SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 12
Baixar para ler offline
MÓDULO I – PARTE 2                                 MATEMÁTICA
                    Projeto
                   Vestibular                      FUNÇÃO                                         Prof. Bruno Vianna
                                                 QUADRÁTICA

FUNÇÃO QUADRÁTICA                                                    −b
                                                            xv =        , substituindo xv em :
- Definição                                                          2a
                        f: R→R                                       2
                                                            y = ax + bx + c , temos:
                              2
                  f(x) = ax + bx + c
                                                                   −b         −b
                                                                                      2

- Raíz ou zero                                              yv = a.      + b.    +c
                                                                    2a        2a
                   →
                          2
        f(x) =0        ax + bx + c = 0                               b2 b2
                                                            yv = a. 2 −        +c
               −b+ ∆                            −b− ∆
                                                                    4a      2a
→       x1 =                      e      x2 =                    b2 b 2
                 2a                               2a        yv =     −      +c
                                                                 4a 2a
onde   ∆ = b 2 − 4ac                                             b 2 − 2b 2 + 4ac
                                                            yv =
                                                                        4a
Representação Gráfica :                                          − b + 4ac − (b 2 − 4ac)
                                                                     2
                                                            yv =              =
                                                                      4a            4a
                                                                 −∆
                                                            yv =
                                                                  4a

                                                                      −b −∆
                                                            Daí , V =    ,   
                                                                       2a 4a 

                                                            APÊNDICE - Revisando:

                                                            EQUAÇÕES DO 2º GRAU:
                                                                             2
                                                                         ax + bx + c = 0

                                                            (multiplicar por 4a)
                                                                     2
                                                            4a (ax + bx + c) = (4a) . 0
                                                              2 2
                                                            4a x + 4abx + 4ac = 0
                                                                         2
                                                            (somar b )
                                                               2 2                        2   2
                                                            4a x + 4abx +b + 4ac = b
                                                                         2        2
                                                            (2ax + b) = b - 4ac
                                                            (raiz quadrada)

                                                              ( 2ax + b ) 2 = b 2 − 4ac
                                                            2ax + b =            b 2 − 4ac
                                                            2ax = − b ± b 2 − 4ac

Vemos que quando ∆ = 0 a parábola tangencia o eixo x,
                                                                 − b ± b 2 − 4ac                   −b ± ∆
num único ponto que é a própria solução da equação do       x=                                x=
2º grau :                                                              2a                             2a


     −b± ∆ −b± 0 −b±0 −b
x=        =     =    =
       2a    2a   2a   2a
logo pela figura concluímos que :

                                                                                                                       2011
                                                        1
MÓDULO I – PARTE 2                                    MATEMÁTICA
                            Projeto
                           Vestibular                                    FUNÇÃO                                          Prof. Bruno Vianna
                                                                       QUADRÁTICA

Soma das raízes:                                                               EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
S = x1 + x2
                                                                                                                             2
      − b + ∆ − b − ∆ − b − b −2 b − b                                         01) Dada a função f(x) = -x + 4x + 5 , o gráfico da
S=           +       =       =    =                                                mesma está representado abaixo:
          2a      2a    2a     2a   a
Produto das raízes:                                                                                                V
P = x1 . x2
                     
P =  −b + ∆   −b − ∆  = (−b) − ( ∆ ) = b − ∆ =
                                                 2      2    2
                                                                                                     C
                                   2          2
               2a       2a                   4a          4a
b − b + 4ac 4ac c
  2         2
                                                                                             A                                       B
           =    =
    4a 2     4aa a
                                −b                           c
                          S=             e             P=                      As coordenadas corretas dos pontos do gráfico são:
                                 a                           a
Resolução de alguams equações do 2º grau incompletas:                          (A)   C=(0,5)     ;   A=(-1,0)           ; B=(5,0)        ; V=(3,9)
                                                                               (B)   C=(0,4)     ;   A=(0,-1)           ; B=(0,5)        ; V=(2,9)
      2                                  2
a) x - 25 = 0                        b) x + x = 0                              (C)   C=(0,5)     ;   A=(0,-1)           ; B=(0,5)        ; V=(9,2)
 2
x = 25                                 x (x + 1) = 0                           (D)   C=(0,5)     ;   A=(-1,0)           ; B=(4,0)        ; V=(3,4)
x =± 25                              x = 0 ou x + 1 = 0                        (E)   C=(0,5)     ;   A=(-1,0)           ; B=(5,0)        ; V=(2,9)
x=±5                                 x = 0 ou x = -1
                                                                                                                                                                     2
                                                                               02) (CESGRANRIO) - O vértice da parábola f(x) = x + x
      2                                      2
c)3x - 12 = 0                        d) 3x - 6x = 0                            é o ponto:
     2
  3x = 12                              3x ( x - 2) = 0                         (A) (-1,0)  (B) (-1/2,-1/4)         (C) (0,0)
   2
  x = 12 / 3                          3x = 0 ou x - 2 = 0
x=±         4                        x = 0 ou x = 2                            (D) (1/2,3/4)             (E) (1,2)
x=±2
                                                                                                                                                        2
                                                                               03)O valor mínimo da função real f(x) = x + x + 1, é:
Resolução das equações do 2º grau completas:
      2
a) x - 5x + 6 = 0                                                                                                  1             2                  3
                                                                               (A) -1      (B) 0             (C)          (D)             (E)
          − ( −5) ± ( −5) 2 − 4(1)( 6) 5 ± 25 − 24                                                                 2             3                  4
x=                                    =            =
                     2(1)                  2
5± 1 5±1         6           4                                                 04) Dados os dois gráficos abaixo quais das funções
    =    == x 1 = = 3 e x 2 = = 2
  2   2          2           2                                                 abaixo correspondem aos gráfico de f1 e f2
                                                                               respectivamente:
Resolução por Soma e Produto
                                                                                                                                 4                              f2
      2
a) x - 5x + 6 = 0                                                                                                  f1
    − b −( −5)                                       c 6
S=      =       =5               e           P=       = =6
     a      1                                        a 1

Temos que pensar em dois números que somados resultam 5                               -4                 4
e multiplicados resultam 6. 2 e 3
2 + 3 = 5 e 2 . 3 = 6 . Portanto x1 = 2 e x2 = 3                                                                                 0              2           4
Observações

                     Sinais do Delta                  nº de soluções                           -16
                          ∆>0                                2
                                                                                               2                                 2
                          ∆=0                                1                 (A) f1(x) = -x +16 e f2(x) = -x + 4x
                                                                                            2                 2
                          ∆<0                           nenhuma                (B) f1(x) = x -16 e f2(x) = -x + 4x
                                                                                              2               2
                                                                               (C) f1(x) = -x + 4 e f2(x) = x + 4x
                                                                                            2                  2
                                                                               (D) f1(x) = x - 4x e f2(x) = -x + 36
                                                                                            2                     2
                                                                               (E) f1(x) = x - 4x + 2 e f2(x) = 2x + 3x + 2


                                                                                                                                                                     2011
                                                                           2
MÓDULO I – PARTE 2                          MATEMÁTICA
                    Projeto
                   Vestibular                         FUNÇÃO                               Prof. Bruno Vianna
                                                    QUADRÁTICA

05)                                                               (A)                (B)            (C)




                                                                  (D)               (E)


        Considerando o gráfico acima referente ao
trinômio do 2º grau y = ax       + bx + c , pode-se afirmar
                             2

que:
(A) a > 0 ; b > 0 ; c < 0
                                                                  09) (UFRRJ) O custo de produção de um determinado
(B) a > 0;    b < 0;   c>0                                                                    2
                                                                  artigo é dado por C(x) = 3x - 15x + 21. Se a venda de x
                                                                                                   2
(C) a < 0 ;   b < 0;   c<0                                        unidades é dada por V(x) = 2x + x, para que o lucro
                                                                  L(x) = V(x) - C(x) seja máximo, devem ser vendidas:
(D) a < 0 ;   b > 0;   c<0
(E) a < 0 ;   b > 0;   c>0                                        (A) 20 unidades
                                                                  (B) 16 unidades
EXERCÍCIOS PROPOSTOS                                              (C) 12 unidades
                                                                  (D) 8 unidades
06) Um soldado entrincheirado em um terreno horizontal            (E) 4 unidades
lança uma granada, que parte do nível do solo e
descreve uma trajetória que obedece à equação                     10) (UFRJ) - Oscar arremessa uma bola de basquete
                                                                  cujo centro segue uma trajetória plana vertical de
        1 2 2     40
y=−        x + x+    , sendo x e y medidas em                                    1     8
        45    9   9                                               equação   y = − x 2 + x + 2 , na qual os valores x e
metros. A distância entre o ponto de lançamento e o                              7     7
ponto atingido pela granada no solo, considerado como             y são dados em metros.
o eixo Ox, é:

(A) 30 m
(B) 40 m
(C) 50 m
(D) 60 m

07) (UERJ-2005) Numa operação de salvamento
marítimo, foi lançado um foguete sinalizador que
permaneceu aceso durante toda sua trajetória.                            Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola
Considere que a altura h, em metros, alcançada por                passa pelo centro da cesta, que está a 3m de altura.
este foguete, em relação ao nível do mar, é descrita por
               2
h = 10 + 5t - t , em que t é o tempo, em segundos, após           Determine a distância da cesta ao eixo y.
seu lançamento. A luz emitida pelo foguete é útil apenas
a partir de 14 m acima do nível do mar. O intervalo de            11) Num campo de treinamento, um projétil e um míssil
tempo, em segundos, no qual o foguete emite luz útil é            são lançados, no mesmo instante, de bases distantes
igual a:                                                          20 km uma da outra. A trajetória do projétil é uma
                                                                                               2
                                                                  parábola de equação y = -x + 4x, e a trajetória do
(A) 3   (B) 4     (C) 5   (D) 6                                   míssil é uma reta de equação y = ax + b. Essa situação
                                                                  está representada no esquema abaixo, em que os eixos
08) (UFF) - Considerem m , n e p números reais e as               x e y são graduados em quilômetros.
funções reais f e g de variável real, definidas por f(x)
     2
= mx + nx + p e g(x) = mx + p . A alternativa que
melhor representa os gráficos de f e g é:




                                                                                                                    2011
                                                              3
MÓDULO I – PARTE 2                           MATEMÁTICA
                        Projeto
                       Vestibular                 FUNÇÃO                                     Prof. Bruno Vianna
                                                QUADRÁTICA

                                                                15) (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que
                                                                os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o
                                                                gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção
                                                                ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola
                                                                descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola
                                                                descreveu uma parábola e quando começou a cair da
                                                                altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a
                                                                16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão",
                                                                nenhum jogador conseguiu tocar na bola em
                                                                movimento.
Determine a e b, sabendo que o míssil deverá atingir o
projétil quando este alcançar a altura máxima da sua
trajetória (ponto E).

12) (UFF-92 – 2ª fase) O lucro mensal L de certa fábrica
                     2
é dado por L(x) = -x + 18x -32 , sendo x medido em
milhares de peças,e L, em milhões de reais. Calcule o
                                                                A representação gráfica do lance em um plano
número de peças que devem ser produzidas
                                                                cartesiano está sugerida na figura a seguir:
mensalmente:
                                                                                                           x2
a) Para que a fábrica obtenha o lucro máximo.                   A equação da parábola era do tipo: y = −      + k.
                                                                                                           36
                                                                O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:
b) Para que o lucro seja de R$ 40.000.000,00.
13) (UERJ-01-1ªex) – A figura abaixo mostra um                  (A) na baliza.
anteparo parabólico que é representado pela                     (B) atrás do gol.
                                                                (C) dentro do gol.
                        3 2
função    f ( x) = −     x + 2 3x                               (D) antes da linha do gol.
                       3
 f(x)
                                                                16) (PUC) Considere a função f:[-8,3]→R, definida por
                                                                        2
                                                                f(x) = x + 12x + 35 . Então a imagem de f é um intervalo
                                                                de comprimento:
                       α
                                                                (A) 75   (B) 78    (C) 81     (D) 83   (E) 90
                                                                17) (UERJ-06-2ºex)
                                                                 Um barco percorre seu trajeto de descida de um rio, a
                                                                favor da correnteza, com a velocidade de 2 m/s em
  0                                                             relação à água. Na subida, contra a correnteza,
                                                  x
                                                                retornando ao ponto de partida, sua velocidade é de 8
Uma bolinha de aço é lançada da origem e segue uma              m/s, também em relação à água.
trajetória retilínea. Ao incidir no vértice do anteparo é
refletida e a nova trajetória é simétrica à inicial, em         Considere que:
relação ao eixo da parábola. O valor do ângulo de
incidência α corresponde a:                                     - o barco navegue sempre em linha reta e na direção da
                                                                correnteza;
(A) 30º            (B) 45º      (C) 60º         (D) 75º
                                                                - a velocidade da correnteza seja sempre constante;
14) Um dia na praia a temperatura atingiu o seu valor
                                                                - a soma dos tempos de descida e de subida do barco
máximo às 14 horas. Supondo que neste dia a
                                                                seja igual a 10 min.
temperatura f(t) em graus era uma função do tempo t
                                    2
medido em horas, dada por f(t) = - t + bt – 156 quando
                                                                Assim, a maior distância, em metros, que o barco pode
8 < t < 20, pede-se:
                                                                percorrer, neste intervalo de tempo, é igual a:
                                                                (A) 1.250
a) O valor de b
                                                                (B) 1.500
                                                                (C) 1.750
b) a temperatura máxima atingida neste dia.
                                                                (D) 2.000


                                                                                                                     2011
                                                            4
MÓDULO I – PARTE 2                          MATEMÁTICA
                  Projeto
                 Vestibular                       FUNÇÃO                                   Prof. Bruno Vianna
                                                QUADRÁTICA

18) (UFRJ-92) Considere a função y = f(x) definida por:        21) (AFA-00) O retângulo, com base no eixo das
                                                               abcissas, está inscrito numa parábola, conforme figura
 y = 4 x, se 0 ≤ x ≤ 2                                        abaixo. O valor de x que faz esse retângulo ter
                                                              perímetro máximo é
 y = − x + 6 x, se 2 ≤ x ≤ 6
         2

                                                               (A) 1                           y
a) Esboce o gráfico de y = f(x) no intervalo de [0,6]                                              8

b) Para que valores de x temos f(x) = 5 ?                      (B) 0,5

19) (UFRJ-98-PNE) Um fabricante está lançandoa série
de mesas “Super 4”. Os tampos das mesas dessa série            (C) 0,25
são retangulares e têm 4 metros de perímetro. A fórmica
usada para revestir o tampo custa R$ 10,00 por metro                             −2   –x               x    2     x
quadrado. Cada metro de ripa usada para revestir as            (D) 0,125
cabeceiras custa R$ 25,00 e as ripas para as outras
duas laterais custam R$ 30,00 por metro.
                                                               22) (ENEM 2010)
                           R$ 10,00/m2                         Nos processos industriais, como na indústria de
                                                               cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de
                                                               produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações,
                                                               o tempo de elevação dessa temperatura deve ser
                                                               controlado, para garantir a qualidade do produto final e
                                                               a economia do processo.
                                R$ 25,00/m                     Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado
  R$ 30,00/m                                                   para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo
a) Determine o gasto do fabricante para revestir uma           com a função:
mesa dessa série com cabeceira de medida x.

b) Determine as dimensões da mesa da série “Super
4” para a qual o gasto com o revestimento é o maior
possível.
                                                               em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno,
20) (UFRJ-2001-PNE) Um grupo de 40 moradores de                em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido
uma cidade decidiu decorar uma árvore de Natal                 desde o instante em que o forno é ligado.
gigante. Ficou combinado que cada um terá um número            Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a
n de 1 a 40 e que os enfeites serão colocados na árvore        temperatura for 48 ºC e retirada quando a temperatura
durante os 40 dias que precedem o Natal da seguinte            for 200 ºC.
forma: o morador número 1 colocará 1 enfeite por dia a
partir do 1º dia; o morador número 2 colocará 2 enfeites       O tempo de permanência dessa peça no forno é, em
por dia a partir do 2º dia e assim sucessivamente (o           minutos, igual a:
morador número n colocará n enfeites por dia a partir do
n-ésimo dia).                                                  (A) 100                 (B) 108         (C) 128
                                                               (D) 130                 (E) 150
a) Quantos enfeites terá colocado ao final dos 40
dias o morador número 13?                                      23) (UFF-2002-2ªf) Um muro, com 6 metros de
                                                               comprimento, será aproveitado como parte de um dos
b) A Sra. X terá colocado, ao final dos 40 dias, um            lados do cercado retangular que certo criador precisa
total de m enfeites. Sabendo que nenhum morador                construir. Para completar o contorno desse cercado o
colocará mais enfeites do que a Sra. X, determine m.           criador usará 34 metros de cerca.

                                                               Determine as dimensões do cercado retangular de
                                                               maior área possível que o criador poderá construir.




                                                                                                                  2011
                                                           5
MÓDULO I – PARTE 2                            MATEMÁTICA
                   Projeto
                  Vestibular                       FUNÇÃO                                      Prof. Bruno Vianna
                                                 QUADRÁTICA

24) (UFF-99-2ª f)- A parábola abaixo representa o lucro        26) (UFF-2010-1ªF) Em Mecânica Clássica, a norma G
mensal L (em reais) obtido em função do número de              do campo gravitacional gerado por um corpo de massa
peças vendidas de um certo produto.                            m em um ponto a uma distância d > 0 do corpo é
                                                               diretamente proporcional a m e inversamente
                                                               proporcional ao quadrado de d.

                                                               Seja G = f (d) a função que descreve a norma G do
                                                               campo gravitacional, gerado por um corpo de massa
                                                               constante m em um ponto a uma distância d > 0 desse
                                                               corpo.

                                                               É correto afirmar que f (2d) é igual a:

                                                                     f (d )           f (d )
                                                               (A)              (B)                 (C)   4 f (d )
                                                                       4                2

                                                               (D)   2 f (d )   (E)   f (d )

                                                               27) (UERJ-2010-2ª fase) Um terreno retangular tem 800
                                                               m de perímetro e será dividido pelos segmentos PA e
                                                               CQ em três partes, como mostra a figura.


Determine:

   a) o número de peças que torna o lucro nulo;

   b) o(s) valor(es) de x que torna(m) o lucro negativo;



25) (ENEM 09 prova anulada) A empresa WQTU
Cosmético vende um determinado produto x, cujo custo
                                           2
de fabricação de cada unidade é dado pó 3x + 232, e            Admita que os segmentos de reta PA e CQ estão
o seu valor de venda é expresso pela função 180x –             contidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do
116. A empresa vendeu 10 unidades do produto x,                terreno e que a área do paralelogramo PAQC tem
contudo a mesma deseja saber quantas unidades                  medida S.
                                                                                            2
precisa vender para obter um lucro máximo.                     Determine o maior valor, em m , que S pode assumir.
A quantidade máxima de unidades a serem vendidas
pela empresa WQTU para obtenção do maior lucro é:              28) (UERJ-2007-2ªF)
                                                               A foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma
(A) 10   (B) 30    (C) 58    (D) 116     (E) 232               um arco parabólico com base AB=8m e
                                                               altura central OC=5,6m.
Questão Melhorada: A empresa WQTU Cosmético
vende um determinado produto P. O custo de fabricação
                                 2
de x unidades de P é dado por 3x + 232, e o valor de
venda de x unidades é dado por 180x – 116. A empresa
vendeu 10 unidades do produto P e deseja saber
quantas unidades precisa vender para obter um lucro
máximo. A quantidade de unidades a serem vendidas
pela empresa WQTU para obtenção desse lucro
máximo é:

(A) 10   (B) 30    (C) 58    (D) 116     (E) 232


                                                               Observe, na foto, um sistema de coordenadas
                                                               cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é
                                                                                                                     2011
                                                           6
MÓDULO I – PARTE 2                              MATEMÁTICA
                  Projeto
                 Vestibular                        FUNÇÃO                                     Prof. Bruno Vianna
                                                 QUADRÁTICA

tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo              31) (UFF-2010-2ªF-IJ) A figura abaixo representa um
de simetria da parábola.                                        quadrado MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja área
                                                                           2
Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP                   mede 16 cm .
igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua
extremidade P em um determinado ponto do arco
parabólico.




                                                                 Determine:

                                                                a)   as medidas de AM e MB para que a área do
                                                                                               2
                                                                quadrado MNPQ seja igual a 9 cm ;

                                                                b)   as medidas de AM e MB para que a área do
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.             quadrado MNPQ seja a menor possível.
                                                                    Justifique suas respostas.
29) (UERJ-2009-ESP)
Observe a parábola de vértice V, gráfico da função
                              2
quadrática definida por y = ax + bx + c, que corta o eixo       32) (AFA-03)Observe o gráfico da função f abaixo.
das abscissas nos pontos A e B.                                                               y



                                                                                              1          45°
                                                                                          0                               x




                                                                    Sabendo         que           f    é       definida        por
                                                                            ax 2 + bx + c , se x < 1
                                                                            
                                                                     f(x) =                          analise as alternativas e
                                                                            px + k, se x ≥ 1
                                                                            
                                                                    marque a opção correta.

                                                                (A) ac < 0                            (C) p = –1
                                                                (B) pk ≥ 0                            (D) ab > 0


                                 2                              33) (UNICAMP - 2002) Uma transportadora entrega,
Calcule o valor numérico de ∆ = b - 4ac, sabendo que            com caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido
o triângulo ABV é equilátero.                                   a problemas operacionais, em um certo dia cada
                                                                caminhão foi carregado com 500kg a menos que o
                                                                usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar mais 4
30) (UFRJ-2010-PNE) Determine a equação da                      caminhões.
parábola que passa pelo ponto P1 = (0,a) e é tangente
ao eixo x no ponto P2 = (a,0), sabendo que a distância          a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia?
de P1 a P2 é igual a 4.
                                                                b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele
                                                                dia?




                                                                                                                              2011
                                                            7
MÓDULO I – PARTE 2                                MATEMÁTICA
                    Projeto
                   Vestibular                         FUNÇÃO                                       Prof. Bruno Vianna
                                                    QUADRÁTICA

DESAFIOS                                                       GABARITOS

34) (UNICAMP - 2002) Uma piscina, cuja capacidade é            01) E               02) B                     03) E              04) B
        3
de 120m , leva 20 horas para ser esvaziada. O volume
de água na piscina, t horas após o início do processo de       05) E               06) A                     07) A              08) E
                                                 2
esvaziamento, é dado pela função V(t) = a(b – t) para 0
≤ t ≤ 20 e V(t) = 0 para t ≥ 20.                               09) D               10) 7m                    11) a = -2/9 e b = 40/9

a) Calcule as constantes a e b.                                12) a) 9.000       b) 6.000 ou 12.000                            13) A

b) Faça o gráfico da função V(t) para t ∈ [0,30].              14) a) 28 b) 40º                              15) C              16) C

                                                               17) B               18) b) x = 5/4 e x = 5
                                                                                                     2
35) (AMAN-2005)                                                19) a) G(x) = 120 + 10x -10x                  b) ½ m
Um foguete de reconhecimento foi lançado de um ponto
                                                               20) a) P13 = 364 b) m = 420
da superfície da Terra e, devido a defeitos estruturais,

precisa ser destruído. Sua trajetória plana segue o            21) B               22) D

                                                               23) Quadrado de lado 10 m
gráfico     y = − x 2 + 40x − 300.
                                                                                       1
                                                               24)        a) a   =−
Com qual inclinação deve ser lançado um míssil do                                     50
mesmo local, em trajetória retilínea, para destruir o                     b) Devem ser vendidas 150 ou 450 peças.
                                                                                                                            2
foguete no ponto mais distante da Terra? (Obs.:                25) B               26) A                     27) 20 000 m

considere o eixo das abscissas a superfície terrestre)         28) x = 3m          29) ∆ = 12

(A) arctg 10            (B) arctg 5                                    2 2
                                                               30)   y=  x − 2x + 2 2                        e
(C) arctg 20            (D) arctg 1                                   4
                                                                     2 2
(E) arctg     3                                                 y=−     x + 2x − 2 2
                                                                    4

                                                                                            2                                2
                                                               31) A)   AM = 2 −              cm         e       MB = 2 +      cm
                                                                                           2                                2
                                                               (ou vice-versa)

                                                               B) AM = MB = 2 cm


                                                               32) D               33) a) 24 caminhões b) 2 500kg

                                                                             3
                                                               34) a) a =      e b = 20. b) está no final da lista
                                                                            10

                                                               35) A




                                                                                                                                    2011
                                                           8
MÓDULO I – PARTE 2                           MATEMÁTICA
                     Projeto
                    Vestibular                        FUNÇÃO                                  Prof. Bruno Vianna
                                                    QUADRÁTICA

Resolução de Algumas questões                                           50 000 a = – 1000

Questão 23)
                                                                          1
                                                                  a=−
                                                                         50


                                                                  L(x) = –


                                                                  Desejamos encontrar
                                                                                               – 12x + 1000 + 350 = 0
                                                                  x de modo que

                                                                   Logo,

                                                                   2
                                                                  x – 600x + 67500 = 0 ⇔




O perímetro do cercado é dado por :
6 + x + y + x + 6 + y.                                            Assim,

Como o muro de 6m será aproveitado, tem-se que                    x = 150 peças ou x = 450 peças
34 = x + y + x + 6 + y, ou seja y = 14 – x
                                                                  Devem ser vendidas 150 ou 450 peças.
A área do cercado é dada por
                                                                  Questão 27)
                                      2
A = (x + 6) y = (x + 6) (14 – x) = -x + 8x + 84,
                                                                  PC = AQ = y
0 ≤ x <14 que pode ser representada
graficamente por um arco de parábola, com                         AD = DP = x
concavidade voltada para baixo e vértice no ponto de
                     −8
abscissa:   xv =            = 4 , que fornece o maior valor       2 y + 4 x = 800 ⇒ y + 2 x = 400 ⇒ y = 400 − 2 x
                   2 ⋅ (−1)
para a área. Portanto, o valor de y no cercado é
y = 14 – x = 14 – 4 = 10.                                         A = y ⋅ x = (400 − 2 x) ⋅ x = −2 x 2 + 400
Logo, o cercado de maior área será o quadrado de lado
igual a 10m.                                                      Logo :
                                                                             − ∆ − (400 2 − 4 ⋅ (−2) ⋅ 0) − (160000 − 0)
                                                                  AMÁX =        =                        =
Questão 24)                                                                  4a         4 ⋅ (−2)                −8
a) Se L = 0 , x = 100 é uma das raízes. Como o máximo
de L ocorre para x = 300 a outra raiz é x = 500. O lucro
é nulo para 100 peças ou para 500 peças                           AMÁX = 20 000 m 2
b) O lucro é negativo para 0 ≤ x < 100 e 500 < x ≤ 600
                                                                  Questão 28)
(pela simetria da parábola).

c) Equação da parábola:                                           y = ax2 + 5,6
                                                                  16a + 5,6 = 0 ⇒ a = −0,35
L(x) = a (x – 100) (x – 500) =                                    y = −0,35x2 + 5,6 = 2,45
                                                                  x = 3m
           2
L(x) = a (x – 600 x + 50000)

Como L(0) = – 1000
                                                                                                                        2011
                                                              9
MÓDULO I – PARTE 2                    MATEMÁTICA
                      Projeto
                     Vestibular                      FUNÇÃO                              Prof. Bruno Vianna
                                                   QUADRÁTICA

Questão 29)                                                    Questão 30)

Os pontos A = (x1,0) e B =(x2,0) estão situados no eixo
    das abscissas logo raízes x1 e x2 são as raízes da
    função. Logo:

                    −b+ ∆ −b− ∆ 
l = AB = x 2 − x1 = 
                     2a   −      =
                              2a 
                                  
    −b+ ∆ +b+ ∆  2 ∆          ∆
l= 
                       =
                            =
            2a          2a    a

Observe também que:


yV = h∆VAB
       l 3
yV =
        2
                                                                                         a 2=4
−∆        ∆ 3                                                                       >>
      =     ⋅                                                                            a=2 2
4a       a    2
−∆        3∆
      =
4a       2a

4a 3∆ = −2a∆


(4a    3∆   )
            2
                = (− 2a∆ )
                             2




16a 2 ⋅ 3∆ = 4a 2 ⋅ ∆2           ( ÷4 a 2 ∆ )


16a 2 ⋅ 3∆ 4a 2 ⋅ ∆2
          =                                                           2
                                                               y = Ax + Bx + C       >>> c =   2 2
  4a 2 ∆    4a 2 ∆
                                                               e
4⋅3 = ∆                                                        xv = 2 2
∆ = 12                                                         −B
                                                                   =2 2
                                                               2A
                                                               B = −4 2 A

                                                               Como   2 2 é raiz:
                                                                      2
                                                               y = Ax + Bx + C
                                                               0 = A(2   2 )2 + B . 2 2 + 2 2
                                                               0 = 8A + 2 2 B + 2 2       (substituindo)
                                                               0 = 8A + 2 2 .( − 4 2 A ) + 2 2
                                                                                                              2011
                                                          10
MÓDULO I – PARTE 2                    MATEMÁTICA
                        Projeto
                       Vestibular               FUNÇÃO                                Prof. Bruno Vianna
                                              QUADRÁTICA

0 = 8A −16A +       2 2                                                           2                         2
                                                        Portanto    AM = 2 −        cm    e   MB = 2 +        cm
0 = −8A +     2 2                                                                2                         2
8A = 2    2                                             (ou vice-versa)


      2                                                 b) A área A(x) do quadrado MNPQ em função da
A=                                                      medida x do segmento AM é dada por
     4

Substituindo:       B = −4 2 A

            2                                           A( x) = x 2 + (4 − x) 2 = 2 x 2 − 8 x + 16
B = −4 2 ⋅    >>> B = −2
           4
                                                        Com 0 ≤ x ≤ 4
Portanto uma das funções é:
                                                            O valor mínimo de A é atingido na abscissa do
                                                        vértice da parábola que é gráfico de A. Logo,
       2 2                                              AM = MB = 2 cm
y=      x − 2x + 2 2
      4
                                                        Questão 33)

A outra basta repetir o processo com a < 0.             Seja x o número de caminhões utilizados em um dia
                                                        normal e y a quantidade em kg carregada em cada um.
                                                          y ⋅ x = 60.000                    (1)
                                                         
                                                         ( y − 500) ⋅ ( x + 4 ) = 60.000 (2)
                                                        Das relações (1) e (2), temos:
                                                        yx + 4y - 500x - 2.000 = yx ∴ y = 500 + 125x (3)
                                                        Substituindo-se (3) em (1), vem:
                                                        (500 + 125x) x = 60.000 ∴ 125x + 500x - 60.000 = 0
                                                                                                 2

                                                                                      x = 20
                                                        ∴ x + 4x – 480
                                                           2
                                                                                 ou
                                                                              x = −24(não convém)
                                                        Substituindo-se x = 20 na relação (3):
                                                        y = 500 + 125(20) ∴ y = 3.000
                           2 2                          Assim, naquele dia, temos:
Daí teremos:      y=−       x + 2x − 2 2                A- x + 4 = 24
                          4                                 Resposta: 24 caminhões.
                                                        B- y – 500 = 2.500
Questão 31)                                                 Resposta: 2.500kg.

a) Os triângulos retângulos AMQ e BNM possuem
ângulos correspondentes congruentes e                   DESAFIOS
hipotenusas de mesma medida. Portanto, eles são
congruentes e, assim, AM = BN. Como cada lado do        Questão 34)
quadrado ABCD tem medida 4 cm, escrevendo-se x =
AM, tem-se AQ = BM = AB − AM = 4 − x.                   A- Do enunciado, devemos ter:
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo                                      2
                                                           V(0) = 120, ou seja: a . b = 120 (1)
retângulo AMQ, tem-se                                                                      2
                                                           V(20) = 0, ou seja: a . (b - 20) = 0 (2)
 2            2
                                                           Da relação (1), tem-se que a ≠ 0 e b ≠ 0.
x + (4 – x) = 9                                            Assim, da relação (2), podemos escrever:
                                                           (b - 20) = 0 ∴ b = 20
                                                                   2

                   2                   2                                                                       3
Logo x   = 2−           ou   x = 2+                            Substituindo o valor de b em (1), temos: a =
                                                                                                              10
                                                                                                                 .
                  2                   2
                                                                                3
                                                               Resposta: a =      e b = 20.
                                                                               10
                                                                                                                 2011
                                                   11
MÓDULO I – PARTE 2                         MATEMÁTICA
                   Projeto
                  Vestibular                         FUNÇÃO                               Prof. Bruno Vianna
                                                   QUADRÁTICA

                                 3
                                   ⋅ (20 - t) para 0 ≤ t ≤
                                             2
B- Do item (a), resulta V(t) =
                                10
    20, e V(t) = 0, para t ≥ 20.
    Logo, o gráfico de V(t) para t ∈ [0, 30] é




                                                                  Onde Ɵ é a inclinação, observe o triângulo:



Questão 35)

O gráfico da Função com seus pontos está
representado abaixo:


                                                                           100
                                                                  tg θ =
                                                                           10

                                                                  tg θ = 10


                                                                  θ = arctg 10




O míssil deverá ter a seguinte tragetória:




                                                                                                                2011
                                                             12

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mat exercicios deteminantes 2 e 3 ordem
Mat exercicios deteminantes  2 e 3 ordemMat exercicios deteminantes  2 e 3 ordem
Mat exercicios deteminantes 2 e 3 ordem
trigono_metria
 
Revisão de polinômios
Revisão de polinômiosRevisão de polinômios
Revisão de polinômios
matheuslw
 
Lista de exercícios PG
Lista de exercícios PGLista de exercícios PG
Lista de exercícios PG
profederson
 
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutações
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutaçõesLista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutações
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutações
wab030
 
Geometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidos
con_seguir
 
Mat utfrs 09. monomios e polinomios exercicios
Mat utfrs 09. monomios e polinomios exerciciosMat utfrs 09. monomios e polinomios exercicios
Mat utfrs 09. monomios e polinomios exercicios
trigono_metria
 

Mais procurados (20)

EquaçõEs Do 2º Grau
EquaçõEs Do 2º GrauEquaçõEs Do 2º Grau
EquaçõEs Do 2º Grau
 
Lista de exercícios determinantes
Lista de exercícios   determinantesLista de exercícios   determinantes
Lista de exercícios determinantes
 
Mat exercicios deteminantes 2 e 3 ordem
Mat exercicios deteminantes  2 e 3 ordemMat exercicios deteminantes  2 e 3 ordem
Mat exercicios deteminantes 2 e 3 ordem
 
Aula 10 profmat - congruencias lineares e quadraticas - 10 11-17
Aula 10   profmat - congruencias lineares e quadraticas - 10 11-17Aula 10   profmat - congruencias lineares e quadraticas - 10 11-17
Aula 10 profmat - congruencias lineares e quadraticas - 10 11-17
 
Revisão de polinômios
Revisão de polinômiosRevisão de polinômios
Revisão de polinômios
 
Lista de exercícios PG
Lista de exercícios PGLista de exercícios PG
Lista de exercícios PG
 
Atividade de revisão]
Atividade de revisão]Atividade de revisão]
Atividade de revisão]
 
Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.
Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.
Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.
 
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutações
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutaçõesLista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutações
Lista 1 - Exercicios combinaçoes-arranjo-permutações
 
Geometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidos
 
Exercícios de fatorial
Exercícios de fatorialExercícios de fatorial
Exercícios de fatorial
 
Lista de exercícios de função afim
Lista de exercícios de função afimLista de exercícios de função afim
Lista de exercícios de função afim
 
Lista de Exercícios - Teorema de Tales
Lista de Exercícios - Teorema de TalesLista de Exercícios - Teorema de Tales
Lista de Exercícios - Teorema de Tales
 
Volume do cubo e do paralelepípedo
Volume do cubo e do paralelepípedoVolume do cubo e do paralelepípedo
Volume do cubo e do paralelepípedo
 
Equação exponencial
Equação exponencialEquação exponencial
Equação exponencial
 
Função quadrática resumo teórico e exercícios - celso brasil
Função quadrática   resumo teórico e exercícios - celso brasilFunção quadrática   resumo teórico e exercícios - celso brasil
Função quadrática resumo teórico e exercícios - celso brasil
 
Mat utfrs 09. monomios e polinomios exercicios
Mat utfrs 09. monomios e polinomios exerciciosMat utfrs 09. monomios e polinomios exercicios
Mat utfrs 09. monomios e polinomios exercicios
 
Bingo matemático(sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis)
Bingo matemático(sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis)Bingo matemático(sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis)
Bingo matemático(sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis)
 
Matemática - Exercícios Resolvidos de Fatoração
Matemática - Exercícios Resolvidos de FatoraçãoMatemática - Exercícios Resolvidos de Fatoração
Matemática - Exercícios Resolvidos de Fatoração
 
Lista de exercícios radicais - racionalização - ii unidade
Lista de exercícios   radicais - racionalização - ii unidadeLista de exercícios   radicais - racionalização - ii unidade
Lista de exercícios radicais - racionalização - ii unidade
 

Destaque (11)

9 ano-funcoes-do-2-grau-equacoes-biquadradas-equacoes-irracionais
9 ano-funcoes-do-2-grau-equacoes-biquadradas-equacoes-irracionais9 ano-funcoes-do-2-grau-equacoes-biquadradas-equacoes-irracionais
9 ano-funcoes-do-2-grau-equacoes-biquadradas-equacoes-irracionais
 
Resumo função quadrática
Resumo função quadráticaResumo função quadrática
Resumo função quadrática
 
Exercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2pExercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2p
 
Provas 9º ano
Provas 9º anoProvas 9º ano
Provas 9º ano
 
Lista de exercícios de função afim
Lista de exercícios de função afimLista de exercícios de função afim
Lista de exercícios de função afim
 
Matematica portugues 8
Matematica portugues 8Matematica portugues 8
Matematica portugues 8
 
2º lista de exercícios potenciação e radiciação - 9º ano
2º lista de exercícios   potenciação e radiciação - 9º ano2º lista de exercícios   potenciação e radiciação - 9º ano
2º lista de exercícios potenciação e radiciação - 9º ano
 
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeListão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
 
SIMULADO - RADICIAÇÃO
SIMULADO - RADICIAÇÃOSIMULADO - RADICIAÇÃO
SIMULADO - RADICIAÇÃO
 
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)
1ª lista de exercícios   9º ano(equações do 2º grau - incompletas)1ª lista de exercícios   9º ano(equações do 2º grau - incompletas)
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)
 
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
 

Semelhante a 02 eac proj vest mat módulo 1 função quadrática

Radiciação2
Radiciação2Radiciação2
Radiciação2
negao366
 
Funcao do primeiro grau
Funcao do primeiro grauFuncao do primeiro grau
Funcao do primeiro grau
con_seguir
 
Atividade2 101004140318-phpapp01
Atividade2 101004140318-phpapp01Atividade2 101004140318-phpapp01
Atividade2 101004140318-phpapp01
Alan Kardec Rezende
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
profzwipp
 
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidosMat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
trigono_metria
 
Produtos notáveis autor antonio carlos carneiro barroso
Produtos notáveis autor antonio carlos carneiro barrosoProdutos notáveis autor antonio carlos carneiro barroso
Produtos notáveis autor antonio carlos carneiro barroso
Antonio Carneiro
 
Produtos NotáVeis Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
Produtos NotáVeis Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoProdutos NotáVeis Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
Produtos NotáVeis Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
Antonio Carneiro
 

Semelhante a 02 eac proj vest mat módulo 1 função quadrática (20)

EquaçãO Do 2º Grau
EquaçãO Do 2º GrauEquaçãO Do 2º Grau
EquaçãO Do 2º Grau
 
Teorema de Bhaskara
Teorema de BhaskaraTeorema de Bhaskara
Teorema de Bhaskara
 
Mat75a
Mat75aMat75a
Mat75a
 
Funçao quadratica-revisao 10º Ano
Funçao quadratica-revisao 10º AnoFunçao quadratica-revisao 10º Ano
Funçao quadratica-revisao 10º Ano
 
Radiciação2
Radiciação2Radiciação2
Radiciação2
 
Funcao do primeiro grau
Funcao do primeiro grauFuncao do primeiro grau
Funcao do primeiro grau
 
Atividade2 101004140318-phpapp01
Atividade2 101004140318-phpapp01Atividade2 101004140318-phpapp01
Atividade2 101004140318-phpapp01
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
 
Analit rogério
Analit rogérioAnalit rogério
Analit rogério
 
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidosMat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
 
Demonstração da equação de Bhaskara
Demonstração da equação de BhaskaraDemonstração da equação de Bhaskara
Demonstração da equação de Bhaskara
 
www.AulasParticulares.Info - Matemática - Produto Notável
www.AulasParticulares.Info - Matemática -  Produto Notávelwww.AulasParticulares.Info - Matemática -  Produto Notável
www.AulasParticulares.Info - Matemática - Produto Notável
 
www.ensinofundamental.net.br - Matemática - Produto Notável
www.ensinofundamental.net.br - Matemática -  Produto Notávelwww.ensinofundamental.net.br - Matemática -  Produto Notável
www.ensinofundamental.net.br - Matemática - Produto Notável
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Produto Notável
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Produto Notável www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Produto Notável
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Produto Notável
 
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática - Produto Notável
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática -  Produto Notávelwww.aulaparticularonline.net.br - Matemática -  Produto Notável
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática - Produto Notável
 
Função quadrática
Função quadráticaFunção quadrática
Função quadrática
 
Resolução exercícios de R1 - 3ª série - QI
Resolução exercícios de R1 - 3ª série - QIResolução exercícios de R1 - 3ª série - QI
Resolução exercícios de R1 - 3ª série - QI
 
Produtos notáveis autor antonio carlos carneiro barroso
Produtos notáveis autor antonio carlos carneiro barrosoProdutos notáveis autor antonio carlos carneiro barroso
Produtos notáveis autor antonio carlos carneiro barroso
 
Produtos NotáVeis Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
Produtos NotáVeis Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoProdutos NotáVeis Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
Produtos NotáVeis Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
 

Mais de con_seguir

Transformações geométricas no plano
Transformações geométricas no planoTransformações geométricas no plano
Transformações geométricas no plano
con_seguir
 
Sistemas lineares
Sistemas linearesSistemas lineares
Sistemas lineares
con_seguir
 
Relações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retânguloRelações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retângulo
con_seguir
 
Numeros complexos aula
Numeros complexos aulaNumeros complexos aula
Numeros complexos aula
con_seguir
 
Numeros complexos
Numeros complexosNumeros complexos
Numeros complexos
con_seguir
 
Matematica raciocinio logico
Matematica raciocinio logicoMatematica raciocinio logico
Matematica raciocinio logico
con_seguir
 
Matematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas iMatematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas i
con_seguir
 
Geometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da retaGeometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da reta
con_seguir
 
Fundamentos matematica iv
Fundamentos matematica ivFundamentos matematica iv
Fundamentos matematica iv
con_seguir
 
Fundamentos matematica ii
Fundamentos matematica iiFundamentos matematica ii
Fundamentos matematica ii
con_seguir
 
Fundamentos matematica i
Fundamentos matematica iFundamentos matematica i
Fundamentos matematica i
con_seguir
 
Fundamentos geometria i
Fundamentos geometria iFundamentos geometria i
Fundamentos geometria i
con_seguir
 
Fisica 003 optica
Fisica   003 opticaFisica   003 optica
Fisica 003 optica
con_seguir
 
Exercicios resolvidos poligonos
Exercicios resolvidos   poligonosExercicios resolvidos   poligonos
Exercicios resolvidos poligonos
con_seguir
 
Estudos da reta
Estudos da retaEstudos da reta
Estudos da reta
con_seguir
 
Divisibilidade
DivisibilidadeDivisibilidade
Divisibilidade
con_seguir
 
Dicas de matematica numeros curiosos
Dicas de matematica numeros curiososDicas de matematica numeros curiosos
Dicas de matematica numeros curiosos
con_seguir
 

Mais de con_seguir (20)

Transformações geométricas no plano
Transformações geométricas no planoTransformações geométricas no plano
Transformações geométricas no plano
 
Sistemas lineares
Sistemas linearesSistemas lineares
Sistemas lineares
 
Relações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retânguloRelações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retângulo
 
Ponto reta
Ponto retaPonto reta
Ponto reta
 
Poliedro
PoliedroPoliedro
Poliedro
 
Numeros complexos aula
Numeros complexos aulaNumeros complexos aula
Numeros complexos aula
 
Numeros complexos
Numeros complexosNumeros complexos
Numeros complexos
 
Matematica raciocinio logico
Matematica raciocinio logicoMatematica raciocinio logico
Matematica raciocinio logico
 
Matematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas iMatematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas i
 
Geometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da retaGeometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da reta
 
Geometria
GeometriaGeometria
Geometria
 
Fundamentos matematica iv
Fundamentos matematica ivFundamentos matematica iv
Fundamentos matematica iv
 
Fundamentos matematica ii
Fundamentos matematica iiFundamentos matematica ii
Fundamentos matematica ii
 
Fundamentos matematica i
Fundamentos matematica iFundamentos matematica i
Fundamentos matematica i
 
Fundamentos geometria i
Fundamentos geometria iFundamentos geometria i
Fundamentos geometria i
 
Fisica 003 optica
Fisica   003 opticaFisica   003 optica
Fisica 003 optica
 
Exercicios resolvidos poligonos
Exercicios resolvidos   poligonosExercicios resolvidos   poligonos
Exercicios resolvidos poligonos
 
Estudos da reta
Estudos da retaEstudos da reta
Estudos da reta
 
Divisibilidade
DivisibilidadeDivisibilidade
Divisibilidade
 
Dicas de matematica numeros curiosos
Dicas de matematica numeros curiososDicas de matematica numeros curiosos
Dicas de matematica numeros curiosos
 

Último

Filosofia - 1º ano - Ensino Médio do ensino médio para primeiro bimestre
Filosofia - 1º ano - Ensino Médio do ensino médio para primeiro bimestreFilosofia - 1º ano - Ensino Médio do ensino médio para primeiro bimestre
Filosofia - 1º ano - Ensino Médio do ensino médio para primeiro bimestre
LeandroLima265595
 
atividade-de-portugues-pontuação-4º-ou-5º-ano-respostas.pdf
atividade-de-portugues-pontuação-4º-ou-5º-ano-respostas.pdfatividade-de-portugues-pontuação-4º-ou-5º-ano-respostas.pdf
atividade-de-portugues-pontuação-4º-ou-5º-ano-respostas.pdf
Autonoma
 
ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
azulassessoria9
 
Regulamento do Festival de Teatro Negro - FESTIAFRO 2024 - 10ª edição - CEI...
Regulamento do Festival de Teatro Negro -  FESTIAFRO 2024 - 10ª edição -  CEI...Regulamento do Festival de Teatro Negro -  FESTIAFRO 2024 - 10ª edição -  CEI...
Regulamento do Festival de Teatro Negro - FESTIAFRO 2024 - 10ª edição - CEI...
Eró Cunha
 
Aprender as diferentes formas de classificar as habilidades motoras é de extr...
Aprender as diferentes formas de classificar as habilidades motoras é de extr...Aprender as diferentes formas de classificar as habilidades motoras é de extr...
Aprender as diferentes formas de classificar as habilidades motoras é de extr...
azulassessoria9
 
O estudo do controle motor nada mais é do que o estudo da natureza do movimen...
O estudo do controle motor nada mais é do que o estudo da natureza do movimen...O estudo do controle motor nada mais é do que o estudo da natureza do movimen...
O estudo do controle motor nada mais é do que o estudo da natureza do movimen...
azulassessoria9
 
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
azulassessoria9
 
No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...
No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...
No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...
azulassessoria9
 
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
azulassessoria9
 

Último (20)

Filosofia - 1º ano - Ensino Médio do ensino médio para primeiro bimestre
Filosofia - 1º ano - Ensino Médio do ensino médio para primeiro bimestreFilosofia - 1º ano - Ensino Médio do ensino médio para primeiro bimestre
Filosofia - 1º ano - Ensino Médio do ensino médio para primeiro bimestre
 
atividade-de-portugues-pontuação-4º-ou-5º-ano-respostas.pdf
atividade-de-portugues-pontuação-4º-ou-5º-ano-respostas.pdfatividade-de-portugues-pontuação-4º-ou-5º-ano-respostas.pdf
atividade-de-portugues-pontuação-4º-ou-5º-ano-respostas.pdf
 
ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
 
O desenvolvimento é um conceito mais amplo, pode ter um contexto biológico ou...
O desenvolvimento é um conceito mais amplo, pode ter um contexto biológico ou...O desenvolvimento é um conceito mais amplo, pode ter um contexto biológico ou...
O desenvolvimento é um conceito mais amplo, pode ter um contexto biológico ou...
 
Quiz | Dia da Europa 2024 (comemoração)
Quiz | Dia da Europa 2024  (comemoração)Quiz | Dia da Europa 2024  (comemoração)
Quiz | Dia da Europa 2024 (comemoração)
 
Regulamento do Festival de Teatro Negro - FESTIAFRO 2024 - 10ª edição - CEI...
Regulamento do Festival de Teatro Negro -  FESTIAFRO 2024 - 10ª edição -  CEI...Regulamento do Festival de Teatro Negro -  FESTIAFRO 2024 - 10ª edição -  CEI...
Regulamento do Festival de Teatro Negro - FESTIAFRO 2024 - 10ª edição - CEI...
 
Aprender as diferentes formas de classificar as habilidades motoras é de extr...
Aprender as diferentes formas de classificar as habilidades motoras é de extr...Aprender as diferentes formas de classificar as habilidades motoras é de extr...
Aprender as diferentes formas de classificar as habilidades motoras é de extr...
 
O estudo do controle motor nada mais é do que o estudo da natureza do movimen...
O estudo do controle motor nada mais é do que o estudo da natureza do movimen...O estudo do controle motor nada mais é do que o estudo da natureza do movimen...
O estudo do controle motor nada mais é do que o estudo da natureza do movimen...
 
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autoresModelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
 
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSSFormação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
 
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
 
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PE
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PEEdital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PE
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PE
 
CATEQUESE primeiro ano . CATEQUESE 1ºano
CATEQUESE primeiro ano . CATEQUESE 1ºanoCATEQUESE primeiro ano . CATEQUESE 1ºano
CATEQUESE primeiro ano . CATEQUESE 1ºano
 
No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...
No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...
No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...
 
INTRODUÇÃO DE METODOLOGIA PARA TRABALHIOS CIENTIFICOS
INTRODUÇÃO DE METODOLOGIA PARA TRABALHIOS CIENTIFICOSINTRODUÇÃO DE METODOLOGIA PARA TRABALHIOS CIENTIFICOS
INTRODUÇÃO DE METODOLOGIA PARA TRABALHIOS CIENTIFICOS
 
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
 
Novena de Pentecostes com textos de São João Eudes
Novena de Pentecostes com textos de São João EudesNovena de Pentecostes com textos de São João Eudes
Novena de Pentecostes com textos de São João Eudes
 
Apresentação | Símbolos e Valores da União Europeia
Apresentação | Símbolos e Valores da União EuropeiaApresentação | Símbolos e Valores da União Europeia
Apresentação | Símbolos e Valores da União Europeia
 
5. EJEMPLOS DE ESTRUCTURASQUINTO GRADO.pptx
5. EJEMPLOS DE ESTRUCTURASQUINTO GRADO.pptx5. EJEMPLOS DE ESTRUCTURASQUINTO GRADO.pptx
5. EJEMPLOS DE ESTRUCTURASQUINTO GRADO.pptx
 
13_mch9_hormonal.pptx............................
13_mch9_hormonal.pptx............................13_mch9_hormonal.pptx............................
13_mch9_hormonal.pptx............................
 

02 eac proj vest mat módulo 1 função quadrática

  • 1. MÓDULO I – PARTE 2 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna QUADRÁTICA FUNÇÃO QUADRÁTICA −b xv = , substituindo xv em : - Definição 2a f: R→R 2 y = ax + bx + c , temos: 2 f(x) = ax + bx + c −b −b 2 - Raíz ou zero yv = a.  + b. +c  2a  2a → 2 f(x) =0 ax + bx + c = 0 b2 b2 yv = a. 2 − +c −b+ ∆ −b− ∆ 4a 2a → x1 = e x2 = b2 b 2 2a 2a yv = − +c 4a 2a onde ∆ = b 2 − 4ac b 2 − 2b 2 + 4ac yv = 4a Representação Gráfica : − b + 4ac − (b 2 − 4ac) 2 yv = = 4a 4a −∆ yv = 4a −b −∆ Daí , V =  ,   2a 4a  APÊNDICE - Revisando: EQUAÇÕES DO 2º GRAU: 2 ax + bx + c = 0 (multiplicar por 4a) 2 4a (ax + bx + c) = (4a) . 0 2 2 4a x + 4abx + 4ac = 0 2 (somar b ) 2 2 2 2 4a x + 4abx +b + 4ac = b 2 2 (2ax + b) = b - 4ac (raiz quadrada) ( 2ax + b ) 2 = b 2 − 4ac 2ax + b = b 2 − 4ac 2ax = − b ± b 2 − 4ac Vemos que quando ∆ = 0 a parábola tangencia o eixo x, − b ± b 2 − 4ac −b ± ∆ num único ponto que é a própria solução da equação do x= x= 2º grau : 2a 2a −b± ∆ −b± 0 −b±0 −b x= = = = 2a 2a 2a 2a logo pela figura concluímos que : 2011 1
  • 2. MÓDULO I – PARTE 2 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna QUADRÁTICA Soma das raízes: EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO S = x1 + x2 2 − b + ∆ − b − ∆ − b − b −2 b − b 01) Dada a função f(x) = -x + 4x + 5 , o gráfico da S= + = = = mesma está representado abaixo: 2a 2a 2a 2a a Produto das raízes: V P = x1 . x2    P =  −b + ∆   −b − ∆  = (−b) − ( ∆ ) = b − ∆ = 2 2 2 C 2 2  2a  2a  4a 4a b − b + 4ac 4ac c 2 2 A B = = 4a 2 4aa a −b c S= e P= As coordenadas corretas dos pontos do gráfico são: a a Resolução de alguams equações do 2º grau incompletas: (A) C=(0,5) ; A=(-1,0) ; B=(5,0) ; V=(3,9) (B) C=(0,4) ; A=(0,-1) ; B=(0,5) ; V=(2,9) 2 2 a) x - 25 = 0 b) x + x = 0 (C) C=(0,5) ; A=(0,-1) ; B=(0,5) ; V=(9,2) 2 x = 25 x (x + 1) = 0 (D) C=(0,5) ; A=(-1,0) ; B=(4,0) ; V=(3,4) x =± 25 x = 0 ou x + 1 = 0 (E) C=(0,5) ; A=(-1,0) ; B=(5,0) ; V=(2,9) x=±5 x = 0 ou x = -1 2 02) (CESGRANRIO) - O vértice da parábola f(x) = x + x 2 2 c)3x - 12 = 0 d) 3x - 6x = 0 é o ponto: 2 3x = 12 3x ( x - 2) = 0 (A) (-1,0) (B) (-1/2,-1/4) (C) (0,0) 2 x = 12 / 3 3x = 0 ou x - 2 = 0 x=± 4 x = 0 ou x = 2 (D) (1/2,3/4) (E) (1,2) x=±2 2 03)O valor mínimo da função real f(x) = x + x + 1, é: Resolução das equações do 2º grau completas: 2 a) x - 5x + 6 = 0 1 2 3 (A) -1 (B) 0 (C) (D) (E) − ( −5) ± ( −5) 2 − 4(1)( 6) 5 ± 25 − 24 2 3 4 x= = = 2(1) 2 5± 1 5±1 6 4 04) Dados os dois gráficos abaixo quais das funções = == x 1 = = 3 e x 2 = = 2 2 2 2 2 abaixo correspondem aos gráfico de f1 e f2 respectivamente: Resolução por Soma e Produto 4 f2 2 a) x - 5x + 6 = 0 f1 − b −( −5) c 6 S= = =5 e P= = =6 a 1 a 1 Temos que pensar em dois números que somados resultam 5 -4 4 e multiplicados resultam 6. 2 e 3 2 + 3 = 5 e 2 . 3 = 6 . Portanto x1 = 2 e x2 = 3 0 2 4 Observações Sinais do Delta nº de soluções -16 ∆>0 2 2 2 ∆=0 1 (A) f1(x) = -x +16 e f2(x) = -x + 4x 2 2 ∆<0 nenhuma (B) f1(x) = x -16 e f2(x) = -x + 4x 2 2 (C) f1(x) = -x + 4 e f2(x) = x + 4x 2 2 (D) f1(x) = x - 4x e f2(x) = -x + 36 2 2 (E) f1(x) = x - 4x + 2 e f2(x) = 2x + 3x + 2 2011 2
  • 3. MÓDULO I – PARTE 2 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna QUADRÁTICA 05) (A) (B) (C) (D) (E) Considerando o gráfico acima referente ao trinômio do 2º grau y = ax + bx + c , pode-se afirmar 2 que: (A) a > 0 ; b > 0 ; c < 0 09) (UFRRJ) O custo de produção de um determinado (B) a > 0; b < 0; c>0 2 artigo é dado por C(x) = 3x - 15x + 21. Se a venda de x 2 (C) a < 0 ; b < 0; c<0 unidades é dada por V(x) = 2x + x, para que o lucro L(x) = V(x) - C(x) seja máximo, devem ser vendidas: (D) a < 0 ; b > 0; c<0 (E) a < 0 ; b > 0; c>0 (A) 20 unidades (B) 16 unidades EXERCÍCIOS PROPOSTOS (C) 12 unidades (D) 8 unidades 06) Um soldado entrincheirado em um terreno horizontal (E) 4 unidades lança uma granada, que parte do nível do solo e descreve uma trajetória que obedece à equação 10) (UFRJ) - Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana vertical de 1 2 2 40 y=− x + x+ , sendo x e y medidas em 1 8 45 9 9 equação y = − x 2 + x + 2 , na qual os valores x e metros. A distância entre o ponto de lançamento e o 7 7 ponto atingido pela granada no solo, considerado como y são dados em metros. o eixo Ox, é: (A) 30 m (B) 40 m (C) 50 m (D) 60 m 07) (UERJ-2005) Numa operação de salvamento marítimo, foi lançado um foguete sinalizador que permaneceu aceso durante toda sua trajetória. Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola Considere que a altura h, em metros, alcançada por passa pelo centro da cesta, que está a 3m de altura. este foguete, em relação ao nível do mar, é descrita por 2 h = 10 + 5t - t , em que t é o tempo, em segundos, após Determine a distância da cesta ao eixo y. seu lançamento. A luz emitida pelo foguete é útil apenas a partir de 14 m acima do nível do mar. O intervalo de 11) Num campo de treinamento, um projétil e um míssil tempo, em segundos, no qual o foguete emite luz útil é são lançados, no mesmo instante, de bases distantes igual a: 20 km uma da outra. A trajetória do projétil é uma 2 parábola de equação y = -x + 4x, e a trajetória do (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 míssil é uma reta de equação y = ax + b. Essa situação está representada no esquema abaixo, em que os eixos 08) (UFF) - Considerem m , n e p números reais e as x e y são graduados em quilômetros. funções reais f e g de variável real, definidas por f(x) 2 = mx + nx + p e g(x) = mx + p . A alternativa que melhor representa os gráficos de f e g é: 2011 3
  • 4. MÓDULO I – PARTE 2 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna QUADRÁTICA 15) (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. Determine a e b, sabendo que o míssil deverá atingir o projétil quando este alcançar a altura máxima da sua trajetória (ponto E). 12) (UFF-92 – 2ª fase) O lucro mensal L de certa fábrica 2 é dado por L(x) = -x + 18x -32 , sendo x medido em milhares de peças,e L, em milhões de reais. Calcule o A representação gráfica do lance em um plano número de peças que devem ser produzidas cartesiano está sugerida na figura a seguir: mensalmente: x2 a) Para que a fábrica obtenha o lucro máximo. A equação da parábola era do tipo: y = − + k. 36 O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi: b) Para que o lucro seja de R$ 40.000.000,00. 13) (UERJ-01-1ªex) – A figura abaixo mostra um (A) na baliza. anteparo parabólico que é representado pela (B) atrás do gol. (C) dentro do gol. 3 2 função f ( x) = − x + 2 3x (D) antes da linha do gol. 3 f(x) 16) (PUC) Considere a função f:[-8,3]→R, definida por 2 f(x) = x + 12x + 35 . Então a imagem de f é um intervalo de comprimento: α (A) 75 (B) 78 (C) 81 (D) 83 (E) 90 17) (UERJ-06-2ºex) Um barco percorre seu trajeto de descida de um rio, a favor da correnteza, com a velocidade de 2 m/s em 0 relação à água. Na subida, contra a correnteza, x retornando ao ponto de partida, sua velocidade é de 8 Uma bolinha de aço é lançada da origem e segue uma m/s, também em relação à água. trajetória retilínea. Ao incidir no vértice do anteparo é refletida e a nova trajetória é simétrica à inicial, em Considere que: relação ao eixo da parábola. O valor do ângulo de incidência α corresponde a: - o barco navegue sempre em linha reta e na direção da correnteza; (A) 30º (B) 45º (C) 60º (D) 75º - a velocidade da correnteza seja sempre constante; 14) Um dia na praia a temperatura atingiu o seu valor - a soma dos tempos de descida e de subida do barco máximo às 14 horas. Supondo que neste dia a seja igual a 10 min. temperatura f(t) em graus era uma função do tempo t 2 medido em horas, dada por f(t) = - t + bt – 156 quando Assim, a maior distância, em metros, que o barco pode 8 < t < 20, pede-se: percorrer, neste intervalo de tempo, é igual a: (A) 1.250 a) O valor de b (B) 1.500 (C) 1.750 b) a temperatura máxima atingida neste dia. (D) 2.000 2011 4
  • 5. MÓDULO I – PARTE 2 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna QUADRÁTICA 18) (UFRJ-92) Considere a função y = f(x) definida por: 21) (AFA-00) O retângulo, com base no eixo das abcissas, está inscrito numa parábola, conforme figura  y = 4 x, se 0 ≤ x ≤ 2 abaixo. O valor de x que faz esse retângulo ter  perímetro máximo é  y = − x + 6 x, se 2 ≤ x ≤ 6 2 (A) 1 y a) Esboce o gráfico de y = f(x) no intervalo de [0,6] 8 b) Para que valores de x temos f(x) = 5 ? (B) 0,5 19) (UFRJ-98-PNE) Um fabricante está lançandoa série de mesas “Super 4”. Os tampos das mesas dessa série (C) 0,25 são retangulares e têm 4 metros de perímetro. A fórmica usada para revestir o tampo custa R$ 10,00 por metro −2 –x x 2 x quadrado. Cada metro de ripa usada para revestir as (D) 0,125 cabeceiras custa R$ 25,00 e as ripas para as outras duas laterais custam R$ 30,00 por metro. 22) (ENEM 2010) R$ 10,00/m2 Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia do processo. R$ 25,00/m Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado R$ 30,00/m para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo a) Determine o gasto do fabricante para revestir uma com a função: mesa dessa série com cabeceira de medida x. b) Determine as dimensões da mesa da série “Super 4” para a qual o gasto com o revestimento é o maior possível. em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, 20) (UFRJ-2001-PNE) Um grupo de 40 moradores de em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido uma cidade decidiu decorar uma árvore de Natal desde o instante em que o forno é ligado. gigante. Ficou combinado que cada um terá um número Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a n de 1 a 40 e que os enfeites serão colocados na árvore temperatura for 48 ºC e retirada quando a temperatura durante os 40 dias que precedem o Natal da seguinte for 200 ºC. forma: o morador número 1 colocará 1 enfeite por dia a partir do 1º dia; o morador número 2 colocará 2 enfeites O tempo de permanência dessa peça no forno é, em por dia a partir do 2º dia e assim sucessivamente (o minutos, igual a: morador número n colocará n enfeites por dia a partir do n-ésimo dia). (A) 100 (B) 108 (C) 128 (D) 130 (E) 150 a) Quantos enfeites terá colocado ao final dos 40 dias o morador número 13? 23) (UFF-2002-2ªf) Um muro, com 6 metros de comprimento, será aproveitado como parte de um dos b) A Sra. X terá colocado, ao final dos 40 dias, um lados do cercado retangular que certo criador precisa total de m enfeites. Sabendo que nenhum morador construir. Para completar o contorno desse cercado o colocará mais enfeites do que a Sra. X, determine m. criador usará 34 metros de cerca. Determine as dimensões do cercado retangular de maior área possível que o criador poderá construir. 2011 5
  • 6. MÓDULO I – PARTE 2 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna QUADRÁTICA 24) (UFF-99-2ª f)- A parábola abaixo representa o lucro 26) (UFF-2010-1ªF) Em Mecânica Clássica, a norma G mensal L (em reais) obtido em função do número de do campo gravitacional gerado por um corpo de massa peças vendidas de um certo produto. m em um ponto a uma distância d > 0 do corpo é diretamente proporcional a m e inversamente proporcional ao quadrado de d. Seja G = f (d) a função que descreve a norma G do campo gravitacional, gerado por um corpo de massa constante m em um ponto a uma distância d > 0 desse corpo. É correto afirmar que f (2d) é igual a: f (d ) f (d ) (A) (B) (C) 4 f (d ) 4 2 (D) 2 f (d ) (E) f (d ) 27) (UERJ-2010-2ª fase) Um terreno retangular tem 800 m de perímetro e será dividido pelos segmentos PA e CQ em três partes, como mostra a figura. Determine: a) o número de peças que torna o lucro nulo; b) o(s) valor(es) de x que torna(m) o lucro negativo; 25) (ENEM 09 prova anulada) A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto x, cujo custo 2 de fabricação de cada unidade é dado pó 3x + 232, e Admita que os segmentos de reta PA e CQ estão o seu valor de venda é expresso pela função 180x – contidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do 116. A empresa vendeu 10 unidades do produto x, terreno e que a área do paralelogramo PAQC tem contudo a mesma deseja saber quantas unidades medida S. 2 precisa vender para obter um lucro máximo. Determine o maior valor, em m , que S pode assumir. A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para obtenção do maior lucro é: 28) (UERJ-2007-2ªF) A foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma (A) 10 (B) 30 (C) 58 (D) 116 (E) 232 um arco parabólico com base AB=8m e altura central OC=5,6m. Questão Melhorada: A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto P. O custo de fabricação 2 de x unidades de P é dado por 3x + 232, e o valor de venda de x unidades é dado por 180x – 116. A empresa vendeu 10 unidades do produto P e deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo. A quantidade de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para obtenção desse lucro máximo é: (A) 10 (B) 30 (C) 58 (D) 116 (E) 232 Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é 2011 6
  • 7. MÓDULO I – PARTE 2 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna QUADRÁTICA tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo 31) (UFF-2010-2ªF-IJ) A figura abaixo representa um de simetria da parábola. quadrado MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja área 2 Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP mede 16 cm . igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parabólico. Determine: a) as medidas de AM e MB para que a área do 2 quadrado MNPQ seja igual a 9 cm ; b) as medidas de AM e MB para que a área do Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy. quadrado MNPQ seja a menor possível. Justifique suas respostas. 29) (UERJ-2009-ESP) Observe a parábola de vértice V, gráfico da função 2 quadrática definida por y = ax + bx + c, que corta o eixo 32) (AFA-03)Observe o gráfico da função f abaixo. das abscissas nos pontos A e B. y 1 45° 0 x Sabendo que f é definida por ax 2 + bx + c , se x < 1  f(x) =  analise as alternativas e px + k, se x ≥ 1  marque a opção correta. (A) ac < 0 (C) p = –1 (B) pk ≥ 0 (D) ab > 0 2 33) (UNICAMP - 2002) Uma transportadora entrega, Calcule o valor numérico de ∆ = b - 4ac, sabendo que com caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido o triângulo ABV é equilátero. a problemas operacionais, em um certo dia cada caminhão foi carregado com 500kg a menos que o usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar mais 4 30) (UFRJ-2010-PNE) Determine a equação da caminhões. parábola que passa pelo ponto P1 = (0,a) e é tangente ao eixo x no ponto P2 = (a,0), sabendo que a distância a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia? de P1 a P2 é igual a 4. b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele dia? 2011 7
  • 8. MÓDULO I – PARTE 2 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna QUADRÁTICA DESAFIOS GABARITOS 34) (UNICAMP - 2002) Uma piscina, cuja capacidade é 01) E 02) B 03) E 04) B 3 de 120m , leva 20 horas para ser esvaziada. O volume de água na piscina, t horas após o início do processo de 05) E 06) A 07) A 08) E 2 esvaziamento, é dado pela função V(t) = a(b – t) para 0 ≤ t ≤ 20 e V(t) = 0 para t ≥ 20. 09) D 10) 7m 11) a = -2/9 e b = 40/9 a) Calcule as constantes a e b. 12) a) 9.000 b) 6.000 ou 12.000 13) A b) Faça o gráfico da função V(t) para t ∈ [0,30]. 14) a) 28 b) 40º 15) C 16) C 17) B 18) b) x = 5/4 e x = 5 2 35) (AMAN-2005) 19) a) G(x) = 120 + 10x -10x b) ½ m Um foguete de reconhecimento foi lançado de um ponto 20) a) P13 = 364 b) m = 420 da superfície da Terra e, devido a defeitos estruturais, precisa ser destruído. Sua trajetória plana segue o 21) B 22) D 23) Quadrado de lado 10 m gráfico y = − x 2 + 40x − 300. 1 24) a) a =− Com qual inclinação deve ser lançado um míssil do 50 mesmo local, em trajetória retilínea, para destruir o b) Devem ser vendidas 150 ou 450 peças. 2 foguete no ponto mais distante da Terra? (Obs.: 25) B 26) A 27) 20 000 m considere o eixo das abscissas a superfície terrestre) 28) x = 3m 29) ∆ = 12 (A) arctg 10 (B) arctg 5 2 2 30) y= x − 2x + 2 2 e (C) arctg 20 (D) arctg 1 4 2 2 (E) arctg 3 y=− x + 2x − 2 2 4 2 2 31) A) AM = 2 − cm e MB = 2 + cm 2 2 (ou vice-versa) B) AM = MB = 2 cm 32) D 33) a) 24 caminhões b) 2 500kg 3 34) a) a = e b = 20. b) está no final da lista 10 35) A 2011 8
  • 9. MÓDULO I – PARTE 2 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna QUADRÁTICA Resolução de Algumas questões 50 000 a = – 1000 Questão 23) 1 a=− 50 L(x) = – Desejamos encontrar – 12x + 1000 + 350 = 0 x de modo que Logo, 2 x – 600x + 67500 = 0 ⇔ O perímetro do cercado é dado por : 6 + x + y + x + 6 + y. Assim, Como o muro de 6m será aproveitado, tem-se que x = 150 peças ou x = 450 peças 34 = x + y + x + 6 + y, ou seja y = 14 – x Devem ser vendidas 150 ou 450 peças. A área do cercado é dada por Questão 27) 2 A = (x + 6) y = (x + 6) (14 – x) = -x + 8x + 84, PC = AQ = y 0 ≤ x <14 que pode ser representada graficamente por um arco de parábola, com AD = DP = x concavidade voltada para baixo e vértice no ponto de −8 abscissa: xv = = 4 , que fornece o maior valor 2 y + 4 x = 800 ⇒ y + 2 x = 400 ⇒ y = 400 − 2 x 2 ⋅ (−1) para a área. Portanto, o valor de y no cercado é y = 14 – x = 14 – 4 = 10. A = y ⋅ x = (400 − 2 x) ⋅ x = −2 x 2 + 400 Logo, o cercado de maior área será o quadrado de lado igual a 10m. Logo : − ∆ − (400 2 − 4 ⋅ (−2) ⋅ 0) − (160000 − 0) AMÁX = = = Questão 24) 4a 4 ⋅ (−2) −8 a) Se L = 0 , x = 100 é uma das raízes. Como o máximo de L ocorre para x = 300 a outra raiz é x = 500. O lucro é nulo para 100 peças ou para 500 peças AMÁX = 20 000 m 2 b) O lucro é negativo para 0 ≤ x < 100 e 500 < x ≤ 600 Questão 28) (pela simetria da parábola). c) Equação da parábola: y = ax2 + 5,6 16a + 5,6 = 0 ⇒ a = −0,35 L(x) = a (x – 100) (x – 500) = y = −0,35x2 + 5,6 = 2,45 x = 3m 2 L(x) = a (x – 600 x + 50000) Como L(0) = – 1000 2011 9
  • 10. MÓDULO I – PARTE 2 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna QUADRÁTICA Questão 29) Questão 30) Os pontos A = (x1,0) e B =(x2,0) estão situados no eixo das abscissas logo raízes x1 e x2 são as raízes da função. Logo: −b+ ∆ −b− ∆  l = AB = x 2 − x1 =   2a − =  2a   −b+ ∆ +b+ ∆  2 ∆ ∆ l=  =  =  2a  2a a Observe também que: yV = h∆VAB l 3 yV = 2 a 2=4 −∆ ∆ 3 >> = ⋅ a=2 2 4a a 2 −∆ 3∆ = 4a 2a 4a 3∆ = −2a∆ (4a 3∆ ) 2 = (− 2a∆ ) 2 16a 2 ⋅ 3∆ = 4a 2 ⋅ ∆2 ( ÷4 a 2 ∆ ) 16a 2 ⋅ 3∆ 4a 2 ⋅ ∆2 = 2 y = Ax + Bx + C >>> c = 2 2 4a 2 ∆ 4a 2 ∆ e 4⋅3 = ∆ xv = 2 2 ∆ = 12 −B =2 2 2A B = −4 2 A Como 2 2 é raiz: 2 y = Ax + Bx + C 0 = A(2 2 )2 + B . 2 2 + 2 2 0 = 8A + 2 2 B + 2 2 (substituindo) 0 = 8A + 2 2 .( − 4 2 A ) + 2 2 2011 10
  • 11. MÓDULO I – PARTE 2 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna QUADRÁTICA 0 = 8A −16A + 2 2 2 2 Portanto AM = 2 − cm e MB = 2 + cm 0 = −8A + 2 2 2 2 8A = 2 2 (ou vice-versa) 2 b) A área A(x) do quadrado MNPQ em função da A= medida x do segmento AM é dada por 4 Substituindo: B = −4 2 A 2 A( x) = x 2 + (4 − x) 2 = 2 x 2 − 8 x + 16 B = −4 2 ⋅ >>> B = −2 4 Com 0 ≤ x ≤ 4 Portanto uma das funções é: O valor mínimo de A é atingido na abscissa do vértice da parábola que é gráfico de A. Logo, 2 2 AM = MB = 2 cm y= x − 2x + 2 2 4 Questão 33) A outra basta repetir o processo com a < 0. Seja x o número de caminhões utilizados em um dia normal e y a quantidade em kg carregada em cada um.  y ⋅ x = 60.000 (1)  ( y − 500) ⋅ ( x + 4 ) = 60.000 (2) Das relações (1) e (2), temos: yx + 4y - 500x - 2.000 = yx ∴ y = 500 + 125x (3) Substituindo-se (3) em (1), vem: (500 + 125x) x = 60.000 ∴ 125x + 500x - 60.000 = 0 2 x = 20 ∴ x + 4x – 480 2 ou x = −24(não convém) Substituindo-se x = 20 na relação (3): y = 500 + 125(20) ∴ y = 3.000 2 2 Assim, naquele dia, temos: Daí teremos: y=− x + 2x − 2 2 A- x + 4 = 24 4 Resposta: 24 caminhões. B- y – 500 = 2.500 Questão 31) Resposta: 2.500kg. a) Os triângulos retângulos AMQ e BNM possuem ângulos correspondentes congruentes e DESAFIOS hipotenusas de mesma medida. Portanto, eles são congruentes e, assim, AM = BN. Como cada lado do Questão 34) quadrado ABCD tem medida 4 cm, escrevendo-se x = AM, tem-se AQ = BM = AB − AM = 4 − x. A- Do enunciado, devemos ter: Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo 2 V(0) = 120, ou seja: a . b = 120 (1) retângulo AMQ, tem-se 2 V(20) = 0, ou seja: a . (b - 20) = 0 (2) 2 2 Da relação (1), tem-se que a ≠ 0 e b ≠ 0. x + (4 – x) = 9 Assim, da relação (2), podemos escrever: (b - 20) = 0 ∴ b = 20 2 2 2 3 Logo x = 2− ou x = 2+ Substituindo o valor de b em (1), temos: a = 10 . 2 2 3 Resposta: a = e b = 20. 10 2011 11
  • 12. MÓDULO I – PARTE 2 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna QUADRÁTICA 3 ⋅ (20 - t) para 0 ≤ t ≤ 2 B- Do item (a), resulta V(t) = 10 20, e V(t) = 0, para t ≥ 20. Logo, o gráfico de V(t) para t ∈ [0, 30] é Onde Ɵ é a inclinação, observe o triângulo: Questão 35) O gráfico da Função com seus pontos está representado abaixo: 100 tg θ = 10 tg θ = 10 θ = arctg 10 O míssil deverá ter a seguinte tragetória: 2011 12