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MATEMÁTICA


                                                         ESTUDO DA RETA
1. COEFICIENTE ANGULAR
                                                                                    3. FORMA DE EQUAÇÃO DA RETA
         Considere uma reta t no plano xOy.
                                                                                    3.1. Equação reduzida da reta
                           y                                                               Toda reta ( t : ax + by + c = 0 ) não vertical pode
                                                t                                   ser escrita como abaixo:
                                                    ângulo de inclinação                             ax c                  a
                                                                                           t:y = −     − ,   em que −          representa o coefi-
                                                                                                     b b                   b
                                        α                                                                            c
                       O                                                            ciente angular da reta t e −         representa o coeficiente
                                                                                                                     b
                                                                                    linear da reta.
                                                                                    3.2. Equação segmentária da reta
                                                                                           Toda reta não horizontal e não vertical pode
                                                                                    ser escrita como abaixo.
         Define-se como coeficiente angular da reta                                        x y
                                                                                            + = 1,     em que p e q são os pontos intercep-
t ( mt ) ovalor obtido calculando a tangente do ângulo                                     p q
                                                                 π                  tos. (P representa o ponto de encontro da reta com o
de inclinação, ou seja, mt = tg α, com α ≠ .                                        eixo x e q representa o ponto de encontro da reta
                                                                 2
1.1.Determinação do coeficiente angu-                                               com o eixo y).
lar                                                                                 3.3. Equação paramétrica da reta
     1ºCaso: com 2 pontos distintos                                                        A reta representa um conjunto de pares orde-
                                                                                    nados (x,y) do plano cartesiano. Podemos representá-
                                                                                                                                      x = f ( t )
                                                                                    la em relação a um parâmetro t, ou seja , 
                                                                                                                                                    .
                                                        B                                                                             y = f ( t )
                                                                                                                                      
                   y                                         t
                       B                                                            Exemplo:
                                                             ∆y= yB yA                    E.1) Escreva a equação 2x + 3y − 5 = 0 na forma
                   y                A       α                                       reduzida e segmentária.
                   A
                                        ∆x= xB xA                                   Resolução:
                                                                                             Equação reduzida

                   α                                                                                                           2x 5                   2
                                    xA                  xB                          2x + 3y − 5 = 0 ⇒ 3y = −2x + 5 ⇒ y = −       +         m=−
                                                                                                                               3 3                    3

                                                                                                     (coeficiente angular)
                                                                                               Equação segmentária
         Dados os pontos A ( x A , x A ) e B ( xB , xB ) no plano                                                 2x 3y
                                                                                           2x + 3y = 5 (: 5 ) ⇒     +   = 1⇒
                           ∆y       yB − y A                                                                      5   5
acima: mT = tg α =              =                   .
                           ∆x       xB − x A                                                x y
                                                                                             + =1
         2ºcaso: equação da reta                                                            5 5
         Dada a reta (t) de equação ax + by + c = 0 com                                     2 3
                                                                                                ponto de encontro com o eixo y.
                   a
  b ≠ 0 : mt = −       .                                                                       ponto de encontro com o eixo x.
                   b
      3ºcaso: com o ângulo de inclinação.                                           4. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA
      Dada uma reta (t) que possui ângulo de incli-
nação α: mt = tgα .                                                                 4.1. Por dois pontos distintos
                                                                                          Dados os pontos A ( x A, y A ) e B ( xB , yB ) .
2. EQUAÇÃO GERAL DA RETA
       Toda reta do plano cartesiano pode ser repre-
sentada por uma equação de forma ax + by + c = 0, com
a, b e c reais, a e b não nulos simultaneamente.

Editora Exato                                                                  11
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
                                            B(x B , y B )
                                                                    1   (UFES) O valor de k para que a equação
                                  P(x, y)                               kx-y-3k+6=0 represente a reta que passa pelo
                                        ponto genérico                  ponto (5,0) é:
                     A(xA , yA )          do plano                      Resolução:
                                                                           Passa pelo ponto (5,0), substituindo o ponto
                                                                    (5,0) na equação, temos:
      Como A, B e P são colineares temos:                                  k .5 − 0 − 3k + 6 = 0
                                                                           5k − 3k + 6 = 0
                         x A yA 1                                          2k + 6 = 0
                         x B yB 1 = 0 .                                    2k − 6
                         x y        1                                            6
                                                                           k =−
                                                                                 2
  4.2. Por um ponto e o coeficiente an-                                    k =3

gular
       Dado o ponto B ( x0 , y0 ) e o coeficiente angular           2   (UCS-RS) A figura contém a representação grá-
da reta (t) igual a mt.                                                 fica da reta:
                                                                                      y
                             ∆y                 y − y0
                mt = tgα =         ⇒ mt =              ⇒                              4
                             ∆x                 x − x0

                      y - y0 = m (x - x 0 )                                           2

                    equação fundamental
                          da reta
                                                                                       0             3      x
                                                        t
                                                                          Resolução:
                                               B(x 0 , y 0 )              O gráfico passa pelos pontos: (0,2) e (3,4),
                                                                    então a equação da reta é dada por:
                                                                           0 2 1
                           α
                       P(x ,y )                                            3 4 1=0
                                                                           x y 1
                        ponto genérico
                          do plano                                         0 + 3y + 2x − 4x + 0 − 6 = 0
                                                                           −2x + 3y − 6 = 0
5. CASOS PARTICULARES                                                             ou
                                                                           2x − 3y + 6 = 0
5.1. Reta paralela aos eixos
     Dada a reta ax + by + c = 0 .
        Se a =0, então a reta é paralela ao eixo x.                                        EXERCÍCIOS
        Se b=0, então a reta é paralela ao eixo y.
5.2. Bissetrizes dos quadrantes                                     1   (FASP) A equação da reta suporte do segmento
        Bissetriz dos quadrantes ímpares x − y = 0 .                    AB, dados A(7, 11) e B(15, -1), é:
                                                                        a) 2y-3y -24=0
        Bissetriz dos quadrantes pares x + y = 0 .
                                                                        b) 3y-2x+17=0
6. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS                                         c) 3y-2x+7=0
                                                                        d) 2y+3x -43=0
      Considere duas retas r e s não verticais, com                     e) Nenhuma.
coeficientes angulares, respectivamente, iguais a mr e
ms .
                                                                    2   (OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo
          As retas r e s são paralelas quando mr = ms .                                                                   1
          As retas são concorrentes quando mr ≠ ms .                    ponto A ( −3, 4) , e cujo coeficiente angular é     ,   é:
                                                                                                                          2
          As retas são perpendiculares quando                           a) x+2y+11=0
          mr .ms = −1 .                                                 b) x-y+11=0
                                                                        c) 2x-y+10=0
                                                                        d) x-2y+11=0
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e) nenhuma                                              8   (FATEC) Na figura abaixo, a reta r tem equação
                                                                x+3y–6=0, e a reta s passa pela origem e tem coe-
                                                                                     2
3   (PUC-SP) A equação da reta com coeficiente                  ficiente angular       .
                                                                                     3
                       4
    angular igual a − ,e que passa pelo ponto
                       5                                                         y
                                                                                               s
    P(2,-5), é:
    a) 4x+5y+12=0
    b) 4x+5y+14=0                                                                          B
    c) 4x+5y+17=0
    d) 4x+5y+16=0
    e) 4x+5y+15=0                                                                                  A
                                                                             0                      r   x

4   (PUC-RS) Se as retas 3x-y-7=0,2x+y+c=0 e 2x-                A área do triângulo OAB, em unidade de área, é
    y-5=0 são congruentes, então c é igual a:                   igual a:
    a) –3                                                       a) 1
    b) –1                                                       b) 2
    c) 5                                                        c) 3
    d) 7                                                        d) 4
    e) 9                                                        e) 5

5   (PUC-PR) As retas de equações 3x-4y+1=0 e                                        GABARITO
    4x+3y-5=0 são:
    a) perpendiculares.                                     1   D
    b) paralelas.
    c) concorrentes.                                        2   D
    d) coincidentes.                                        3   C
    e) Nenhuma.
                                                            4   A
                                                            5   A
6   (PUC-SP) As retas 2x+3y=1 e 6x-ky=1são per-
    pendiculares. Então k vale:                             6   D
    a) 1                                                    7   B
    b) 2
    c) 3                                                    8   D
    d) 4
    e) 6

7   (UFGM) Sejam r e s duas retas perpendiculares
    que se interceptam em P(1,2). Se Q(-1,6) perten-
    ce a uma dessas retas, então a equação da outra
    reta é:
    a) x+2y-5=0
    b) x-2y+3=0
    c) 2x-y=0
    d) 2x+y-4=0
    e) 2x+2y+7=0




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Apostila 003 estudo da reta

  • 1. MATEMÁTICA ESTUDO DA RETA 1. COEFICIENTE ANGULAR 3. FORMA DE EQUAÇÃO DA RETA Considere uma reta t no plano xOy. 3.1. Equação reduzida da reta y Toda reta ( t : ax + by + c = 0 ) não vertical pode t ser escrita como abaixo: ângulo de inclinação ax c a t:y = − − , em que − representa o coefi- b b b α c O ciente angular da reta t e − representa o coeficiente b linear da reta. 3.2. Equação segmentária da reta Toda reta não horizontal e não vertical pode ser escrita como abaixo. Define-se como coeficiente angular da reta x y + = 1, em que p e q são os pontos intercep- t ( mt ) ovalor obtido calculando a tangente do ângulo p q π tos. (P representa o ponto de encontro da reta com o de inclinação, ou seja, mt = tg α, com α ≠ . eixo x e q representa o ponto de encontro da reta 2 1.1.Determinação do coeficiente angu- com o eixo y). lar 3.3. Equação paramétrica da reta 1ºCaso: com 2 pontos distintos A reta representa um conjunto de pares orde- nados (x,y) do plano cartesiano. Podemos representá- x = f ( t ) la em relação a um parâmetro t, ou seja ,   . B y = f ( t )  y t B Exemplo: ∆y= yB yA E.1) Escreva a equação 2x + 3y − 5 = 0 na forma y A α reduzida e segmentária. A ∆x= xB xA Resolução: Equação reduzida α 2x 5 2 xA xB 2x + 3y − 5 = 0 ⇒ 3y = −2x + 5 ⇒ y = − + m=− 3 3 3 (coeficiente angular) Equação segmentária Dados os pontos A ( x A , x A ) e B ( xB , xB ) no plano 2x 3y 2x + 3y = 5 (: 5 ) ⇒ + = 1⇒ ∆y yB − y A 5 5 acima: mT = tg α = = . ∆x xB − x A x y + =1 2ºcaso: equação da reta 5 5 Dada a reta (t) de equação ax + by + c = 0 com 2 3 ponto de encontro com o eixo y. a b ≠ 0 : mt = − . ponto de encontro com o eixo x. b 3ºcaso: com o ângulo de inclinação. 4. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA Dada uma reta (t) que possui ângulo de incli- nação α: mt = tgα . 4.1. Por dois pontos distintos Dados os pontos A ( x A, y A ) e B ( xB , yB ) . 2. EQUAÇÃO GERAL DA RETA Toda reta do plano cartesiano pode ser repre- sentada por uma equação de forma ax + by + c = 0, com a, b e c reais, a e b não nulos simultaneamente. Editora Exato 11
  • 2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS B(x B , y B ) 1 (UFES) O valor de k para que a equação P(x, y) kx-y-3k+6=0 represente a reta que passa pelo ponto genérico ponto (5,0) é: A(xA , yA ) do plano Resolução: Passa pelo ponto (5,0), substituindo o ponto (5,0) na equação, temos: Como A, B e P são colineares temos: k .5 − 0 − 3k + 6 = 0 5k − 3k + 6 = 0 x A yA 1 2k + 6 = 0 x B yB 1 = 0 . 2k − 6 x y 1 6 k =− 2 4.2. Por um ponto e o coeficiente an- k =3 gular Dado o ponto B ( x0 , y0 ) e o coeficiente angular 2 (UCS-RS) A figura contém a representação grá- da reta (t) igual a mt. fica da reta: y ∆y y − y0 mt = tgα = ⇒ mt = ⇒ 4 ∆x x − x0 y - y0 = m (x - x 0 ) 2 equação fundamental da reta 0 3 x t Resolução: B(x 0 , y 0 ) O gráfico passa pelos pontos: (0,2) e (3,4), então a equação da reta é dada por: 0 2 1 α P(x ,y ) 3 4 1=0 x y 1 ponto genérico do plano 0 + 3y + 2x − 4x + 0 − 6 = 0 −2x + 3y − 6 = 0 5. CASOS PARTICULARES ou 2x − 3y + 6 = 0 5.1. Reta paralela aos eixos Dada a reta ax + by + c = 0 . Se a =0, então a reta é paralela ao eixo x. EXERCÍCIOS Se b=0, então a reta é paralela ao eixo y. 5.2. Bissetrizes dos quadrantes 1 (FASP) A equação da reta suporte do segmento Bissetriz dos quadrantes ímpares x − y = 0 . AB, dados A(7, 11) e B(15, -1), é: a) 2y-3y -24=0 Bissetriz dos quadrantes pares x + y = 0 . b) 3y-2x+17=0 6. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS c) 3y-2x+7=0 d) 2y+3x -43=0 Considere duas retas r e s não verticais, com e) Nenhuma. coeficientes angulares, respectivamente, iguais a mr e ms . 2 (OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo As retas r e s são paralelas quando mr = ms . 1 As retas são concorrentes quando mr ≠ ms . ponto A ( −3, 4) , e cujo coeficiente angular é , é: 2 As retas são perpendiculares quando a) x+2y+11=0 mr .ms = −1 . b) x-y+11=0 c) 2x-y+10=0 d) x-2y+11=0 Editora Exato 12
  • 3. e) nenhuma 8 (FATEC) Na figura abaixo, a reta r tem equação x+3y–6=0, e a reta s passa pela origem e tem coe- 2 3 (PUC-SP) A equação da reta com coeficiente ficiente angular . 3 4 angular igual a − ,e que passa pelo ponto 5 y s P(2,-5), é: a) 4x+5y+12=0 b) 4x+5y+14=0 B c) 4x+5y+17=0 d) 4x+5y+16=0 e) 4x+5y+15=0 A 0 r x 4 (PUC-RS) Se as retas 3x-y-7=0,2x+y+c=0 e 2x- A área do triângulo OAB, em unidade de área, é y-5=0 são congruentes, então c é igual a: igual a: a) –3 a) 1 b) –1 b) 2 c) 5 c) 3 d) 7 d) 4 e) 9 e) 5 5 (PUC-PR) As retas de equações 3x-4y+1=0 e GABARITO 4x+3y-5=0 são: a) perpendiculares. 1 D b) paralelas. c) concorrentes. 2 D d) coincidentes. 3 C e) Nenhuma. 4 A 5 A 6 (PUC-SP) As retas 2x+3y=1 e 6x-ky=1são per- pendiculares. Então k vale: 6 D a) 1 7 B b) 2 c) 3 8 D d) 4 e) 6 7 (UFGM) Sejam r e s duas retas perpendiculares que se interceptam em P(1,2). Se Q(-1,6) perten- ce a uma dessas retas, então a equação da outra reta é: a) x+2y-5=0 b) x-2y+3=0 c) 2x-y=0 d) 2x+y-4=0 e) 2x+2y+7=0 Editora Exato 13