Apostila de Exercícios da
Disciplina de Pesquisa
Operacional I
Luís Alberto Duncan Rangel
UFF – EEIMVR – Volta Redonda
Dep...
SUMÁRIO
2. Revisão de Álgebra Linear – Matrizes:
2.1. Introdução - Notação:
2.2. Matriz qualquer;
2.3. Matriz nula;
2.4. M...
2.8. Matriz Singular;
2.9. Matriz Não Singular;
2.10. Matriz inversa
2.11. Utilização do software Excel.
2.11.1 Transposta...
2.13. Sistemas de equações lineares;
2.13.1 Solução através do produto da inversa da
matriz pelo vetor C;
2.13.2 Solução d...
Pretende-se nesta revisão de álgebra linear, fazer uma
breve apresentação da notação de matrizes, dos tipos de
matrizes e ...
Uma matriz é definida como sendo um conjunto de números
complexos ou reais, dispostos ordenadamente, em forma
retangular o...
Diz-se que B é uma matriz qualquer.
B é uma matriz qualquer de três linhas (m) e
cinco colunas (n).
2.2 Matriz Qualquer
54...
Diz-se que C é uma matriz nula de duas linhas (m) e
quatro colunas (n).
Uma matriz é nula quando todos os seus elementos d...
Diz-se que D é uma matriz quadrada, quando o número de
linhas (m) e colunas da matriz (n) são iguais.
D é uma matriz quadr...
Uma matriz identidade é uma matriz quadrada e nesta
matriz todo elemento da diagonal principal é igual a 1 e
todos os outr...
Dada uma matriz qualquer F, diz-se que a matriz transposta
desta matriz é uma nova matriz obtida, invertendo-se linhas
por...
2.7.1 Adição de Matrizes:
A adição de matrizes só pode ser realizada quando o
número de linhas e colunas da primeira matri...
2.7.2 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar:
A multiplicação de um número por uma matriz terá como
resultado o produt...
2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz:
A operação de multiplicação de duas matrizes só poderá ser
realizada qua...
2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz:
A ordem da operação de multiplicação não pode ser
alterada, pois a opera...
2.7.4 Determinante de uma Matriz:
Por definição, o determinante de uma matriz só pode ser
calculado se a matriz for quadra...
2.7.4 Determinante de uma Matriz:
Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setas
para baixo, somando-se os produ...
Uma Matriz Singular é uma matriz quadrada que apresenta o
determinante igual a zero.
2.8 Matriz Singular
5
2
4
1
654
321
d...
Uma Matriz Não-Singular é uma matriz quadrada que
apresenta o determinante diferente de zero.
2.9 Matriz Não-Singular
1
2
...
Dada uma matriz quadrada E, com determinante de E
diferente de zero, o produto da matriz E pela sua inversa E-1,
resulta n...
Assim, dada as matrizes “ H . I”, por transformação linear
obtemos as matrizes “ I . H-1”, se a matriz H for não-singular....
Por TL fazendo: L2 = L2/(-1), temos:
2.10 Matriz Inversa
3
2
1
104350
011410
001221
. 3333
L
L
L
IH xx
−−−
−−=
1001221 L
P...
Por TL fazendo: L3 = L3/(-23), temos:
2.10 Matriz Inversa
3
2
1
1512300
011410
0211001
. 3333
L
L
L
IH xx
−−
−−
−
=
Por TL...
Como resultado das transformações lineares, obtemos:
Assim, temos “ I x H-1”. Se procedermos a multiplicação de
2.10 Matri...
Existem diversas funções pré-definidas na planinha Excel que
podem ser utilizadas para auxiliar a Álgebra Linear.
Todas as...
2.11.1 Transposta de Matriz:
2.11 Utilização do Software EXCEL
2.11.2 Soma de Matriz:
Após a digitação das matrizes, que queremos realizar a
operação de adição, posiciona o cursor em um...
2.11.2 Soma de Matriz:
2.11 Utilização do Software EXCEL
2.11.3 Determinante da Matriz:
Seleciona a matriz que se quer calcular o seu determinante.
Posicionando o cursor em uma lo...
2.11.3 Determinante da Matriz:
2.11 Utilização do Software EXCEL
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:
Existem dois procedimentos que podem ser utilizados, o
primeiro, após a...
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:
2.11 Utilização do Software EXCEL
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:
O segundo procedimento que pode ser utilizado é o seguinte,
primeiro di...
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:
Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula,
mude a form...
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:
2.11 Utilização do Software EXCEL
2.11.5 Multiplicação de Matrizes:
Após a digitação das duas matrizes que se quer calcular a sua
multiplicação, seleciona-s...
2.11.5 Multiplicação de Matrizes:
Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmo
tempo, sem soltar estas teclas selecio...
2.11.5 Multiplicação de Matrizes:
2.11 Utilização do Software EXCEL
2.11.6 Matriz Inversa:
Após a digitação da matriz que se quer calcular a sua inversa,
seleciona-se com o cursor a dimensão...
2.11.6 Matriz Inversa:
2.11 Utilização do Software EXCEL
Dada as Matrizes abaixo:
2.12 Exercício sobre Matrizes:
3 5
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
xA
 
 =  
   5 4
1 1 1...
Calcule:
a1) AT; a2) BT; a3) CT;
b1) A1 = K * A; b2) B1 = J * B;
c) A2 = K * AT ; B2 = J * BT (empregue a função “F4”
para...
A equação de uma reta no plano (x,y) é representada pela:
ax + by = c. Quando duas retas pertencem ao mesmo plano
pode-se ...
Desta forma, tem-se a matriz A, o vetor coluna X e o vetor
coluna C.
Existem diversas modos de resolver este sistema.
Apre...
2.13.1 Através do produto da A-1 pelo vetor C
Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo produto da A-1 pelo
vetor C:
Verifica-...
2.13.1 Através do produto da A-1 pelo vetor C
Calculando o produto de A-1 x C temos a solução do sistema:
2.13 Sistemas de...
2.13.2 Solução de sistema por adição das equações:
Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição:
Multiplica-se a primeira e...
2.13.2 Solução de sistema por adição das equações:
Logo tem-se:
determinando o valor de y temos:
2.13 Sistemas de Equações...
2.13.3 Solução de sistema por substituição:
Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição:
Retira-se o valor de x da primeir...
2.13.3 Solução do sistema por substituição:
Resolvendo esta equação temos:
2.13 Sistemas de Equações Lineares
2.(10 5 ) 3 ...
2.13.4 Método de Gaus-Jordan:
Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo método de Gaus-
Jordan:
2.13 Sistemas de Equações Line...
2.13.4 Método de Gaus-Jordan:
Temos o seguinte resultado:
Divide-se a segunda equação por (-7).
2.13 Sistemas de Equações ...
2.14.1 Exemplo 1:
Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:
2.14 Representação de retas no plano e
interseção de retas...
2.14.1 Gráfico:
2.14 Representação de retas no plano e
interseção de retas no plano.
2.14.2 Exemplo 2:
Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:
2.14 Representação de retas no plano e
interseção de retas...
2.14.2 Gráfico:
2.14 Representação de retas no plano e
interseção de retas no plano.
Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:
2.16 Representação de Inequação no Plano
0>=x
2
3
4
y
−4 −3 −2 −1 1 ...
Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:
2.16 Representação de Inequação no Plano
0>=y
2
3
4
y
−4 −3 −2 −1 1 ...
Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:
2.16 Representação de Inequação no Plano
632 >=+ yx 4
5
6
7
y
632 >=...
2.17 Determinação de Região Viável de
Inequações no Plano
0>=x
0>=y 6
7
8
9
10
yx=0
y=0
2x+3y=6
-4x+2y=8
5x+6y=30
(x,y) = ...
Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:
a)
3X + 6Y >= 36
5X >= 10
4Y >= 12
2X + 4Y <= 40
2.18 Exercício sobr...
No Software Winplot assinalar “2-dim”, duas dimensões.
Em “Equações” trabalhar com”3-Implícita”.
Digitar as equações.
2.19...
2.19 Software Winplot
2.19 Software Winplot
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PO1 - Capítulo 2-0

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  1. 1. Apostila de Exercícios da Disciplina de Pesquisa Operacional I Luís Alberto Duncan Rangel UFF – EEIMVR – Volta Redonda Departamento de Engenharia de Produção
  2. 2. SUMÁRIO 2. Revisão de Álgebra Linear – Matrizes: 2.1. Introdução - Notação: 2.2. Matriz qualquer; 2.3. Matriz nula; 2.4. Matriz quadrada; 2.5. Matriz identidade; 2.6. Matriz transposta; 2.7. Operações com Matrizes: 2.7.1. Adição de Matrizes; 2.7.2. Multiplicação de Matriz por um Escalar; 2.7.3. Multiplicação de Matrizes 2.7.4. Determinante de uma Matriz;
  3. 3. 2.8. Matriz Singular; 2.9. Matriz Não Singular; 2.10. Matriz inversa 2.11. Utilização do software Excel. 2.11.1 Transposta de uma Matriz; SUMÁRIO 2.11.2 Soma de matrizes; 2.11.3 Determinante de uma Matriz; 2.11.4 Multiplicação de Matriz por um Escalar; 2.11.5 Multiplicação de Matrizes; 2.11.6 Matriz inversa; 2.12. Exercício sobre matrizes através do Excel;
  4. 4. 2.13. Sistemas de equações lineares; 2.13.1 Solução através do produto da inversa da matriz pelo vetor C; 2.13.2 Solução do sistema por adição das equações; 2.13.3 Solução do sistema por substituição; 2.13.4 Solução do sistema pelo método de Gaus- SUMÁRIO 2.13.4 Solução do sistema pelo método de Gaus- Jordan; 2.14. Representação de retas no plano e interseção de retas no plano; 2.15. Exercícios: Determinação de interseções de retas no plano;
  5. 5. Pretende-se nesta revisão de álgebra linear, fazer uma breve apresentação da notação de matrizes, dos tipos de matrizes e algumas operações com matrizes, tais como, transformações lineares, que serão muito úteis na resolução de problemas de programação linear empregando o algoritmo Simplex. 2.1 Introdução - Notação algoritmo Simplex. Para uma revisão completa consultar a seguinte referência bibliográfica (Kolman, B. Introdução a Álgebra Linear com Aplicações. 7a ed. Rio de Janeiro, Ed. Prentice-Hall do Brasil, 1998; Lay, D.C. Álgebra Linear e suas Aplicações. 2a ed. Rio de Janeiro, Ed. LTC S.A., 1999).
  6. 6. Uma matriz é definida como sendo um conjunto de números complexos ou reais, dispostos ordenadamente, em forma retangular ou quadrada. Uma matriz pode ser representada da seguinte forma: 2.1 Introdução - Notação n n aaa aaa A ... ... 22221 11211 = Nesta revisão, considera-se que os elementos da matriz aij ∈ R, isto é, assumam somente valores reais, e que i = {1, 2, ..., m} e j = {1, 2, ..., n}. Em cada elemento da matriz aij, i representa a i-ésima linha e j representa a j-ésima coluna. Desta forma, uma matriz A com a notação Amxn informa que a matriz A possui m linhas e n colunas. mnmm n aaa A ... ............ ... 21 22221 =
  7. 7. Diz-se que B é uma matriz qualquer. B é uma matriz qualquer de três linhas (m) e cinco colunas (n). 2.2 Matriz Qualquer 54321 87531 0987653 =xB
  8. 8. Diz-se que C é uma matriz nula de duas linhas (m) e quatro colunas (n). Uma matriz é nula quando todos os seus elementos da matriz são nulos. 2.3 Matriz Nula 0000 0000 0000 42 =xC
  9. 9. Diz-se que D é uma matriz quadrada, quando o número de linhas (m) e colunas da matriz (n) são iguais. D é uma matriz quadrada de ordem 4. 2.4 Matriz Quadrada 8642 7531 =D 11852 9630 8642 44 =xD
  10. 10. Uma matriz identidade é uma matriz quadrada e nesta matriz todo elemento da diagonal principal é igual a 1 e todos os outros elementos da matriz, fora da diagonal principal, são zeros. E1 é uma matriz identidade de ordem 3, e E2 é uma matriz quadrada de ordem 5. 2.5 Matriz Identidade 00001 100 010 001 1 33 =xE 10000 01000 00100 00010 00001 2 55 =xE
  11. 11. Dada uma matriz qualquer F, diz-se que a matriz transposta desta matriz é uma nova matriz obtida, invertendo-se linhas por colunas e as colunas por linha de forma ordenada. Por exemplo, dada a matriz F, a matriz transposta de F é denotado por FT e tem como resultado: 2.6 Matriz Transposta 09 87 65 43 21 25 =xF 08642 97531 52 =x T F
  12. 12. 2.7.1 Adição de Matrizes: A adição de matrizes só pode ser realizada quando o número de linhas e colunas da primeira matriz (G) for igual ao número de linhas e colunas, respectivamente, da segunda matriz (H). Os elementos da matriz resultante (R) serão obtidos somando-se os elementos de mesma posição 2.7 Operações com Matrizes serão obtidos somando-se os elementos de mesma posição da primeira e da segunda matriz. Desta forma, a matriz R resultante da soma de G com H é: 654 321 32 =xG 654 321 32 =xH 12108 642 32 =xI
  13. 13. 2.7.2 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar: A multiplicação de um número por uma matriz terá como resultado o produto de número por cada elemento da matriz. Por exemplo, multiplicando o número dois pela matriz J, obtém-se a matriz K. α =2 (escalar). K = 2 * J: 2.7 Operações com Matrizes 321 103 654 987 321 34 =xJ 206 12108 181614 642 34 =xK
  14. 14. 2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz: A operação de multiplicação de duas matrizes só poderá ser realizada quando o número de colunas da primeira matriz (n1) for igual ao número de linhas da segunda matriz (m2). A matriz resultante deste produto terá como dimensão o número de linhas da primeira matriz (m1) e o número de 2.7 Operações com Matrizes número de linhas da primeira matriz (m1) e o número de colunas da segunda matriz (n2). Desta forma, uma matriz L2x3 multiplicada pela matriz M3x4 terá como resultado a matriz N2x4. A ordem da operação não pode ser alterada. N2x4 = L2x3 x M3x4.
  15. 15. 2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz: A ordem da operação de multiplicação não pode ser alterada, pois a operação pode não ser viável. N = L x M. 2.7 Operações com Matrizes 1201 321 : 8765 4112 210 321 4332 resultadocomoteráMdamultiplicaL xx == 824110721120621100522110 834211731221631201532211 42 xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx N x ++++++++ ++++++++ = 20151312 33252020 42 =xN
  16. 16. 2.7.4 Determinante de uma Matriz: Por definição, o determinante de uma matriz só pode ser calculado se a matriz for quadrada. O valor obtido é um valor real que é associado a matriz. Utiliza-se det M como sendo a notação para representar o determinante de uma Matriz. Por exemplo, dada uma matriz 2.7 Operações com Matrizes determinante de uma Matriz. Por exemplo, dada uma matriz A3x3: Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setas para baixo e três setas para cima de tal forma a interceptar três elementos da matriz de cada vez: 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A =
  17. 17. 2.7.4 Determinante de uma Matriz: Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setas para baixo, somando-se os produtos de cada multiplicação, e três setas para cima, subtraindo os produtos de cada multiplicação. Assim, por exemplo, dada a matriz A, verifica- se o calculo do determinante da matriz A, da seguinte 2.7 Operações com Matrizes se o calculo do determinante da matriz A, da seguinte forma: det A = 1x5x9 + 2x6x7 + 4x4x8 – 7x5x4 – 8x6x1 – 9x4x2 = det A = 45 + 84 + 128 – 140 – 48 – 72 = 257 – 260 = det A = -3 8 5 2 7 4 1 987 654 421 det =A 987 654 421 =A
  18. 18. Uma Matriz Singular é uma matriz quadrada que apresenta o determinante igual a zero. 2.8 Matriz Singular 5 2 4 1 654 321 det =B det B = 1x5x9 + 2x6x7 + 3x4x8 – 7x5x3 – 8x6x1 – 9x4x2 = det B = 45 + 84 + 96 – 105 – 48 – 72 = 225 – 225 = det B = 0. 87987
  19. 19. Uma Matriz Não-Singular é uma matriz quadrada que apresenta o determinante diferente de zero. 2.9 Matriz Não-Singular 1 2 1 1 611 221 det =C det C = 1x1x5 + 2x6x4 + 2x1x3 – 4x1x2 – 3x6x1 – 5x1x2 = det C = 5 + 48 + 6 – 8 – 18 – 10 = 59 – 36 = det C = 23 34534
  20. 20. Dada uma matriz quadrada E, com determinante de E diferente de zero, o produto da matriz E pela sua inversa E-1, resulta na matriz identidade I de ordem igual a da matriz E. Portanto, uma matriz só é inversível se seu determinante for diferente de zero (matriz não-singular). Só podemos calcular a matriz inversa de uma matriz quadrada. 2.10 Matriz Inversa a matriz inversa de uma matriz quadrada. Existem diferentes formas de se calcular a matriz inversa de uma matriz, a seguir será empregada o procedimento que utiliza a seguinte seqüencia de cálculo: Dada uma matriz H e ao seu lado a matriz identidade I, isto é, “H.I” realizando transformação lineares para obter na posição de H a matriz identidade I, com estas transformação lineares, ao seu lado surge a matriz inversa de H-1, na posição da matriz identidade.
  21. 21. Assim, dada as matrizes “ H . I”, por transformação linear obtemos as matrizes “ I . H-1”, se a matriz H for não-singular. 2.10 Matriz Inversa 534 611 221 33 =xH 100 010 001 33 =xI Por transformação linear (TL), fazendo, L2 = L2 – L1, e L3 = L3 – 4*L1, temos: 534 100 3 2 1 100534 010611 001221 . 3333 L L L IH xx =
  22. 22. Por TL fazendo: L2 = L2/(-1), temos: 2.10 Matriz Inversa 3 2 1 104350 011410 001221 . 3333 L L L IH xx −−− −−= 1001221 L Por TL fazendo: L1 = L1 - (2)*L2, e L3 = L3 – (-5)*L2, temos: 3 2 1 104350 011410 001221 . 3333 L L L IH xx −−− −−= 3 2 1 104350 011410 0211001 . 3333 L L L IH xx −−− −− − =
  23. 23. Por TL fazendo: L3 = L3/(-23), temos: 2.10 Matriz Inversa 3 2 1 1512300 011410 0211001 . 3333 L L L IH xx −− −− − = Por TL fazendo: L1 = L1 - (10)*L3, e L2 = L2 - (-4)*L3, temos: 3 2 1 04348,021739,004348,0100 011410 0211001 . 3333 L L L IH xx −− −− − = 3 2 1 04348,021739,004348,0100 011410 434783,017391,056522,0001 . 3333 L L L IH xx −− −− −− =
  24. 24. Como resultado das transformações lineares, obtemos: Assim, temos “ I x H-1”. Se procedermos a multiplicação de 2.10 Matriz Inversa 3 2 1 04348,021739,004348,0100 17391,013043,0826087,0010 434783,017391,056522,0001 . 3333 L L L IH xx −− −− −− = Assim, temos “ I x H-1”. Se procedermos a multiplicação de matrizes HxH-1, obtemos a matriz identidade I. I = H x H-1. 534 611 221 33 =xH 04348,021739,004348,0 17391,013043,0826087,0 434783,017391,0565221,0 33 1 −− −− −− =− xH 100 010 001 33 =xI
  25. 25. Existem diversas funções pré-definidas na planinha Excel que podem ser utilizadas para auxiliar a Álgebra Linear. Todas as exposições feitas a seguir consideram-se que estamos trabalhando com o Excel. 2.11.1 Transposta de Matriz: 2.11 Utilização do Software EXCEL 2.11.1 Transposta de Matriz: Seleciona a matriz na planilha Excel que se quer realizar a sua transposta. Posiciona o cursor em um local da planilha, fora da área de edição da matriz, seleciona-se a função Editar, seleciona-se Colar Especial, seleciona-se a seguir Transpor e tecle Enter. A operação é realizada.
  26. 26. 2.11.1 Transposta de Matriz: 2.11 Utilização do Software EXCEL
  27. 27. 2.11.2 Soma de Matriz: Após a digitação das matrizes, que queremos realizar a operação de adição, posiciona o cursor em um local da planilha, digite “=” na célula, seleciona a primeira célula da primeira matriz, digite “+”, seleciona a primeira célula da segunda matriz e tecle Enter. 2.11 Utilização do Software EXCEL segunda matriz e tecle Enter. Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula, mude a forma de seleção do cursor para “+”, e arraste o cursor o mesmo número de células (colunas) da dimensão das matrizes. Posicionando o cursor no canto inferior a direta da última célula, mude a forma de seleção do cursor para “+” e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de células da dimensão das matrizes e solte o cursor. Lembrando, só podemos proceder a soma de duas matrizes com a mesma dimensão, isto é, o mesmo número de linhas e colunas.
  28. 28. 2.11.2 Soma de Matriz: 2.11 Utilização do Software EXCEL
  29. 29. 2.11.3 Determinante da Matriz: Seleciona a matriz que se quer calcular o seu determinante. Posicionando o cursor em uma local qualquer da planilha Excel, seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona a função “Matriz.Determinante” e tecle Enter. O valor retornado desta operação é o determinante da matriz selecionada. 2.11 Utilização do Software EXCEL desta operação é o determinante da matriz selecionada. Lembrando, só podemos calcular o determinante de matriz quadrada.
  30. 30. 2.11.3 Determinante da Matriz: 2.11 Utilização do Software EXCEL
  31. 31. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar: Existem dois procedimentos que podem ser utilizados, o primeiro, após a digitação da matriz, posicione o cursor em um local da planilha Excel, digite “=”, a constante que você quer multiplicar a matriz, por exemplo, “2” digite “*” e em seguida tecle na primeira posição da matriz. Posicionando o 2.11 Utilização do Software EXCEL seguida tecle na primeira posição da matriz. Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula, mude a forma de seleção do cursor para “+” e arraste o cursor o mesmo número de células (colunas) da dimensão das matrizes. Posicionando o cursor no canto inferior a direta da última célula à direita, mude a forma de seleção do cursor para “+” e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de células da dimensão das matrizes e solte o cursor. O produto da constante “2” pela matriz será apresentado.
  32. 32. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar: 2.11 Utilização do Software EXCEL
  33. 33. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar: O segundo procedimento que pode ser utilizado é o seguinte, primeiro digite matriz, depois em uma célula qualquer digite a constante que você quer multiplicar a matriz digitada. Posicione o cursor em um local da planilha Excel, digite “=”, selecione a celular onde foi digitado a constante que se quer 2.11 Utilização do Software EXCEL selecione a celular onde foi digitado a constante que se quer multiplicar a matriz, em seguida tecle “F4”, irá aparecer “$Coluna$Linha”. A seleção da célula com a função “F4” fixa o valor que está na célula. Em seguida, digite “*” e selecione a primeira célula da matriz que se quer executar o produto.
  34. 34. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar: Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula, mude a forma de seleção do cursor para “+” e arraste o cursor o mesmo número de células (colunas) da dimensão das matrizes. Posicionando o cursor no canto inferior a direta da última célula à direita, mude a forma de seleção do cursor 2.11 Utilização do Software EXCEL da última célula à direita, mude a forma de seleção do cursor para “+” e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de células da dimensão das matrizes e solte o cursor. O produto da constante digitada na célula pela matriz será apresentado. A diferença destes dois procedimentos é que ao se alterar o valor que está na célula do segundo procedimento descrito, por exemplo, alterando o valor de “2” para “10”, e teclando Enter, o produto do valor de “10” pela matriz será automaticamente apresentado.
  35. 35. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar: 2.11 Utilização do Software EXCEL
  36. 36. 2.11.5 Multiplicação de Matrizes: Após a digitação das duas matrizes que se quer calcular a sua multiplicação, seleciona-se com o cursor a dimensão da matriz resultante do produto das duas matrizes, em um local da planilha Excel. Seleciona-se a função “fx” da planilha Excel, em seguida, 2.11 Utilização do Software EXCEL Seleciona-se a função “fx” da planilha Excel, em seguida, seleciona-se a função “Matriz.Produto” e tecle Enter. Selecionando através da seta vermelha, a primeira matriz da caixa aberta pelo Excel. Após a sua seleção acione novamente a seta vermelha da primeira matriz. Selecionando a seta vermelha da segunda matriz da caixa aberta pelo Excel, seleciona a segunda matriz na planilha Excel, após a sua seleção acione novamente a seta vermelha da segunda matriz.
  37. 37. 2.11.5 Multiplicação de Matrizes: Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmo tempo, sem soltar estas teclas selecionadas. O produto das duas matrizes será apresentado na planilha Excel. 2.11 Utilização do Software EXCEL
  38. 38. 2.11.5 Multiplicação de Matrizes: 2.11 Utilização do Software EXCEL
  39. 39. 2.11.6 Matriz Inversa: Após a digitação da matriz que se quer calcular a sua inversa, seleciona-se com o cursor a dimensão da matriz inversa, isto é, a mesma dimensão da matriz que se quer calcular a sua inversa. Seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona a função 2.11 Utilização do Software EXCEL Seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona a função “Matriz.Inversa” e tecle Enter. Selecionando a seta vermelha da caixa aberta pelo Excel, seleciona a matriz na planilha Excel, após a sua seleção acione novamente a seta vermelha da caixa aberta pelo Excel. Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmo tempo sem soltar estas teclas selecionadas. A matriz inversa será apresentada pelo Excel, se esta matriz for inversível. Lembrando, só podemos calcular a matriz inversa de uma matriz em que o seu determinante é diferente de “zero”.
  40. 40. 2.11.6 Matriz Inversa: 2.11 Utilização do Software EXCEL
  41. 41. Dada as Matrizes abaixo: 2.12 Exercício sobre Matrizes: 3 5 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 xA    =      5 4 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 xB        =        4 4 4 3 2 1 1 2 3 4 1 1 1 2 3 4 2 1 xC      =       2K = 3J = Calcule as operações empregando os recursos da planilha Excel: 2 1 2 1             = 524 532 241 33xD           = 313 240 356 33xH           = 100 010 001 33xL
  42. 42. Calcule: a1) AT; a2) BT; a3) CT; b1) A1 = K * A; b2) B1 = J * B; c) A2 = K * AT ; B2 = J * BT (empregue a função “F4” para fixar os valores de “K” e de “J” para estas operações); 2.12 Exercício sobre Matrizes: operações); d) det. C; e) det. CT; f) E = A x B; g) F = B x C; h) C-1; i) (CT)-1; j) Para a matriz D e a matriz identidade L associada a matriz D, calcule o inverso da matriz D por transformações lineares ( D . L => L . D-1 ). k) Para a matriz H e a matriz identidade L associada a matriz H, calcule o inverso da matriz H por transformações lineares ( H . L => L . H-1 ).
  43. 43. A equação de uma reta no plano (x,y) é representada pela: ax + by = c. Quando duas retas pertencem ao mesmo plano pode-se verificar se há interseção entre estas retas no plano através da resolução de um sistema de equações lineares. A representação dessas duas retas na forma de um sistema é dada por: 2.13 Sistemas de Equações Lineares 1 1 1a x b y c+ = dada por: A sua representação na forma matricial é dada por: 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + =  + = 1 1 1 2 a b A a b   =     x X y   =     1 2 c C c   =    
  44. 44. Desta forma, tem-se a matriz A, o vetor coluna X e o vetor coluna C. Existem diversas modos de resolver este sistema. Apresenta-se a seguir algumas maneiras de resolver este sistema através de exemplos. 2.13 Sistemas de Equações Lineares
  45. 45. 2.13.1 Através do produto da A-1 pelo vetor C Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo produto da A-1 pelo vetor C: Verifica-se que os valores da matriz X (ou vetor coluna) 2.13 Sistemas de Equações Lineares 2 5 10 4 3 12 x y x y + =  + = Verifica-se que os valores da matriz X (ou vetor coluna) podem ser determinados através do seguinte produto: Calculado a A-1, tem-se: 1 0,214,92 0,357143 0,285714 0,14286 A− −  =  −  CA.X = .C.A.XA 1-1 − = A .CI.X 1− = A .CX 1− = A => => =>
  46. 46. 2.13.1 Através do produto da A-1 pelo vetor C Calculando o produto de A-1 x C temos a solução do sistema: 2.13 Sistemas de Equações Lineares 0,214,92 0,357143 10 2,142857−     1 0,214,92 0,357143 10 2,142857 . . 0,285714 0,14286 12 1,142857 X A C− −      = = =     −     
  47. 47. 2.13.2 Solução de sistema por adição das equações: Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição: Multiplica-se a primeira equação por (-2) e adiciona esta 2.13 Sistemas de Equações Lineares 2 5 10 4 3 12 x y x y + =  + = Multiplica-se a primeira equação por (-2) e adiciona esta equação a segunda equação: Executando-se a soma temos: 4 10 20 4 3 12 x y x y − − = −  + = 10 20 3 12 y y − = −  + =
  48. 48. 2.13.2 Solução de sistema por adição das equações: Logo tem-se: determinando o valor de y temos: 2.13 Sistemas de Equações Lineares 7 8y− = − substituindo este valor na primeira equação temos o valor de x: 1,142857y = 2,142857x =
  49. 49. 2.13.3 Solução de sistema por substituição: Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição: Retira-se o valor de x da primeira equação e o substituía na 2.13 Sistemas de Equações Lineares 2 5 10 4 3 12 x y x y + =  + = Retira-se o valor de x da primeira equação e o substituía na segunda equação. Substituindo x na segunda equação temos: (10 5 ) / 2x y= − 4.(10 5 ) / 2 3 12y y− + =
  50. 50. 2.13.3 Solução do sistema por substituição: Resolvendo esta equação temos: 2.13 Sistemas de Equações Lineares 2.(10 5 ) 3 12 20 10 3 12 7 8 1,142857y y y y y y− + = => − + = => − = − => = Substituindo o valor de y na primeira equação, obtém-se o valor de . 2,142857x =
  51. 51. 2.13.4 Método de Gaus-Jordan: Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo método de Gaus- Jordan: 2.13 Sistemas de Equações Lineares 2 5 10 4 3 12 x y x y + =  + = Primeiramente divide-se a primeira equação por 2 para obter 1 na posição a11 da matriz. Elimina-se o elemento a21 da segunda equação por transformação linear. Multiplica-se toda a primeira equação por (- 4) e adiciona-se a segunda equação. 4 3 12x y+ = 2,5 5 4 3 12 x y x y + =  + =
  52. 52. 2.13.4 Método de Gaus-Jordan: Temos o seguinte resultado: Divide-se a segunda equação por (-7). 2.13 Sistemas de Equações Lineares 2,5 5 0 7 8 x y y + =  − = − Divide-se a segunda equação por (-7). Elimina-se o elemento a12 da primeira equação por transformação linear. Multiplica-se toda a segunda equação (-2,5) e adiciona-se a primeira equação. 2,5 5 0 1,142857 x y y + =  + = 0 2,142857 0 1,142857 x y + =  + =
  53. 53. 2.14.1 Exemplo 1: Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente: 2.14 Representação de retas no plano e interseção de retas no plano. 2 5 10 4 3 12 x y x y + =  + = Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto de interseção das equações no plano, que é a solução do sistema.
  54. 54. 2.14.1 Gráfico: 2.14 Representação de retas no plano e interseção de retas no plano.
  55. 55. 2.14.2 Exemplo 2: Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente: 2.14 Representação de retas no plano e interseção de retas no plano. 3 2 6 2 5 8 x y x y − =  − + = Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto de interseção das equações no plano, que é a solução do sistema.
  56. 56. 2.14.2 Gráfico: 2.14 Representação de retas no plano e interseção de retas no plano.
  57. 57. Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente: 2.16 Representação de Inequação no Plano 0>=x 2 3 4 y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 x
  58. 58. Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente: 2.16 Representação de Inequação no Plano 0>=y 2 3 4 y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 x
  59. 59. Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente: 2.16 Representação de Inequação no Plano 632 >=+ yx 4 5 6 7 y 632 >=+ yx −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −4 −3 −2 −1 1 2 3 x
  60. 60. 2.17 Determinação de Região Viável de Inequações no Plano 0>=x 0>=y 6 7 8 9 10 yx=0 y=0 2x+3y=6 -4x+2y=8 5x+6y=30 (x,y) = (0.00000000000000,4.00000018210949) (x,y) = (0.00000000000000,1.99999958503024) (x,y) = (2.99999937754536,0.00000000000000) (x,y) = (5.99999886095456,0.00000000000000) (x,y) = (0.35294110754127,4.70588221508255) 632 >=+ yx 824 <=+− yx 3065 <=+ yx −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 1 2 3 4 5 x (x,y) = (0.35294110754127,4.70588221508255)
  61. 61. Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente: a) 3X + 6Y >= 36 5X >= 10 4Y >= 12 2X + 4Y <= 40 2.18 Exercício sobre interseção de inequações no plano 2X + 4Y <= 40 X >= 0 Y >= 0 b) 2X + 5Y >= 10 8X + 4Y <= 32 X >= 0 Y >= 0
  62. 62. No Software Winplot assinalar “2-dim”, duas dimensões. Em “Equações” trabalhar com”3-Implícita”. Digitar as equações. 2.19 Software Winplot
  63. 63. 2.19 Software Winplot
  64. 64. 2.19 Software Winplot

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