} d) p : N → N p (j) = j2 + 2 e) m : N → N m(x) = (x)mod 5 f) q : N → N q(j) = 1 se j é ímpar q(j) = 0 se j é par g) r : N → {0, 1} r(j) = 1 se j é ímpar r(j) = 0 se j é par h) t : {0, 1, 2, 3, ..., 6} → {0, 1, 2, 3, ..., 6} t(x) = (3x)mod 7 i) f : Z → Z tal que f(x) = 10 + x j) f: N → N tal que f(x) = 10 + x k) g: Z → Z tal que f(x) = x/2 se x é par e f(x) = (x - 1)/2 se x é impar. l) f: N → Z tal que f(x) = - x/2 se n é par e f(x) = (x + 1)/2 se x é impar. 2. Determine quais das seguintes funções de R em R são bijetoras. Apresente a função inversa, quando existir. a) f(x) = 3x + 4 b) f(x) = -3x2 + 7 c) f(x) = (x+1) / (x2+2) d) f(x) = x5 –1 e) f(x) = x 3. Para cada uma das funções bijetora f de R em R, encontre a inversa f-1. a) f(x) = 2x b) f(x) = x3 c) f(x) = (2x + 4)/3 4. Dê uma fórmula explícita para uma função do conjunto dos inteiros Z com imagens no conjunto dos inteiros Z tal que seja: a) injetora e não sobrejetora. b) sobrejetora e não injetora. 22
  • 23. Matemática Discreta c) injetora e sobrejetora. d) não injetora e não sobrejetora. 5. Sejam f, g: N → N, definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = 3x Calcule o seguinte: a) f o g b) g o f c) f o f d) g o g e) f o g o f f) g o g o f 6. Sejam f e g as funções do conjunto dos inteiros no conjunto dos inteiros, definidas como: f(x) = 5x + 2 e g(x) = -2x + 4. Qual a composição de f o g e g o f? 7. As funções a seguir são aplicações de R em R. Forneça equações que descrevam as funções compostas g o f e f o g para cada item. a) f(x) = 6x3 , g(x)= 2x b) f(x) =x , g(x) = x 8. As funções a seguir são aplicações de R em R. Forneça equações que descrevam as funções compostas g o f e f o g para cada item. a) f(x) = (x-1)/2 , g(x) = 4x2 x +1 x −1 b) f(x) = , g(x) = x −1 x +1 9. Para cada uma das seguintes funções de hash, abaixo, mostre como os dados seriam inseridos na ordem dada supondo inicialmente células vazias. Use tratamento de colisões o endereçamento aberto com teste linear. a) hash(x) = (xmod 11 + i)mod 11, células indexadas de 0 a 10, dados: 53, 13, 281, 743, 377, 20, 10, 796. b) hash(x) = (xmod 17 + i)mod 17 células indexadas de 0 a 16, dados: 714, 631, 26, 373, 775, 906, 509, 2032, 42, 4, 136, 1028. 10. Armazenar seqüencialmente os registros com chaves {33, 44, 65, 66, 84, 93} numa tabela hash de tamanho 7 com tratamento de colisões endereçamento aberto com teste quadrático, dado por hi(k) = (kmod 7 + i2)mod 7, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 23
  • 24. Matemática Discreta Respostas dos Exercícios 1.1 x−4 2. a) f(x) = 3x + 4 é bijetora e a função inversa é f-1(x) = . 3 b) f(x) = -3x2 + 7 não é uma função injetora, pois, f(2) = f(-2) = -5. Além disso, não é sobrejetora em R. De fato, não existe x∈R, tal que f(x) = 10. c) f(x) = (x+1) / (x2+2) não é sobrejetora. Por exemplo, não existe x∈R, tal que f(x) = 1. Se existisse, teríamos, (x+1)/(x2+2) = 1, ou seja, x2 + 2 = x + 1, que acarreta x2 - x + 1 = 0. Esta equação não tem solução real, pois ∆ = b2 - 4ac = -3. d) f(x) = x5 – 1 é bijetora. A inversa é f-1(x) = 5 x +1. e) f(x) = x não é injetora nem sobrejetora. Observe que f(1,3) = f(1,4) = 1 e que não existe x∈R tal que f(x) = 0,5. 4. a) f(x) = 3x + 1 se x ≥ 0, f(x) = 3x + 2 se x < 0 b) f(x) = x2 se x > 0, f(x) = -x2 + 8, se x ≤ 0. c) f(x) = 2x + 1 se x∈Z d) f(x) = x2 + 2 se x∈Z 6. (f o g)(x) = f(-2x + 4) = 5(-2x + 4) + 2 = -10x + 20+ 2 = -10x + 22 (g o f) (x) = g (5x + 2) = -2(5x + 2) + 4 = -10x – 4 + 4 = -10x 2 x −1  x −1  8. a) g(f(x)) = g( )= 4  = ( x − 1)2 2  2  4 x2 −1 f(g(x)) = f(4x ) = 2 2 x +1 −1 1 x +1 x −1 = b) g(f(x)) = g( )= x −1 x +1 x +1 x −1 x −1 +1 x −1 ) = x +1 f(g(x)) = f( = −x x +1 x −1 −1 x +1 24
  • 25. Matemática Discreta 10. k i h(k) = (kmod 7 + i2)mod 7 Situação 33 0 h(33) = (33mod 7 + 02)mod 7 = (5 + 0)mod 7 = 5 ok 44 0 h(44) = (44mod 7 + 02)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2 ok 65 0 h(65) = (65mod 7 + 02)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2 Colisão 1 h(65) = (65mod 7 + 12)mod 7 = (2 + 1)mod 7 = 3 ok 66 0 h(66) = (66mod 7 + 02)mod 7 = (3 + 0)mod 7 = 3 Colisão 1 h(66) = (66mod 7 + 12)mod 7 = (3 + 1)mod 7 = 4 ok 84 0 h(84) = (84mod 7 + 02)mod 7 = (0 + 0)mod 7 = 0 ok 93 0 h(93) = (93mod 7 + 02)mod 7 = (2 + 0)mod 7 = 2 Colisão 1 h(93) = (93mod 7 + 12)mod 7 = (2 + 1)mod 7 = 3 Colisão 2 h(93) = (93mod 7 + 22)mod 7 = (2 + 4)mod 7 = 6 ok Os dados serão alocados nos seguintes endereços: 0 1 2 3 4 5 6 84 44 65 66 33 93 Conclusão No primeiro capítulo deste fascículo você aprendeu sobre as funções, como podem ser utilizadas em aplicações da informática e computação. Em particular, conheceu a função mod e a função hash, que serão empregadas em aplicações da disciplina Estrutura de Dados. Saiba Mais Você poderá aprender muito mais sobre funções, consultando os seguintes livros e sites: GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência 25
  • 26. Matemática Discreta da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004. LIPSChUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004. SChEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. Orientação de Estudos O exemplo 12 deste capítulo versou sobre processos de transmissão de informações de forma segura, como por exemplo, informações de dados financeiros pela internet. Nesse processo usamos uma chave de codificação. Daí, a informação é codificada e enviada ao receptor. Ao recebê-la, o receptor pode decodificá-la usando uma chave de decodificação. No sistema criptográfico com chave pública, a chave de decodificação pode ser obtida da chave de decodificação. O sistema criptográfico com chave pública inventado por R. L. Rivest, A. Shamir e L. Adleman usa a função mod e alguns conceitos da teoria dos números inteiros. Se você tem interesse no assunto, leia os livros acima indicados que tratam do assunto de uma forma muito simples e visite os seguintes sites: http://www.upis.br/revistavirtual/Cavalcante_%20Teoria%20dos%20 N%FAmeros%20e%20Criptografia_2005_UPIS.pdf http://www.infowester.com/criptografia.php http://domenico-deri.sites.uol.com.br/exemplos.html http://www.penta.ufrgs.br/gere96/segur/cripto_.htm 26
  • 27. Matemática Discreta Capítulo 2 - Recursão: um método de definição O que é recursão? A figura acima é um triângulo eqüilátero. No seu interior, maior triângulo eqüilátero branco de lado L1 tem em cada um de seus lados, L1 vértices de um triângulo eqüilátero de lado L2 = . Por sua vez, cada 2 triângulo eqüilátero de lado L2, tem em cada um dos seus lados, vértices L2 de triângulos eqüiláteros de lados L3 = , e assim sucessivamente. 2 De modo que a figura mostra uma sucessão de triângulos eqüiláteros Ln−1 de lados Ln = , onde o lado de cada triângulo é metade do lado 2 do triângulo anterior. Essa é uma figura construída por recorrência! Faremos agora uma definição de recursão. 2.1 Recursão Uma definição na qual o item que está sendo definido aparece como parte da definição é chamada definição recursiva ou indutiva. Isto é, o item é definido por meio de uma regra que permite calcular qualquer caso do item em função do item ou dos itens anteriores. Assim, uma definição recursiva é constituída de duas partes: a) Um passo inicial, onde alguns casos simples do item que está sendo definido são dados explicitamente e, 27
  • 28. Matemática Discreta b) Um passo indutivo ou recursivo, onde os outros casos do item que está sendo definido são dados em termos dos casos anteriores. Como podemos fazer uso de uma definição recursiva? Podemos usar recursão para definir funções ou operações, algoritmos, conjuntos e seqüências. Atenção Lembre-se: Toda definição recursiva é constituída por duas partes. A primeira parte é do passo inicial, onde serão fornecidos os dados iniciais do item que se define. A segunda parte é o passo recursivo, onde é feita de forma recorrente o calcule dos demais itens em termos dos itens anteriores. Exemplo 1: Uma seqüência é definida recursivamente, explicitando-se seu primeiro valor (ou seus primeiros valores) e, a partir daí, definindo-se outros valores na seqüência em termos dos valores iniciais. A seqüência 3, 6, 12, 24, ... é definida recursivamente por: Passo inicial: A(1) = 3 Passo Recursivo: A(n) = 2 . A(n-1), para n ≥ 2 O cálculo do 5º termo se faz assim: A(5) = 2 . A(4) A(4) = 2 . A(3) A(3) = 2 . A(2) A(2) = 2 . A(1) A(1) = 3 A(2) = 2 . 3 = 6 A(3) = 2 . 6 = 12 A(4) = 2 . 12 = 24 A(5) = 2 . 24 = 48 28
  • 29. Matemática Discreta Exemplo 2: A seqüência 2, 5, 8, 11, 14, ... é definida recursivamente por: Passo inicial: A(1) = 2 Passo recursivo: A(n) = A(n-1) + 3, para n ≥ 2 Para calcular recursivamente o quinto termo A(5) procedemos assim: A(5) = A(4) + 3 A(4) = A(3) + 3 A(3) = A(2) + 3 A(2) = A(1) + 3 A(1) = 2 A(2) = 2 + 3 = 5 A(3) = 5 + 3 = 8 A(4) = 8 + 3 = 11 A(5) = 11 + 3 = 14 Exemplo 3: A seqüência de Fibonacci é definida recursivamente por: Passo inicial: F(1) = 1, F(2) = 1 Passo recursivo: F(n)= F(n-1) + F(n-2), n ≥ 3 é constituída dos termos 1, 1, 2, 3, 5, 8 ,13, 21, 34, ... Calcule recursivamente F(6). F(6) = F(5) + F(4) F(5) = F(4) + F(3) F(4) = F(3) + F(2) F(3) = F2) + F(1) F(2) = 1 F(1) = 1 F(3) = 1 + 1 = 2 F(4) = 2 +1 = 3 29
  • 30. Matemática Discreta F(5) = 3 + 2 = 5 F(6) = 5 +3 = 8 Exemplo 4: Uma função pode ser definida por recursividade. Por exemplo, a função MDC calcula o máximo divisor comum de dois inteiros positivos, pode ser definida assim: MDC(x, y) = y se x ≥ y e xmod y = 0 MDC(x, y) = MDC(y,x) se x < y MDC(x, y) = MDC(y, xmod y) caso contrário. O cálculo do MDC de x = 72 e y = 20 se processa dessa maneira: MDC (72, 20) = MDC(20, 12) = MDC (12, 8) = MDC(8, 4) = 4 Exemplo 5. Recursão em programação refere-se a um procedimento ou função que chama a si mesmo, um módulo recursivo. Para alguns tipos de problemas um módulo recursivo possibilita soluções mais simples e “naturais”, conforme exemplo seguinte: {Função recursiva para multiplicação de dois inteiros. Efetua a multiplicação por somas sucessivas.} função multiplica (m, n: inteiro): inteiro {Executa multiplicação utilizando somas sucessivas. Entrada: dois operandos m e n e assume que n > 0 Saída: Retorna m * n inicio {multiplica} se n = 1 então multiplica : = m senão multiplica : = m + multiplica (m , n –1); fim {multiplica} Observação: Para definir um módulo recursivo, precisamos identificar dois elementos: o passo recursivo e a condição de parada. No exemplo citado, a condição de parada é satisfeita quando n = 1, enquanto o passo recursivo aparece na linha “multiplica: = m + multiplica (m, n – 1)” onde aparece a função chamando ela mesma. De um modo geral, um módulo recursivo segue o algoritmo seguinte: 30
  • 31. Matemática Discreta se <condição de parada é satisfeita> então Resolva senão Divida o problema num caso mais simples utilizando recursão. No exemplo acima, qual o valor de saída para m = 5 e n = 4? multiplica(5,4) = 5 + multiplica(5,3) multiplica(5,3) = 5 + multiplica(5,2) multiplica(5,2) = 5 + multiplica(5,1) multiplica(5,1) = 5 multiplica(5,2) = 5 = 5 = 10 multiplica(5,3) = 5 + 10 = 15 multiplica(5,4) = 5 + 15 = 20 Exemplo 6. Forneça uma definição recursiva para cada uma das seguintes sequências: a) 7, 97, 997, 9997, ... b) sequência T(n) de números triangulares: T(1) = 1 T(2) = 3 T(3) = 6 T(4) = 10 n=1 n=2 n=3 n=4 c) 231 é um número triangular? d) Quais os números triangulares entre 200 e 300? a) A seqüência 7, 97, 997, 9997, ... tem termo geral A(n) = 10n – 3, com n ≥ 1. Logo, podemos escrever A(n-1) = 10n-1 -7, de modo que: 10 . A(n-1) = 10(10n-1 – 3) = 10n – 30 = (10n – 3) - 27 = A(n) – 27. Assim, A(n) = 10.A(n-1) + 27 para n ≥ 2, A(1) = 7 é a definição recursiva da seqüência. 31
  • 32. Matemática Discreta b) Observe que T(1) = 1, T(2) = T(1) + 2, T(3) = T(2) + 3, logo T(n) = T(n-1) + n , para n ≥ 2. A definição recursiva é T(1) = 1, T(n) = T(n-1) + n, n ≥ 2. n2 + n c) Uma fórmula fechada para T(n) é T(n) = para n ≥ 1 (Prove). 2 Assim, para 231 seja um número triangular, devemos encontrar n tal n2 + n que 231 = . Isto é, n2 + n - 462 = 0. Resolvendo a equação, 2 −1 ± 1 + 1848 −1 ± 43 temos que n = = . Assim, T(21) = 231. 2 2 d) 231, 253, 276 e 300. Exemplo 7. A função chão f(x) = x associa a cada número real x o maior inteiro menor ou igual a x. Definimos a seqüência T por: T(1) = 1 T(n) = 2 . T ( n/2 ) para n ≥ 2. Vamos calcular recursivamente T(73). T(73) = 2 . T( 73/2 ) = 2 . T(36) = T(36) = 2 . T ( 36/2 ) = 2 . T(18) = T(18) = 2 . T ( 18/2 ) = 2 . T(9) T(9) = 2 . T ( 9/2 ) = 2 . T (4) T(4) = 2 . T ( 4/2 ) = 2 . T(2) T(2) = 2 . T ( 2/2 ) = 2 . T(1) T(1) = 1 T(2) = 2 . 1 = 2 T(4) = 2 . 2 = 4 T(9) = 2 . 4 = 8 T(18) = 2 . 8 = 16 T(36) = 2 . 16 = 32 T(73) = 2 . 32 = 64 Exemplo 8. Considere o seguinte algoritmo recursivo em C que 32
  • 33. Matemática Discreta ordena os elementos de uma lista L= [L(1), L(2), L(3), ... , L(j)] onde j é o comprimento da lista: Lista ORD(lista L, int J) if (J == 1) { return L; A lista está ordenada, imprima a lista. } else if (J > 1) { Procure o índice I entre 1 e J do maior elemento tal que L(I) > L(J) Troque L(I) por L(J) return ORD(L, J-1); } Simule a saída para a entrada L= [2, 7, 4, -3, 8, 5] e j = 6 Solução: ORD([2, 7, 4, -3, 8, 5], 6) = [2, 7, 4, -3, 5, 8] ORD([2, 7, 4, -3, 5, 8], 5) = [2, 5, 4, -3, 7, 8] ORD([2, 5, 4, -3, 7, 8], 4) = [2, -3, 4, 5, 7, 8] ORD([2, -3, 4, 5, 7, 8], 3) = [2, -3, 4, 5, 7, 8] ORD([2, -3, 4, 5, 7, 8], 2) = [-3, 2, 4, 5, 7, 8] ORD([2, -3, 4, 5, 7, 8], 1) = [-3, 2, 4, 5, 7, 8] Exemplo 9. Considere a função F definida no conjunto dos números naturais do seguinte modo: F(1) = 1 F(n) = n + F(n-1) para n ≥ 2. Vamos calcular F(5). F(5) = 5 + F(4) = 5 + 4 + F(3) = 5 + 4 + 3 + F(2) = 5 + 4 + 3 + 3 + 2 + F(1) =5+4+3+2+1 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15. Você percebeu que F(n) é a soma de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n? n Assim, F(n) = ∑ i = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n. i =1 33
  • 34. Matemática Discreta Aprenda Praticando - Exercício Proposto 2.1 Chegou a sua vez! Apresentamos vários exercícios sobre recursão. Você deve tentar solucioná-los e caso tenha alguma dificuldade, discuta com seus colegas nos chats que foram formados. Procure orientação dos professores executores e tutores da disciplina nos fóruns de discussão, caso persistam dúvidas. Apresentaremos a seguir resposta dos exercícios de numeração par. 1. Nos exercícios seguintes, calcular o quinto termo das seqüências dadas: a) A(1) = 10, A(n) = A(n-1) + 10, para n ≥ 2. b) A(1) = 1, A(n) = 1 , para n ≥ 2. A.(n − 1) 34
  • 35. Matemática Discreta c) B(1) = 1, B(n) = B(n-1) + n2, para n ≥ 2. d) A(1) = 1, A(n) = A(n-1) + 1 , para n ≥ 2. n e) P(1) = 1, P(n) = n2.P(n-1) + (n-1), para n ≥ 2. f) D(1) = 3, D(2) = 5, D(n) = (n-1).D(n-1) + (n-2).D(n-2), para n ≥ 3. 2. Calcule recursivamente o sexto termo de cada uma das seqüências definidas abaixo: a) A(1) = 1, A(n) = A(n-1) + 2, n ≥ 2. b) A(1) = 1, A(n) = 3.A(n-1), n ≥ 2. c) A(1) = 2, A(n) = [A(n-1)]2, n ≥ 2. d) A(1) = 91, A(n) = A(n-1) + 9.10n, n ≥ 2. e) A(1) = 3, A(n) = -2.A(n-1), n ≥ 2. f) A(1)= 3, A(n) = 3.A(n-1) + 7, n ≥ 2. 3. Forneça uma definição recursiva para: a) a progressão geométrica com termo inicial 7 e razão 3. b) a progressão aritmética com termo inicial -12 e razão 5. c) o fatorial n!, n ≥ 1. d) o produto de dois números inteiros positivos. e) o MDC de dois números naturais a e b, a < b. f) a seqüência 5, 9, 13, 17, ... g) a seqüência 4, 2, 1 ,½, ¼ , ... h) a seqüência a, 2a + b, 3a + 2b, 4a + 3b, ... i) a seqüência a, 2a - b, 3a - 2b , 4a - 3b, ... j) a seqüência An = 3n - 1 com n > 0 k) a seqüência A(n) = n2 com n > 0 l) a seqüência A(n) = n2 + n + 1 m) a seqüência 1, -1, 1, -1, ... n) a divisão de dois inteiros positivos. 35
  • 36. Matemática Discreta o) a seqüência 1 , 1 + 1 , 1 + 1 + 1 , 1 + 1 + 1 + 1 , ... 0! 0! 1! 0! 1! 2! 0! 1! 2! 3! p) a seqüência 2, 92, 992, 9992, ... 4. Uma quantia de 500 unidades monetárias foi investida em uma conta remunerada a uma taxa de juro composto anual de 10%. Descreva a definição recursiva para P(n), a quantia na conta no início do n-ésimo ano. 5. A seqüência de números 16, 144, ..., 304, ..., ..., 768, 1232, 2000 é uma subseqüência finita obtida da seqüência de Fibonacci. Descubra os termos que estão faltando. 6. Que valor é computado pelo seguinte algoritmo, para um valor de entrada especificado? int F(int n) { if (n == 1) return 1 else return n + 2*F(n-1); } Qual o valor de saída para a entrada n = 6? 7. Que valor é computado pelo seguinte algoritmo, para um valor de entrada especificado? int MDC( int a, int b) { if a = 0 return b else return MDC (bmod a, a) } Qual o valor de saída para a = 20 e b = 72? Qual o valor de saída para a = 232 e b = 432? 8. Que valor é computado pelo seguinte algoritmo, para um valor de entrada especificado? int FIB (int n) { if (n == 0) return 0 else if (n == 1) return 1 36
  • 37. Matemática Discreta else return = FIB(n-1) + FIB(n-2); } Qual o valor de saída para n = 6? 9. A função teto g(x) = x associa a cada real x o menor inteiro maior ou igual a x. Definimos uma seqüência T por: a) T(1)= 1 b) T(n) = 2 . T ( n/2 ) para n ≥ 2. Calcule recursivamente T(85). 10. Definimos a sequência FACT da seguinte forma: FACT (0) = 1. FACT (n+1) = (n+1) . FACT (n), para n ≥ 0. Escreva os seis primeiros termos de FACT. 11. Considere a relação de recorrência dada por: 1 2 Y0 = 1, Yn+1 =  Yn +  , onde n ≥ 0. 2 Yn  Essa relação produz uma seqüência de valores tais que pode ser usado para aproximar 2 com qualquer grau de precisão. 12. Considere a seqüência definida recursivamente por: F(1) = 1 e F(n) = 1 , para n > 1. F (n − 1) + 1 a) Ache os valores dos seis primeiros termos dessa seqüência. b) Observe o numerador de cada um dos termos da parte (a). Que seqüência formam? 13. Que valor é computado pelo seguinte algoritmo para um valor de entrada especificado? int Q(int a, int b) { if a < b return 0 else return Q(a-b, b) + 1; } Qual o valor de saída para Q(15,2)? E para Q(5,5)? E Q(5861,7)? 37
  • 38. Matemática Discreta 14. Considere o seguinte algoritmo recursivo: int MAX (int A, int B) { if (A == 0) or (B == 0) return A + B else return MAX(A-1, B-1) + 1; } Calcule o valor de retorno para a entrada A = 7 e B = 13? 15. Considere o seguinte algoritmo recursivo que ordena os elementos de uma lista L= [L(1), L(2), L(3), ... , L(j)] onde j é o comprimento da lista: Lista ORD(lista L, int J) { if (j == 1) return L //A lista está ordenada. Imprima a lista. else if j > 1 //Procure o índice I entre 1 e J do maior elemento tal que L(I) > L(J) //Troque L(I) por L(J) return ORD(L, J-1) } Simule a saída para a entrada L = [10, 7, 9, 5, 0, -5, -2] e j = 7 16. Considere o seguinte algoritmo recursivo. int COMB(int n, int p) { if (n == p) or (p == 0 ) return 1 else return COMB(n-1, p-1) + COMB(n-1, p); } Calcule o valor de saída para a entrada de n = 6 e p = 3. O que calcula COMB para quaisquer inteiros não negativos n e p? 17. As figuras abaixo mostram quantos pedaços obtemos com n cortes numa pizza: 38
  • 39. Matemática Discreta Dê uma definição recursiva para o número de pedaços P(n) em função do número de cortes n. Resp. n=1 n=2 n=3 n=4 P(n) = 2 P(n) = 4 P(n) = 7 P(n) = 11 Definição recursiva P(1) = 2 P(n) = P(n-1) + n, para n ≥ 2 18. Forneça uma definição fechada e uma definição recursiva para cada uma das seguintes sequências: a) 9, 99, 999, 9999, ... b) sequência P(n) de números pentagonais: ... n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 P(1) = 1 P(2) = 5 P(3) = 12 P(4) = 22 P(5) = 5 19. Ache uma definição fechada (fórmula) para as seguintes seqüências definidas recursivamente por: Resultados importantes que podem ser usados: (a1 + an )n A soma dos termos de uma PA: Sn = 2 a1 (q n − 1) A soma dos termos de uma PG: Sn = q −1 39
  • 40. Matemática Discreta a) S(1) = 1, S(n) = 3.S(n-1) + 1 , n ≥ 2 b) S(1) = 1, S(n) = 2 – S(n-1), n ≥ 2. c) S(1) = 1, S(n) = 3.S(n-1) + n, n ≥ 2 d) S(1) = 0, S(2) = 1, S(n)= S (n − 1) + S (n − 2) , n ≥ 2 2 20. Considere o seguinte algoritmo recursivo: Função F(n: inteiro): inteiro Se n < 5 então Retorne 3*x Senão Retorne 2*F(n-1) + 7 Fim Se Fim Calcular F(4), F(5), F(12). 21. Considere o seguinte algoritmo recursivo: Função F(n: inteiro, m: inteiro): inteiro Se n < m então Retorne -3 Senão Retorne F(n-m, m+3) + m Fim Se Fim Calcular F(2,7), F(5,3) e F(15,3). 40
  • 41. Matemática Discreta http://www.interaula.com/matweb/alegria/fibon//seqfib1.htm Respostas dos Exercícios 2.1 2. a) 11 b) 243 c) 4.294.967.296 d) 9999991 e) -64 f) 523 41
  • 42. Matemática Discreta 4. P(0) = 500 P(n) = 1,1.P(n-1), n ≥ 1. 6. 187 8. 8 10. 1, 2, 6, 24, 120, 720 12. a) 1, 1 , 2, 3, 5, 8 2 3 5 8 13 b) Formas a seqüência de Fibonacci. 14. MAX(7, 13) = MAX(6, 12) + 1 MAX(6, 12) = MAX(5, 11) + 1 MAX(5, 11) = MAX(4,10) + 1 MAX(4, 10) = MAX(3,9) + 1 MAX(3, 9) = MAX(2,8) + 1 MAX(2, 8) = MAX(1, 7) + 1 MAX(1,7) = MAX(0, 6) + 1 MAX(0,6) = 6 MAX(1,7) = 7 MAX(2, 8) = 8 MAX(3, 9) = 9 MAX(4, 10) = 10 MAX(5, 11) = 11 MAX(6, 12) = 12 MAX(7, 13) = 13 A função MAX retorna o maior valor entre A e B. 16. a) 20 b) O algoritmo retorna C 18. a) S(n) = 10n – 1, para n ≥ 1 é uma definição fechada para a seqüência 9, 99, 999, 9999, ... 42
  • 43. Matemática Discreta Uma definição recursiva é: S(1) = 1, S(n) = 10.S(n-1) + 9, para n ≥ 2 b) Observe que: P(1) = 1 P(2) = 5 = 1 + 4 = P(1) + 4 P(3) = 12 = 1 + 4 + 7 = P(2) + 7 P(4) = 22 = 1 + 4 + 7 + 10 = P(3) + 10 P(5) = 35 = 1+ 4 + 7 + 10 + 13 = P(4) + 13 ... P(n) = P(n-1) + 3n – 2, pois a seqüência 1, 4, 7, 10, 13, ... é uma PA de razão 3 e termo inicial 1, de modo que an = 1 + (n-1).3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2 Assim, a definição recursiva é: P(1) = 1, P(n) = P(n-1) + 3n -2 , para n ≥ 2 A definição fechada é obtida análoga: P(1) = 1 P(2) = 5 = 1 + 4 P(3) = 12 = 1 + 4 + 7 P(4) = 22 = 1 + 4 + 7 P(5) = 35 = 1+ 4 + 7 + 10 + 13 ... P(n) = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ... (3n-2). Observe que P(n) é a soma dos termos de uma P.A. de termo inicial 1 e razão 3, logo P(n) = (1 + 3n − 2).n (3n − 1)n 3n 2 − n = = , para n ≥ 1. 2 2 2 20. F(4) = 12 F(5) = 2.F(4) + 7 = 2(12) + 7 = 31 F(6) = 2.F(5) + 7 = 62 + 7 = 69 43
  • 44. Matemática Discreta Conclusão Você conheceu no segundo capítulo deste fascículo o método da recursão. Ele é usado na definição de funções, seqüências, algoritmos e diversos outros procedimentos computacionais. Aprendeu como formular um algoritmo recursivo em aplicações da informática e computação. Saiba Mais Você poderá aprender muito mais sobre recursão, consultando os seguintes livros e sites: GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004. LIPSChUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004. SChEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 44
  • 45. Matemática Discreta Capítulo 03 - Teoremas e Técnicas de Provas O que é um teorema? Você lembra o Teorema de Pitágoras, não é? A figura acima ilustra muito bem o que esse teorema afirma: A soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa. A figura acima ilustra uma prova desse teorema. Definimos um teorema como qualquer afirmação declarativa sobre matemática, para a qual existe uma prova. Afirmações cuja veracidade não se pode garantir são chamadas de conjecturas. Os teoremas em geral são expressos sob a forma “se P então Q” (P → Q) onde P e Q podem representar sentenças compostas. Na afirmação “se P então Q”, P é chamado de hipótese e Q é a conclusão. Podemos escrever teoremas também na forma P ↔ Q onde se lê: “P se e somente se Q”. Recorde que P ↔ Q é equivalente a (P → Q) ∧ (Q → P). Por exemplo, considere a afirmação “Se x e y são números pares então x + y é também um número par”. Aqui, a hipótese P é “x e y são números pares” e a conclusão Q é “a soma x + y é um número par”. O teorema afirma que, se x e y são ambos pares então, x + y é um número par. A sentença não exclui a possibilidade de x + y ser par quando x ou y não for par. Na verdade, se x e y não são pares então x + y é par. A única circunstância em que a afirmação é falsa é quando P é verdadeira (x e y pares) e Q é falsa (x + y ímpar). 45
  • 46. Matemática Discreta Numa afirmação P → Q podemos ter a condição P verdadeira ou falsa e a condição Q verdadeira ou falsa. Se a afirmação P → Q é verdadeira temos o seguinte: Hipótese P Conclusão Q P→Q V (x = 2, y = 4) V (x + y = 6) possível V (x = 2, y = 4) F (x + y = 7) impossível F (x = 3, y = 5) V (x + y = 8) possível F (x = 2, y = 5) F (x + y = 7) possível Exemplo 1. Como podemos escrever afirmações sob a forma “Se P então Q”? Veja os exemplos: a) O produto de um inteiro ímpar e um inteiro par é par. Se x é um inteiro ímpar e y é um inteiro par então x.y é um inteiro par. b) O quadrado de um inteiro ímpar é ímpar. Se x um inteiro ímpar então x2 é impar. c) O quadrado de um inteiro primo não é primo. Se x é um número primo então x2 não é primo. d) A soma de um inteiro par com um ímpar é par. Se x é par e y é ímpar então x + y é ímpar. Exemplo 2. Suponha uma conjectura P → Q e queremos mostrar que é falsa. Devemos encontrar um contra-exemplo, ou seja, uma situação em que P é verdadeira e Q é falsa. No caso da afirmação “Se x é um número primo então x é ímpar”. Claramente trata-se de uma proposição falsa. Basta escolher x = 2. No exemplo acima, vimos que quando queremos refutar uma conjectura, um contra-exemplo é suficiente. Mas para provar uma afirmação, em geral, muitos exemplos não provam a suposição. A única exceção dessa situação ocorre quando uma afirmação é feita sobre um conjunto finito. Nesse caso, podemos verificar se a proposição é verdadeira para todos os elementos do conjunto. No caso da asserção: “Se um inteiro entre 2 e 13 é divisível por 4 então também é divisível por 2”, ela pode ser provada verdadeira quando mostramos que é verdadeira para cada um dos números inteiros entre 2 e 13. É claro que não podemos usar o mesmo procedimento para provar que “todo número inteiro divisível por 4 também é divisível por 2”. 46
  • 47. Matemática Discreta 3.1 Estratégias de Provas Diversas formas podem ser usadas para provar uma asserção do tipo “Se P então Q”. Abordaremos algumas delas. 3.1.1 Prova Direta Quando você quer provar que uma proposição P → Q é verdadeira deve-se supor que a hipótese P é verdadeira e deduzir que a conclusão Q é verdadeira. Exemplo 3. Provar: “Se x e y são inteiros pares então x + y é par”. Prova: Suponha que x e y são inteiros pares (Hipótese). Isto significa que x e y são ambos divisíveis por 2. Logo, existem inteiros m e n tais que x = 2.m e y = 2.n. Como x + y = 2 . m + 2 . n = 2 . (m + n), concluímos que existe um inteiro c = m + n tal que x + y = 2.c. Portanto x + y é divisível por 2. Logo, x + y é par (Conclusão). Exemplo 4. “Se um inteiro é divisível por 6 então ele também é divisível por 3”. Prova: Seja x um inteiro divisível por 6. Então existe um inteiro k tal que x = 6 . k. Pondo 6 = 3 . 2, podemos escrever x = (3 . 2) . k = 3 . (2 . k). Como 2 . k é um inteiro e escrevendo 2 . k = m, temos que x = 3.m, com m inteiro. Logo, x é divisível por 3. Exemplo 5. Se x é um inteiro par então y = x + 5 é inteiro ímpar. Prova: Assumimos que x é um inteiro par. Então existe um inteiro n tal que x = 2 . n. Como y = x + 5 então y = 2 . n + 5 = 2n + 4 + 1 = 2 . (n+2) + 1. Pondo n + 2 = m, temos que y = 2 . m + 1, onde m é um inteiro. Conseqüentemente, y é um número ímpar. Exemplo 6. A soma de um inteiro com o seu quadrado é um número par. Pondo na forma P → Q temos: Se x é um número inteiro então x + x2 é par. 47
  • 48. Matemática Discreta Prova: Seja x um número inteiro. Se x é par, então x = 2 . n e x2 = (2 . n)2 = 4 . n2, de modo que x + x2 = 2 . n + 4 . n2 = 2(n + 2n2). Pondo m = n + 2n2, temos que x + x2 = 2m. Conseqüentemente x + x2 é par. Se x é ímpar, x = 2.n + 1 para algum inteiro n. Assim, x + x2 = 2n + 1 +(2n + 1)2 = 2.n + 1 + 4n2 + 4.n + 1 = 4n2 + 6.n + 2 = 2(2n2 + 3n + 1). De modo que x + x2 = 2.m, onde m é o inteiro 2n2 + 3n + 1. Conseqüentemente x + x2 é par. 3.1.2 Prova Indireta Você deve lembrar que no fascículo 1 provamos algumas equivalências entre proposições. Uma delas foi que P → Q é logicamente equivalente a ¬Q → ¬P. A tabela seguinte mostra isso! P Q P→Q ¬Q ¬P ¬Q→¬P V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Assim, uma segunda estratégia de prova tem inicio quando assumimos que a conclusão Q é falsa e, então mostrar que a hipótese P é falsa. A afirmação ¬ Q → ¬ P é chamada de contra-positiva da afirmação P → Q. A prova indireta é também chamada de contra-positiva. Exemplo 7. Formularemos contra-positiva ¬ Q → ¬ P das seguintes proposições P → Q: a) P → Q: Se x é ímpar, então x2 é ímpar. ¬ Q → ¬ P: Se x2 não é ímpar então x não é ímpar. Equivalentemente podemos escrever: Se x2 é par então x é par. b) Se n é um inteiro ímpar então 3n + 5 é um inteiro par. P → Q: Se x é inteiro ímpar então 3x + 5 um inteiro é par. Exemplo 8. Use a prova indireta para provar a seguinte proposição P → Q: Se x é um número par, então x + 3 é ímpar. 48
  • 49. Matemática Discreta A contra-positiva ¬ Q → ¬ P é “Se x +3 não é ímpar, então x não é par”. Isto é, se x + 3 é par, então x é ímpar. Inicialmente, suponha que x + 3 é par. Desse modo existe n∈Z tal que x + 3 = 2n. Assim, x = 2n – 3 = 2n – 4 + 1 = 2(n-2) + 1. Conseqüentemente x = 2.m + 1, onde m = n -2 é inteiro. Logo x é ímpar. Exemplo 9. Prove pela contra-positiva que, se o quadrado de um inteiro é par então x é par. A contra-positiva de “n2 par → n par ” é “n ímpar → n2 ímpar”. Assuma que n = 2x + 1 com x inteiro. Então n2 = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 = 2(2x2 + 2x) + 1 = 2.p + 1, onde p = 2x2 + 2x é inteiro. Assim, n2 é ímpar. 3.1.3 Prova por contradição (Redução ao absurdo) Suponhamos que queremos provar P → Q. Sabemos, porém, que (P ∧ ¬Q) → Falso. Assim, para provarmos P → Q, admitimos P e não Q e mostraremos que isso implica algo falso. Veja tabela-verdade abaixo: P Q P→Q ¬Q P ∧ ¬Q F (P ∧ ¬Q) → Falso V V V F F F V V F F V V F F F V V F F F V F F V V F F V Exemplo 10. Se x é um número par, então x + 3 é ímpar. Aqui, x é um número par é a hipótese P e a conclusão Q é x + 3 é ímpar. Admitimos P e não Q. Isto é, suponhamos que x é um número par e que x + 3 é par. Então, x = 2.n e x + 3 = 2.m para inteiros n e m. Assim, por um lado x = 2.n e por outro x = 2.m – 3 = 2.m – 4 + 1 = 2.(m-2) + 1, isto é x é par e x é ímpar, o que é uma contradição. Assim x + 3 é impar. Exemplo 11. O conjunto dos números primos é infinito. Suponha que o conjunto dos números primos seja finito. Então existem n primos, a saber: p1, p2, p3, ... , pn. 49
  • 50. Matemática Discreta Considere o número x = p1, p2, p3, ... , pn + 1. O número x não é divisível por nenhum dos primos p1, p2, p3, ... , pn (deixa resto 1). Logo, x é mais um primo além dos n primos existente inicialmente. O que é uma contradição. Logo, é verdadeira a proposição de que existem infinitos primos. Aprenda Praticando - Exercício Proposto 3.1 1. Forneça um contra-exemplo para: a) Se x é um inteiro par e y é um inteiro ímpar então o produto x.y é impar. b) Se um número inteiro é primo então o seu quadrado é primo. 2. Forneça uma prova direta das seguintes afirmações: a) A soma de dois inteiros ímpares é par. b) A soma de um inteiro ímpar e um par é ímpar. c) O produto de dois inteiros consecutivos é par. d) O quadrado de um inteiro par é divisível por 4. 3. Dê uma prova direta para as seguintes proposições ou apresente um contra-exemplo. a) O produto de quaisquer três inteiros consecutivos é par. b) A soma de quaisquer três inteiros consecutivos é par. c) O produto de um inteiro pelo seu quadrado é par. d) A soma de um inteiro com o seu cubo é par. e) Se x é um inteiro primo então x + 4 é primo. f) Se a e b são inteiros tais que a divide b e b divide a então a = b. g) Se x é um inteiro positivo então x2 + x + 41 é primo. 4. Prove por contradição que: a) A soma de dois inteiros negativos é um inteiro negativo. 1 b) Se x é um número real tal que x > 0 então >0 x 50
  • 51. Matemática Discreta c) Se a soma de dois números primos é primo então um dos primos deve ser 2. d) Se x é diferente de zero, então x2 é positivo. e) Se n é um inteiro tal que 3.n + 2 é par, então n é par. 5. Prove ou dê um contra-exemplo: a) Se x e y são números irracionais então o produto x.y é irracional. b) Se n é um inteiro positivo qualquer, então 2n + 1 é primo. c) Se n é um inteiro positivo, então n2 – 79n + 1601 é primo. 6. Prove que o quadrado de um inteiro par é um inteiro par, usando: a) prova direta. b) prova indireta c) prova por contradição. 7. Prove que se n é um inteiro ímpar então n3 + 5 é um inteiro par, usando: a) prova direta b) prova por contradição c) prova pela contra-positiva. 8. Prove ou dê um contra-exemplo: Se x e y são inteiros primos então x.y + 1 é primo Conclusão Ao final deste terceiro capitulo, você aprendeu sobre técnicas de provas de teoremas. Dentre elas, destacamos a prova direta, a prova pela contra-positiva, prova por contradição e aprendeu a fornecer um contra-exemplo de uma proposição falsa. 51
  • 52. Matemática Discreta Saiba Mais Caso você queira aprofundar seus conhecimentos sobre técnicas de provas, consulte os seguintes livros. GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004. LIPSChUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004. SChEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 52
  • 53. Matemática Discreta Capítulo 04 - Princípio de Indução Finita O Princípio de Indução Finita é uma técnica freqüentemente usada para demonstrar proposições sobre números inteiros positivos do tipo ∀n∈N*, n∈N* → P(n), onde P(n) é uma propriedade relativa aos números inteiros positivos n. Algumas vezes nos defrontamos com afirmações envolvendo os números naturais, tais como: 1. P(n) : A soma dos n primeiros números ímpares é n2. “1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2” 2. P(n): A soma dos n primeiros números inteiros positivos é n(n + 1) . 2 n(n + 1) “1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n = ” 2 3. P(n): 22n - 1 é divisível por 3, ∀n ≥ 1, n∈N Para verificar se tais afirmações são verdadeiras para qualquer inteiro n ≥ 1, não basta “testar” a veracidade das fórmulas substituindo valores específicos para n. Por mais que as igualdades ganhem credibilidade, não poderemos garantir sua validade para algum valor de n que não tenha sido testado. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1. Calculando o valor numérico da expressão P(n) = n2 – n + 17 em vários casos particulares de números inteiros positivos n 53
  • 54. Matemática Discreta os resultados encontrados são sempre números primos? Vejamos: Para n = 1, temos P(1) = 12 – 1 + 17 = 17 (primo) Para n = 2, temos P(2) = 22 – 2 + 17 = 19 (primo) Para n = 3, temos P(3) = 9 – 3 + 17 = 23 (primo) Para n = 4, temos P(4) = 16 – 4 + 17 = 29 (primo) ... Podemos afirmar que, para todo número inteiro positivo n, P(n) é um número primo? É claro que não! Continuando o cálculo até n = 16 encontraremos sempre números primos, porém, para n = 17 encontramos que P(17) = 172 - 17 + 17 = 172 = 17 . 17 que não é primo, pois é divisível por 17. Então, P(n) = n2 – n + 17 não é primo para todo inteiro positivo n. Exemplo 2. Ao somar os n primeiros números ímpares positivos. O que encontramos? Se tentarmos valores pequenos de n obtemos: S1 = 1 = 12 S2 = 1 + 3 = 22 S3 = 1 + 3 + 5 = 32 S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 42 S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52 S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 62 S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 72 É fácil observar que obtemos quadrados como soma. Na verdade, pelos exemplos, a soma dos n primeiros números ímpares positivos é Sn = 1 + 3 + 5+ + 7 + ... + (2n-1) = n2. Mas a observação é válida apenas para os sete primeiros valores de n. Será que isso é válido para todos os valores de n? Como podemos provar essa afirmação? 54
  • 55. Matemática Discreta A demonstração de que uma propriedade P, relativa aos números naturais, é verdadeira para todo numero natural n ≥ 1, pode ser feita pelo método que chamamos de Princípio de Indução Finita, que pode ser enunciado assim: Seja P(n) uma proposição que queremos provar que é verdadeira para todo número natural n ≥ 1. Se provarmos que: a) P(1) é verdadeira. b) Se P(k) verdadeira implica que P(k+1) é verdadeira, ∀k ≥ 1 então, a proposição P(n) é verdadeira, para todo inteiro n ≥ 1. Para melhor entender o princípio de indução finita vamos utilizar a metáfora do dominó. Se você tem uma longa fila de dominós em pé e você puder assegurar que: 1. O primeiro dominó cairá quando se aplica uma força suficiente na peça do dominó. 2. Sempre que uma peça de domingo cair, a peça vizinha também cairá. Então você pode concluir que todas as peças de dominó cairão. Como é na prática o principio de indução finita? Alguns exemplos mostrarão isso. 55
  • 56. Matemática Discreta Exemplo 3. Queremos provar que a proposição P(n) seguinte é verdadeira para todo numero natural n ≥ 1 P(n): 1 + 3 + 5 + 7 ... + (2n - 1) = n. Parte 1. Devemos provar que P(1) é verdadeira, isto é: 1 = 12 1=1 Parte 2. Supondo que P(n) é verdadeira para n = k, devemos mostrar que P(n) é verdadeira para n = k + 1. P(k) verdadeira significa que 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k2. Devemos mostrar que P(k+1) é também verdadeira, isto é, devemos mostrar que: P(k+1): 1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 + 2(k+1) -1 = (k+1)2 Como 1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 + 2(k+1) -1 = [1 + 3 + 5 + ... + 2k -1] + 2(k+1) -1 = k2 + 2k +1 = (hipótese) (k+1)2 Logo, pelo Princípio de Indução Finita, a fórmula vale para todo n ≥ 1. n(n + 1) Exemplo 4. Provar que 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n = , ∀n ≥ 1. 2 Parte 1. Vamos provar que P(I) é verdadeira. De fato, 1.(1 + 1) 1.(2) 1= ⇒1= ⇒ 1 = 1. 2 2 Parte 2. Suponha que P(n) seja verdadeira para n = k, isto é, que 1 k (k + 1) + 2 + 3 + 4 + ... + k = . 2 Queremos provar que P(k+1) é verdadeira, isto é, que 1 + 2 + 3 + 4 (k + 1)(k + 2) + ... + k + (k+1) = . 2 Como 1 + 2 + 3 + 4 + ... + k + (k+1) = [1 + 2 + 3 + 4 + ... + k] + (k+1) = 56
  • 57. Matemática Discreta k (k + 1) + (k+1) = (Por hipótese) 2 k (k + 1) + 2(k + 1) = 2 (k + 1)(k + 2) 2 Logo, pelo Princípio de Indução Finita, a fórmula vale para todo n ≥ 1. Exemplo 5. Mostre que a proposição P(n): 22n - 1 é divisível por 3, ∀n ≥ 1, n∈N é verdadeira. Parte 1. Devemos provar que P(1) é verdadeira, isto é, que para n = 1, 22.1 – 1 é divisível por 3 (múltiplo de 3). De fato, 22.1 – 1 = 22 – 1 = 4 – 1 = 3 (múltiplo de 3). Parte 2. Suponha que P(n) seja verdadeira para n = k, isto é, que 22k - 1 é múltiplo de 3. Então 22k - 1 = 3.m para algum inteiro m. Quero provar que P(n) é verdadeira para n = k+1. Ou seja, quero provar que 22(k+1) - 1 é múltiplo de 3. Como 22(k+1) - 1 = 22k+2 - 1 = 22k . 22 – 1 = 22k . 4 - 1 = 22k . 3 + 22k - 1 = 3. 22k + 22k -1 = 3. 22k + 3.m = 3(22k + m) múltiplo de 3. Logo, pelo Princípio de Indução Finita, a fórmula vale para todo n ≥ 1. Exemplo 6. P(n): 2n ≥ n+1, ∀n∈N Parte 1. Para n = 0, tem-se que: 20 ≥ 0+1 1 ≥ 1 verdadeiro. Parte 2. Devemos mostrar que P(n) é verdadeira para n = k+1 sempre que P(n) é verdadeira para n = k. Ou seja, que 2k+1 ≥ k+2 sempre que 2k ≥ k +1 Ora, 2k+1 = 2. 2k ≥ 2(k+1) = (hipótese) 2k + 2 ≥ k + 2 57
  • 58. Matemática Discreta Logo, pelo Princípio de Indução Finita, a fórmula vale para todo n ≥1 Exemplo 7. Seja S(n) o termo geral de uma seqüência tal que S(1) = 2 e S(n) = 3*S(n-1) - 1 para n > 1. a) Escreva os cinco primeiros termos de S. 3n + 1 b) Mostre por indução que S(n) = 2 Solução: a) S(1)= 2, S(2) = 3.S(1) - 1 = 3.2 - 1 = 5, S(3) = 3.S(2) - 1 = 3.5 - 1 = 14, S(4) = 3.S(3) - 1 = 3.14 - 1 = 41, S(5) = 3.S(4) - 1 = 3.41 - 1 = 122 3n + 1 b) Queremos provar que S(n) = 2 31 + 1 4 Parte 1. Para n = 1, temos que S(1) = = = 2. 2 2 Parte 2. Suponha que S(k) = 3k + 1 , queremos provar que S(k+1) 2 3k+1 + 1 = . 2 Ora, pelo passo recursivo temos que k S(k+1) = 3.S(k) – 1 = 3. 3 +1 - 1 2 3k +1 + 3 3k +1 + 3 − 2 3k +1 + 1 = −1 = = . 2 2 2 Exemplo 8. Prove por indução matemática que 23n – 1 é divisível por 7, ∀n ≥ 1, n∈N. Parte 1. É claro que para n = 1, 23.1 – 1 = 8 – 1 = 7 é divisível por 7. Parte 2. Suponha que para um inteiro k ≥ 1, 23k – 1 seja divisível por 7, ou seja, que existe inteiro m tal que 23k – 1 = 7m. Queremos provar que 23(k+1) – 1 é divisível por 7, isto é, que existe inteiro p tal que 23(k+1) – 1 = 3p. 58
  • 59. Matemática Discreta De fato, 23(k+1) – 1 = 23k + 3 – 1 = 23k. 23 – 1 = 23k.8 - 1 = (23k. 7) + (23k – 1) Como 23k. 7 é divisível por 7 e 23k – 1 é divisível por 7 por hipótese, então 23(k+1) – 1 é divisível por 7, tendo em vista ser soma de dois números divisíveis por 7. Assim, podemos escrever 23(k+1) – 1 = 23k. 7 + 7m = 7(23k + m) = 7p, com p = 23k + m. Exemplo 9. Uma seqüência F(n) é definida recursivamente assim: F(1) = 3, F(n) = F(n-1) + n, para n>1. a) Quais os cinco primeiros termos de F? n2 + n + 4 b) Use indução para provar que F(n) = ,n≥1 2 a) F(1) = 3, F(2) = F(1) + 2 = 3 + 2 = 5, F(3) = F(2) + 3 = 5 + 3 = 8 F(4) = F(3) + 4 = 8 + 4 = 12, F(5) = F(4) + 5 = 12 + 5 = 17. n2 + n + 4 b) F(n) = ,n≥1 2 Queremos provar que a fórmula dá os termos da seqüência 3, 5, 8, 12, 17, ... 12 + 1 + 4 6 Parte 1. Para n = 1 temos que F(1) = = = 3, a 2 2 fórmula está correta. k2 + k + 4 Parte 2. Suponha que F(k) = , queremos provar que 2 (k + 1)2 + (k + 1) + 4 F(k+1) = . 2 Ora, pela definição recursiva temos que F(k+1) = F(k) + k+1, logo, podemos escrever: k2 + k + 4 F(k+1) = +k+1 2 59
  • 60. Matemática Discreta k 2 + k + 4 + 2k + 2 k 2 + 2k +1+ k +1+ 4 = + 2 2 (k +1)2 + (k +1) + 4 + . 2 Está completa a prova por indução. Aprenda Praticando - Exercício Proposto 4.1 1. Nos exercícios seguintes, use a indução matemática para demonstrar que os resultados abaixo indicados são válidos para qualquer inteiro positivo n. (n ≥ 1) a) 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n2 b) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) c) 1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) = n(2n - 1) 60