O documento apresenta os principais conceitos da trigonometria. Aborda triângulos retângulos e as relações trigonométricas neles envolvidas, como seno, cosseno e tangente. Também define ângulos centrais, ciclo trigonométrico e as funções seno e cosseno, apresentando suas propriedades e gráficos.
05 tringulo retngulo e razes trigonomtricasresolvidos
Este documento apresenta três tópicos principais sobre triângulos retângulos e funções trigonométricas: 1) Definições de triângulo retângulo e razões trigonométricas. 2) Teorema de Pitágoras. 3) Definições de funções trigonométricas no triângulo retângulo e valores notáveis.
Este documento apresenta as principais relações métricas e trigonométricas em triângulos retângulos. Descreve as relações entre os catetos, a hipotenusa e a altura, assim como as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo. Fornece também os valores destes para ângulos notáveis de 30°, 45° e 60°.
Este documento resume as principais relações métricas e trigonométricas em triângulos retângulos. Apresenta as relações entre os catetos, a hipotenusa e a altura, assim como as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo. Fornece também os valores destes para ângulos notáveis de 30°, 45° e 60°.
O documento apresenta conceitos básicos de trigonometria em triângulos retângulos, incluindo: (1) definição de triângulo retângulo e razões trigonométricas; (2) propriedades das funções seno, cosseno e tangente de ângulos complementares; (3) tabela com valores de seno, cosseno e tangente para ângulos de 30°, 45° e 60°. Exemplos resolvidos ilustram a aplicação destes conceitos na resolução de problemas.
1) O documento discute as principais circunferências de um triângulo - a circunferência inscrita, a circunferência circunscrita e as circunferências exinscritas.
2) Ele estabelece relações entre os raios dessas circunferências e os lados do triângulo, como S = pr para a circunferência inscrita e abc = 4RS para a circunferência circunscrita.
3) O texto também aborda pontos como a localização dos pontos de tangência e uma desigualdade interess
O documento apresenta a regra da linha poligonal para determinar o vetor soma de dois vetores. A regra diz para unir o sentido de um vetor com a base do sentido do outro vetor. Isso determina a direção e sentido do vetor soma. Exemplos mostram como calcular o módulo do vetor soma para vetores na mesma direção e mesmo sentido, na mesma direção e sentidos opostos, e vetores perpendiculares. Exercícios pedem para somar vetores usando a regra da linha poligonal.
O documento apresenta três conceitos fundamentais de geometria:
1) Fórmulas para calcular seno e cosseno de ângulos obtusos.
2) A lei dos seno para resolver triângulos.
3) A lei dos cossenos para resolver triângulos quando se conhece um lado e um ângulo adjacente.
O documento apresenta a Lei dos Cosenos para determinar o módulo do vetor soma de dois vetores formando um ângulo qualquer ou seu complementar. A lei dos cosenos é usada para calcular o módulo do vetor resultante da soma de dois vetores a partir do ângulo entre eles ou do ângulo complementar. Exemplos ilustram como aplicar a lei dos cosenos para encontrar o módulo do vetor soma.
05 tringulo retngulo e razes trigonomtricasresolvidos
Este documento apresenta três tópicos principais sobre triângulos retângulos e funções trigonométricas: 1) Definições de triângulo retângulo e razões trigonométricas. 2) Teorema de Pitágoras. 3) Definições de funções trigonométricas no triângulo retângulo e valores notáveis.
Este documento apresenta as principais relações métricas e trigonométricas em triângulos retângulos. Descreve as relações entre os catetos, a hipotenusa e a altura, assim como as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo. Fornece também os valores destes para ângulos notáveis de 30°, 45° e 60°.
Este documento resume as principais relações métricas e trigonométricas em triângulos retângulos. Apresenta as relações entre os catetos, a hipotenusa e a altura, assim como as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo. Fornece também os valores destes para ângulos notáveis de 30°, 45° e 60°.
O documento apresenta conceitos básicos de trigonometria em triângulos retângulos, incluindo: (1) definição de triângulo retângulo e razões trigonométricas; (2) propriedades das funções seno, cosseno e tangente de ângulos complementares; (3) tabela com valores de seno, cosseno e tangente para ângulos de 30°, 45° e 60°. Exemplos resolvidos ilustram a aplicação destes conceitos na resolução de problemas.
1) O documento discute as principais circunferências de um triângulo - a circunferência inscrita, a circunferência circunscrita e as circunferências exinscritas.
2) Ele estabelece relações entre os raios dessas circunferências e os lados do triângulo, como S = pr para a circunferência inscrita e abc = 4RS para a circunferência circunscrita.
3) O texto também aborda pontos como a localização dos pontos de tangência e uma desigualdade interess
O documento apresenta a regra da linha poligonal para determinar o vetor soma de dois vetores. A regra diz para unir o sentido de um vetor com a base do sentido do outro vetor. Isso determina a direção e sentido do vetor soma. Exemplos mostram como calcular o módulo do vetor soma para vetores na mesma direção e mesmo sentido, na mesma direção e sentidos opostos, e vetores perpendiculares. Exercícios pedem para somar vetores usando a regra da linha poligonal.
O documento apresenta três conceitos fundamentais de geometria:
1) Fórmulas para calcular seno e cosseno de ângulos obtusos.
2) A lei dos seno para resolver triângulos.
3) A lei dos cossenos para resolver triângulos quando se conhece um lado e um ângulo adjacente.
O documento apresenta a Lei dos Cosenos para determinar o módulo do vetor soma de dois vetores formando um ângulo qualquer ou seu complementar. A lei dos cosenos é usada para calcular o módulo do vetor resultante da soma de dois vetores a partir do ângulo entre eles ou do ângulo complementar. Exemplos ilustram como aplicar a lei dos cosenos para encontrar o módulo do vetor soma.
O documento apresenta um resumo sobre vetores em mecânica. Ele introduz vetores e orientação, definindo vetor como uma grandeza vetorial com módulo, direção e sentido. Explica métodos de adição de vetores como o paralelogramo e polígono. Apresenta conceitos como vetor oposto, diferença e componentes perpendiculares de vetores. Por fim, apresenta exercícios sobre o tema.
O documento apresenta conceitos básicos de cálculo vetorial em mecânica clássica, incluindo noções de vetores e escalares, triângulo retângulo, representação de vetores, soma e subtração de vetores, projeção ortogonal de vetores e multiplicação de vetores.
1. O documento apresenta soluções para problemas de geometria analítica envolvendo planos e suas interseções. São abordados conceitos como planos paralelos, secantes, retas de interseção e seções de objetos geométricos por planos.
2. São apresentadas 25 soluções detalhadas para exercícios envolvendo cálculos e demonstrações geométricas relacionadas a planos e suas propriedades.
3. As soluções abordam temas como planos paralelos e secantes, número de planos determinados
1) O documento discute o paralelismo entre retas no espaço, definindo-as como retas coplanares que não se interceptam ou como retas coincidentes.
2) Existem várias situações de paralelismo estrito entre retas, que podem ser verificadas analisando as projeções horizontais e frontais das retas.
3) Para retas de perfil, é necessário utilizar retas auxiliares para confirmar o paralelismo caso as projeções não sejam conclusivas.
1. A reta CD é ortogonal à aresta AB de um tetraedro ABCD, pois ambos os pontos C e D estão no plano mediador de AB, que é perpendicular a AB.
2. Os pontos médios das diagonais de um cubo estão todos no mesmo plano mediador.
3. O circuncentro de um triângulo é a interseção da reta perpendicular ao plano do triângulo que passa pelos pontos médios das suas arestas.
1) O documento apresenta uma revisão de funções trigonométricas e introduz o primeiro limite fundamental, que determina as derivadas das funções trigonométricas. 2) É definido o círculo trigonométrico e as funções trigonométricas são definidas geometricamente para ângulos no primeiro quadrante e de forma analítica para números reais. 3) O primeiro limite fundamental estabelece que o limite de senx/x quando x tende a zero é igual a 1.
O documento descreve critérios de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos. Explica que uma reta é paralela a um plano se for paralela a outra reta contida nesse plano. Dois planos são paralelos se em um deles houver duas retas concorrentes e paralelas ao outro plano. Uma reta é perpendicular a um plano se for perpendicular a duas retas concorrentes desse plano.
O documento apresenta os conceitos básicos da trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, propriedades e gráficos das funções seno, cosseno e tangente, e fórmulas de adição e subtração.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos, as relações fundamentais entre essas funções e suas propriedades periódicas.
1) O documento descreve vários tipos de paralelismo entre elementos da geometria descritiva, como retas e planos.
2) Inclui exemplos passo-a-passo de como determinar elementos paralelos através de suas projeções ou utilizando retas auxiliares.
3) Fornece instruções detalhadas sobre como identificar e desenhar elementos paralelos em diferentes situações, como entre retas em planos ou bissectores.
1) O documento descreve como desenhar as projecções de uma reta perpendicular a outra reta não paralela aos planos de projeção.
2) Utiliza-se um plano auxiliar perpendicular à primeira reta e contendo o ponto de passagem, pois uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas desse plano.
3) Uma reta horizontal desse plano auxiliar, contendo o ponto e perpendicular à primeira reta, auxilia na obtenção das projeções do plano.
Este documento discute vetores e cinemática vetorial. Ele apresenta proposições sobre grandezas escalares e vetoriais, analisa vetores coplanares formando uma linha poligonal fechada, e discute a soma de vetores.
1) O documento descreve os elementos básicos e métodos de rotação em geometria descritiva, incluindo rotação de pontos, segmentos de reta e retas.
2) São apresentados vários exemplos de como aplicar rotações para transformar objetos geométricos em posições mais favoráveis e obter verdadeiras grandezas.
3) As rotações permitem representar objetos de forma mais conveniente para resolver problemas geométricos.
1) O rebatimento permite obter uma representação mais conveniente de um objeto, rotacionando-o em torno de um eixo para uma posição favorável.
2) O rebatimento de planos consiste na rotação de um plano em torno de uma reta até coincidir com outro plano.
3) O documento fornece exemplos de rebatimento de planos verticais e de topo para os planos de projeção, mostrando como obter as vistas auxiliares.
1) O ponto A tem sombra real As1 no SPHA e sombra virtual Av2 no SPVS.
2) O ponto R tem sombra real Rs1 no SPHA e sombra virtual Rv2 no SPVS.
3) Os pontos A, B e C têm suas sombras reais no SPHA (A), no eixo x (B) e no SPFS (C), respectivamente, de acordo com suas localizações nos octantes.
O documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo: (1) a definição de círculo trigonométrico e seus quadrantes; (2) expressões para representar arcos congruentes; (3) definições e propriedades das funções seno, cosseno e tangente. O documento também fornece exemplos resolvidos de como aplicar esses conceitos em exercícios.
El documento habla sobre los logos de Antonia Esteller Lagunillas. En resumen, Antonia Esteller Lagunillas es una diseñadora gráfica española conocida por su trabajo en identidad corporativa y logotipos. Ha creado logos reconocidos para empresas e instituciones como El Corte Inglés, Renfe o el Ayuntamiento de Madrid entre otros. Sus logos se caracterizan por ser funcionales, reconocibles y atemporales.
Conversamos com neal baer, produtor da nova série a gifted man novembro2011Raquel Temistocles
O documento discute uma entrevista com Neal Baer, produtor executivo da nova série médica A Gifted Man. A série trata de um cirurgião que recebe a visita inesperada de sua ex-mulher morta e precisa equilibrar a medicina ocidental com abordagens espirituais de cura. Baer explica como a série explorará diferentes perspectivas médicas e a jornada do personagem principal para encontrar seu propósito.
El documento presenta los logos de Antonia Esteller Lagunillas. En él se describen los diferentes logotipos que ha utilizado a lo largo de su trayectoria profesional, destacando los colores corporativos de rojo, negro y blanco así como su eslogan "Comunicación para la transformación social".
El documento resume los seis resultados claves para tener éxito profesional: espiritualidad, salud, paz mental, buenas relaciones humanas, dinero y tiempo para disfrutar. Señala que es importante reflexionar sobre cuáles de estos resultados se tienen y cuáles faltan.
O documento apresenta um resumo sobre vetores em mecânica. Ele introduz vetores e orientação, definindo vetor como uma grandeza vetorial com módulo, direção e sentido. Explica métodos de adição de vetores como o paralelogramo e polígono. Apresenta conceitos como vetor oposto, diferença e componentes perpendiculares de vetores. Por fim, apresenta exercícios sobre o tema.
O documento apresenta conceitos básicos de cálculo vetorial em mecânica clássica, incluindo noções de vetores e escalares, triângulo retângulo, representação de vetores, soma e subtração de vetores, projeção ortogonal de vetores e multiplicação de vetores.
1. O documento apresenta soluções para problemas de geometria analítica envolvendo planos e suas interseções. São abordados conceitos como planos paralelos, secantes, retas de interseção e seções de objetos geométricos por planos.
2. São apresentadas 25 soluções detalhadas para exercícios envolvendo cálculos e demonstrações geométricas relacionadas a planos e suas propriedades.
3. As soluções abordam temas como planos paralelos e secantes, número de planos determinados
1) O documento discute o paralelismo entre retas no espaço, definindo-as como retas coplanares que não se interceptam ou como retas coincidentes.
2) Existem várias situações de paralelismo estrito entre retas, que podem ser verificadas analisando as projeções horizontais e frontais das retas.
3) Para retas de perfil, é necessário utilizar retas auxiliares para confirmar o paralelismo caso as projeções não sejam conclusivas.
1. A reta CD é ortogonal à aresta AB de um tetraedro ABCD, pois ambos os pontos C e D estão no plano mediador de AB, que é perpendicular a AB.
2. Os pontos médios das diagonais de um cubo estão todos no mesmo plano mediador.
3. O circuncentro de um triângulo é a interseção da reta perpendicular ao plano do triângulo que passa pelos pontos médios das suas arestas.
1) O documento apresenta uma revisão de funções trigonométricas e introduz o primeiro limite fundamental, que determina as derivadas das funções trigonométricas. 2) É definido o círculo trigonométrico e as funções trigonométricas são definidas geometricamente para ângulos no primeiro quadrante e de forma analítica para números reais. 3) O primeiro limite fundamental estabelece que o limite de senx/x quando x tende a zero é igual a 1.
O documento descreve critérios de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos. Explica que uma reta é paralela a um plano se for paralela a outra reta contida nesse plano. Dois planos são paralelos se em um deles houver duas retas concorrentes e paralelas ao outro plano. Uma reta é perpendicular a um plano se for perpendicular a duas retas concorrentes desse plano.
O documento apresenta os conceitos básicos da trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, propriedades e gráficos das funções seno, cosseno e tangente, e fórmulas de adição e subtração.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos, as relações fundamentais entre essas funções e suas propriedades periódicas.
1) O documento descreve vários tipos de paralelismo entre elementos da geometria descritiva, como retas e planos.
2) Inclui exemplos passo-a-passo de como determinar elementos paralelos através de suas projeções ou utilizando retas auxiliares.
3) Fornece instruções detalhadas sobre como identificar e desenhar elementos paralelos em diferentes situações, como entre retas em planos ou bissectores.
1) O documento descreve como desenhar as projecções de uma reta perpendicular a outra reta não paralela aos planos de projeção.
2) Utiliza-se um plano auxiliar perpendicular à primeira reta e contendo o ponto de passagem, pois uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas desse plano.
3) Uma reta horizontal desse plano auxiliar, contendo o ponto e perpendicular à primeira reta, auxilia na obtenção das projeções do plano.
Este documento discute vetores e cinemática vetorial. Ele apresenta proposições sobre grandezas escalares e vetoriais, analisa vetores coplanares formando uma linha poligonal fechada, e discute a soma de vetores.
1) O documento descreve os elementos básicos e métodos de rotação em geometria descritiva, incluindo rotação de pontos, segmentos de reta e retas.
2) São apresentados vários exemplos de como aplicar rotações para transformar objetos geométricos em posições mais favoráveis e obter verdadeiras grandezas.
3) As rotações permitem representar objetos de forma mais conveniente para resolver problemas geométricos.
1) O rebatimento permite obter uma representação mais conveniente de um objeto, rotacionando-o em torno de um eixo para uma posição favorável.
2) O rebatimento de planos consiste na rotação de um plano em torno de uma reta até coincidir com outro plano.
3) O documento fornece exemplos de rebatimento de planos verticais e de topo para os planos de projeção, mostrando como obter as vistas auxiliares.
1) O ponto A tem sombra real As1 no SPHA e sombra virtual Av2 no SPVS.
2) O ponto R tem sombra real Rs1 no SPHA e sombra virtual Rv2 no SPVS.
3) Os pontos A, B e C têm suas sombras reais no SPHA (A), no eixo x (B) e no SPFS (C), respectivamente, de acordo com suas localizações nos octantes.
O documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo: (1) a definição de círculo trigonométrico e seus quadrantes; (2) expressões para representar arcos congruentes; (3) definições e propriedades das funções seno, cosseno e tangente. O documento também fornece exemplos resolvidos de como aplicar esses conceitos em exercícios.
El documento habla sobre los logos de Antonia Esteller Lagunillas. En resumen, Antonia Esteller Lagunillas es una diseñadora gráfica española conocida por su trabajo en identidad corporativa y logotipos. Ha creado logos reconocidos para empresas e instituciones como El Corte Inglés, Renfe o el Ayuntamiento de Madrid entre otros. Sus logos se caracterizan por ser funcionales, reconocibles y atemporales.
Conversamos com neal baer, produtor da nova série a gifted man novembro2011Raquel Temistocles
O documento discute uma entrevista com Neal Baer, produtor executivo da nova série médica A Gifted Man. A série trata de um cirurgião que recebe a visita inesperada de sua ex-mulher morta e precisa equilibrar a medicina ocidental com abordagens espirituais de cura. Baer explica como a série explorará diferentes perspectivas médicas e a jornada do personagem principal para encontrar seu propósito.
El documento presenta los logos de Antonia Esteller Lagunillas. En él se describen los diferentes logotipos que ha utilizado a lo largo de su trayectoria profesional, destacando los colores corporativos de rojo, negro y blanco así como su eslogan "Comunicación para la transformación social".
El documento resume los seis resultados claves para tener éxito profesional: espiritualidad, salud, paz mental, buenas relaciones humanas, dinero y tiempo para disfrutar. Señala que es importante reflexionar sobre cuáles de estos resultados se tienen y cuáles faltan.
La misión del sistema UNIMINUTO es estar inspirado en el evangelio y la espiritualidad de la obra Minuto de Dios, agrupando instituciones. Su visión es ser reconocido nacional e internacionalmente por ofrecer vivencias espirituales en el ámbito universitario a través de programas académicos de alta calidad y fácil acceso, enfocados en el desarrollo humano.
Este documento describe diferentes métodos de estudio y hábitos para ser exitoso en el aprendizaje. Explica que es importante organizar el material de estudio, distribuir el tiempo de manera efectiva y adaptar las técnicas de estudio a la capacidad individual. También recomienda no estudiar demasiado en cada sesión, planificar horarios específicos, establecer metas claras y comenzar por las materias más difíciles.
El documento presenta información sobre el sistema de información institucional de una universidad, incluyendo a dos integrantes del equipo, Andrés Peña López y Carlos Rey López, así como varios enlaces web relacionados con la universidad y su portal de estudiantes y docentes.
El documento describe el uso que hace Maria Eugenia Juarez Juarez de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en su vida personal y profesional. Ella las utiliza principalmente para comunicarse, entretenerse, buscar información y capacitarse. Aunque aún no ha podido insertarse en el mundo laboral docente, las TIC le sirven para preparar material para futuras clases. El documento también señala que la comunicación se ha vuelto más inmediata y económica gracias a las TIC, y que existe una mayor exposición de la vida
Las TIC amplían nuestras capacidades mentales y posibilidades de desarrollo social. Incluyen tecnologías como la informática, telecomunicaciones y medios de comunicación. Contribuyen a transformaciones continuas en la economía, sociedad y cultura, afectando todos los aspectos de la vida. Permiten acceso a información, procesamiento de datos, comunicación inmediata y almacenamiento de información.
La institución Genesis es parte del sistema UNIMINUTO, el cual se inspira en el evangelio y la espiritualidad del Minuto de Dios. Su misión es agrupar instituciones y su visión es ser reconocido por ofrecer vivencias espirituales en el ámbito universitario a través de programas académicos de calidad divididos en ciclos y competencias, con fácil acceso nacional e internacional.
Este documento descreve uma aula sobre a história e importância do registro visual e sonoro. A aula anterior discutiu o registro visual desde os tempos antigos até a Idade Média. Nesta aula, o foco será o período da Idade Média até os tempos atuais, marcado por grandes avanços tecnológicos como a invenção da prensa móvel.
El documento habla sobre el futbol americano escrito por Aylin Guadalupe Rincón Torres para la clase de TIC y entregado a Ramón Antonio Aragón Mlodosich el 29 de Agosto del 2013.
Este documento presenta el calendario de partidos para la cuarta fecha del torneo de fútbol organizado por el Instituto Cejeño de la Recreación y el Deporte (INCERDE) del municipio de La Ceja. Se detallan 8 partidos que se jugarán los días miércoles y jueves en dos escenarios diferentes, y se informa que 3 equipos no serán programados hasta que paguen sus deudas.
1. O documento resume as notícias da cooperativa habitacional Paulicoop no mês de dezembro de 2011, incluindo o sorteio das últimas unidades do residencial Camilópolis e a atualização do relatório de obras.
2. O mercado imobiliário brasileiro encerrou o ano de 2011 com estabilidade, após um período de crescimento acelerado, com aumento do PIB da construção civil e geração de novos empregos.
3. A revista também apresenta o vídeo do residencial Manacás, localizado em Os
Este documento proporciona instrucciones para crear una tabla de contenidos en 3 pasos: 1) Aplicar estilos de títulos a los títulos y subtítulos en el documento, 2) Agregar referencias cruzadas, y 3) Seleccionar "Tabla de contenido automática 1" para generar automáticamente la tabla de contenidos con los títulos y páginas correspondientes. También explica cómo eliminar elementos no deseados de la tabla de contenidos.
Este documento describe la metodología de proyectos, incluyendo sus características, propósitos, fases y aspectos a considerar. Un proyecto implica un estudio profundo de un tema relevante para los estudiantes, involucrando tareas de diferentes áreas que apuntan a una meta común. Los proyectos requieren trabajo en equipo y producen un producto tangible que integra conocimientos de múltiples disciplinas.
Este proyecto impulsado por los 5 Clubes Rotarios de Tenerife tiene un doble objetivo humanitario y medioambiental. Recauda fondos para alimentos de comedores sociales y reforesta zonas devastadas, plantando árboles que son apadrinados a cambio de donaciones. Ha contado con el apoyo de instituciones como el Cabildo de Tenerife y empresas locales, y los miembros de los clubes rotarios han plantado los primeros 1300 árboles con supervisión de las autoridades medioambientales.
Este documento apresenta conceitos básicos de trigonometria em triângulos retângulos, incluindo definições de funções trigonométricas, teorema de Pitágoras e valores notáveis.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo razões trigonométricas, medidas de arcos, circunferência trigonométrica e definições de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
2) As razões trigonométricas são definidas inicialmente para triângulos retângulos e depois generalizadas para ângulos arbitrários usando a circunferência trigonométrica.
3) As razões trigonométricas de qualquer ângulo podem ser calculadas redu
Razões trigonométricas no triângulo retângulocomentada
O documento apresenta conceitos básicos de trigonometria em triângulos retângulos, incluindo: (1) definição de triângulo retângulo e razões trigonométricas; (2) propriedades das funções seno, cosseno e tangente de ângulos complementares; (3) tabela com valores de seno, cosseno e tangente para ângulos de 30°, 45° e 60°. Dois exemplos resolvidos ilustram aplicações destes conceitos na resolução de problemas.
Trigonometria e ângulos na circunferênciaDaniel Muniz
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria no triângulo retângulo, relacionando lados e ângulos, definindo seno, cosseno e tangente. Apresenta também identidades trigonométricas e conceitos sobre arcos e ângulos na circunferência, definindo graus e radianos como unidades de medida.
1) O documento descreve a história da trigonometria, desde suas origens na Grécia Antiga até seu desenvolvimento moderno. 2) A trigonometria surgiu para medir triângulos e foi desenvolvida por astrônomos gregos como Hiparco de Niceia. 3) Ao longo dos séculos, matemáticos indianos, árabes e europeus contribuíram para estabelecer as principais relações e fórmulas trigonométricas.
1) O documento apresenta um resumo histórico da trigonometria, desde suas origens na Grécia Antiga até os desenvolvimentos modernos.
2) É introduzido o triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras, que relaciona os lados desse tipo de triângulo.
3) São definidas as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente para um triângulo retângulo e apresentados alguns valores notáveis dessas funções.
Este documento fornece um resumo teórico de geometria plana com fórmulas, relações e teoremas importantes, seguido de exercícios de aplicação e dicas para resolvê-los.
Este documento apresenta resumos teóricos e exercícios sobre geometria plana. As principais fórmulas abordadas incluem a lei dos senos, lei dos cossenos e relações métricas em triângulos e círculos. Os exercícios propõem problemas envolvendo áreas, relações trigonométricas e propriedades de figuras planas. Dicas são fornecidas para auxiliar na resolução.
Este documento apresenta resumos teóricos e exercícios sobre geometria plana. As principais fórmulas abordadas incluem a lei dos senos, lei dos cossenos e relações métricas em triângulos e círculos. Os exercícios propõem problemas envolvendo áreas, relações trigonométricas e propriedades de figuras planas. As dicas fornecem pistas para resolver os exercícios utilizando os conceitos apresentados no resumo teórico.
O documento explica os conceitos básicos de triângulo retângulo, incluindo a definição, os nomes dos lados, as relações trigonométricas e o Teorema de Pitágoras. É apresentado um exemplo numérico para ilustrar cada conceito-chave.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano. Ele aborda como calcular o coeficiente angular de uma reta a partir de dois pontos ou da equação da reta, as formas de representar uma reta através de sua equação reduzida, segmentária ou paramétrica, e como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos nela ou de um ponto e do coeficiente angular.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo a definição e cálculo do coeficiente angular, as formas de equação de uma reta (reduzida, segmentária e paramétrica) e casos particulares como retas paralelas aos eixos e bissetrizes de quadrantes.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano. Ele define o que é coeficiente angular e apresenta três métodos para determiná-lo. Também explica as três formas de representar uma reta através de equações: reduzida, segmentária e paramétrica. Por fim, demonstra dois métodos para determinar a equação de uma reta, seja por dois pontos distintos nela ou por um ponto e o coeficiente angular.
1) O documento apresenta 45 problemas de geometria plana envolvendo conceitos como ângulos, polígonos regulares, triângulos, quadriláteros e suas propriedades.
2) Os problemas abordam cálculo de medidas de ângulos, lados, alturas, diagonais, perímetros e áreas de diferentes figuras planas.
3) São propostos exercícios que envolvem aplicação de propriedades geométricas, como bisectrizes, mediatrizes, simetrias e relações trigonométricas.
O documento apresenta os conceitos básicos de triângulos, classificando-os em equilátero, isósceles e escaleno de acordo com os lados, e em retângulo, agudo e obtuso de acordo com os ângulos. Também define as relações trigonométricas de seno, cosseno e tangente para ângulos de triângulos retângulos e apresenta o Teorema de Pitágoras.
1) O documento apresenta uma revisão de funções trigonométricas e introduz o primeiro limite fundamental, que determina as derivadas das funções trigonométricas. 2) É definido o círculo trigonométrico e as funções trigonométricas são definidas geometricamente para ângulos no primeiro quadrante e de forma analítica para números reais. 3) O primeiro limite fundamental estabelece que o limite de senx/x quando x tende a zero é igual a 1.
O documento apresenta exercícios sobre semelhança de figuras, operações com números racionais e irracionais, equações de 1o grau e sistemas lineares. Inclui também problemas sobre áreas, volumes, porcentagem e probabilidade. Os exercícios abordam conceitos matemáticos fundamentais do ensino médio.
10 eac proj vest mat módulo 2 trigonometriacon_seguir
1) O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria no triângulo retângulo, definindo os números trigonométricos sen, cos e tg para ângulos agudos.
2) Exemplos numéricos são fornecidos para calcular os valores de sen, cos e tg para ângulos de 30°, 45° e 60°.
3) Uma série de exercícios é fornecida para fixação dos conceitos apresentados.
1) O documento apresenta conceitos básicos de potenciação e radiciação, incluindo definições, propriedades e exemplos.
2) São apresentadas as definições de potenciação e radiciação, assim como casos particulares e propriedades destas operações.
3) O texto também aborda a racionalização de denominadores, apresentando dois casos para racionalizar frações com radiciais no denominador.
1. A área é a medida da extensão de uma superfície.
2. As áreas de figuras planas são calculadas usando fórmulas que levam em conta medidas como base, altura, comprimento de lados.
3. Exemplos de fórmulas de área incluem retângulo (base x altura), quadrado (lado ao quadrado), triângulo (base x altura dividida por 2).
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em Cristo, 1Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Revista ano 11, nº 1, Revista Estudo Bíblico Jovens E Adultos, Central Gospel, 2º Trimestre de 2024, Professor, Tema, Os Grandes Temas Do Fim, Comentarista, Pr. Joá Caitano, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
1. MATEMÁTICA
TRIGONOMETRIA
1. TRIÂNGULO RETÂNGULO III) medida do cateto oposto a α BC B C BC ,
= 1 1 = 2 2 = ... = n n
medida do cateto adjacente a α AB1 AB2 ABn
1.1. Definição essa medida é denominada de tangente de α e indica-
Define-se como triângulo retângulo a qualquer da por tgα.
triângulo que possua um de seus ângulos internos re- 2.2. Demais Razões
to (medida de 90º). 1
Representação e Elementos sec α = , com cos α ≠ 0 , a secante de α
cos α
A
representa o inverso multiplicativo do cos-
seno de α, desde que o mesmo seja diferen-
te de zero.
1
cot gα = , com tgα ≠ 0 , a cotangente de
tgα
α representa o inverso multiplicativo da
tangente de α, desde que a mesma seja dife-
rente de zero.
B C 1
cos sec α = , com senα ≠ 0 , a cossecante
senα
Catetos: lados AB e BC. de α representa o inverso multiplicativo do
Hipotenusa: lado AC (oposto ao ângulo reto). seno de α, desde que o mesmo seja diferen-
2. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO te de zero.
TRIÂNGULO RETÂNGULO 2.3. Conseqüências da Definição
c
Cn
C4 β
β
C3 c
β a
C2
β
C1
β
α
A B
β b
Relações:
A a
B1 B2 B3 B4 Bn senα = = cos β(I)
c
b
Observe que os triângulos cosα = = senβ(II)
c
( ∆AB1C1, ∆AB2C2 ,..., ∆ABnCn ) são todos semelhantes en- a 1
tgα = = (III)
tre si, critério AAr. Logo, as razões envolvendo seus b tgβ
elementos correspondentes é constante. Conclui-se, a partir das relações (I), (II) e (III),
2.1. Razões usadas com maior fre- que:
qüência Senα = Cos ( 90º −α ) ,
o seno de um ângulo
medida do cateto oposto a α B1C1 B2C2 BC agudo é igual ao Cosseno de seu comple-
I) = = = ... = n n ,
medida da hipotenusa AC1 AC2 ACn mento.
essa razão é denominada seno de α e indicada por Tgα =
1
, a tangente de um ângulo
senα. tg ( 90º −α )
II) agudo é igual ao inverso multiplicativo da
medida do cateto adjacente a α AB1 AB2 ABn tangente de seu complemento.
= = = ... = ,
medida da hipotenusa AC1 AC2 ACn
essa razão é denominada cosseno de α e indicada por
cosα.
Editora Exato 8
2. 2.4. Relações Fundamentais 4. UNIDADES DE MEDIDAS DO ÂNGULO
C 4.1. Unidade Grau
a Define-se como 1 (um) grau, a medida do ân-
c β
gulo central cujo arco correspondente representa
1
partes da circunferência.
α 360
A B
b Exemplo:
E.1)
a
senα =
c 2 2 (I)
→ sen α + cos α = 1 , lembre-se que
b A
cosα =
c
c2 = a2 + b 2 (Teorema de Pitágoras).
a 30º
senα =
c centro B
b senα
cosα = → tgα = .
c c os α
a
tgα =
b
Dividindo a relação (I) por sen2α, temos:
1+ cotg2α = cos sec 2 α . Comprimento do arco AB indicado representa
30
Dividindo a relação (I) pois cos2α, temos: partes da circunferência, visto que o ângulo cen-
360
1+ tg2α = sec2 α .
tral correspondente é 30º.
2.5. Ângulos Notáveis
4.2. Unidade Radiano
Trabalhando com o triângulo eqüilátero e o tri-
Define-se como 1 radiano (unidade rad) a me-
ângulo isósceles retângulo, conseguimos calcular os
dida do ângulo central, cujo arco correspondente re-
valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos a-
presenta o mesmo comprimento do raio dessa
baixo. Esses ângulos são denominados ângulos notá-
circunferência.
veis.
Exemplo:
α 30º 45º 60º E.1)
Senα 1 2 3
2 2 2 A
Cosα 3 2 1
R
2 2 2
Tgα 3 1 3 1 rad
3 centro B
3. ÂNGULO CENTRAL
Um ângulo é denominado de central quando
possuir o vértice no centro da circunferência.
A medida de um ângulo central é igual à
O comprimento do arco AB é igual à medida
medida de seu arco correspondente.
do raio da circunferência.
Ilustração:
Conclui-se, pela definição acima, que o ângulo
A central em radiano representa a razão entre o com-
primento de seu arco correspondente e a medida do
raio. Observe a seguir.
0 α = AB
B
Editora Exato 9
3. A
sentido
R anti-horário
(positivo)
centro P(1,0)
α
0 1 sentido
horário
B (negativo)
5.1. Elementos
α=
comp AB ( )
R
Exemplo: 90º
E.1) Determine a medida do ângulo de uma
λ
volta em radiano.
Resolução:
O comprimento da circunferência de raio R é origem 0º
2πR
2πR. Logo, α= = 2πrad .
R
E.2) A ilustração representa os arcos de 90º, 180º 360º
180º, 270º e 360º.
Resolução:
270º
Considere o ciclo trigonométrico acima.
Os eixos cartesianos limitam a circunferên-
cia trigonométrica (λ) em quatro partes de-
nominadas quadrantes e numeradas de 1 a
1 de 1 volta: 90° ou π rad 1 de 1 volta: 180° ou π rad
4 2 2
4, no sentido anti-horário.
1º quadrante: arcos entre 0º e 90º, medidos a
partir da origem.
2º quadrante: arcos entre 90º e 180º, medidos a
partir da origem.
3º Quadrante: arcos entre 180º e 270º, medidos
a partir da origem.
4º Quadrante: arcos entre 270º e 360º, medidos
a partir da origem.
3
de 1 volta: 270° ou 3π rad 1 volta: 360° ou 2 π rad Exemplos:
4 2
E.1)
5. CICLO TRIGONOMÉTRICO π p
90° 2 2 = 1,57
Define-se como ciclo trigonométrico a toda
180° 0°
circunferência orientada, de raio unitário e centro no π 2p π = 3,14 2p= 6,28
360°
sistema de coordenadas cartesianas. Por convenção, o
ponto P(1, 0) é a origem da orientação, o sentido posi- 270° 3p 3π
= 4,71
2 2
tivo é o sentido anti-horário e negativo no sentido ho-
rário. Observe a representação.
Editora Exato 10
4. π
2π 2 π 7. PRIMEIRA DETERMINAÇÃO POSITIVA
3 3
3π
4
π
4
Um arco θ é chamado de primeira determina-
5π π ção positiva ao arco α, se satisfaz as condições abai-
6 6
π
xo:
0° I) θ é côngruo a α.
7π
6
10π II) 0 rad ≤ θ < 2π rad.
6
5π 7π Exemplo:
4 4
4π 5π
E.1) 30º é a primeira determinação positiva dos
3 3π
2
3 arcos 390º, pois, 390º = 30º +1⋅ 360º .
E.2) Determine a primeira determinação posi-
4π
3π
2 5π
tiva do ângulo 1910º.
3 3 Resolução
5π 7π
4 4
7π 11π
π
6 6
1910 360º
0°
5π π
6 6 110º 5 Número de voltas
3π π
4 4
2π π
1ª determinação positiva
3 π 3
2
E.3) Encontre a primeira determinação positiva
do ângulo 1720º.
180° a α π α α Resolução:
1720º 360º
180° + a 360° a π+α 2π α
280º 4 Número de voltas
α
a em graus (0° < a < 90°) a em radianos 0 < a <
2 1ª determinação positiva
ângulos correspondentes ângulos correspondentes
a a no 2ºQ, 3ºQ e 4ºQ a a no 2ºQ, 3ºQ e 4ºQ
8. DEFINIÇÃO DE SENO, COSSENO E TAN-
6. ARCOS CÔNGRUOS GENTE DE UM ARCO
Como os arcos no ciclo trigonométrico possu- Considere no ciclo trigonométrico um arco AP
em a mesma origem, então dois arcos no ciclo são de medida α e uma reta t paralela ao eixo das orde-
côngruos quando a diferença entre suas medidas pos- nadas, que passa pelo ponto A, origem do ciclo. Ob-
sui a forma 2kπ ( com k ∈ z ) , ou seja, podemos ex- serve a figura.
pressar todos os arcos côngruos a α, no ciclo, na
forma α + k ⋅ 2π (com k ∈ z ). De modo análogo, repre- t
sentamos os arcos côngruos ao ângulo α, em graus, P
na forma α + k360º (com k ∈ z ).
Exemplo:
E.1) Os arcos −330º, 390º e − 690º são congru-
α A
entes ao arco de 30º, pois as diferenças 0
30 − ( −330º ) , 30º − 390º e − 690º − 30º são múltiplas
de 360º.
E.2) Os arcos −10º e 710º são côngruos ao ar-
co 350º, pois −10º = 350º −1.360º e
710º = 350º +1.360º .
Define-se como seno do arco AP (indicado
por senα) a medida algébrica do segmento
OP’, em que P’ é a projeção ortogonal do
Editora Exato 11
5. ponto P no eixo vertical. O eixo vertical se- 9.2. Gráfico
rá chamado de eixo dos senos.
Define-se como cosseno do arco AP (indi-
cado por cosα) a medida algébrica do seg- y
mento OP’’, em que P’’ é a projeção 1 Período
ortogonal do P no eixo horizontal. O eixo
horizontal será chamado de eixo dos cosse-
nos. 0 3π /2 2π
π /2 π x
Define-se como tangente do arco AP (indi-
cado por tgα) a medida algébrica do seg-
mento AT, em que T é o ponto de -1
intersecção da reta suporte do raio OP com
a reta t. O eixo t será chamado de eixo das
tangentes.
9.3. Propriedades
As definições acima podem ser ilustradas na
Os valores máximo e mínimo da função se-
figura a seguir.
no são, respectivamente, iguais a 1 e –1.
sen tg A função seno é positiva no 1º e 2º qua-
drante e negativa no 3º e 4º quadrante.
P A função seno e periódica de período igual
P’ a 2π.
10. FUNÇÃO COSSENO
α A
0 P’’ cos 10.1. Definição
Define-se como função cosseno a toda função
f : R → R que associa a cada x ∈ D ( f ) um número
{ {
D( f ) CD ( f )
f ( x ) ∈ CD ( f ) na forma:
f ( x ) = cos x .
10.2. Gráfico
Sen α= medida algébrica de OP’.
Cos α = medida algébrica de OP’’.
y
Tg α = medida algébrica de AT.
1 Período
Observação:
Se a reta suporte de OP coincidir com a reta
suporte do eixo dos senos, não teremos o ponto T, π
suu
r -π /2
pois OP // t . A tangente de um arco só está definida 0 π /2 3π /2 2π x
π
se α ∈ R e α ≠ + kπ , com k ∈ Z . -1
2
9. FUNÇÃO SENO
10.3. Propriedades
9.1. Definição
Os valores máximo e mínimo da função
Define-se como função seno a toda função
cosseno são, respectivamente, iguais a 1 e –
f : R → R que associa a cada x ∈ D ( f ) um número
{ {
D( f ) CD ( f ) 1.
f ( x ) ∈ CD ( f ) na forma: A função cosseno é positiva no 1º e
4ºquadrante e negativa no 2º e 3º quadran-
f ( x ) = senx .
te..
A função cosseno é periódica de período
igual a 2π.
Editora Exato 12
6. 11. FUNÇÃO TANGENTE Arco no 2º quadrante
11.1. Definição
Define-se como função tangente a toda função 90º
π
f : x ∈ R x ≠ + kπ, comk ∈ Z} → R que
{ associa a cada
2 CD ( f )
M
144444 244444 3
D( f )
X ∈D(f ) um número f ( x ) na forma:
t ( x ) = tgx . 0º
180º
360º
11.2. Gráfico:
y
Período
270º
O Quanto falta para 180º?
π/2 π/2 π 3π /2
Verifique o sinal da função.
2π x
Arco no 3º quadrante
90º
11.3. Propriedade:
A tangente é positiva nos quadrantes 1º e 3º
e negativa no 2º e 4º quadrante.
O período da função tangente é π. 0º
A imagem da função tangente é o conjunto 180º
360º
dos reais.
12. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS E AUXI-
LIARES M
Se x é um ângulo agudo num triângulo retân- 270º
gulo. De acordo com as definições das funções trigo-
nométricas, podemos verificar que: Quanto passa de 180º?
sen x = 1 − cos x
2 2 Verifique o sinal da função.
F.1) sen x + cos x = 1 ⇔
2 2
2 2 Arco no 4º quadrante
cos x = 1 − sen x
senx
F.2) tgx =
cos x
90º
1 cos x
F.3) cot gx = =
tgx senx
1
F.4) sec x =
cos x
1 0º
F.5) cos sec x = 180º
senx 360º
A.1) sec x = 1 + tg x
2 2
A.2) cos sec x = 1 + cot g x
2 2
13. REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE M
Reduzir um arco do 2ºQ, 3ºQ ou 4ºQ. ao 1ºQ é 270º
obter um novo arco, entre 0º e 90º (1ºQ), que possui
Quanto falta para 360º?
os mesmos valores para as funções trigonométricas
Verifique o sinal da função.
que o arco dado ao mesmo sinal.
Editora Exato 13
7. 14. ARCOS COMPLEMENTARES - Eventualmente, a menor determinação de um
arco deve ser reduzida ao 1º quadrante.
Sejam α e β dois ângulos complementares
( α + β = 90º ) pertencentes ao 1º quadrante, então: 16. SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS
Conhecendo os valores de senos, cossenos e
senα = cos β tangentes dos ângulos notáveis, podemos calcular es-
sas razões para alguns ângulos não notáveis.
Exemplos: Veremos, então, algumas expressões que nos
1 1 permitem encontrar o seno, o cosseno e a tangente de
sen30º = e cos 60º = , portanto:
2 2 um arco, transformando-o em uma soma ou uma di-
ferença de arcos. Dados dois arcos α e β, temos:
sen30 = cos 60º sen (α + β) = sen α . cos β + sen β . cos α
sen (α – β ) = sen α . cos β – sen β . cos α
em que 30º e 60º são arcos complementares.
cos (α + β) = cos α . cos β – sen α . sen β
Observação: cos (α – β) = cos α . cos β + sen α . sen β
tgα + tgβ
Utilizando as relações fundamentais e as fun- tg (α + β) =
1 − tgα.tgβ
ções inversas, concluímos que essa mesma relação é
tgα − tgβ
válida também para as demais funções trigonométri- tg (α − β) =
cas. Assim: 1 + tgα.tgβ
senα = cos β Condição de existência da tangente:
Se α + β = 90º tgα = cot gβ
α, β ≠ + kπ rad.
π
sec α = cos sec β
[
2
15. MENOR DETERMINAÇÃO DE UM AR- 17. ARCO DUPLO
CO
Estas expressões nos permitem encontrar o se-
Um arco, cujo valor ultrapassa 360º, é repre- no, o cosseno e a tangente de arcos que medem o do-
sentado, na circunferência trigonométrica, por um bro de um arco α dado.
certo número de voltas múltiplo de 360º e outro nú- sen 2α = 2 sen α . cos α
mero menor que 360º, que é a menor determinação cos 2α = cos 2 α − sen 2 α
deste arco. 2tgα
Veja, como exemplos, os arcos de 750º e 390º. tg 2α =
1 − tg2α
750º = 720º + 30º cos 2α = 2 cos2α – 1 ou cos 2α = 1 – 2 sen2 α
2.360º M.D.
(2 voltas) (menor determinação)
Observe como se calcula a menor determina-
ção:
750º 360º
30º (2 voltas)
390º = 360º + 30º
1. 360º M.D.
(1 volta) (menor determinação)
Observação:
- Os arcos de 390º e 750º são denominados ar-
cos côngruos a 30º, porque suas menores determina-
ções são iguais.
- Se o arco for negativo e maior que 360º, pro-
cedemos da mesma forma e somamos a menor de-
terminação (negativa) com 360º.
Editora Exato 14
8. EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o
1 Encontre x, na figura abaixo: rio. A direção de seu deslocamento forma um ân-
B gulo de 120º com a margem do rio.
B
8cm
x
60m
120º
30º
A C A
Resolução: Sendo a largura do rio 60m, a distância, em me-
Cateto oposto ao ângulo 30º=x (hipotenusa) tros, percorrida pelo barco foi de:
h=8cm (maior lado). a) 40 2
co
senθ = b) 40 3
h
x c) 45 3
sen 30º = (vide tabela de valor do sen 30º) d) 50 3
8
1 x e) 60 3
= →x =4
2 8
2 (UFPA) Num triângulo retângulo ABC tem-se
2 Encontre x na figura abaixo: ˆ
A = 90 , AB=45 e BC=6. Pede-se a tangente do
ângulo B.
A 11
a)
5
11
x b)
5
6
c)
60º 5
C B 5
5m d)
11
Resolução: 6
e)
X = cateto adjacente 5
x
cos θ = (vide tabela cos60º)
5
1 x
3 (AAP) Um arame de 18 metros de comprimento
= → x = 2,5 é esticado do nível do solo (suposto horizontal)
2 5
ao topo de um poste vertical. Sabendo que o ân-
gulo formado pelo arame com o solo é de 30º,
calcule a altura do poste.
a) 18m.
b) 36m.
c) 9m.
d) 4,5m.
e) Nenhuma.
Editora Exato 15
9. 4 (UNISANTOS) Uma pessoa na margem de um 9 (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro
rio vê, sob um ângulo de 60º, uma torre na mar- dos minutos de um relógio em 50 minutos?
gem oposta. Quando ela se afasta 40m, esse ân- a)
16π
gulo é de 30º. A largura do rio é: 9
a) 5m 5π
b)
b) 10 3m 3
c) 20m 4π
c)
d) 20 3m 3
e) Nenhuma. 10π
d)
3
7π
e)
5π 3
5 Converta em graus:
3
a) 450º
tgx cos2 x
b) 320º 10 Simplifique a expressão y = ⋅
cot gx sen2 x
c) 300º
d) 270º a) sen2x
e) 250º b) 1
c) sen2x.cos2x
d) cos2x
6 Converta 15º em radianos: e) tg2x
π
a) rad
10
π 11 (PUC) O valor numérico da expressão
b) rad
12
2π π
c) rad y = cos 4x + sen2x + tg2x − sec 4x para x = é:
15 2
π
d) rad
a) 0 d) 3
13
π b) 1 e) 4
e) rad
c) 2
7
7 (ITA) Transformando 12º em radianos, obtemos: 12 (FGV) Simplificando a expressão
π
a) rad cos2 x − cot gx
15 , obtemos:
15 sen2 x − tgx
b) rad
π
π a) sec2x
c)
30 b) sen2x
2π c) tg2x
d) rad
15 c) cos2x
e) 12rad d) cos2x
e) cotg2x
8 (PUC) Dê o menor ângulo formado pelos pontei-
ros de um relógio às 12 horas e 15 minutos. 13 Reduza tg300º ao 1º quadrante:
a) 90º a) cotg 30º
b) 85 b) tg 60º
c) 82º30’ c) –tg60º
d) 80º d) cotg30º
e) 136º e) Nenhuma.
Editora Exato 16
10. 14 (UFPA) A menor determinação positiva de um GABARITO
arco de 1000º é:
a) 270º 1 B
b) 280º
c) 290º 2 B
d) 300º 3 C
e) 310º
4 C
5 A
15 O valor de sen70º é:
a) sen20º 6 B
b) tg20º 7 A
c) –sen20º
d) –cos20º 8 C
e) cos20º 9 B
10 A
2π
16 Sendo x = , calcule o valor da expressão 11 B
3
3 cos x − 2senx + tg2x 12 D
y= .
tgx − 2sen2x + cos 4x
13 C
a) –3
b) 3 14 B
c) 3/2
15 E
d) 3/4
e) –3/4 16 C
17 C
17 (PUC) O valor de sen1200º é igual a: 18 B
a) cos60º
b) –sen60º
c) cos30º
d) –sen30º
e) cos45º
3 12
18 Sabendo que senx = e seny = , com x, y ∈ 1º
5 13
quadrante. Determine o valor de cos ( x − y ) :
65
a)
53
56
b)
65
56
c) −
65
63
d)
65
e) Nenhuma.
Editora Exato 17