O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano. Ele aborda como calcular o coeficiente angular de uma reta a partir de dois pontos ou da equação da reta, as formas de representar uma reta através de sua equação reduzida, segmentária ou paramétrica, e como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos nela ou de um ponto e do coeficiente angular.

1. MATEMÁTICA
ESTUDO DA RETA
1. COEFICIENTE ANGULAR
3. FORMA DE EQUAÇÃO DA RETA
Considere uma reta t no plano xOy.
3.1. Equação reduzida da reta
y Toda reta ( t : ax + by + c = 0 ) não vertical pode
t ser escrita como abaixo:
ângulo de inclinação ax c a
t:y = − − , em que − representa o coefi-
b b b
α c
O ciente angular da reta t e − representa o coeficiente
b
linear da reta.
3.2. Equação segmentária da reta
Toda reta não horizontal e não vertical pode
ser escrita como abaixo.
Define-se como coeficiente angular da reta x y
+ = 1, em que p e q são os pontos intercep-
t ( mt ) ovalor obtido calculando a tangente do ângulo p q
π tos. (P representa o ponto de encontro da reta com o
de inclinação, ou seja, mt = tg α, com α ≠ . eixo x e q representa o ponto de encontro da reta
2
1.1.Determinação do coeficiente angu- com o eixo y).
lar 3.3. Equação paramétrica da reta
1ºCaso: com 2 pontos distintos A reta representa um conjunto de pares orde-
nados (x,y) do plano cartesiano. Podemos representá-
x = f ( t )
la em relação a um parâmetro t, ou seja , 
 .
B y = f ( t )

y t
B Exemplo:
∆y= yB yA E.1) Escreva a equação 2x + 3y − 5 = 0 na forma
y A α reduzida e segmentária.
A
∆x= xB xA Resolução:
Equação reduzida
α 2x 5 2
xA xB 2x + 3y − 5 = 0 ⇒ 3y = −2x + 5 ⇒ y = − + m=−
3 3 3
(coeficiente angular)
Equação segmentária
Dados os pontos A ( x A , x A ) e B ( xB , xB ) no plano 2x 3y
2x + 3y = 5 (: 5 ) ⇒ + = 1⇒
∆y yB − y A 5 5
acima: mT = tg α = = .
∆x xB − x A x y
+ =1
2ºcaso: equação da reta 5 5
Dada a reta (t) de equação ax + by + c = 0 com 2 3
ponto de encontro com o eixo y.
a
b ≠ 0 : mt = − . ponto de encontro com o eixo x.
b
3ºcaso: com o ângulo de inclinação. 4. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA
Dada uma reta (t) que possui ângulo de incli-
nação α: mt = tgα . 4.1. Por dois pontos distintos
Dados os pontos A ( x A, y A ) e B ( xB , yB ) .
2. EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Toda reta do plano cartesiano pode ser repre-
sentada por uma equação de forma ax + by + c = 0, com
a, b e c reais, a e b não nulos simultaneamente.
Editora Exato 11

2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
B(x B , y B )
1 (UFES) O valor de k para que a equação
P(x, y) kx-y-3k+6=0 represente a reta que passa pelo
ponto genérico ponto (5,0) é:
A(xA , yA ) do plano Resolução:
Passa pelo ponto (5,0), substituindo o ponto
(5,0) na equação, temos:
Como A, B e P são colineares temos: k .5 − 0 − 3k + 6 = 0
5k − 3k + 6 = 0
x A yA 1 2k + 6 = 0
x B yB 1 = 0 . 2k − 6
x y 1 6
k =−
2
4.2. Por um ponto e o coeficiente an- k =3
gular
Dado o ponto B ( x0 , y0 ) e o coeficiente angular 2 (UCS-RS) A figura contém a representação grá-
da reta (t) igual a mt. fica da reta:
y
∆y y − y0
mt = tgα = ⇒ mt = ⇒ 4
∆x x − x0
y - y0 = m (x - x 0 ) 2
equação fundamental
da reta
0 3 x
t
Resolução:
B(x 0 , y 0 ) O gráfico passa pelos pontos: (0,2) e (3,4),
então a equação da reta é dada por:
0 2 1
α
P(x ,y ) 3 4 1=0
x y 1
ponto genérico
do plano 0 + 3y + 2x − 4x + 0 − 6 = 0
−2x + 3y − 6 = 0
5. CASOS PARTICULARES ou
2x − 3y + 6 = 0
5.1. Reta paralela aos eixos
Dada a reta ax + by + c = 0 .
Se a =0, então a reta é paralela ao eixo x. EXERCÍCIOS
Se b=0, então a reta é paralela ao eixo y.
5.2. Bissetrizes dos quadrantes 1 (FASP) A equação da reta suporte do segmento
Bissetriz dos quadrantes ímpares x − y = 0 . AB, dados A(7, 11) e B(15, -1), é:
a) 2y-3y -24=0
Bissetriz dos quadrantes pares x + y = 0 .
b) 3y-2x+17=0
6. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS c) 3y-2x+7=0
d) 2y+3x -43=0
Considere duas retas r e s não verticais, com e) Nenhuma.
coeficientes angulares, respectivamente, iguais a mr e
ms .
2 (OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo
As retas r e s são paralelas quando mr = ms . 1
As retas são concorrentes quando mr ≠ ms . ponto A ( −3, 4) , e cujo coeficiente angular é , é:
2
As retas são perpendiculares quando a) x+2y+11=0
mr .ms = −1 . b) x-y+11=0
c) 2x-y+10=0
d) x-2y+11=0
Editora Exato 12

3. e) nenhuma 8 (FATEC) Na figura abaixo, a reta r tem equação
x+3y–6=0, e a reta s passa pela origem e tem coe-
2
3 (PUC-SP) A equação da reta com coeficiente ficiente angular .
3
4
angular igual a − ,e que passa pelo ponto
5 y
s
P(2,-5), é:
a) 4x+5y+12=0
b) 4x+5y+14=0 B
c) 4x+5y+17=0
d) 4x+5y+16=0
e) 4x+5y+15=0 A
0 r x
4 (PUC-RS) Se as retas 3x-y-7=0,2x+y+c=0 e 2x- A área do triângulo OAB, em unidade de área, é
y-5=0 são congruentes, então c é igual a: igual a:
a) –3 a) 1
b) –1 b) 2
c) 5 c) 3
d) 7 d) 4
e) 9 e) 5
5 (PUC-PR) As retas de equações 3x-4y+1=0 e GABARITO
4x+3y-5=0 são:
a) perpendiculares. 1 D
b) paralelas.
c) concorrentes. 2 D
d) coincidentes. 3 C
e) Nenhuma.
4 A
5 A
6 (PUC-SP) As retas 2x+3y=1 e 6x-ky=1são per-
pendiculares. Então k vale: 6 D
a) 1 7 B
b) 2
c) 3 8 D
d) 4
e) 6
7 (UFGM) Sejam r e s duas retas perpendiculares
que se interceptam em P(1,2). Se Q(-1,6) perten-
ce a uma dessas retas, então a equação da outra
reta é:
a) x+2y-5=0
b) x-2y+3=0
c) 2x-y=0
d) 2x+y-4=0
e) 2x+2y+7=0
Editora Exato 13