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Aula 2 – Raciocínio Lógico Aplicado a
      Resolução de Problemas
            Matemáticos
     Prof. André Constantino da Silva
             LOGT1 – Lógica
                 Noturno

               09 de março de 2012
Aula de Hoje
• Definição dos conceitos abordados
• Revisão de Matemática
• Resolução de Exercícios
Instrução

• Corresponde a um conjunto de regras ou
  normas definidas para a realização ou
  emprego de algo.

• Sinônimos: passo, etapa, ação primitiva
Algoritmo (I)
• Uma receita, uma seqüência de instruções
  que servem para realizar uma meta específica;
• Uma seqüência finita de passos que levam a
  execução de uma tarefa;
• Descrição de um conjunto padronizado de
  ações primitivas, bem definidas e executáveis,
  que encadeiam a realização de uma tarefa;
Algoritmo (II)
• Uma seqüência ordenada, finita e não
  ambígua de etapas que conduzem a solução
  de um problema;
• Processo de cálculo ou de resolução de um
  grupo de problemas semelhantes, em que se
  estipulam, com generalidade e sem restrições
  as regras formais para obtenção do resultado
  ou da solução do problema.
Exemplos – Somar 2 e 3
• Algoritmo:

algoritmo "soma"
var a, b, c: inteiro
inicio
       a <- 2
       b <- 3
       c <- a + b
       escreva (c)
fimalgoritmo
Exemplos – Somar 2 e 3
• Algoritmo:            • Em linguagem Pascal:

algoritmo "soma“        program soma;
                        uses Crt;
var a, b, c: inteiro    var a, b, c: integer;
inicio                  begin
        a <- 2                  a := 2;
        b <- 3                  b := 3;
        c <- a + b              c := a + b;
        escreva (c)             write (c);
fimalgoritmo            end.
Exemplos – Média de 2 notas
• Algoritmo                              • Em linguagem Pascal
algoritmo "media2n“                      program media2n;
                                         uses Crt;
var nota1, nota2 : real                  var nota1, nota2 : real;
media: real                              media: real;
inicio                                   begin
        leia(nota1)                                readln(nota1);
        leia(nota2)                                readln(nota2);
        media <- (nota1 + nota2)/2                 media= (nota1 + nota2)/2;
        se media >=5 entao                         if media >=5 then
                                                   begin
                 escreva ("aprovado")                       write (‘aprovado');
                                                   end
        senao                                      else
                                                   begin
                 escreva ("reprovado")                      write (' reprovado');
         fimse                                     end;
fimalgoritmo                             end.
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  linguagem de computador (Pascal, C, Cobol,
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• Exemplos:




     50% de 200 = ?
     40% de 200 = ?
Revisão – Sequência Matemática
• Uma sequência é uma lista (conjunto) de
  números

  Exemplos:
  – 1, 2, 3, 4, 5, ...
  – 2, 4, 6, 8, ...
  – 21, 22, 23, 24, 25, ... ou 2, 4, 8, 16, 32, ...
Revisão – Sequência Matemática
   Termo: um elemento da sequência
   Índice: posição do elemento na sequência

Termo:    2     4     8     16    32    64        ...
Índice:   1     2     3      4     5     6        ...



     Cada termo possui um único índice (n    ),
      e cada índice pertence a um único termo
Revisão – Sequência Matemática
Termo:    2   4   8    16   32      64   ...
Índice:   1   2   3    4     5      6    ...



Notação dos termos usando índice:
   a1 = 2          a4 = 16
   a2 = 4          a5 = 32
   a3 = 8          a6 = 64
Revisão – Sequência Matemática
• A ordem da sequência é definida por uma
  “lei”
  – 1, 2, 3, 4, 5, ...

  – 2, 4, 6, 8, ...

  – 21, 22, 23, 24, 25, ... ou 2, 4, 8, 16, 32, ...
Revisão – Sequência Matemática
• “lei”: uma função específica, escrita usando
  notação matemática.

Exemplo:
  – 1, 2, 3, 4, 5, ...
  considere n o índice do elemento e f(n) a função:
                         f(n) = n
Revisão – Sequência Matemática
• Qual a função para as sequências?
  – 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...




  – 21, 22, 23, 24, 25, ... ou 2, 4, 8, 16, 32, ...
Revisão – Progressão Aritmética
• É uma sequência na qual em que cada termo,
  a partir do segundo, é igual a soma do termo
  anterior mais uma constante r, chamada razão
Exemplos:
  – 1, 2, 3, 4, 5, ...          ( r = ?)
  – 2, 4, 6, 8, 10, ...         (r = ?)
  – 0, 10, 20, 30, 40, 50, ... (r = ?)
  – 10, 5, 0, -5, -10, -15, ... (r = ?)
  – 2, 2, 2, 2, 2, ...           (r = ?)
Revisão – Progressão Aritmética
• Notação
  – Seja n o índice do termo
  – Seja r a razão da progressão
  – Fórmula: an = an-1 + r

  Exemplos:
  2, 4, 6, 8, 10, 12, ...       an = an-1 + 2
  0, 10, 20, 30, 40, 50, ...    an = an-1 + ?
  10, 5, 0, -5, -10, -15, ...   an = an-1 + ?
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Revisão – Progressão Geométrica
• É uma sequência na qual em que cada termo,
  a partir do segundo, é igual ao produto do
  termo anterior por uma constante q, chamada
  quociente
Exemplos:
  2, 4, 8, 16, 32, ...        (q = 2)
  1, 3, 9, 27, ...            (q = ?)
  16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼, ...    (q = ?)
  2, 2, 2, 2, 2, ...          (q = ?)
Revisão – Progressão Geométrica
• Notação
  – Seja n o índice do termo
  – Seja q a razão da progressão
  – Fórmula: an = an-1 . q

  Exemplos:
  2, 4, 6, 8, 10, 12, ...     an = an-1 . 2
  1, 3, 9, 27, ...            an = an-1 . ?
  16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼, ...   an = an-1 . ?
  2, 2, 2, 2, 2, ...          an = an-1 . ?
  -3, 9, -27, 81, -243, ...   an = an-1 . ?
Exercícios
1) Complete as sequências numéricas baseado na lógica
de cada sequência, escrevendo uma frase que explique a
obtenção de cada termo e tente obter uma
representação matemática que ajude na obtenção do
próximo elemento:
a) 1, 3, 5, 7, ______ , ______ , ______
b) 1, 2, 4, 8, ______ , ______ , ______
c) 3, 7, 11, 15, 19, ______ , ______ , ______
d) 100, 90, 80, 70, ______ , ______ , ______
e) 32, 16, 8, 4, ______ , ______ , ______
f) 66, 55, 44, 33, ______ , ______ , ______
g)101, 111, 121, ______ , ______ , ______
Exercícios
2) Um jardineiro tem que regar 10 roseiras
plantadas ao longo de um caminho retilíneo e
distantes 1 metro uma da outra. Ele enche seu
regador numa fonte situada no mesmo caminho
situado a 1 metros antes da primeira roseira e a
cada viagem rega três roseiras. Começando e
terminando na fonte, calcule o percurso total
(quantos metros) que ele tem que percorrer (ida
e volta) para regar todas as roseiras.
Exercícios
3) Resolva novamente o problema anterior
supondo que a fonte está localizada 5 metros
antes da primeira roseira.
Exercícios
4) Um rato está a 48 metros na frente de um
gato que o persegue. Enquanto o rato percorre 4
metros, o rato percorre 7 metros. Quantos
metros deverá percorrer o gato para alcançar o
rato ? E depois de quantas unidades de tempo
isso vai ocorrer?
Exercícios
5) Uma pessoa faz regime durante algumas
semanas. Na 1ª semana perdeu 5 kg e em cada
semana posterior emagreceu 40% do que
perdeu na semana anterior. Depois de quantas
semanas a pessoa perdeu 8 kg ?
Exercícios
6) Uma bolinha é solta de uma altura de 1
metro. Após cada batida no solo ela consegue
atingir apenas 70% da altura anteriormente
alcançada. Calcular quanto essa bolinha
percorreu até a quarta vez que bateu no chão,
considere o percurso de cair e subir novamente.
Tarefa para Casa
• Leitura da apostila: páginas 1 a 12
• Exercício para entregar: próxima aula (16/03)
  – Disponível na ferramenta atividades

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Raciocínio Lógico Aplicado a Resolução de Problemas Matemáticos

  • 1. Aula 2 – Raciocínio Lógico Aplicado a Resolução de Problemas Matemáticos Prof. André Constantino da Silva LOGT1 – Lógica Noturno 09 de março de 2012
  • 2. Aula de Hoje • Definição dos conceitos abordados • Revisão de Matemática • Resolução de Exercícios
  • 3. Instrução • Corresponde a um conjunto de regras ou normas definidas para a realização ou emprego de algo. • Sinônimos: passo, etapa, ação primitiva
  • 4. Algoritmo (I) • Uma receita, uma seqüência de instruções que servem para realizar uma meta específica; • Uma seqüência finita de passos que levam a execução de uma tarefa; • Descrição de um conjunto padronizado de ações primitivas, bem definidas e executáveis, que encadeiam a realização de uma tarefa;
  • 5. Algoritmo (II) • Uma seqüência ordenada, finita e não ambígua de etapas que conduzem a solução de um problema; • Processo de cálculo ou de resolução de um grupo de problemas semelhantes, em que se estipulam, com generalidade e sem restrições as regras formais para obtenção do resultado ou da solução do problema.
  • 6. Exemplos – Somar 2 e 3 • Algoritmo: algoritmo "soma" var a, b, c: inteiro inicio a <- 2 b <- 3 c <- a + b escreva (c) fimalgoritmo
  • 7. Exemplos – Somar 2 e 3 • Algoritmo: • Em linguagem Pascal: algoritmo "soma“ program soma; uses Crt; var a, b, c: inteiro var a, b, c: integer; inicio begin a <- 2 a := 2; b <- 3 b := 3; c <- a + b c := a + b; escreva (c) write (c); fimalgoritmo end.
  • 8. Exemplos – Média de 2 notas • Algoritmo • Em linguagem Pascal algoritmo "media2n“ program media2n; uses Crt; var nota1, nota2 : real var nota1, nota2 : real; media: real media: real; inicio begin leia(nota1) readln(nota1); leia(nota2) readln(nota2); media <- (nota1 + nota2)/2 media= (nota1 + nota2)/2; se media >=5 entao if media >=5 then begin escreva ("aprovado") write (‘aprovado'); end senao else begin escreva ("reprovado") write (' reprovado'); fimse end; fimalgoritmo end.
  • 9. Programa • Programas são algoritmos escritos numa linguagem de computador (Pascal, C, Cobol, Fortran, Visual Basic entre outras) e que são interpretados e executados pelo computador.
  • 10. Lógica • A lógica é uma ciência de índole matemática e fortemente ligada à filosofia • A lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar.
  • 11. Lógica de Programação • A lógica de programação corresponde ao raciocínio lógico empregado no desenvolvimento de programas, englobando um conjunto de elementos e regras de acordo com o tipo de programação.
  • 13. Revisão de Matemática • Conjunto de Números • Aritmética • Sequência Numérica
  • 14. Revisão - Conjunto de Números Naturais Inteiros Racionais Reais Complexos
  • 15. Revisão - Aritmética • é o ramo da matemática que lida com números e com as operações possíveis entre eles – Adição – Subtração – Multiplicação – Divisão – Porcentagem – Raiz quadrada – Exponenciação – ...
  • 16. Revisão - Aritmética • Exemplos: 0,25 + 2,75 = ? 2 * 0,5 = ? ½+¾=? 2/3 – 1/3 = ? ½ - 4/3 = ? 4/7 * ½ = ?
  • 17. Revisão - Aritmética • Exemplos: 50% de 200 = ? 40% de 200 = ?
  • 18. Revisão – Sequência Matemática • Uma sequência é uma lista (conjunto) de números Exemplos: – 1, 2, 3, 4, 5, ... – 2, 4, 6, 8, ... – 21, 22, 23, 24, 25, ... ou 2, 4, 8, 16, 32, ...
  • 19. Revisão – Sequência Matemática Termo: um elemento da sequência Índice: posição do elemento na sequência Termo: 2 4 8 16 32 64 ... Índice: 1 2 3 4 5 6 ... Cada termo possui um único índice (n ), e cada índice pertence a um único termo
  • 20. Revisão – Sequência Matemática Termo: 2 4 8 16 32 64 ... Índice: 1 2 3 4 5 6 ... Notação dos termos usando índice: a1 = 2 a4 = 16 a2 = 4 a5 = 32 a3 = 8 a6 = 64
  • 21. Revisão – Sequência Matemática • A ordem da sequência é definida por uma “lei” – 1, 2, 3, 4, 5, ... – 2, 4, 6, 8, ... – 21, 22, 23, 24, 25, ... ou 2, 4, 8, 16, 32, ...
  • 22. Revisão – Sequência Matemática • “lei”: uma função específica, escrita usando notação matemática. Exemplo: – 1, 2, 3, 4, 5, ... considere n o índice do elemento e f(n) a função: f(n) = n
  • 23. Revisão – Sequência Matemática • Qual a função para as sequências? – 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... – 21, 22, 23, 24, 25, ... ou 2, 4, 8, 16, 32, ...
  • 24. Revisão – Progressão Aritmética • É uma sequência na qual em que cada termo, a partir do segundo, é igual a soma do termo anterior mais uma constante r, chamada razão Exemplos: – 1, 2, 3, 4, 5, ... ( r = ?) – 2, 4, 6, 8, 10, ... (r = ?) – 0, 10, 20, 30, 40, 50, ... (r = ?) – 10, 5, 0, -5, -10, -15, ... (r = ?) – 2, 2, 2, 2, 2, ... (r = ?)
  • 25. Revisão – Progressão Aritmética • Notação – Seja n o índice do termo – Seja r a razão da progressão – Fórmula: an = an-1 + r Exemplos: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... an = an-1 + 2 0, 10, 20, 30, 40, 50, ... an = an-1 + ? 10, 5, 0, -5, -10, -15, ... an = an-1 + ? 2, 2, 2, 2, 2, ... an = an-1 + ?
  • 26. Revisão – Progressão Geométrica • É uma sequência na qual em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q, chamada quociente Exemplos: 2, 4, 8, 16, 32, ... (q = 2) 1, 3, 9, 27, ... (q = ?) 16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼, ... (q = ?) 2, 2, 2, 2, 2, ... (q = ?)
  • 27. Revisão – Progressão Geométrica • Notação – Seja n o índice do termo – Seja q a razão da progressão – Fórmula: an = an-1 . q Exemplos: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... an = an-1 . 2 1, 3, 9, 27, ... an = an-1 . ? 16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼, ... an = an-1 . ? 2, 2, 2, 2, 2, ... an = an-1 . ? -3, 9, -27, 81, -243, ... an = an-1 . ?
  • 28. Exercícios 1) Complete as sequências numéricas baseado na lógica de cada sequência, escrevendo uma frase que explique a obtenção de cada termo e tente obter uma representação matemática que ajude na obtenção do próximo elemento: a) 1, 3, 5, 7, ______ , ______ , ______ b) 1, 2, 4, 8, ______ , ______ , ______ c) 3, 7, 11, 15, 19, ______ , ______ , ______ d) 100, 90, 80, 70, ______ , ______ , ______ e) 32, 16, 8, 4, ______ , ______ , ______ f) 66, 55, 44, 33, ______ , ______ , ______ g)101, 111, 121, ______ , ______ , ______
  • 29. Exercícios 2) Um jardineiro tem que regar 10 roseiras plantadas ao longo de um caminho retilíneo e distantes 1 metro uma da outra. Ele enche seu regador numa fonte situada no mesmo caminho situado a 1 metros antes da primeira roseira e a cada viagem rega três roseiras. Começando e terminando na fonte, calcule o percurso total (quantos metros) que ele tem que percorrer (ida e volta) para regar todas as roseiras.
  • 30. Exercícios 3) Resolva novamente o problema anterior supondo que a fonte está localizada 5 metros antes da primeira roseira.
  • 31. Exercícios 4) Um rato está a 48 metros na frente de um gato que o persegue. Enquanto o rato percorre 4 metros, o rato percorre 7 metros. Quantos metros deverá percorrer o gato para alcançar o rato ? E depois de quantas unidades de tempo isso vai ocorrer?
  • 32. Exercícios 5) Uma pessoa faz regime durante algumas semanas. Na 1ª semana perdeu 5 kg e em cada semana posterior emagreceu 40% do que perdeu na semana anterior. Depois de quantas semanas a pessoa perdeu 8 kg ?
  • 33. Exercícios 6) Uma bolinha é solta de uma altura de 1 metro. Após cada batida no solo ela consegue atingir apenas 70% da altura anteriormente alcançada. Calcular quanto essa bolinha percorreu até a quarta vez que bateu no chão, considere o percurso de cair e subir novamente.
  • 34. Tarefa para Casa • Leitura da apostila: páginas 1 a 12 • Exercício para entregar: próxima aula (16/03) – Disponível na ferramenta atividades