Apostila 2 ano matematica

MATEMÁTICA - 2º ANO – ENSINO MÉDIO REGULAR - 2015 1
APOSTILA 2015
MATEMÁTICA
PROFESSOR: DENYS YOSHIDA

Sumário
1.Sequências.................................................................................................................................4
1.1 Sequências numéricas............................................................................................................
2. Progressão Aritmética...............................................................................................................6
2.1 Classificação de uma P.A........................................................................................................6
2.2 Termo geral de uma P.A.........................................................................................................6
2.3 Propriedades de uma P.A.......................................................................................................7
2.4 Soma dos n primeiros termos de uma P.A...........................................................................10
3.Progressão Geométrica............................................................................................................13
3.1 Fórmula do termo geral.........................................................................................................13
3.2 Propriedades principais.........................................................................................................14
3.3 Soma dos n primeiros termos de uma P.G ..........................................................................16
3.4 Soma dos n primeiros termos de uma P.G infinita................................................................16
4. Matrizes...................................................................................................................................19
4.1 Representação genérica de uma matriz................................................................................19
4.2 Lei de formação de uma matriz.............................................................................................20
4.3 Tipos de matrizes..................................................................................................................20
4.4 Operações com matrizes.......................................................................................................25
4.5 Matriz inversa........................................................................................................................32
5. Determinantes.........................................................................................................................34
5.1 Determinante de ordem 2x2..................................................................................................34

5.2 Regra de Sarrus....................................................................................................................34
5.3 Teorema de Laplace..............................................................................................................36
6. Sistemas Lineares...................................................................................................................42
6.1 Equações lineares.................................................................................................................42
6.2 Sistemas lineares..................................................................................................................42
6.3 Método do escalonamento....................................................................................................43
6.4 Matrizes associadas a um sistema linear..............................................................................43
6.5 Regra de Cramer...................................................................................................................44
7. Trigonometria na circunferência..............................................................................................53
7.1 Arcos e ângulos.....................................................................................................................53
7.2 Medidas de arcos e ângulos..................................................................................................54
7.3 Conversão entre graus e radianos........................................................................................54
7.4 Comprimento da circunferência.............................................................................................55
7.5 Congruência de arcos...........................................................................................................55
7.6 Razões trigonométricas.........................................................................................................59
7.7 Funções trigonométricas.......................................................................................................61
7.8 Outras razões trigonométricas..............................................................................................67
7.9 Relações trigonométricas......................................................................................................69
Exercícios de vestibulares...........................................................................................................73
Referências bibliográficas.........................................................................................................106

1. Sequências
Em nossas aulas estudaremos as sequências, na qual seus elementos estão dispostos em
uma determinada ordem pré-estabelecida.
1.1 Sequências numéricas
Os elementos de uma sequência numérica devem ser apresentados entre parênteses,
conforme os exemplos abaixo:
• (2, 4, 6, 8, 10, 12,... ) é uma sequência de números pares positivos.
• (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma sequência de números naturais.
• (10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 10.
• (10, 15, 20, 30,35,40) é uma sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e
menores que 45.
Existem dois tipos de sequências, as sequências finitas e as sequências infinitas:
• Sequência finita é uma sequência numérica na que tem um último elemento, ou seja, tem fim,
como por exemplo, a sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 45.
• Sequência infinita é uma sequência que não possui um último termo, ou seja, seus elementos
seguem ao infinito, por exemplo: a sequência dos números naturais.
Denominamos o primeiro termo de uma sequência numérica por a1, o segundo termo por a2, o
terceiro por a3 e assim segue. O último elemento de uma sequência finita é representado por
an. A letra n determina o número de elementos da sequência.
(a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) sequência infinita.
(a1, a2, a3, a4, ... , an) sequência finita.
Os elementos de uma sequência numérica são determinados por uma lei matemática. Por
exemplo:
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequência tal que an = 2n + 1, n N*.
a1 = 2.(1) + 1 = 2 + 1 = 3
a2 = 2.(2) + 1 = 4 + 1 = 5
a3 = 2.(3) + 1 = 6 + 1 = 7
a4 = 2.(4) + 1 = 8 + 1 = 9

a5 = 2.(5) + 1 = 10 + 1 = 11
Portanto, a sequência será: (3,5,7,9,11).
Exercícios sobre sequências numéricas
1- Escreva os cinco primeiros termos das sequências cujos termos gerais estão expressos a
seguir:
a) 2na n  
b)
2
1na n 
c)
1
na
n

2- Escreva os quatro primeiros termos da sequencia na n
n .)1( .
3- Calcule o 15º termo da sequência cujo termo geral é: 3 1na n  .
4- Calcule o 20º termo da sequência cujo termo geral é: 2 1na n   .
5- Obtenha o décimo quarto termo da sequência em que
n
nA 
 10
2 .
6- Determine o quarto termo da sequência, em que
1
5.2 
 n
nA .
7- Determine os sete primeiros termos de uma sequência tal que 10 1n
na   .
8- Determine o 5º termo da sequência 1)2(  n
na .
9- Qual a posição do termo de valor 20 na sequência dada por 2 6na n   ?

10- Qual a soma dos quatro primeiros termos da sequência dada por
1
3 .( 1)n
na n 
  ?
2. Progressão Aritmética
Denominamos Progressão Aritmética (ou PA) qualquer sequência numérica cujo termo
seguinte, é igual ao anterior somado com um valor constante, denominado razão.
Por exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17,...) é uma PA de razão 3.
2.1 Classificação de uma P.A:
Uma progressão aritmética é dita crescente se um termo qualquer for maior que seu anterior,
ou seja: an > an-1.
Uma progressão aritmética é dita decrescente se um termo qualquer for menor que seu
anterior, ou seja: an < an-1.
Outra forma de determinar se a PA é crescente ou decrescente é a partir da sua razão, se r > 0
a PA é crescente, se r < 0 a PA é decrescente.
2.2 Termo Geral de uma PA
Considere a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
Conforme a definição, um termo é a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
___________________________
an = an-1 + r = an = a1 + (n – 1) . r
Denominamos a expressão: an = a1 + (n – 1). r como o termo geral da PA.
Onde an é o termo de ordem n (n-ésimo termo), r é a razão e a1 é o primeiro termo da
Progressão Aritmética.
Cálculo da Razão de uma PA:
Para saber a razão de uma PA qualquer (a1, a2, a3, ... , an, ...), podemos utilizar uma das
expressões utilizadas para determinar o termo geral da PA:

an = an-1 + r r = an - an-1
Dessa maneira podemos deduzir que a razão é obtida a partir da diferença entre quaisquer
termos consecutivos, como por exemplo:
r = an – an-1 = an-1 – an-2 = … = a3 – a2 = a2 – a1
Exemplos:
Qual o centésimo termo da PA (1, 5, 9, 13, 17,...)?
Primeiro termo: a1= 1
Razão: r = a2 – a1 =5 – 1 = 4
Como queremos o centésimo termo, n = 100
Para calcular o centésimo termo, utilizaremos a expressão que nos dá o Termo Geral da PA.
an= a1 + (n – 1) . r a100 = 1 + (100 - 1). 4 = 1 + 99.4 = 1 + 396 = 397.
Portanto 397 é o centésimo termo da PA.
Qual o número de termos da PA: (100, 98, 96,..., 22)?
Como queremos saber o número de termos da PA, sabemos que esse número é dado por n,
então essa é a incógnita que queremos encontrar.
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22
Substituindo na fórmula do termo geral, temos:
22 = 100 + (n - 1). (- 2)
22 - 100 = - 2n + 2
22 - 100 - 2 = - 2n
- 80 = - 2n
n= 40
Portanto, a PA possui 40 termos.
2.3 Propriedades de uma P.A
P1. Cada termo de uma PA pode ser dado pela média aritmética entre seu anterior e seu
posterior.
Exemplo:

1. PA: (m, n, r); pela propriedade acima, temos: .
2. Na PA ( 2,x,12) calcule o valor de x.
Pela propriedade anterior, temos:
P2. A soma dos termos equidistantes dos extremos de uma PA é constante.
1. Exemplo:
PA: (a, b, c, d, e, f), pela propriedade, temos: a+f = b+ e = c + d
2. Qual o segundo termo da PA (3,t,15,21,27)
Pela propriedade anterior, temos:
t+21 = 3+27
t+21 = 30
t = 30 – 21
t = 9
Exercícios sobre Progressão Aritmética
11- Escreva:
a) Uma P.A de oito termos em que 1 6a  e 4r .
b) Uma P.A de sete termos em que 1 4a  e 2r .
c) Uma P.A de quatro termos em que 1 2a a  e ar  .
12- Calcule o número real x de modo que a sequência (x+1, 3x-1, 2x+3,...) seja uma P.A.
13- Encontre o termo geral das seguintes Progressões Aritméticas:
a) (2, 7,...)
b) (1, 9,...)
c) (-1, 3,...)
d) ,...)5,3(

e) 





,...
4
11
,
3
7
14- Qual é o décimo quarto termo da P.A(4,10,...)?
15- Qual é o quadragésimo número natural ímpar?
16- Qual é o nono termo da P.A ,...)4,2,( mamaa  ?
17- Calcule três números em P.A tais que sua soma seja 6 e seu produto 24.
18- Escreva uma P.A de três termos, de modo que a sua soma seja igual a -3 e seu produto
seja igual a 8.
19- Obtenha três números em P.A de modo que sua soma seja 12 e seu produto 48.
20- Um estacionamento no centro de São Paulo cobra R$ 20,00 pela primeira hora de
estacionamento. A partir da segunda, há um decréscimo dos preços segundo uma
progressão aritmética. O preço da segunda hora é R$ 18,00 e o preço da quarta hora é R$
12,00. Assim, se um automóvel ficar estacionado 6 horas nesse estacionamento, qual valor
deverá ser pago pelo proprietário do carro estacionado?
21- Numa P.A de razão 5, o primeiro termo é igual a 4. Qual é a posição do termo igual a 44.
22- Considere a P.A(100, 93, 86,...). Determine a posição do termo de valor 37.
23- Quantos termos tem a P.A(4,7,10,...,157)?
24- Quantos termos tem a P.A(-1,2,...,86)?
25- Interpole cinco meios aritméticos entre 6 e 30.

26- Interpole oito meios aritméticos entre 26 e -1.
27- Insira cinco meios aritméticos entre -5 e 13.
28- Insira quatro meios aritméticos entre 0 e 2.
29- Quantos múltiplos de 4 existem entre 15 e 200?
30- Quantos números ímpares há entre 18 e 272?
31- Um corpo, em queda livre, percorre 4,9m durante o 1º segundo. Depois disso, em cada
segundo percorre sempre 9,8m a mais do que no segundo anterior. Quantos metros o
corpo percorrerá em 8 segundos?
32- Quantos são os múltiplos de 6 compreendidos entre 100 e 1000?
33- Determine quantos múltiplos de 3 existem entre 1 e 100.
34- Quantos múltiplos de 5 existem entre 100 e 1500?
35- Quantos múltiplos de 6 maiores que 17 e menores que 972 existem?
2.4 Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA genérica (a1, a2, a3,..., an-1, an).
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + a n-1 + an, pode ser deduzida a partir da
propriedade P2:
Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + a n-1 + an

Aplicando a propriedade P2:
Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)
Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo
valor (são iguais à soma dos termos extremos a1 + an), de onde concluímos inevitavelmente
que:
2. Sn = (a1 + an). n, onde n é o número de termos da PA.
Daí então vem finalmente que:
Exemplo: Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.A(4,7,10,...).
31
3.94
).1(
10
10
1



A
A
rnAAn
175
2
10).314(
2
).(
10
1





S
S
naa
S
n
n
n
Exercícios sobre soma dos termos de uma P.A
36- Calcule a soma dos trinta primeiros números ímpares positivos.
37- Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.A(7,4,...).
38- Calcule a soma dos cem primeiros números naturais pares.
39- Determine a soma dos 25 primeiros termos da P.A (-7,-9,-11,...).

40- Obtenha a soma dos dez primeiros termos da P.A em que o primeiro termo é
2
1
e a razão
.
2
3
41- Obtenha a soma dos vinte primeiros termos de uma P.A, sabendo que 21 A e 3r .
42- Calcule a soma dos múltiplos positivos de 4 formados por dois algarismos.
43- Calcule a soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 16 e 91.
44- Obtenha a soma dos múltiplos de 3 entre 13 e 100.
45- Calcule a soma dos números ímpares compreendidos entre 100 e 258.
46- Calcule a soma dos números pares compreendidos entre 200 e 357.
47- Determine a soma dos números pares positivos, menores que 101.
48- Qual é a soma de todos os números pares positivos de 2 a 450?
49- Determine a expressão que fornece a soma dos n primeiros números ímpares positivos.
50- (FGV-SP) Epaminondas corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo-
se que ao final de 15 dias ele correu um total de 67500 metros, quantos metros ele
percorreu no final do 3º dia?

3. Progressão Geométrica
Entenderemos por progressão geométrica -PG - como qualquer sequência de números reais
ou complexos, onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior, multiplicado por uma
constante denominada razão.
Exemplos:
(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3
3.1 Fórmula do termo geral
Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo
termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q
2
a4 = a3 . q = (a1 . q
2
) . q = a1 . q
3
................................................
................................................
Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . q
n-1
, que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . q
j-k
Exemplos:
a) Dada a PG (2, 4, 8,...), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela
fórmula:
a10 = a1 . q
9
= 2 . 2
9
= 2. 512 = 1024
b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a
320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4. q
8-4
. Daí vem: 320 = 20. q
4
Então q
4
=16 e portanto q = 2.
Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.

3.2 Propriedades principais
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e
posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B
2
= A . C; C
2
= B. D; D
2
= C. E; E
2
= D. F etc.
P2 - o produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B. F = C. E = D. D = D
2
Exercícios sobre P.G
51- Escreva:
a) Uma P.G de cinco termos em que 31 A e 3q .
b) Uma P.G de cinco termos em que 51 A e 2q .
52- Determine x de modo que a sequência (x+6, 2-x, 2-4x,...) seja uma P.G.
53- A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado formam, nessa ordem, uma P.G.
Quanto mede o lado desse quadrado?
54- Encontre três números em P.G, sendo 26 a sua soma e 216 o seu produto.
55- Três números reais formam uma P.G de soma 13 e produto 27. Determine esses números.
56- Encontre o termo geral da P.G(1, 5,...).
57- Calcule:
a) O quinto termo da P.G 





,...
3
4
,4,12 .
b) O décimo termo da P.G (8,-16,32,...).
58- Determine o oitavo termo da P.G ( ,...)
16
1
,
32
1
,
64
1
.

59- Insira seis meios geométricos entre 3 e 384.
60- Insira sete meios geométricos entre 3 e 768.
61- Insira cinco meios geométricos entre 4 e 256.
62- Insira três meios geométricos entre 9 e .
9
1
63- Determine o primeiro termo de uma P.G em que 312507 A e 5q .
64- Quantos termos existem na P.G(3, 6,..., 1536)?
65- Quantos termos existem na P.G(3, 6,..., 3072)?
66- Em uma P.G cujo 1º termo é 2 e a razão é -3, qual é a posição do termo -486?
67- Calcule a razão de uma P.G, sabendo que 4055 A , 51 A e que a P.G possui 5
termos.
68- Numa P.G, dados 21 A , 5q e 1250nA , calcule n .
69- Quantos termos possui a P.G onde
61 A , 384nA e 2q .
70- Em uma colônia de bactérias, uma bactéria divide-se em duas a cada hora. Determinar o
número de bactérias originadas de uma só bactéria dessa colônia depois de 15 horas.

3.3 Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4,..., an,...). Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos
considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn . q = a1. q + a2. q + .... + an-1. q + an. q.
Logo, conforme a definição de PG podemos reescrever a expressão acima como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an. q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn. q = Sn - a1 + an. q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
Se substituirmos a n = a1. q
n-1
, obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou
seja:
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 2, 4, 8,...)
Temos:
Observe que neste caso a1 = 1.
3.4 Soma dos termos de uma PG infinita
Considere uma PG ILIMITADA (infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos
considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exercícios sobre soma dos termos de uma P.G
71- Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.G(-5, -5, -5,-5,...).
72- Obtenha a soma dos dez primeiros termos da P.G .,...
2
1
,
,2
1
,
2
1







73- Determine a soma dos termos da P.G (-8, -16, -32, -64, -128, -256, -512).
74- Considere a P.G(7, 14, 28, 56,...). Calcule a soma dos oito primeiros termos dessa P.G.
75- Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G(3, 6, 12,...).
76- Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.G(2, 4, 8,...).
77- Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G(1, 3, 9,...).
78- Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G(-3, -6, -12,...).
79- Determine a soma dos dez primeiros termos da P.G(1000, 100, 10,...).
80- Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.G(2, 6, 18,...).
81- Quantos termos tem a P.G finita (1, 3, 9,..., x), se a soma de todos os seus termos é 1093?
82- Calcule a soma dos 9 primeiros termos da P.G( ...)2,2,2,2 3210
.
83- Calcule a soma dos 5 primeiros termos da P.G( ...)3,3,3,3 3210
.

84- Calcule a soma
108642
222221  .
85- Determine a soma de cada P.G infinita:
a) 





,...
18
1
,
6
1
,
2
1
b) 





,...
3
1
,1,3
c)  ,...25,50,100
d) 





,...
4
,
2
,
22
2 aa
a
86- Calcule a soma dos infinitos termos da P.G(32, 8, 2,...).
87- A soma dos termos da P.G ,...)5,5,5,5( 32
aaa é 3. Determine o valor de a.
88- Escreva a fração geratriz das seguintes dízimas:
a) 0,555...
b) 0,121212...
c) 3,44....
d) -2,66...
89- Determine a fração geratriz da dízima periódica 1,49494949....
90- Qual é a geratriz da dízima periódica 2,718181818...

4. Matrizes
As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas,
utilizadas na organização de dados e informações. Na álgebra, as matrizes são responsáveis
pela solução de sistemas lineares. Chamamos ordem de uma matriz a relação entre linhas e
colunas, uma matriz que tenha n linhas e m colunas é uma matriz da ordem n x m, para obter
o número de elementos de uma matriz, basta multiplicar m.n. Observe os exemplos de
matrizes abaixo:
, matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna), o número de elementos dessa matriz é 3 x
1 = 3
1 2
3 4
5 6
 
 
 
  
, matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas), o número de elementos dessa matriz é
3 x 2 = 6
1 2
3 4
 
 
 
, matriz quadrada de ordem 2 x 2. O número de elementos dessa matriz é 2 x 2 = 4
4.1 Representação genérica de uma matriz
Seja A uma matriz qualquer de ordem m x n, podemos representar A por:
Ou também, , onde i ∈ {1, · · · ,m} é o índice de linha e j ∈ {1, · · · , n} é
o índice de coluna.
Quanto aos elementos de cada matriz lê-se:
a11: A um, um.
a12: A um, dois.










1
2
3

A21: A dois, um.
amn: A m, n.
4.2 Lei de formação de uma matriz
Chamamos lei de formação de uma matriz, a sentença matemática que determina quais serão
cada um dos elementos da mesma, definida da maneira: (aij)m x n | Lei de Formação
Por exemplo: temos que: (aij)2x3= 2j – i, é uma matriz 2x3 onde cada elemento é obtido através
da lei 2j – i, vamos resolver a lei para cada elemento da matriz:
(a11)= 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1
(a12)= 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3
(a13)= 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5
(a21)= 2(1) – 2 = 2 – 2 = 0
(a22)= 2(2) – 2 = 4 – 2 = 2
(a23)= 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4
Logo a matriz
11 12 13
21 22 23
1 3 5
0 2 4
a a a
A
a a a
   
    
  
4.3 Tipos de matrizes
Matriz linha: Qualquer matriz com uma única linha. Esse tipo de matriz pode tem sempre
ordem 1 x m.
Por exemplo, a matriz A =[1, 2, 3, 4], do tipo 1 x 4.
Matriz coluna: Qualquer matriz com uma única coluna. Esse tipo de matriz pode tem sempre
ordem 1 x m.

Por exemplo, a matriz
1
2
3
B
 
   
  
do tipo 3 x 1.
Matriz quadrada: Chamamos matriz quadrada de ordem n a toda matriz que tem o mesmo
número de linhas e colunas. Por exemplo, a matriz
3 8
2 12
C
 
  
 
é do tipo 2 x 2, isto é,
quadrada de ordem 2.
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é
formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.
Veja:
Observe a matriz a seguir:
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)
Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.
Por exemplo, .
Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos. Por exemplo:

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são
iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por
exemplo:
Assim, para uma matriz identidade .
Matriz transposta: matriz A
t
obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas
por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A
t
é do tipo n x m.
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A
t
e a 2ª linha de A corresponde à 2ª
coluna de A
t
.
Exercícios sobre construção e definição de matrizes
91- Dada a matriz:

a- Qual é a sua ordem?
b- Quantos elementos ela possui?
c- Dê o valor dos seguintes elementos: 31122111 ,,, aaaa .
d- Calcule o valor de 33222113 aaaa  .
e- Ela é uma matriz quadrada? Justifique
92- Dê o tipo de cada matriz:
a)  81
b) 





5,04
97
c)










653
684
791
d)















6867
5698
7735
43,051
93- Construa a matriz A= 22)( xija , sendo jiaij  .
94- Construa a matriz A= 23)( xija , sendo jiaij  2 .













520
11142
418
A

95- Construa a matriz A= 32)( xija , sendo
22
2 jiaij  .
96- Construa a matriz 32)( xijcC 
, com
2 jicij
.
97- Determine a matriz A= 22)( xija tal que:
a) ija 0, se ji  e ija 1, se ji  .
b)
2
iaij  , se ji  e
2
jaij  , se ji  .
98- Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal
secundária da matriz 33)( xijaA  em que jiaij  2 .
99- Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 6?
100-Dê a matriz transposta de:
a)











6
3
1
A
b)











3
1
7
50
B
c)


















101128
6483
1802
73,05,11
C

4.4 Operações com Matrizes
Igualdade de matrizes
Sejam A e B duas matrizes reais, temos que A e B serão iguais se forem do mesmo tipo e se
os elementos correspondentes forem iguais. Logo teremos:
Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais
1 2 1 4
,
2 5 8 5
x
A B
y
   
         
,
Solução:
2 4 2
2 8 10
x x
y y
  
 
   
Adição de matrizes
Assim como nos números, equações e funções que vimos até agora, podemos realizar
algumas operações com matrizes e a soma é uma delas, podemos somar duas matrizes desde
que elas sejam de um mesmo tipo. Sejam A e B duas matrizes de ordem m x n, chamamos
matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.
Sejam as A e B as matrizes abaixo, vamos definir A + B:
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
e
a a a b b b
A B
a a a b b b
   
    
   
11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13
21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23
a a a b b b a b a b a b
A B
       
               

Exemplo: Determine a matriz A+B, sendo A e B:
2 4 9 3 5 9
e
8 1 2 6 2 2
A B
    
          
Solução:
2 4 9 3 5 9 2 3 4 5 9 ( 9)
=
8 1 2 6 2 2 8 ( 6) 1 2 2 ( 2)
A B
           
                      
=
5 1 0
2 1 -4
A B
 
   
 
Propriedades da adição
Sendo A, B, C e O (matriz nula) são matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades:
- Comutativa: A+B = B+A
- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C
- Elemento neutro: A+O = O+A = A
Subtração de matrizes
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B) a matriz obtida
subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B.
Sejam as A e B as matrizes abaixo, vamos definir A - B:
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
e
a a a b b b
A B
a a a b b b
   
    
   

11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13
21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23
A B
       
               
Exemplo: Determine a matriz A+B, sendo A e B:
2 4 9 3 5 9
e
8 1 2 6 2 2
A B
    
          
Solução:
2 4 9 3 5 9 2 3 4 5 9 ( 9)
=
8 1 2 6 2 2 8 ( 6) 1 2 2 ( 2)
A B
           
                      
=
1 9 18
14 3 0
A B
  
    
Multiplicação de uma Matriz por um número escalar
Seja k um número escalar real qualquer, definimos que a multiplicação de k por uma matriz A
será dada pela multiplicação de cada elemento de A pelo número real k, assim:
11 12 13 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23
. . .
. .
. . .
a a a a a a k a k a k a
A k A k
a a a a a a k a k a k a
     
        
     
Exemplo: seja A, a matriz dada abaixo, calcule 3.A:
1 1
4 10
A
 
   
Solução:
1 1 3.( 1) 3.1 3 3
3. 3.
4 10 3.( 4) 3.10 12 30
A
       
              
Matriz oposta

Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja soma com A resulta na matriz nula. A matriz
oposta é a multiplicação de uma matriz A por (-1), Então:
11 12 13 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23
( 1). ( 1).
a a a a a a a a a
A A A
a a a a a a a a a
       
                   
Exemplo:
1. Obtenha –A, dada a matriz
1 1
3 9
A
 
   
, Então:
1 1 1 1
( 1) ( 1)
3 9 3 9
A A
    
            
Observe que, sempre que tivermos uma matriz oposta A+(-A) = O (Matriz Nula)
Solução
Temos acima que:
1 1 1 1
e -
3 9 3 9
A A
    
        
, Então:
1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 0 0
( ) (Matriz Nula)
3 9 3 9 3 ( 3) 9 9 0 0
A A O
            
                         
Multiplicação de matrizes
Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A
pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz:
Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a
seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:

O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas da
matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:
O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade (I).
Exercícios sobre operações com matrizes
101-Calcule os valores de x e y nas seguintes igualdades:
a) 










 
2
6
11
166
31
y
x
b) 




 





 
01
1123
01
58 2
yx

c) 











y
x
36
1002
816
2 2
102-Dada a matriz 












210
432
011
A
, obtenha a matriz X tal que a matriz X seja a soma da
matriz A com a sua transposta.
103- Considere as seguintes matrizes:
32)( xijaA  , definida por jiaij  e 32)( xijbB  , definida por jibij  . Determine o
elemento 23C da matriz BAC  .
104-Dada a matriz













500
121
432
A , determine 3IAT
 .
105-Sendo 31)( xijaA  tal que jiaij  2 e 31)( xijbB  tal que 1 jibij , calcule
BA .
106-Se 







41
72
A e 




 

06
23
B , determine a matriz X em cada caso:
a) BXA 
b) ABX 
c) ABX 2
d) BXA 32 
107-Dadas as matrizes 






32
10
A e 








11
02
B , calcule ABC 3 . Calcule o produto
dos elementos da diagonal principal dessa matriz.

108-Dadas as matrizes: A 





 12
46
e 








53
21
B determine:
a) AB 2
b) BA 32 
c)
TT
BA 2
d) BA.
e) AB.
f)
2
A
g)
2
B






20
01
A , determine AA .32
 .
110-Dada a matriz









 

100
001
012
A , calcule
2
A .
111-(UFRJ) Seja 






10
11
A . Determine o valor de
3
A .
112-Dadas as matrizes 






41
14
M , 







14
41
N e 







51
32
P , calcule
PNM ).(  .
113-São dadas as matrizes 






13
12
A e 






01
43
B .
a) Calcule BA. .
b) Calcule ..AB
c) Calcule
2
A .

4.5 Matriz Inversa
Considere que A é uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos A de uma matriz inversível se
existir uma matriz B, tal que:
nA B B A I   
Nessas condições dizemos que B é inversa de A, e indicamos por A
-1
.
Exemplos:
Determine a Inversa de A, dado:
1 2
4 2
A
 
   
Temos que A
-1
, é uma matriz quadrada de ordem 2, com elementos ainda desconhecidos,
portanto:
1 a b
A
c d
  
  
 
, tal que
1
2A A I
  , então:
1 1 2 1 0 2 2 1 0
4 2 0 1 4 2 4 2 0 1
a b a c b d
A A
c d a c b d
           
                         
Para identificarmos a, b, c e d precisamos resolver, baseados no conceito de igualdade de
matrizes:
2 6 1 1 2
,
5 0 5 5
a c
a c
a c
 
  
 
2 6 0 1 1
,
5 1 5 10
b d
b d
b d
 
   
 
Portanto
1
1 1
5 5
2 1
5 10
A
 
 
  
 
  
Exercícios sobre matriz inversa
114-Calcule a matriz inversa de:

a) 






52
83
B
b) 







31
20
D






11
32
A , determine a matriz X tal que: X
T
AA  1
.
116- São dadas as matrizes 






57
23
A e 







11
11
B . Calcule
1
. 
 ABA .
117- Calcule
21
)( 
 AA , sendo 






43
21
A .
118- Dada a matriz 




 

23
35
A , determine o valor de AA 21

.
119- Calcule a matriz inversa de 






21
11
B . Prove que a multiplicação da matriz B pela
sua inversa é igual à matriz identidade.
120- Dadas as matrizes 






11
12
A e 






12
01
M :
a) Determine
1
M .
b) Determine o traço da matriz MAM ..1
, sabendo que o traço de uma matriz é a soma dos
elementos da diagonal principal.

5. Determinantes
Uma das partes mais interessantes do estudo de matrizes são os Determinantes, esses são a
associação de uma matriz quadrada com um número real, através dos determinantes podemos
definir se uma matriz tem ou não matriz inversa, de forma que caso o determinante de uma
matriz A seja igual a 0 (zero) a matriz A não é inversível.
Para representação do determinante temos a inserção de uma nova simbologia. O
determinante de uma matriz A, será dado como abaixo:
Seja
a b
A
c d
 
  
 
uma matriz, seu determinante será representado por det
a b
A
c d
 .
5.1 Determinante de ordem 2 x 2
Seja A uma matriz quadrada de ordem 2, o valor do determinante será dado por:
det
a b a b
A A a d b c
c d c d
 
       
 
5.2 Regra de Sarrus
Para obter o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3, podemos utilizar a regra de
Sarrus, para definirmos a regra de Sarrus vamos primeiro às definições de Diagonal Principal e
Diagonal Secundária. Na figura abaixo temos as duas diagonais destacadas, de maneira que:
Diagonal principal: a11, a22 e a33.
Diagonal secundária: a13, a22, a31.
Para aplicação prática da regra de sarrus, devemos repetir as duas primeiras colunas do
determinante e traçar a partir delas três diagonais principais e três diagonais secundárias.

O determinante será calculado por meio da diferença entre a soma do produto das três
diagonais principais e a soma do produto das três diagonais secundárias. Conforme abaixo:
Somatório da Diagonal principal
(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)
Somatório da Diagonal secundária
(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 . a21 . a33)
Cálculo do Determinante
D = {(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)} – {(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 .
a21 . a33)}
Exemplo:
1. Calcule o determinante de
1 1 2
2 3 0
2 3 4
A
 
   
  
utilizando a regra de Sarrus:
1 1 2 1 1 2 1 1
( ) 2 3 0 2 3 0 2 3
2 3 4 2 3 4 2 3
Det A     
  
Somatória das diagonais principais:
[1.( 3).4] (1.0.2) (2.2.3) 12 0 12 0p         
Somatória das diagonais secundárias:
(1.2.3) (1.0.3) [2.( 3).( 2)] 6 0 12 18s         
Regra de Sarrus:
Det(A) = p – s =0 – 18= -18

5.3 Teorema de Laplace
O teorema de Laplace consiste num método de calcular o determinante de matrizes quadradas
de ordem n ≥ 2 utilizando o cofator.
Lembrando que o cofator do elemento aij de uma matriz quadrada é o número:
Para calcular o determinante de uma matriz M quadrada de ordem n ≥ 2 utilizando o Teorema
de Laplace, devemos proceder da seguinte forma:
1. Escolha qualquer fila (linha ou coluna) da matriz M.
2. Multiplique cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator.
3. O teorema de Laplace diz que o determinante da matriz M será a soma dos produtos dos
elementos da fila pelos seus respectivos cofatores.
Como já dispomos de métodos práticos para o cálculo do determinante de matrizes quadradas
de ordem 2 e 3, é interessante aplicar o Teorema de Laplace para matrizes de ordem maior ou
igual a 4.
Para melhor explicação do método vamos a um exemplo numérico de sua aplicação.
Exemplo
1. Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o dispositivo prático de Sarrus e o
Teorema de Laplace.
Solução
Devemos escolher qualquer linha ou coluna da matriz M. Nesse caso, escolheremos a linha 2.

Agora, multiplicaremos cada elemento da linha pelo seu respectivo cofator:
Logo, o determinante será a soma desses produtos, ou seja:
D = – 6 + 3 +( – 1) = – 4.
Observe que nesse caso o dispositivo prático de Sarrus torna o cálculo do determinante bem
mais simples que o Teorema de Laplace, como foi dito anteriormente.
Exercícios sobre determinantes
121- Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:
a)  2A
b) 




 

41
23
B
c) 








16
34
C
d) 




 

32
46
D
e)









23
6
1
2
1
E

f) 




 

23
32
F
122-Calcule o determinante da matriz 22)( xijaA  tal que jiaij 23  .
123-Se 






20
11
A , encontre o valor do determinante de AA .22
 .
124-(Vunesp-SP) Dadas as matrizes 






42
31
A e 






13
21
B , calcular o determinante da
matriz BA. .
125-Resolva as equações:
a) 0
75
2





 xx
b) 12
13
22


x
c)
38
2
43
122 xxx


d)
x
x
x 0
2
4
43

126-Utilizando a Regra de Sarrus calcule o determinante das seguintes matrizes:
a)











432
314
523
A

b)












524
132
030
B
c)











552
287
402
C
127-Calcule o determinante das matrizes:
a) 33)( xijAA  tal que jiAij 32  .
b) 33)( xijBB  tal que jiBij 23  .
c) 33)( xijCC  tal que jiCij  .
128-Se 33)( xijAA 
tal que
jiaij 
, calcule o valor de
Adet
e
t
Adet
.
129-Determine o valor de x para que:
a) 0
321
412
31


x
b) 3
025
112
312

 x
c) 0
213
42
142
x

130-Para que valores de x o determinante










101
00
10
x
x
é positivo?
131-Dada a matriz














321
401
132
A , determine:
a) )( 12acof
b) )( 31acof
c) )( 22acof
d) )( 13acof
e) )( 23acof
f) )( 33acof
132- Dada a matriz













662
542
301
A , determine a soma dos cofatores dos elementos da
2ª linha.
133-(UFSC) Dada a matriz 














2244
0731
0085
0010
A
, calcule o determinante dessa matriz.
134-Utilizando o Teorema de Laplace calcule o determinante das seguintes matrizes:
a) 






87
43
A
b) 






35
41
B

c)











401
312
001
C
d)














1012
3121
1312
1010
D
e)













1010
2101
4312
0101
E
135-Resolva as equações:
a) 0
1011
1021
10
1511
2













xx
b) 0
5070
436
33
0040
2













x
xxx

6. Sistemas Lineares
6.1 Equações lineares
Chamamos equações lineares a toda equação da forma:
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b de maneira que a1, a2, a3,... , an são números reais, que são
chamados coeficientes das incógnitas x1, x2, x3,... , xn, e b é um número real chamado termo
independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).
Seja k o grau das incógnitas, a equação é denominada linear, se e somente se, k = 1.
Exemplos
1. São equações lineares
a) x + y = 3
b) 2x – y = 0
c) y +3x = 7
2. Não são equações lineares
a) x² - 4x = - 2
b) 2x³ – y = 7
c) x² + y² = 1
6.2 Sistemas lineares
Um conjunto de equações lineares da forma:
é denominado um sistema linear de m equações e n incógnitas.
Um sistema linear tem n soluções, representadas pela n-upla de números reais (r1, r2,
r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções da seguinte forma:
 Sistema linear possível: quando admite solução.
 Sistema linear impossível: quando não admite solução.
Um sistema linear possível pode ser classificado em:
 Determinado: quando admite uma única solução.
 Indeterminado: quando admite infinitas soluções.
6.3 Método do escalonamento
Um sistema linear é dito escalonado quando está disposto nas seguintes formas:





10
43
yx
yx








700
150
22
zyx
zyx
zyx
O processo de resolução de um sistema linear que envolve a eliminação de incógnitas é
denominado método do escalonamento.
Exemplo: Escalone e resolva o seguinte sistema linear:





95
824
yx
yx
.
Primeiro multiplicamos a segunda equação por -4 para eliminamos a incógnita x:
2
95
4422
95
36820244












y
yx
y
yx
yyxx
Como já achamos o valor de y, basta substituir esse valor na outra equação:
12  xy
6.4 Matrizes associadas a um sistema linear

Podemos associar determinadas matrizes a um sistema linear, sendo essas de dois tipos, a
matriz incompleta e a matriz completa.
Matriz incompleta
Seja o sistema linear abaixo:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
  

  
   
Podemos associar ao sistema dado uma matriz A, chamada incompleta, quando formada
apenas pelos coeficientes das incógnitas, conforme abaixo:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
A a b c
a b c
 
   
  
Matriz completa
Seja o mesmo sistema linear utilizado acima, podemos associar ao sistema dado uma matriz B,
chamada matriz completa, de maneira que basta adicionar uma ultima coluna à matriz A, com
os termos independentes de cada equação.
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
A a b c
a b c
 
   
  
6.5 Regra de Cramer
Consideremos um sistema linear de n equações e n incógnitas:
    
    
    
   
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
31 1 32 2 33 3 3n n 3
n1 1 n2 2 n3 3 n
a x a x a x ... a x b
a x a x a x ... a







  n n nx b

Como vimos esse sistema linear pode ser associado a uma matriz incompleta A, de maneira
que cada um de seus coeficientes seja um elemento da matriz, seja a matriz A, existe um
determinante D, tal que:


 

11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
n n n nn
a a a a
a a a a
D a a a a
a a a a
Seja Dxi o determinante da matriz que se obtém do sistema
dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita
xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ...
, bn, assim sendo:
Segundo a regra de Cramer:
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n
equações e n incógnitas são dados por frações cujo
denominador é o determinante D dos coeficientes das
incógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou seja:
 i
i
Dx
x
D
Exemplos
Para resolver um sistema linear pelo método de escalonamento, precisamos ter conhecimentos
de algumas propriedades fundamentais dos sistemas lineares, pertinentes à equivalência de
dois ou mais sistemas lineares.
1. A permutação entre as linhas de um sistema linear não alteram o sistema em si, uma vez
que sua solução permanece a mesma.
Exemplo
Os sistemas de equações lineares
 

 
x 3y 7
5x 2y 1
e
 

 
5x 2y 1
x 3y 7
São sistemas lineares equivalentes, fica óbvio que a dupla ordenada (1, 2) satisfaz a
ambos.


 



 




1 12 13 1
2 22 23 2
1 3 32 33 3
2 3
11 1 13 1
21 2 23 2
2 31 3 33 3
1 3
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33
n
n
n
n n n nn
n
n
n
n n n nn
n
b a a a
b a a a
Dx b a a a
b a a a
a b a a
a b a a
Dx a b a a
a b a a
a a a b
a a a b
Dx a a a 

3
1 2 3n n n n
b
a a a b

2. Podemos multiplicar a um sistema linear qualquer valor k, e podemos garantir que seu
resultado não será alterado.
Exemplo
Os sistemas de equações lineares
 

 
x 3y 7
5x 2y 1
e
 

 
x 3y 7
10x 4y 2
O segundo sistema tem a segunda linha sendo o dobro do sistema anterior, no entanto,
afirmamos que esses sistemas lineares são equivalentes, a dupla ordenada (1, 2)
satisfaz a ambos.
3. Um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação
qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra
na qual foi aplicada a transformação T2.
Exemplo:
Os sistemas
 

 
15x 3y 22
5x 2y 32
e
 

 
15x 3y 22
9y -74
São obviamente, pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira
equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).
Seja o sistema de equações lineares:





x + 3y - 2z = 3 (e1)
2x - y + z = 12 (e2)
4x + 3y - 5z = 6 (e3)
SOLUÇÃO:
1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem:





2x - y + z = 12
x + 3y - 2z = 3
4x + 3y - 5z = 6
2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da transformaçãoT2 -

somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido
- uso da transformação T3 - vem:





2x - y + z = 12
7y - 2z = 6
4x + 3y - 5z = 6
3 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a
equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem:





2x - y + z = 12
-7y + 5z = 6
5y - 7z =-18
4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:





2x - y + z = 12
-35y+25z = 30
35y -49z =-126
5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado
obtido, vem:





2x - y + z = 12
-35y+25z = 30
-24z = -96
6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que:



96
z= 4
24
, ou seja, z = 4.
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas:
Teremos:
- 35y + 25(4) = 30  y = 2.
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica:
2x - 2 + 4 = 12  x = 5.
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever
que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno

ordenado (5,2,4) :
S = { (5, 2, 4) }
Verificação:
Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:
5 + 3(2) - 2(4) = 3
2(5) - (2) + (4) = 12
4(5) + 3(2) - 5(4) = 6
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado.
Exercícios sobre sistemas Lineares
136- Dada a equação 534  yx , determine a solução em que 5y .
137- Verifique se (3,-4,5) é solução da equação 45  zyx .
138- Determine o valor de k para que (-1, 0,1) seja solução da equação 53  zykx .
139- Ache duas soluções da equação: 0
2
1
 yx .
140- Calcule a, de modo que (-1, a+1, 2) não seja solução da equação 042  zyx .
141- Verifique se cada um dos pares ordenados é solução para este sistema:








02
022
0
zyx
zyx
zyx
a) (0,0,0)

b) (0, 1, -1)
c) (1,1,1)
142- Quais as matrizes incompletas e completas dos sistemas abaixo?
a)








253
0
12
cba
ca
cba
b)











542
13
02
2
tzyx
tzy
tyx
tzyx
143-Represente o sistema





523
2
yx
yx
na sua forma matricial e, depois, resolva-o.
144- Resolva os sistemas a seguir utilizando a Regra de Cramer:
a)





652
443
yx
yx
b)





25
72
yx
yx
c)





1
323
yx
yx

d)








3233
932
22
zyx
zyx
zyx
e)








5
023
1
zyx
yx
zyx
f)








42
032
632
zyx
zyx
zyx
145- Escalone, e resolva se possível, os sistemas:
a)





623
2
yx
yx
b)





25
72
yx
yx
c)





1
323
yx
yx
d)





423
26
yx
yx
146- (Fuvest-SP)








186
2354
1432
z
zy
zyx
, o valor de x é igual a:

a) 27
b) 3
c) 0
d) -2
e) 1
147- A solução do sistema








733
822
542
zyx
zyx
zyx
é:
a) (-1, -2,2)
b) (-1, 2, -2)
c) (1,-2,-2)
d) (1, 2, -2)
e) (1,-2,2)
148- (FUVEST-SP) Dado o sistema linear abaixo:








1
83
74
zy
yx
zx
Calcule o valor de zyx  .
149- A soma de dois números inteiros é 10 e a diferença entre eles é 2. Quais são esses
números?
150- (Faap-SP) Ache dois números reais cuja soma é 9 e cuja diferença é 29.

151- Certa escola de ensino médio tem 107 alunos nas 1ª e 2ª séries, 74 nas 2ª e 3ª séries e
91 nas 1ª e 3ª séries. Qual o total de alunos dessa escola?
152- (UEL-PR) Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam R$ 70,00, dois artigos A mais um C
custam R$ 105,00 e a diferença de preço entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00.
Qual é o preço do artigo C?
153- Classifique os sistemas em impossível, possível e determinado ou possível e
indeterminado:
a)





523
45
yx
yx
b)








9333
02
6
zyx
zyx
zyx
154- Determine o valor de a para que o sistema





93
155
ayx
yx
seja possível e determinado.
155- Determine o valor de k de modo que o sistema





kyx
yx
63
12
seja impossível.

7. Trigonometria na circunferência
Considere o ponto de origem do plano, e a partir dele uma medida denominada raio que mede
uma unidade, sendo assim com o movimento de rotação do raio pela origem temos a
circunferência trigonométrica.
7.1 Arcos e Ângulos
Considere a circunferência de centro O sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B.
Então, tomando um terceiro ponto M, distinto dos anteriores. A circunferência fica dividida em
duas partes, cada uma das quais é um arco de circunferência:
Arco de circunferência AMB, e
Arco de circunferência AM'B.
A partir de agora consideraremos apenas os arcos orientados do ciclo trigonométrico com
origem no ponto A=(1,0) , que são chamados arcos trigonométricos. O ponto A=(1,0) é
chamado origem dos arcos.
Os eixos x e y do sistema cartesiano dividem a circunferência trigonométrica em quatro
quadrantes, que são partes iguais, com angulação 90º cada uma. Assim, na figura acima, I Q
representa o primeiro quadrante, II Q o segundo quadrante e assim por diante.

7.2 Medidas de arcos e ângulos
Existem maneiras diferentes de se medir ângulos e arcos, nesse curso utilizaremos as mais
usuais, graus e radianos.
Grau
Graus é a forma como usualmente medimos ângulos, esses tem medida igual a 1/360 da
circunferência que contém o arco. Assim sendo uma circunferência tem medida 360
o
Radiano
O radiano (notação: rad) é definido como a medida de um ângulo central subtendido por um
arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco. A circunferência
toda contém 2π raios, o que significa que seu comprimento é igual a 2πr e que a medida dela
(correspondente ao arco de uma volta) é de 2π rad.
7.3 Conversão entre graus e radianos
Podemos relacionar determinados valores inicialmente em graus para radianos e vice-versa,
para isso utilizaremos procedimentos matemáticos simples, sim a partir de uma regra de três
simples podemos converter de graus para radianos e de radianos para graus, observe.
Para todos os efeitos, temos que 2π r tem o mesmo valor que 360
o
, assim sendo, temos
facilmente que: πr = 180
o
, utilizaremos essa notação e nossas conversões. Observe o
exemplo:
Exemplo
1. Converta 45o
em radianos:
Solução:
Considerando que as 180
o
equivale a π rad, sabemos que 45
o
tem um valor x rad
correspondente em radianos, assim sendo, podemos dizer:
   
     

180 180
4
45 445
o
o
x
x xx
Então temos que 45
o
equivalem a

4
rad.
2. Converta

3
radianos em graus
Solução:

Da mesma forma temos que πr = 180
o
, então podemos relacionar as medidas de

3
para x graus.

 
  

      

180
180 3 180 180
. 60
1 3
3 3
o
x
x xx
Então, temos que

3
radianos equivalem a 60
o
.
7.4 Comprimento da circunferência
O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte forma: como
todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro
foi concluído que a razão entre os comprimentos de qualquer circunferência pelo seu
respectivo diâmetro será sempre uma mesma constante.
E essa constante foi provada pelo matemático grego Arquimedes de Siracura que seria
aproximadamente 3,14, e como esse valor não era exato foi estipulado que poderia ser
representado pela letra do alfabeto grego  , facilitando os cálculos.
Sendo C o comprimento da circunferência, temos: rC ..2 , onde r é o raio da
circunferência.
7.5 Congruência de arcos
Dois arcos são considerados côngruos (ou congruentes) quando têm a mesma posição no
círculo trigonométrico, diferindo-se apenas no número de voltas inteiras.
Então, se um arco mede α rad, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por α +
2kπ em que k ∈ Z. Na figura abaixo exibimos vários arcos côngruos ao arco de 60º ou de π/3
rad.
Como por exemplo, temos um arco de 60º (ou π/3 rad)

E abaixo, seus côngruos:
Para identificar os valores representantes na primeira volta de um ângulo côngruo, basta
subtrair o valor de 360º quantas vezes forem necessárias, até que  0 360o
.
Exemplo
1. Encontre o representante côngruo de 1200º.
Solução:
Reduzindo uma volta: 1200º - 360º = 840º
Como 840 > 360, podemos continuar reduzindo.
Reduzindo mais uma volta, temos: 840º - 360º = 480º.
Repetindo o procedimento, temos: 480º - 360º = 120º.
Como  0 120 360o o
, temos que o representante côngruo a 1200º na primeira
volta do ciclo trigonométrico é 120º.
Exercícios sobre trigonometria na circunferência
156- Converta em radianos:

a) 30º
b) 60º
c) 120º
d) 210º
e) 225º
f) 300º
g) 315º
h) 330º
157- Converta em graus:
a) rad
3
4
b) rad
8

c) rad
6
7
d) rad
12

e) rad
4
7
158- Expresse:
a) 12º para radianos
b) 75º para radianos
c)
5

para graus
d)
12
5
para graus
159- Um atleta percorre um terço de uma pista circular, correndo sobre a linha de uma
circunferência. Determine a medida do arco percorrido em graus e radianos.

160- Calcule o comprimento das seguintes circunferências:
a) Raio igual a 10 cm
b) Raio igual a 7,5cm
c) Diâmetro igual a 18 cm
d) Diâmetro igual a 21 cm
161- Ronycleisson dá 8 voltas em torno de uma pista circular de diâmetro 28 m. Qual a
distância percorrida por Ronycleisson?
162- A bicicleta é um veiculo com duas rodas presas a um quadro movido pelo esforço de um
ciclista por meio de pedais. Em alguns lugares ela é bastante utilizada no dia a dia por ser
um meio de transporte barato, ecológico e saudável.
a) Se as rodas de uma bicicleta tiverem 60 cm de diâmetro, qual a distância, em metros,
que ela percorrerá dando uma volta inteira?
b) Se a roda dianteira der 1600 voltas, quantos quilômetros a bicicleta percorrerá?
163- Determine a que quadrante pertencem os seguintes arcos:
a) 1300º
b) 440º
c) -1640º
d)
4
21
e)
7
8
f)
6
37
164- Quantas voltas completas dá e em que quadrante pára um móvel que, partindo da
origem dos arcos, percorre, na circunferência trigonométrica, um arco de:

a) 1810º?
b) 2350º?
c) -1200º?
d) rad
8
17
?
165- (UFGD-MS) Um dispositivo mecânico pode girar no sentido horário e anti-horário, e um
contador registra o ângulo, em graus, que mede o quanto o dispositivo girou em relação ao
ponto de partida. Se o contador marca um ângulo de 5000º negativos, o ângulo positivo
correspondente é:
a) 32º
b) 320º
c) 13º
d) 40º
e) 328º
7.6 Razões trigonométricas
Conhecemos as definições de seno, cosseno e tangente para o triângulo retângulo, agora
iremos ampliar esses conceitos à área onde eles foram originalmente concebidos, o circulo
trigonométrico, ou a circunferência de raio unitário.
Seno
No plano cartesiano consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio
unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante que
determina um arco AM correspondente ao ângulo central a. Chamamos de seno do ângulo a, à
medida da projeção ortogonal de AM no eixo y, indicamos por sen(a).

O sinal dos senos será positivo no primeiro e segundo quadrante, e negativo no terceiro e
quarto:
Cosseno
Considerando o mesmo sistema anterior, chamamos de cosseno do ângulo a, à medida da
projeção ortogonal de AM no eixo x, indicamos por cos (a).
O sinal dos cossenos será positivo no primeiro e quarto quadrante, e negativo no segundo e
terceiro:

Tangente
Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular
ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta
tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM
correspondente ao ângulo a.
Quando o arco é apresentado no segundo ou terceiro quadrantes, podemos representá-los no
primeiro ou quarto quadrante, dessa maneira, por exemplo, caso queiramos indicar a tangente
de um ângulo a no segundo quadrante, basta ver tg (a + 180º), sendo que esses valores de
tangente são equivalentes. Assim como os valores de um ângulo a no terceiro quadrante, são
equivalentes aos valores da tangente no primeiro quadrante, nesse caso basta ver a tg (a -
180º). Com isso podemos deduzir que o sinal da tangente será positivo no primeiro e terceiro
quadrante, e negativo no segundo e quarto.
7.1 Funções trigonométricas
Podemos associar nossos conhecimentos adquiridos recentemente com funções, no caso das
funções trigonométricas, essas têm um grupo específico de funções, as funções
trigonométricas, que estudaremos de agora em diante.
Função seno

Definição
Denominamos função seno a função f: →, que a cada número real x, associa o seno desse
número: f: →, f(x) = sen x
Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = .
Imagem de f(x) = sen x; Im (sen x) = [-1,1], pois o raio no círculo trigonométrico mede 1.
Sinal da Função
Assim como já vimos, referente ao sinal dos senos, o valor de sen(x) será positivo no primeiro e
segundo quadrante, e negativo no terceiro e quarto, assim como em seus valores côngruos.
Gráfico
Chamamos ao gráfico da função seno de senóide, para sua construção podemos utilizar o
meio de construção através de pontos notáveis e tabela.
Função cosseno
Definição
Denominamos função cosseno a função f:  →, que a cada número real x, associa o cosseno
desse número: f:  →, f(x) = cos x.
Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = 
Imagem de f(x) = cos x; Im (cos x) = [-1,1].
Sinal da Função

O sinal de f(x) = Cos (x) será positivo no primeiro e quarto quadrante, e negativo no segundo e
terceiro quadrantes.
Gráfico
Chamamos ao gráfico da função cosseno de cossenóide, para sua construção podemos utilizar
o meio de construção através de pontos notáveis e tabela.
Função tangente
Definição
Denominamos função tangente a função f: →, que a cada número x associa a tangente
desse número: f: →, f(x) = tg x.
Domínio de f(x) = tg x; D(tg x) = / x ½
Imagem de f(x) = tg x; Im (tg x) = .
Sinal da Função
O sinal da função tg (x) será positivo no primeiro e terceiro quadrante, e negativo no segundo e
quarto.
Gráfico

Chamamos o gráfico da função tangente de Tangentóide, também podendo ser construído
ponto a ponto.
Exercícios sobre seno, cosseno e tangente
166- Determine o valor do seno e do cosseno dos seguintes arcos:
a)
3
2
b) 240º
c) 300º
d) 135º
e) 225º
f) 150º
g) 6
h)
2
7
i) 21
j)
2
29
167- Calcule o número
3
4
cos
3
2
3
4
3
2
cos





sen
sen
A .

168- Calcule o número
4
3
4
3
cos
4
5
cos
4
7


sen
sen
B


 .
169- Calcule o valor da expressão
xsen
xxsen
A
3
8cos4
2

 , para
2

x .
170- Calcule o valor de º2460cosº330 sen .
171- (FEI-SP) Qual é o valor da expressão )31.(cos
2
7








 seny ?
172- Determine o valor da expressão: 












2
3
2
15
10cos

 sensenA .
173- O fenômeno da maré em determinado ponto da costa brasileira pode ser obtido pela
expressão: 






4
5
.
6
cos.2
2
21
)(

ttP , em que t é o tempo decorrido após o inicio da
operação )0( t , e P(t) é a profundidade da água no instante t. Qual é a profundidade
aproximada da água no inicio da operação?
174- Determine o valor de:
a) º900tg
b) º1500tg
c) 11tg
d) º150tg
e) º240tg
f) º300tg
g)
3
16
tg

175- Ache o valor de
4
3
º510cos

tg .
176- Que número é maior: º70tg ou º760tg ? Justifique sua resposta.
177- Simplifique a expressão: 

2
4
.3 tgtgA  .
178- Determine o valor numérico da expressão:
2
º60
)º15(
3cos)º30( 


 x
tg
xtg
xxsen
, para
º60x .
179- Construa a partir de senxy  os gráficos das funções indicadas abaixo. Escreva o
domínio e determine o conjunto imagem:
a) senxxf  2)(
b) senxxf  1)(
c) senxxf 1)(
d) senxxf )(
180- Construa o gráfico da função dada por
2
)(
x
senxf  , destacando o domínio, o conjunto
imagem e o período.
181- Construa a partir de xxf cos)(  os gráficos das funções indicadas abaixo. Escreva o
domínio e determine o conjunto imagem:
a) xxf cos1)( 
b) xxf cos1)( 
c) xxf cos)( 
d) xxf cos2)( 

182- Determine o período de cada uma das seguintes funções:
a) xseny 6
b)
3
x
seny 
c) xy 8cos
d) xy 6cos1
7.8 Outras razões trigonométricas
Secante
Podemos calcular a secante de um arco através da relação:
x
x
cos
1
sec  .
Cossecante
Podemos calcular a cossecante de um arco através da relação
senx
x
1
seccos  . .
Cotangente
Podemos calcular a cotangente de um arco através da relação
tgx
gx
1
cot  .
Exercícios sobre outras razões trigonométricas
183- Determine o valor da tangente e da cotangente dos seguintes arcos:
a) 0º
b) 30º

c)
3

d)
2

e) 2
f)
2
3
g)
4
7
h)
4
5
184- Determine o valor da secante e da cossecante dos seguintes arcos:
a) 0º
b) 30º
c) 45º
d)
4
17
e) 120º
f)
2
3
g) 150º
h) 
185- Calcule a cotangente, a secante e a cossecante dos seguintes arcos:
a)
4

b) 150º
c) 270º
d)
2
5
186- Calcule:

a) º45secº60sec 
b) º45sec.2º30sec.3 
c)
2
3
seccos
4
seccos.2


187- Obtenha o valor de:
a) )º180(sec8)º60(sec 3

b)
2
º30seccos.3
º60seccos3 
7.9 Relações trigonométricas
Dentro da trigonometria, há algumas relações que são fundamentais em problemas do
cotidiano. Veremos algumas dessas relações:
No círculo trigonométrico, o eixo horizontal é representado pelo seno e o eixo vertical, pelo
cosseno. Ao determinarmos um ponto qualquer sobre a extremidade do círculo, temos sua
projeção no eixo dos senos e dos cossenos. Ao traçarmos um segmento de reta do eixo das
origens do círculo até o ponto determinado, formamos um ângulo  , como mostram os
esquemas a seguir:
Com base no triângulo retângulo formado, vamos aplicar os fundamentos do Teorema de
Pitágoras:

Logo temos 1cos22
 sen .
Há algumas outras relações fundamentais que já conhecemos:
x
senx
tgx
cos

senx
x
gx
cos
cot 
x
x
cos
1
sec 
senx
x
1
seccos 
Há duas relações trigonométricas derivadas da relação fundamental que são importantes em
problemas do nosso cotidiano:
xtgx 22
1sec  e xgx 22
cot1seccos  .
Exemplo: Sabendo que
5
3
senx e Qx º2 , calcular:
a) xcos
b) tgx
c) xsec
a)
5
4
cos
25
16
cos
25
9
1cos
1cos
25
9
1cos
5
3
1cos
2
2
2
2
2
22











x
x
x
x
x
xxsen

b)
4
3
5
4
5
3
cos



x
senx
tgx
c)
4
5
5
4
1
cos
1
sec 


x
x
Exercícios sobre relações fundamentais
188- Sabendo que
5
3
senx e que Qx º1 , calcule:
a) xcos
b) tgx
c) gxcot
d) xsec
e) xseccos
189- Dado
5
4
cos x e Qx º4 determine:
a) senx
b) tgx
c) gxcot
d) xsec
e) xseccos
190- Calcule o valor de tgx e xsec , sendo
2
1
senx e Qx º3 .

191- Sabendo que
2
3
cos x e Qx º2 , calcule:
a) xsec
b) gxcot
192- Dado 4sec x calcule o valor de xcos .
193- Sabendo que 2seccos x calcule o valor de senx.

Questões de Vestibulares
Questão 1
(Cefet-SP) Considerando que a seqüência numérica (–95, –79, –63, ..., x) tem soma dos
termos igual a 2 425, x é igual a:
a) 113
b) 225
c) 289
d) 321
e) 385
Questão 2
(ESPM-SP) A soma de todos os números naturais de 2 algarismos distintos é igual a:
a) 4 905
b) 4 540
c) 4 410
d) 4 210
e) 4 090
Questão 3

(ESPM-SP) De 1995 a 2004, a população de uma cidade vem aumentando anualmente em
progressão aritmética. Em 2004 constatou-se que o número de habitantes era 8% maior que no
ano anterior. Pode-se concluir que, de 1995 a 2004, a população dessa cidade aumentou em:
a) 80%
b) 100%
c) 160%
d) 180%
e) 200%
Questão 4
(ESPM-SP) Se os números inteiros estritamente positivos forem escritos obedecendo à
seqüência abaixo, o número 300 estará na:
a) 15.ª linha e 13.ª coluna.
b) 13.ª linha e 17.ª coluna.
c) 11.ª linha e 18.ª coluna.
d) 14.ª linha e 15.ª coluna.
e) 13.ª linha e 16.ª coluna.

Questão 5
(Fatec-SP) Sendo n o oitavo elemento da seqüência (1, 2, 6, 24, 120, ...), é correto afirmar que:
a) 0 < n < 12 000
b) 12 000 < n < 24 000
c) 24 000 < n < 36 000
d) 36 000 < n < 48 000
e) 48 000 < n < 60 000
Questão 6
(FGV-RJ) Considere a seqüência cujo termo geral é an = (–1)
n
(2 + 3n), onde n = 1, 2, 3, … .
a) Escreva os seis primeiros termos dessa seqüência.
b) Calcule a soma dos 2 007 primeiros termos dessa seqüência.
Questão 7
(FGV-SP) A figura indica infinitos triângulos isósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8,
4, 2, 1, ... .

Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos hachurados na figura é igual a 51, pode-
se afirmar que a área do retângulo de lados h e d é igual a:
a) 68
b) 102
c) 136
d) 153
e) 192
Questão 8
(Fuvest-SP)
a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000?
b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1 000?
Questão 9
(Fuvest-SP) Em uma progressão aritmética a1, a2, ..., an, ... a soma dos n primeiros termos é
dada por Sn = bn
2
+ n, sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7, determine:

a) o valor de b e a razão da progressão aritmética;
b) o 20.
o
termo da progressão;
c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão.
Questão 10
(Fuvest-SP) Sabe-se sobre a progressão geométrica a1, a2, a3, ... que
a1 > 0 e a6 = –9 . Além disso, a progressão geométrica a1, a5, a9, ... tem razão igual a 9.
Nessas condições, o produto a2 · a7 vale:
a) –27
b) –3
c) –
d) 3
e) 27
Questão 11
(Fuvest-SP) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética.
Somando-se, respectivamente, 4, –4 e –9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa
progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos
termos da progressão aritmética é:
a) 9
b) 11

c) 12
d) 13
e) 15
Questão 12
(Fuvest-SP) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro
termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem.
Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da
progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Questão 13
(PUC-MG) De 1996 a 2005, a população de certa cidade aumentou anualmente em progressão
aritmética. Em 2005, constatou-se que o número de habitantes dessa cidade era 5% maior do
que no ano anterior. Com base nessas informações, pode-se concluir que, de 1996 a 2005, a
população dessa cidade aumentou em:
a) 45%
b) 60%
c) 75%
d) 90%

Questão 14
(PUC-MG) O tempo destinado à propaganda eleitoral gratuita é dividido entre três coligações
partidárias em partes diretamente proporcionais aos termos da progressão aritmética: t, t + 6,
t
2
. Nessas condições, de cada hora de propaganda eleitoral gratuita, a coligação partidária à
qual couber a maior parte do tempo t, medido em minutos, ficará com:
a) 26 min
b) 28 min
c) 30 min
d) 32 min
Questão 15
(UEL-PR) A média aritmética dos números a e b é (a + b)/2 e a média geométrica de a e b é
ab. Dois números têm média aritmética 4,1 e média geométrica 4. A alternativa correta que
apresenta o maior deles é:
a) 1
b) 4
c) 2
d) 8,2
e) 5

Questão 16
(UFMT-MT) Admita que a população humana mundial cresça, em progressão geométrica, 1%
ao ano, e a produção de alimentos para essa população cresça, em progressão aritmética,
também 1% ao ano. Admita ainda que a quantidade de alimentos produzidos em 2007 seja
suficiente, sem sobras, para toda essa população. Mantidos esses percentuais de crescimento,
quando a população humana dobrar, que percentual máximo dessa população poderá ser
alimentado?
Considere:
log2 = 0,3
log1,01 = 0,004
a) 87,5%
b) 50%
c) 100%
d) 77,5%
e) 90%
Questão 17
(Unesp-SP) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados.
No dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses
que passaram a freqüentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que
atingiu a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que se
passaram, excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse
atingida pela primeira vez, foi:
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18

e) 26
Questão 18
(Unicamp-SP) A Anatel determina que as emissoras de rádio FM utilizem as freqüências de
87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz entre as emissoras com freqüências
vizinhas. A cada emissora, identificada por sua freqüência, é associado um canal, que é um
número natural que começa em 200. Desta forma, à emissora cuja freqüência é de 87,9 MHz
corresponde o canal 200; à seguinte, cuja freqüência é de 88,1 MHz, corresponde o canal 201,
e assim por diante. Pergunta-se:
a) Quantas emissoras FM podem funcionar (na mesma região), respeitando-se o intervalo de
freqüências permitido pela Anatel? Qual o número do canal com maior freqüência?
b) Os canais 200 e 285 são reservados para uso exclusivo das rádios comunitárias. Qual a
freqüência do canal 285, supondo que todas as freqüências possíveis são utilizadas?
Questão 19
Sabendo que o primeiro termo de uma PG é positivo, o quarto termo é 192 e o segundo termo
é 12, calcule o primeiro e o sétimo termo.
Questão 20

Uma empresa deve instalar telefones de emergência a cada 42 quilômetros, ao longo da
rodovia de 2 184 km, que liga Maceió ao Rio de Janeiro. Considere que o primeiro desses
telefones é instalado no quilômetro 42, e o último, no quilômetro 2 142. Assim, a quantidade de
telefones instalados é igual a:
a) 50
b) 51
c) 52
d) 53
Questão 21
(ESPM-SP) Considere o determinante D = e o determinante D’ que se obtém
substituindo-se cada elemento de D pela soma dos outros três. Se D = D’, podemos afirmar
que:
a) x = 4 ou x = –6
b) x = 2 ou x = 4
c) x = 6 ou x = –4
d) x = –1 ou x = 5
e) x = –4 ou x = –2
Questão 22
(FGV-SP) A e B são matrizes e A
t
é a matriz transposta de A.
Se e , então a matriz A
t
· B será nula para:

a) x + y = –3
b) x · y = 2
c) = –4
d) x · y
2
= –1
e) = –8
Questão 23
(FGV-SP) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det (A) = 7. Nessas condições, det (3A) e det
(A
–1
) valem respectivamente:
a) 7 e –7
b) 21 e 1/7
c) 21 e –7
d) 63 e –7
e) 63 e 1/7
Questão 24
(FGV-SP) Considere as matrizes e .
Se o determinante da matriz A é igual a 2, então o determinante da matriz B é igual a:

Questão 25
(FGV-SP) O sistema linear admite solução não trivial, se:
a) α = –2
b) α ≠ –2
c) α = 2
d) α ≠ 2
e) α R, sendo R o conjunto dos números reais
Questão 26
(FGV-SP) O sistema linear abaixo:

a) é impossível
b) admite apenas uma solução
c) admite apenas duas soluções
d) admite apenas três soluções
e) admite infinitas soluções
Questão 27
(FGV-SP) Se o sistema linear
for resolvido pela regra de Cramer, o valor de x será dado por uma fração cujo denominador
vale:
a) 41
b) 179
c) –179
d) 9
e) –9
Questão 28

(Fuvest-SP) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas é não nula e
as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz
3x3.
tem posto 1.
Questão 29
(Fuvest-SP) O sistema , onde c ≠ 0 admite uma solução (x, y) com x = 1.
Então, o valor de c é:
a) –3
b) –2
c) –1
d) 1
e) 2
Questão 30

(Fuvest-SP) Se as matrizes A = e B = são tais que AB = BA, pode-se afirmar
que:
a) A é inversível
b) detA = 0
c) b = 0
d) c = 0
e) a = d = 1
Questão 31
(ITA-SP) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n x n, n ≥
2:
I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula.
II. Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1, 2, ..., n, então detA = a11a22...ann.
III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por + 1 e a segunda por –
1, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então detB = detA.
Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s):
a) apenas II
b) apenas III
c) apenas I e II
d) apenas II e III
e) todas
Questão 32

(ITA-SP) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1
pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de
café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de
café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de:
a) R$ 17,50
b) R$ 16,50
c) R$ 12,50
d) R$ 10,50
e) R$ 9,50
Questão 33
(ITA-SP) O sistema linear não admite solução se, e somente se, o número real b
for igual a:
a) –1
b) 0
c) 1
d) 2
e) –2
Questão 34

(ITA-SP) Seja x R e a matriz A = . Assinale a opção correta.
a) x R, A possui inversa.
b) Apenas para x > 0, A possui inversa.
c) São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa.
d) Não existe valor de x para o qual A possui inversa.
e) Para x = log25, A não possui inversa.
Questão 35
(PUC-RS) Sendo A = , B = e C = A x B, o elemento c33 da matriz C
é:
a) 9
b) 0
c) –4
d) –8
e) –12
Questão 36

(UEM-PR) Considere o sistema de equações lineares .
Se z = a, em que a é um número real qualquer, pode-se afirmar que:
a) x = 1.
b) y = a − 3.
c) x = a − 3.
d) x + y = a + 4.
e) z = x − y.
Questão 37
(UFG-GO) Deseja-se pintar duas fileiras de cinco quadrados num muro retangular de 5 metros
de comprimento por 2,2 metros de altura, conforme a figura abaixo.
Os lados dos quadrados serão paralelos às laterais do muro e as distâncias entre os
quadrados e entre cada quadrado e a borda do muro serão todas iguais. Nessas condições, a
medida do lado de cada quadrado, em metros, será:
a) 0,52
b) 0,60
c) 0,64
d) 0,72
e) 0,80

Questão 38
(UFSCar-SP) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que com
p inteiro positivo. Em tais condições, é correto afirmar que, necessariamente, det A é múltiplo
de:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
e) 11
Questão 39
(Unesp-SP) Considere as matrizes , , com x, y e z números
reais.
Se A · B = C, a soma dos elementos da matriz A é:
a) 9
b) 40
c) 41
d) 50
e) 81

Questão 40
(Unesp-SP) Dadas as matrizes A = e B = , o determinante da matriz A · B
é:
a) –1
b) 6
c) 10
d) 12
e) 14
Questão 41
Três vendedores ambulantes A, B e C decidem testar seu poder de persuasão para descobrir
qual deles é o melhor vendedor.
Para realizar o teste, eles estabeleceram que fossem vendidas as marcas x, y e z de sabonete,
cada uma com o mesmo preço.
Sabe-se que:
• A vendeu 1 sabonete da marca x, 4 sabonetes da marca y, 2 sabonetes da marca z e
arrecadou R$ 45,00;
• B vendeu 2 sabonetes da marca x, 3 sabonetes da marca y, 4 sabonetes da marca z e
arrecadou R$ 55,00;
• C vendeu 3 sabonetes da marca x, 2 sabonetes da marca y, 3 sabonetes da marca z e
arrecadou R$ 47,00.
Encontre o preço de cada sabonete das marcas x, y e z.

____________________________________________________________________________
_________
Questão 42
(Unesp-SP) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3. Se A = e B é tal que
B
–1
= 2A, o determinante de B será:
a) 24
b) 6
c) 3
d) 1/6
e) 1/24
Questão 43
Verifique se (3,1,2) é uma solução do sistema:
2x+y-z=5
x-y+3z=8
____________________________________________________________________________
___________________________________________________

Questão 44
(Unifesp-SP) A solução do sistema de equações lineares
é:
a) x = –5, y = –2 e z = –1
b) x = –5, y = –2 e z = 1
c) x = –5, y = 2 e z = 1
d) x = 5, y = 2 e z = –1
e) x = 5, y = 2 e z = 1
Questão 45
(UPM-SP) Considere a matriz A [2 –1] e uma matriz B = (bij). Se A · B · A = A, então é correto
afirmar que, na matriz B:
a) b21 = 2b11
b) b21 = –1 + 2b11
c) b12 = 1 + 2b11
d) b11 = 1 + 2b12
e) b21 = b11

Questão 46
Aplicando a Regra de Sarrus, calcule os seguintes determinantes:
Questão 47
Calculando corretamente o determinante encontramos:
a) 1000
b) 2000
c) 3000
d) 4000
e) 5000
____________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Questão 48

Calcule a e b sabendo que o sistema:
x-y=1
x+2y=4
é equivalente ao sistema:
ax+by=12
3x-2by=2
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
_____________________
Questão 49
Calcule a para que o sistema a seguir tenha outras soluções além da trivial.
ax+y+2z=0
x+ay+z=0
x+y+z=0_____________________________________________________________________
___________________
Questão 50
Calcule as inversas das seguintes matrizes:

Questão 51
(ESPM-SP) No círculo abaixo, de centro O e raio 10 cm, o ângulo x é tal que
0° < x < 90°. Podemos afirmar que a área do triângulo OAB:
a) Tem valor máximo próximo de 100 cm².
b) Tem valor máximo próximo de 50 cm².
c) Tem valor mínimo para x = 45°.
d) Tem valor máximo para x = 45°.
e) Vale 25 cm² para x = 60°.
Questão 52

(FGV-SP) A função f(x) = 16 (sen x) (cos x) assume valor máximo igual a:
a) 16
b) 12
c) 10
d) 8
e) 4
Questão 53
(FGV-SP) A soma das raízes da equação sen2x – sen (–x) = 0, no intervalo [0, 2π] é:
Questão 54

(FGV-SP) Considere a função f(x) = . Os valores máximo e mínimo de f(x) são
respectivamente:
Questão 55
a) 60
b) 62
c) 64
d) 65
e) 72
Questão 56

(FGV-SP) O valor de cos 72° – cos
2
36° é idêntico ao de:
a) cos 36°
b) –cos
2
36°
c) cos
2
36°
d) –sen
2
36°
e) sen
2
36°
Questão 57
Questão 58
(Fuvest-SP) O dobro do seno de um ângulo, θ, 0 < θ < , é igual ao triplo do quadrado de sua
tangente. Logo, o valor de seu cosseno é:

Questão 59
(Fuvest-SP) Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) sen 210° < cos 210° < tg 210°
b) cos 210° < sen 210° < tg 210°
c) tg 210° < sen 210° < cos 210°
d) tg 210° < cos 210° < sen 210°
e) sen 210° < tg 210° < cos 210°
Questão 60
(Fuvest-SP) Se tgθ – 2, então o valor de é:

Questão 61
(Fuvest-SP) Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a
equação 5cos2x + 3senx = 4.
Determine os valores de senx e cosx.
Questão 62

Questão 63
(ITA-SP) O conjunto solução de (tg2
x – 1) (1 – cotg2
x) ≠ 4, x ≠ kπ/2, k Z, é:

Questão 64
(PUC-RS) O ponto P(x, y) pertence à circunferência de raio 1 e é extremidade de um arco de
medida α, conforme a figura. Então o par (x, y) é igual a:
a) (tanα, senα)
b) (cosα, tanα)
c) (senα, cosα)
d) (cosα, senα)
e) (sen2α, cos2α)
Questão 65
(UFF-RJ) Um caminhão pipa deve transportar água da cidade A para a cidade Z. A figura
abaixo ilustra os caminhos possíveis que o motorista do caminhão pode tomar. As setas
indicam o sentido obrigatório de percurso. Os valores colocados próximo às setas especificam
o custo de transporte (todos dados em uma mesma unidade monetária) para o trecho em
questão.
Marque a opção que indica o caminho de menor custo total de transporte de A para Z.

a) A → B → Y → Z
b) A → B → X → Z
c) A → C → B → Y → Z
d) A → C → B → X → Z
e) A → C → Y → Z

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
NICOLAU, Antonio. Matemática de olho no mundo do trabalho. São Paulo: Scipione,
2004.
RUY, José. Matemática Fundamental: Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.
BARRETO, Benigno. Matemática: Aula por aula. São Paulo FTD, 2000.

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