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REVISÃO DE
MATÉMATICA
ESTE MATERIAL É UMA ADAPTAÇÃO DA “APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA” DO INSTITUTO
FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLIGIA E AUTORIA DO PROFESSOR MSC. LUIZ CARLOS LEAL
JUNIOR, PARA QUAL SÃO RECONHECIDOS OS DEVIDOS CRÉDITOS.
O OBJETIVO DESTE MATERIAL É INTRODUZIR OS CONCEITOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
NECESSÁRIOS AS DISCIPLINAS TÉCNICAS DO CURSO DE MECATRÔNICA E NÃO DEVE SER CONSIDERADA
COMO MATERIAL DE SUBSTITUIÇÃO AO UTILIZADO NA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA DO MESMO CURSO.
I - CONJUNTOS NUMÉRICOS
N Naturais
São os números positivos inclusive o zero, que representam uma contagem inteira.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Não há números naturais negativos.
Z Inteiros
São os números naturais e seus opostos – negativos.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Não há números inteiros em fração ou decimal.
Q Racionais
São todos os números na forma decimal exata, periódica ou na forma de fração.
{ }17 5 4 1 1 1 7
..., , , , ,0, , , ,...
6 2 3 2 3 2 2
Q = − − − −
Exemplos:
Números decimais na forma exata:
{1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272}
Números decimais na forma periódica:
{2,333333...= 2,3 ; 3,0222...= 3,02 ; 10,232323...= 10,23}
I Irracionais
São todas as decimais não exatas e não periódicas.
2
..., , 3, , ,...
6 6
I
π
π= −
 
 
 
R Reais
É a união dos conjuntos numéricos citados acima. Portanto, todo número, seja N, Z, Q ou I é um número R
(real).
As raízes em que o radicando seja negativo e o índice par não são reais, neste caso, tem-se os números
complexos.
II - AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (NÚMEROS DECIMAIS)
1) Adição
Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação aditiva, e o resultado é a soma.
Adição
2 + 2 = 4
Parcelas Soma
Exemplos:
4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049
1 2 1 15 40 12 67
1,1166
4 3 5 60 60
+ +
+ + = = ≅
2) Subtração
Na subtração os números são chamados de subtraendo, sendo a operação a subtração, e o resultado é o
minuendo.
Subtração
3 – 2 = 1
Minuendo Subtraendo diferença
Exemplos: As regras para a subtração são as mesmas da adição, portanto podemos utilizar os mesmos
exemplos apenas alterando a operação. Numa subtração do tipo 4-7 temos que o minuendo é menor que o subtraendo;
sendo assim a diferença será negativa e igual a -3.
3) Multiplicação
Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a operação multiplicativa, e o resultado é o
produto.
Multiplicação
22 x 3 = 66
Fatores Produto
Pode-se representar a multiplicação por: *, x ou .
Exemplos:
7,32 x 12,5 = 91,500
1 2 8 16 8
2,6
2 3 1 6 3
× × = = ≅
Na multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor, dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de
cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo).
4) Divisão
Na divisão, os números são chamados de dividendo (a parte que está sendo dividida) e divisor (a quantia de
vezes que esta parte está sendo dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o quociente.
Divisão
7 / 4 = 1,75
Dividendo Divisor Quociente
Exemplo:
Existe na divisão, o que se pode chamar de resto. Isto é, quando uma divisão não é exata irá sempre sobrar
um determinado valor, veja no exemplo a seguir:
843 / 5 = 168 (resto 3)
Se o resto for igual a zero a divisão é chamada exata.
Para se verificar o resultado basta utilizar:
Dividendo = (Quociente x divisor) + resto
No exemplo anterior, temos:
843 = (168 x 5) + 3
5) Casos particulares da multiplicação e divisão
Multiplicação
N x 1 = N
N x 0 = 0
Divisão
N / 1 = N
N / N = 1
0 / N = 0 (N≠0)
N / 0 = Não existe.
6) Exercícios
a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =
b) 4,03 + 200 + 51,2 =
c) 32,4 – 21,3 =
d) 48 – 33,45 =
e) 2,1 x 3,2 =
f) 48,2 x 0,031 =
g) 3,21 x 2,003 =
h) 8,4708 / 3,62 =
i) 682,29 / 0,513 =
j) 2803,5 / 4450 =
k)
0,3 0,4
3,2 2,0
×
=
−
l) 0,041 x 21,32 x 401,05 ≅
m) 0,0281 / 0,432 ≅
n)
2,31 4,82
5,1
×
≅
o)
0,021 4,32
0,285
×
≅
7) Valor absoluto ou Módulo
Representa a distância de um número até o zero (ou origem) na reta real. Sendo assim, o módulo, por
representar distância, é sempre positivo e representado por | |.
Exemplos:
9 9
2 2
0 0
7 7
− =
− =
=
=
8) Soma e subtração algébrica
Sinais iguais Somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum.
Sinais diferentes Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior.
Exemplos:
a) 2 + 4 = 6
b) – 2 – 4 = – 6
c) 5 – 3 = 2
d) – 5 + 3 = – 2
e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2
f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22
9) Multiplicação e divisão algébrica
Sinais iguais Resposta positiva
Sinais diferentes Resposta negativa
Ou seja:
MULTIPLICAÇÃO
+ ⋅+ = +
−⋅− = +
+ ⋅ − = −
−⋅+ = −
:
:
:
:
DIVISÃO
+ + = +
− − = +
+ − = −
− + = −
Exemplos:
a) 12 x 3 = 36
b) (-12) x (-3) = 36
c) 2 x (-2) = -4
d) (-2) x 3 = -6
e)
4
2
2
=
f)
20
4
( 5)
−
=
−
g)
( 20)
4
5
−
= −
10) Expressões numéricas
Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e divisão, na ordem
em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em expressões que aparecem sinais de reunião:
parênteses (), colchetes [] e/ou chaves {}, efetuam-se as operações eliminando-se, os sinais interiores para os
exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos
internos.
Exemplos:
a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ] = 2 + [–4] = 2 – 4 = –2
b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11
c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 * 2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1
11) Números Primos
São aqueles números divisíveis somente por eles mesmos e por 1.
Obs.: O número 1, por definição, não é primo.
Método para obtenção de números primos
Faremos isso através de um exemplo:
Encontre os números primos compreendidos entre 1 e 50.
1º Passo: Enumerá-los
{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50}
2º Passo: Encontrar a raiz quadrada do maior número quadrado dentre os indicados, ou seja, encontrar o
maior número que se conheça a raiz quadrada exata. No caso, 49 = 7.
3º Passo: Extrair da lista acima os números múltiplos dos números {2, 3,4, 5, 6, 7}, nesta ordem, onde o 7
provém do 2º passo.
4º Passo: Os números que sobraram são os números primos procurados:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
Obs.: O número 2 é o único número primo e par.
12) Decomposição de um número em um produto de fatores primos
A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do dispositivo prático que
será mostrado nos exemplos a seguir.
Exemplos:
30 2
15 3
30 2 3 5 1
5 5
1 1
∴ = ⋅ ⋅ ⋅
21 3
7 7 21 3 7 1
1 1
∴ = ⋅ ⋅
13) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles.
Exemplo:
a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45
2 2
12,16,45 2
06,08,45 2
03,04,45 2
03,02,45 2
. . 2 3 5 720
03,01,45 3
01,01,15 3
01,01,05 5
01,01,01 1
m m c∴ = ⋅ ⋅ =
O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720
Confirme os resultados abaixo.
b) m.m.c. (4, 3) = 12
c) m.m.c. (3, 5, 8) = 120
d) m.m.c. (8, 4) = 8
e) m.m.c. (60, 15, 20, 12) = 60
14) Máximo Divisor Comum (m.d.c.)
O m.d.c. a vários números é o maior número que os divide.
Exemplo: Encontrar o m.d.c. entre 12, 18 e 36.
Fatorando cada um dos números em fatores primos, temos:
12 = 22
.3
18 = 2.32
36 = 22
.32
.
Agora tomemos as menores potências dos fatores em comum apresentados acima, ou seja, os elementos
comuns de menores expoentes:
m.d.c.(12, 18, 36) = 2.3 = 6.
Confirme os resultados abaixo:
b) m.m.c. (9, 6) = 3
c) m.m.c. (36, 45) = 9
d) m.m.c. (12, 64) = 4
e) m.m.c. (20, 35, 45) = 5
15) Exercícios:
a) 2 + 3 – 1 =
b) – 2 – 5 + 8 =
c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =
d) 2 x (-3) =
e) (-2) x (-5) =
f) (-10) x (-1) =
g) (-1) x (-1) x (-2) =
h)
( ) ( )4 1
2
− ⋅ −
=
−
i)
( ) ( )1 3 5 2 7
1
− + − ⋅ −
=
−
m)
( )2 3 4 2 5 3
1
+ ⋅ − ⋅ −
=
−
n) 2 { 2 - 2 [ 2 - 4 ( 3 * 2 : 3 ) + 2 ] } + 1 =
o) 8 - { - 20 [ ( - 3 + 3 ) : ( - 58 )] + 2 ( - 5 ) } =
p) 0,5 x 0,4 : 0,2 =
q) 0,6 : 0,03 x 0,05 =
r) 5 : 10 =
s) 3 : 81 x 0,5 =
t) Calcule o m.m.c. e o m.d.c. entre:
a) 36 e 60
b) 18, 20 e 30
c) 12, 18 e 32
III - FRAÇÕES ORDINÁRIAS
Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador.
A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador, por exemplo:
1 3 120
, , , ...
2 5 210
etc
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representá-la por um
número misto e reciprocamente.
Exemplos:
10 3
) 1
7 7
28 25 3 25 3 3
) 5
5 5 5 5 5
11 2
) 3
3 3
a
b
c
= ⋅
+
= = + = ⋅
= ⋅
16) Propriedade
Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero obtém-se uma fração
equivalente à inicial.
Exemplos:
1 1 2 2
)
2 2 2 4
3 3 5 15
)
4 4 5 20
4 4 4 1
)
8 8 4 2
a
b
c
×
= =
×
×
= =
×
÷
− = − = −
÷
17) Soma algébrica de frações
Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores.
OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores.
Exemplos:
1 1 3 2 3 2 5
)
2 3 6 6 6 6
1 5 2 3 5 4 3 5 4 4 2
)
2 6 3 6 4 6 6 6 3
1 3 4 1 9 16 24 1 9 16 24 16 4 1
) 2 1
12 4 3 12 12 12 12 12 12 3 3
a
b
c
+
+ = + = =
+ −
+ − = + − = = =
− + −
− + − = − + − = = − = − = − ⋅
18) Multiplicação de frações
Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores.
Exemplos:
( )
1 3 3
)
2 5 10
1 1 1
)
4 2 8
1 2 2
)
3 5 15
1 2 3
) 3
4 7 14
3 1 11 16 44 4
)2 3 8
4 5 4 5 5 5
a
b
c
d
e
× =
− × = −
− × − =
− × − × − = −
⋅ × ⋅ = × = = ⋅
 
 
 
   
   
   
   
   
   
19) Divisão de frações
Multiplica-se a fração dividenda pelo inverso da fração divisora.
Exemplos:
( )
( ) ( )
1
1 3 3 12) 1
1 2 1 2 2
3
2
2 2 4 13) 1
1 3 1 3 3
2
1
1 1 12)
3 2 3 6
5 5 3 15 1
) 7
2 1 2 2 2
3
1314 13 4 52 253 3) 1
1 9 3 9 27 272
4 4
a
b
c
d
e
= × = = ⋅
−
= − × = − = − ⋅
= × =
= × = = ⋅
⋅
= = × − = − = − ⋅
− ⋅ −
 
 
 
 
 
 
20) Comparação de Frações
Para comparar as frações devemos reduzi-las ao mesmo denominador e comparar os numeradores, a qual
tiver o numerador maior, será a maior fração.
OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b”
a > b lê-se “a é maior do que b”
Exemplo: Comparar
6
7
e
2
3
:
Para isto, calculamos o m.m.c. entre 7 e 3:
m.m.c.(3, 7) = 21.
Então, ao transformar os denominadores em 21, devemos multiplicar os numeradores pelo fatores de
transformações.
6 3
7 3
×
×
e
2 7 18
3 7 21
×
⇒
×
e
14
21
Como 18 é maior que 14, podemos afirmar que:
18 14
.
21 21
>
21) Exercícios
Simplifique as frações, ou coloque-as na forma irredutível:
2
)
4
9
)
27
12
)
48
a
b
c
=
=
=
Comparar as frações :
1 2
) ,
2 3
2 5
) ,
3 6
4 3
) ,
7 8
a
b
c
Resolva:
1 1
)
5 10
1 1 1
)
2 3 6
1 2
)
3 5
3 1 2
)
7 3 5
1 2
)
6 5
a
b
c
d
e
+ =
− + =
× =
× × =
− × − =
   
   
   
1
3)
1
2
2 1
) :
3 5
1 2 1
) :
2 3 4
2 1
)2 :1
5 5
1 2 1
) :
3 4 2
11
3)
3
11
21
2)
1
2
f
g
h
i
j
k
l
=
− =
× =
× × =
+ =
+
=
+
+
=
 
 
 
 
 
 
Simplifique:
1
1
1 1)
1
1
1
1
1 1
1 1 1
92 3 4) : 1
2 3 17
3 4
a
b
+
+ =
+
+
+
+ +
+ =
+
 
 
 
IV – POTÊNCIAS
Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A.
...n
nvezes
A A A A A= × × × ×
A é a base da potência e n é o expoente da potência, que determina seu grau. Desta forma:
2³ = 2 x 2 x 2 = 8 = 2³ = 8
(- 1)4
= (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) = 1 ∴ (- 1)4
= 1
CASOS PARTICULARES:
a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base:
A1
= A; 21
= 2
b) Toda potência de 1 é igual a 1:
1² = 1; 1³ = 1
c) Toda potência de 0 é igual a 0:
0² = 0; 0³ = 0
d) Toda potência de expoente par é positiva:
(- 2)4
= 16; 24
= 16; (- 3)² = 9; 3² = 9
e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:
3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27
25
= 32 ; (- 2)5
= - 32
22) Multiplicação de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e somam-se os expoentes.
Exemplos:
23
x 22
= 2(3+2)
= 25
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
5² x 57
= 59
= 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 1 953 125
23) Divisão de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e subtraem-se os expoentes.
Exemplos:
56
: 54
= 52
= 5 x 5 = 25
37
: 33
= 34
= 3 x 3 x 3 x 3 = 81
24) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes)
Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.
Exemplos:
2² x 7² = 2 x 2 x 7 x 7 = (2 x 7)²
3³ x 5³ = 3 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 = (3 x 5)³ = 15³ = 3 375
25) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes)
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.
Exemplos:
22
2
2 2 2 2 2 2
7 7 7 7 7 7
×
= = × =
×
 
 
 
8³ : 2³ = 4³ = 64
26) Potenciação de potência
Eleva-se a base ao produto dos expoentes.
Exemplos:
(23
)2
= 2(3 x 2)
= 26
(35
)2
= 310
= 59049
27) Expoente nulo
Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual à unidade.
Exemplos:
a4
: a4
= a(4-4)
= a0
= 1
(-5)0
= 1
28) Expoente negativo
Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é igual a uma fração cujo numerador é a
unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo.
2
3
(3 7) 4
7
1 1 1
5
5 5 5 25
2
2 2
2
−
− −
= = =
×
= =
De forma geral:
1n
n
a
a
−
=
29) Potências de 10
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas forem as unidades do
expoente.
Exemplos:
a) 10² = 100
b) 107
= 10 000 000
c) 200 = 2 x 100 = 2 x 10²
d) 4000 = 4 x 10³
e) 300 000 = 3 x 105
f) 3 x 108
= 300 000 000
30) Números decimais
Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o número escrito como inteiro, e outro é
uma potência de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas são as ordens decimais.
Exemplos:
4
4
3
3
5
3
3
25 25
0,0025 25 10
10000 10
0,001 10
0,002 2 10
0,00008 8 10
1,255 1255 10
2 10 0,002
−
−
−
−
−
−
= = = ×
=
= ×
= ×
= ×
× =
31) Exercícios
a) 1³ =
b) 04
=
c) (- 2)³ =
d) (- 4)³ =
e) (- 2)4
=
f) (- 4)4
=
g) 2³ x 25
=
h) 3² x 3 x 35
=
i) 35
: 34
=
j) 34
: 3² x 35
=
k) 24
x 54
=
l) (- 3)5
x (- 5)5
=
m) 153
: 33
=
n) (- 4)6
: 26
=
o) (3³)2
=
p) (2³)5
=
q) (33
)2
=
r) [ (3³)² ]² =
s) (2 x 3)³ =
t) (3² x 5 x 2)4
=
5
3
4
22 3
3
5
)
3
2
)
3
2 3
)
5
u
v
w
=
=
×
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x) (2 x 3²)0
=
y) 4-2
=
z) 2 x 3-1
=
Exprimir, utilizando potências de 10:
a) 20 000 =
b) 4 800 000 =
c) 0,01 =
d) 0,000045 =
Efetuar, utilizando potência de 10:
2000 48000
)
80
28 0,000032
)
0,00002
a
b
×
=
×
=
V – RADICAIS
Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão que, elevado à
potência n reproduz A.
OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo .
n
n índice
a a radicando
radical
→
→
→





Desta forma:
a) 16 4= porque
2
4 16= ;
b)
3
8 2= porque
3
2 8= ;
c)
4
81 3= porque
4
3 81= .
32) Propriedade
É possível retirar um fator do radical, basta que se divida o expoente do radicando pelo índice do radical.
Exemplos:
2
2 2
8 4 24 4
8
8 24 4
) 12 2 3 2 3
) 180 2 3 5 2 3 5 6 5
) 3 5 2 3 5 2
) 3 3 3
a
b
c
d
= × =
= × × = × =
× × = ×
= =
Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo índice do radical
da seguinte maneira:
3 33
3 2 3 2= ×
33) Adição e subtração de radicais semelhantes
Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de radicais
semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical.
Exemplos:
3 3 3 3 3 3 3
)3 2 5 2 10 2 8 2 10 2 2 2
)3 2 6 2 5 2 2 9 2 6 2 3 2
a
b
+ − = − = −
+ − − = − =
34) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice
Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto (quociente) o índice comum.
Exemplos:
4 4 4
4
4 4
) 2 3 2 3 6
6 6
) 3
22
) 3 5 2 3 5 2 30
5 3 15 15
)
22 2
a
b
c
d
× = × =
= =
× × = × × =
×
= =
35) Potenciação de radicais
Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.
Exemplo:
( )
( ) ( )
3
344
2 25 2 2 5 4 25
) 3 3
) 2 3 2 3 2 3
a
b
=
× = × = ×
36) Radiciação de radicais
Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.
Exemplos:
2 2 4
3 4 24
) 3 3 3
) 3 3
a
b
×
= =
=
37) Expoente fracionário
Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o
denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando. De forma geral, tem-se:
p
q pq
a a=
Exemplos:
2
3 2 33
3
34 4
)2 2 4
) 6 6
a
b
= =
=
38) Racionalização de denominadores
1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o numerador e
o denominador da fração.
Exemplos:
1 1 2 2 2
)
22 2 2 4
1 1 3 3 3 3
)
2 3 62 3 2 3 3 2 9
2 2 3 6 6
)
33 3 3 9
2 2 2 2 6 2 12 2 12 2 12 12
)
5 6 30 155 6 5 6 6 5 36
a
b
c
d
×
= = =
×
×
= = = =
××
×
= = =
×
×
= = = = =
××
2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou ambos, são radicais
do 2º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador.
OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b.
Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo:
(a + b) x (a – b) = a² - b²
Portanto:
(5 + 3) x (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16
Exemplos:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2
2
1 5 21 5 2 5 2 5 2
)
5 2 35 2 5 2 5 2 5 2
5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 35
) 5 2 3
4 3 12 3 2 3 2 3 2 3
a
b
× − − − −
= = = =
−+ + × + −
× − × − × − × −
= = = = = × −
−+ + × − −
39) Exercícios
Efetuar:
( ) ( )
( )
( )
4
3 4
4
4
6
3
2
3 2
3 3
3
3
3 3 3
) 5 2 5 10 5
) 32 2 2 8
)3 3 3 429
) 3 6
) 2 4
8
)
2
) 2
) 2 3
) 3
) 3
) 2 2
) 2 2 2
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
− + =
+ − =
+ − =
× =
− × − =
=
=
× =
=
=
=
=
Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:
( )
( )
1
2
3
4
1
1 2
2
1
6
)2
)2
) 2
) 2 3
a
b
c
d
−
=
=
=
× =
Racionalizar o denominador das frações seguintes:
1
)
5
3
)
7
3
)
2 2
2
)
5 2
5
)
4 11
a
b
c
d
e
=
=
=
=
−
=
−
Simplifique:
50 8
)
2
) 2352
1 1
)
1 2 2 1
a
b
c
−
=
=
− =
− +

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  • 1. REVISÃO DE MATÉMATICA ESTE MATERIAL É UMA ADAPTAÇÃO DA “APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA” DO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLIGIA E AUTORIA DO PROFESSOR MSC. LUIZ CARLOS LEAL JUNIOR, PARA QUAL SÃO RECONHECIDOS OS DEVIDOS CRÉDITOS. O OBJETIVO DESTE MATERIAL É INTRODUZIR OS CONCEITOS MATEMÁTICOS BÁSICOS NECESSÁRIOS AS DISCIPLINAS TÉCNICAS DO CURSO DE MECATRÔNICA E NÃO DEVE SER CONSIDERADA COMO MATERIAL DE SUBSTITUIÇÃO AO UTILIZADO NA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA DO MESMO CURSO.
  • 2. I - CONJUNTOS NUMÉRICOS N Naturais São os números positivos inclusive o zero, que representam uma contagem inteira. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Não há números naturais negativos. Z Inteiros São os números naturais e seus opostos – negativos. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Não há números inteiros em fração ou decimal. Q Racionais São todos os números na forma decimal exata, periódica ou na forma de fração. { }17 5 4 1 1 1 7 ..., , , , ,0, , , ,... 6 2 3 2 3 2 2 Q = − − − − Exemplos: Números decimais na forma exata: {1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272} Números decimais na forma periódica: {2,333333...= 2,3 ; 3,0222...= 3,02 ; 10,232323...= 10,23} I Irracionais São todas as decimais não exatas e não periódicas. 2 ..., , 3, , ,... 6 6 I π π= −       R Reais É a união dos conjuntos numéricos citados acima. Portanto, todo número, seja N, Z, Q ou I é um número R (real). As raízes em que o radicando seja negativo e o índice par não são reais, neste caso, tem-se os números complexos. II - AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (NÚMEROS DECIMAIS) 1) Adição Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação aditiva, e o resultado é a soma. Adição 2 + 2 = 4 Parcelas Soma Exemplos: 4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049
  • 3. 1 2 1 15 40 12 67 1,1166 4 3 5 60 60 + + + + = = ≅ 2) Subtração Na subtração os números são chamados de subtraendo, sendo a operação a subtração, e o resultado é o minuendo. Subtração 3 – 2 = 1 Minuendo Subtraendo diferença Exemplos: As regras para a subtração são as mesmas da adição, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a operação. Numa subtração do tipo 4-7 temos que o minuendo é menor que o subtraendo; sendo assim a diferença será negativa e igual a -3. 3) Multiplicação Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a operação multiplicativa, e o resultado é o produto. Multiplicação 22 x 3 = 66 Fatores Produto Pode-se representar a multiplicação por: *, x ou . Exemplos: 7,32 x 12,5 = 91,500 1 2 8 16 8 2,6 2 3 1 6 3 × × = = ≅ Na multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor, dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo). 4) Divisão Na divisão, os números são chamados de dividendo (a parte que está sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte está sendo dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o quociente. Divisão 7 / 4 = 1,75 Dividendo Divisor Quociente Exemplo: Existe na divisão, o que se pode chamar de resto. Isto é, quando uma divisão não é exata irá sempre sobrar um determinado valor, veja no exemplo a seguir: 843 / 5 = 168 (resto 3) Se o resto for igual a zero a divisão é chamada exata. Para se verificar o resultado basta utilizar: Dividendo = (Quociente x divisor) + resto No exemplo anterior, temos:
  • 4. 843 = (168 x 5) + 3 5) Casos particulares da multiplicação e divisão Multiplicação N x 1 = N N x 0 = 0 Divisão N / 1 = N N / N = 1 0 / N = 0 (N≠0) N / 0 = Não existe. 6) Exercícios a) 2,31 + 4,08 + 3,2 = b) 4,03 + 200 + 51,2 = c) 32,4 – 21,3 = d) 48 – 33,45 = e) 2,1 x 3,2 = f) 48,2 x 0,031 = g) 3,21 x 2,003 = h) 8,4708 / 3,62 = i) 682,29 / 0,513 = j) 2803,5 / 4450 = k) 0,3 0,4 3,2 2,0 × = − l) 0,041 x 21,32 x 401,05 ≅ m) 0,0281 / 0,432 ≅ n) 2,31 4,82 5,1 × ≅ o) 0,021 4,32 0,285 × ≅ 7) Valor absoluto ou Módulo Representa a distância de um número até o zero (ou origem) na reta real. Sendo assim, o módulo, por representar distância, é sempre positivo e representado por | |. Exemplos: 9 9 2 2 0 0 7 7 − = − = = = 8) Soma e subtração algébrica Sinais iguais Somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum. Sinais diferentes Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior. Exemplos: a) 2 + 4 = 6 b) – 2 – 4 = – 6 c) 5 – 3 = 2 d) – 5 + 3 = – 2 e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2 f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22 9) Multiplicação e divisão algébrica Sinais iguais Resposta positiva Sinais diferentes Resposta negativa
  • 5. Ou seja: MULTIPLICAÇÃO + ⋅+ = + −⋅− = + + ⋅ − = − −⋅+ = − : : : : DIVISÃO + + = + − − = + + − = − − + = − Exemplos: a) 12 x 3 = 36 b) (-12) x (-3) = 36 c) 2 x (-2) = -4 d) (-2) x 3 = -6 e) 4 2 2 = f) 20 4 ( 5) − = − g) ( 20) 4 5 − = − 10) Expressões numéricas Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em expressões que aparecem sinais de reunião: parênteses (), colchetes [] e/ou chaves {}, efetuam-se as operações eliminando-se, os sinais interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos. Exemplos: a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ] = 2 + [–4] = 2 – 4 = –2 b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11 c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 * 2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1 11) Números Primos São aqueles números divisíveis somente por eles mesmos e por 1. Obs.: O número 1, por definição, não é primo. Método para obtenção de números primos Faremos isso através de um exemplo: Encontre os números primos compreendidos entre 1 e 50. 1º Passo: Enumerá-los {1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50} 2º Passo: Encontrar a raiz quadrada do maior número quadrado dentre os indicados, ou seja, encontrar o maior número que se conheça a raiz quadrada exata. No caso, 49 = 7. 3º Passo: Extrair da lista acima os números múltiplos dos números {2, 3,4, 5, 6, 7}, nesta ordem, onde o 7 provém do 2º passo. 4º Passo: Os números que sobraram são os números primos procurados: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}. Obs.: O número 2 é o único número primo e par. 12) Decomposição de um número em um produto de fatores primos A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos exemplos a seguir. Exemplos:
  • 6. 30 2 15 3 30 2 3 5 1 5 5 1 1 ∴ = ⋅ ⋅ ⋅ 21 3 7 7 21 3 7 1 1 1 ∴ = ⋅ ⋅ 13) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles. Exemplo: a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45 2 2 12,16,45 2 06,08,45 2 03,04,45 2 03,02,45 2 . . 2 3 5 720 03,01,45 3 01,01,15 3 01,01,05 5 01,01,01 1 m m c∴ = ⋅ ⋅ = O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720 Confirme os resultados abaixo. b) m.m.c. (4, 3) = 12 c) m.m.c. (3, 5, 8) = 120 d) m.m.c. (8, 4) = 8 e) m.m.c. (60, 15, 20, 12) = 60 14) Máximo Divisor Comum (m.d.c.) O m.d.c. a vários números é o maior número que os divide. Exemplo: Encontrar o m.d.c. entre 12, 18 e 36. Fatorando cada um dos números em fatores primos, temos: 12 = 22 .3 18 = 2.32 36 = 22 .32 . Agora tomemos as menores potências dos fatores em comum apresentados acima, ou seja, os elementos comuns de menores expoentes: m.d.c.(12, 18, 36) = 2.3 = 6. Confirme os resultados abaixo: b) m.m.c. (9, 6) = 3 c) m.m.c. (36, 45) = 9 d) m.m.c. (12, 64) = 4 e) m.m.c. (20, 35, 45) = 5 15) Exercícios: a) 2 + 3 – 1 = b) – 2 – 5 + 8 = c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 = d) 2 x (-3) = e) (-2) x (-5) = f) (-10) x (-1) =
  • 7. g) (-1) x (-1) x (-2) = h) ( ) ( )4 1 2 − ⋅ − = − i) ( ) ( )1 3 5 2 7 1 − + − ⋅ − = − m) ( )2 3 4 2 5 3 1 + ⋅ − ⋅ − = − n) 2 { 2 - 2 [ 2 - 4 ( 3 * 2 : 3 ) + 2 ] } + 1 = o) 8 - { - 20 [ ( - 3 + 3 ) : ( - 58 )] + 2 ( - 5 ) } = p) 0,5 x 0,4 : 0,2 = q) 0,6 : 0,03 x 0,05 = r) 5 : 10 = s) 3 : 81 x 0,5 = t) Calcule o m.m.c. e o m.d.c. entre: a) 36 e 60 b) 18, 20 e 30 c) 12, 18 e 32 III - FRAÇÕES ORDINÁRIAS Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador. A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador, por exemplo: 1 3 120 , , , ... 2 5 210 etc A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representá-la por um número misto e reciprocamente. Exemplos: 10 3 ) 1 7 7 28 25 3 25 3 3 ) 5 5 5 5 5 5 11 2 ) 3 3 3 a b c = ⋅ + = = + = ⋅ = ⋅ 16) Propriedade Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero obtém-se uma fração equivalente à inicial. Exemplos: 1 1 2 2 ) 2 2 2 4 3 3 5 15 ) 4 4 5 20 4 4 4 1 ) 8 8 4 2 a b c × = = × × = = × ÷ − = − = − ÷ 17) Soma algébrica de frações Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores. OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores. Exemplos:
  • 8. 1 1 3 2 3 2 5 ) 2 3 6 6 6 6 1 5 2 3 5 4 3 5 4 4 2 ) 2 6 3 6 4 6 6 6 3 1 3 4 1 9 16 24 1 9 16 24 16 4 1 ) 2 1 12 4 3 12 12 12 12 12 12 3 3 a b c + + = + = = + − + − = + − = = = − + − − + − = − + − = = − = − = − ⋅ 18) Multiplicação de frações Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores. Exemplos: ( ) 1 3 3 ) 2 5 10 1 1 1 ) 4 2 8 1 2 2 ) 3 5 15 1 2 3 ) 3 4 7 14 3 1 11 16 44 4 )2 3 8 4 5 4 5 5 5 a b c d e × = − × = − − × − = − × − × − = − ⋅ × ⋅ = × = = ⋅                               19) Divisão de frações Multiplica-se a fração dividenda pelo inverso da fração divisora. Exemplos: ( ) ( ) ( ) 1 1 3 3 12) 1 1 2 1 2 2 3 2 2 2 4 13) 1 1 3 1 3 3 2 1 1 1 12) 3 2 3 6 5 5 3 15 1 ) 7 2 1 2 2 2 3 1314 13 4 52 253 3) 1 1 9 3 9 27 272 4 4 a b c d e = × = = ⋅ − = − × = − = − ⋅ = × = = × = = ⋅ ⋅ = = × − = − = − ⋅ − ⋅ −             20) Comparação de Frações Para comparar as frações devemos reduzi-las ao mesmo denominador e comparar os numeradores, a qual tiver o numerador maior, será a maior fração. OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b” a > b lê-se “a é maior do que b”
  • 9. Exemplo: Comparar 6 7 e 2 3 : Para isto, calculamos o m.m.c. entre 7 e 3: m.m.c.(3, 7) = 21. Então, ao transformar os denominadores em 21, devemos multiplicar os numeradores pelo fatores de transformações. 6 3 7 3 × × e 2 7 18 3 7 21 × ⇒ × e 14 21 Como 18 é maior que 14, podemos afirmar que: 18 14 . 21 21 > 21) Exercícios Simplifique as frações, ou coloque-as na forma irredutível: 2 ) 4 9 ) 27 12 ) 48 a b c = = = Comparar as frações : 1 2 ) , 2 3 2 5 ) , 3 6 4 3 ) , 7 8 a b c Resolva: 1 1 ) 5 10 1 1 1 ) 2 3 6 1 2 ) 3 5 3 1 2 ) 7 3 5 1 2 ) 6 5 a b c d e + = − + = × = × × = − × − =            
  • 10. 1 3) 1 2 2 1 ) : 3 5 1 2 1 ) : 2 3 4 2 1 )2 :1 5 5 1 2 1 ) : 3 4 2 11 3) 3 11 21 2) 1 2 f g h i j k l = − = × = × × = + = + = + + =             Simplifique: 1 1 1 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 92 3 4) : 1 2 3 17 3 4 a b + + = + + + + + + = +       IV – POTÊNCIAS Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A. ...n nvezes A A A A A= × × × × A é a base da potência e n é o expoente da potência, que determina seu grau. Desta forma: 2³ = 2 x 2 x 2 = 8 = 2³ = 8 (- 1)4 = (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) = 1 ∴ (- 1)4 = 1 CASOS PARTICULARES: a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base: A1 = A; 21 = 2 b) Toda potência de 1 é igual a 1: 1² = 1; 1³ = 1
  • 11. c) Toda potência de 0 é igual a 0: 0² = 0; 0³ = 0 d) Toda potência de expoente par é positiva: (- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9 e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base: 3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27 25 = 32 ; (- 2)5 = - 32 22) Multiplicação de potências de mesma base Mantém-se a base comum e somam-se os expoentes. Exemplos: 23 x 22 = 2(3+2) = 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 5² x 57 = 59 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 1 953 125 23) Divisão de potências de mesma base Mantém-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Exemplos: 56 : 54 = 52 = 5 x 5 = 25 37 : 33 = 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 24) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes) Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum. Exemplos: 2² x 7² = 2 x 2 x 7 x 7 = (2 x 7)² 3³ x 5³ = 3 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 = (3 x 5)³ = 15³ = 3 375 25) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes) Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum. Exemplos: 22 2 2 2 2 2 2 2 7 7 7 7 7 7 × = = × = ×       8³ : 2³ = 4³ = 64 26) Potenciação de potência Eleva-se a base ao produto dos expoentes. Exemplos: (23 )2 = 2(3 x 2) = 26 (35 )2 = 310 = 59049 27) Expoente nulo Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual à unidade. Exemplos: a4 : a4 = a(4-4) = a0 = 1 (-5)0 = 1 28) Expoente negativo
  • 12. Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo. 2 3 (3 7) 4 7 1 1 1 5 5 5 5 25 2 2 2 2 − − − = = = × = = De forma geral: 1n n a a − = 29) Potências de 10 Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. Exemplos: a) 10² = 100 b) 107 = 10 000 000 c) 200 = 2 x 100 = 2 x 10² d) 4000 = 4 x 10³ e) 300 000 = 3 x 105 f) 3 x 108 = 300 000 000 30) Números decimais Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o número escrito como inteiro, e outro é uma potência de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas são as ordens decimais. Exemplos: 4 4 3 3 5 3 3 25 25 0,0025 25 10 10000 10 0,001 10 0,002 2 10 0,00008 8 10 1,255 1255 10 2 10 0,002 − − − − − − = = = × = = × = × = × × = 31) Exercícios a) 1³ = b) 04 = c) (- 2)³ = d) (- 4)³ = e) (- 2)4 = f) (- 4)4 = g) 2³ x 25 = h) 3² x 3 x 35 = i) 35 : 34 = j) 34 : 3² x 35 = k) 24 x 54 = l) (- 3)5 x (- 5)5 =
  • 13. m) 153 : 33 = n) (- 4)6 : 26 = o) (3³)2 = p) (2³)5 = q) (33 )2 = r) [ (3³)² ]² = s) (2 x 3)³ = t) (3² x 5 x 2)4 = 5 3 4 22 3 3 5 ) 3 2 ) 3 2 3 ) 5 u v w = = × =                   x) (2 x 3²)0 = y) 4-2 = z) 2 x 3-1 = Exprimir, utilizando potências de 10: a) 20 000 = b) 4 800 000 = c) 0,01 = d) 0,000045 = Efetuar, utilizando potência de 10: 2000 48000 ) 80 28 0,000032 ) 0,00002 a b × = × = V – RADICAIS Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A. OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo . n n índice a a radicando radical → → →      Desta forma: a) 16 4= porque 2 4 16= ; b) 3 8 2= porque 3 2 8= ; c) 4 81 3= porque 4 3 81= .
  • 14. 32) Propriedade É possível retirar um fator do radical, basta que se divida o expoente do radicando pelo índice do radical. Exemplos: 2 2 2 8 4 24 4 8 8 24 4 ) 12 2 3 2 3 ) 180 2 3 5 2 3 5 6 5 ) 3 5 2 3 5 2 ) 3 3 3 a b c d = × = = × × = × = × × = × = = Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo índice do radical da seguinte maneira: 3 33 3 2 3 2= × 33) Adição e subtração de radicais semelhantes Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical. Exemplos: 3 3 3 3 3 3 3 )3 2 5 2 10 2 8 2 10 2 2 2 )3 2 6 2 5 2 2 9 2 6 2 3 2 a b + − = − = − + − − = − = 34) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto (quociente) o índice comum. Exemplos: 4 4 4 4 4 4 ) 2 3 2 3 6 6 6 ) 3 22 ) 3 5 2 3 5 2 30 5 3 15 15 ) 22 2 a b c d × = × = = = × × = × × = × = = 35) Potenciação de radicais Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice. Exemplo: ( ) ( ) ( ) 3 344 2 25 2 2 5 4 25 ) 3 3 ) 2 3 2 3 2 3 a b = × = × = × 36) Radiciação de radicais Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando. Exemplos:
  • 15. 2 2 4 3 4 24 ) 3 3 3 ) 3 3 a b × = = = 37) Expoente fracionário Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando. De forma geral, tem-se: p q pq a a= Exemplos: 2 3 2 33 3 34 4 )2 2 4 ) 6 6 a b = = = 38) Racionalização de denominadores 1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da fração. Exemplos: 1 1 2 2 2 ) 22 2 2 4 1 1 3 3 3 3 ) 2 3 62 3 2 3 3 2 9 2 2 3 6 6 ) 33 3 3 9 2 2 2 2 6 2 12 2 12 2 12 12 ) 5 6 30 155 6 5 6 6 5 36 a b c d × = = = × × = = = = ×× × = = = × × = = = = = ×× 2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b. Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo: (a + b) x (a – b) = a² - b² Portanto: (5 + 3) x (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16 Exemplos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 5 21 5 2 5 2 5 2 ) 5 2 35 2 5 2 5 2 5 2 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 35 ) 5 2 3 4 3 12 3 2 3 2 3 2 3 a b × − − − − = = = = −+ + × + − × − × − × − × − = = = = = × − −+ + × − −
  • 16. 39) Exercícios Efetuar: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 4 4 4 6 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 ) 5 2 5 10 5 ) 32 2 2 8 )3 3 3 429 ) 3 6 ) 2 4 8 ) 2 ) 2 ) 2 3 ) 3 ) 3 ) 2 2 ) 2 2 2 a b c d e f g h i j k l − + = + − = + − = × = − × − = = = × = = = = = Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes: ( ) ( ) 1 2 3 4 1 1 2 2 1 6 )2 )2 ) 2 ) 2 3 a b c d − = = = × = Racionalizar o denominador das frações seguintes: 1 ) 5 3 ) 7 3 ) 2 2 2 ) 5 2 5 ) 4 11 a b c d e = = = = − = − Simplifique:
  • 17. 50 8 ) 2 ) 2352 1 1 ) 1 2 2 1 a b c − = = − = − +