Raiz quadrada

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Raiz quadrada

  1. 1. Albino LinharesSetembro de 2005Raiz quadradaA raiz quadrada de um número positivo A é um número positivo B de modo que B2 = A.A raiz quadrada de 9 é 3 porque 32 = 9.Escrevemos 9  3Não existe a raiz quadrada de um número negativo.Suponhamos que queríamos calcular a raiz quadrada de -9. Teríamos que encontrar um número (real) queelevado a dois desse -9. Tal número não existe porque o quadrado de qualquer número real é sempre maior ouigual a zero.Está errado!Os alunos escrevem bastantes vezes:  9  3Isto está errado porque  32   3   3  9Repara que…Por vezes expressões diferentes são erradamente identificadas como se fossem a “mesma coisa”. 9   9  9 é uma expressão sem significado no conjunto dos números reais. Não existe. 9  3Raiz quadrada e potências 1Com uma máquina de calcular científica (ou gráfica) experimenta calcular a expressão 25 2 . O valor é 5. Se 1experimentares elevar outros números positivos a verás que obténs sempre a raiz quadrada. 2 1 a a2 , para qualquer valor de a não negativo.Operações com radicais quadráticosMultiplicação: 1 1 a  b  a 2  b 2  a  b  2  a  b , a e b não negativos. 1 O produto de raízes quadradas é igual àraiz quadrada do produto.Exemplo: 5  20  5  20  100  10 7  7  77  7
  2. 2. Divisão: 1 1 a a 2 a 2 a     , a não negativo e b positivo. O quociente de raízes quadradas é igual à raiz b 1 2 b b bquadrada do quociente. 72 72Exemplo:   36  6 2 2Adição e subtracção:Será que 16  4  20 ?É fácil verificar se a expressão está ou não correcta. 16  4 42 Concluímos então que 16  4  20 20  4,47...De um modo geral, para quaisquer números positivos, a  b  abSó podemos somar ou subtrair raízes quadradas do mesmo número.2 5  7 5  2  7  5  9 58 3  2 5 não se pode somar. 7 3 7 2 7 9 7 7 7     3 2 6 6 6Simplificação de radicais quadráticos – Passar factores para fora.Para qualquer número positivo temos: a2  aExemplos: 5 2  25  5 ; 32  9  3
  3. 3. Nota: para números negativos esta propriedade não se verifica. (5) 2 não é -5 mas sim 5.Atendendo à propriedade anterior e à propriedade da multiplicação acima mencionada podemos efectuar osseguintes procedimentos para simplificar radicais quadráticos:Por exemplo, para simplificar 1801º Decompor 180 em factores primos. 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 180  2 2  3 2  52º Temos então 180  2 2  32  5  2 2  3 2  5  2  3  5  6 5 Os factores cujo expoente é 2 podem passar para fora do radical “perdendo” o expoente.Mais exemplos: 120 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 120  2 2  2  3  5  2 2  3  5  2 30Só os factores de expoente 2 podem passar para fora do radical.***********
  4. 4. Register to Remove Trial Watermark!! 32 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 32  2 5  2 2  2 2  2  2  2  2  4 2Racionalização de denominadores:Normalmente não se apresentam números irracionais com radicais no denominador. Ao processo que leva àeliminação dos radicais do denominador chama-se racionalização do denominador.1º Caso: Denominador composto por uma só parcelaExemplo 1 3 n neste caso multiplicámos o numerador e o denominador por uma expressão que permita obter an  a 3de modo a eliminar o radical do denominador. Neste exemplo multiplicámos por 3 . 3 3 3 3 3 3 3 3     3 então,  3 3 3 3 32 3 3Exemplo 2: 5 temos que multiplicar o denominador e o numerador por 7.2 7 5 5 7 5 7 5 7 5 7 5 5 7     então, 2 7 2 7 7 2 72 27 14 2 7 142º Caso: Denominador composto por duas parcelas.Exemplo 1: 32  10Se o denominador é da forma a  b c multiplicámos o numerador e o denominador por a  b c de modo aobtermos uma diferença de quadrados no denominador. Assim, Register eDocPrinter PDF Pro Online Now!!
  5. 5. Register to Remove Trial Watermark!! 3   3 2  10   6  3 10  6  3 10 6  3 10   1  12  10 2   10 2  10   2 2 2  10 4  10 6 2 10Exemplo 2:1 23 2 31 2  1  2 3  2 3   3  2 33 2 2 2 3  32 3 3 2 2 6 32 3 3 2 2 6  3 2 3 3  2 3 3  2 3   2 32  2 3 9  43 3 2 2 1  3 2 6 3 3 Register eDocPrinter PDF Pro Online Now!!

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