Apostila 001 operacoes algebricas

1.820 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Apostila 001 operacoes algebricas

  1. 1. MATEMÁTICA OPERAÇÕES ALGÉBRICAS1. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Multiplicação de Polinômios Multiplica-se cada termo do primeiro por todosMonômio ou Termo os termos do outro e a seguir reduz-se os termos se- É a expressão algébrica mais sintética. É a ex- melhantes.pressão formada por produtos e quocientes somente. Exemplo: 5x 3x 2 y 2 ⋅ x3x4 4y 2 (a + b) (x + y) = ax + ay + bx + by 8 x −24x − 4a z 3xy 2 (2x + 4xy - 3y)= Um monômio tem sempre dois componentes: A parte numérica, chamada coeficiente, que é (x 3 - 3x 2 + 2x + 1) (x 2 + x + 1)=seguida pelas letras. As letras de um termo recebem onome de parte literal. 2. PRODUTOS NOTÁVEIS Dizemos que dois monômios ou temos são se-melhantes quando tiverem a mesma parte literal. Quadrado da soma Exemplo: 2 ( a + b ) = ( a + b )( a + b ) = a + 2ab + b 2 2 2x y z é semelhante a −3x y z . 3 4 3 4 2 ( a + b + c ) = ( a + b + c )( a + b + c ) =Adição e Subtração de Monômios = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac Só podemos somar dois monômios, se eles fo- Quadrado da diferençarem semelhantes. Caso contrário, a operação fica in- 2 ( a − b) = ( a − b )( a − b ) = a2 − 2ab + b2dicada. Comumente a adição e subtração de Expres- Produto da soma pela diferençasões algébricas é chamada de redução de termos se- ( a + b )( a − b ) = a 2 − b2melhantes: A redução de dois termos semelhantes se faz 3. FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉ-conservando-se a parte literal e somando-se os coefi- BRICAScientes. O último exemplo não satisfaz à condição. No- Fator comumte que as partes literais são distintas. Por certo, você se lembra de que a ( b + c ) = ab + ac . Pela propriedade simétrica, temos.Multiplicação e Divisão de Monômios Multiplicam-se (dividem-se) os coeficientes emultiplicam-se (dividem-se) as partes literais, obede- ab + ac = a ( b + c ) .cendo às regras de potenciação. Exemplo: Exemplo: 3x 2 y + 9xy 2 = ( 2xy )( 3x y ) = 6x y 3 2 2 3 5 O fator comum é: 3 2 2 Evidenciando-o fica 3x y + 9xy = 3xy ( x + 3y ) . 2 2 ( 3x y z ) : ( 2x y ) = 4 3 2 xyz 2 Agrupamento A expressão não admite um mesmo fator co-Adição e Subtração de Polinômios mum a todos os seus termos, mas, agrupando-os, po- Opera-se como na adição e subtração de mo- demos fatorar a expressão pelo caso anterior.nômios. Exemplo: 4. EQUAÇÃO DO 1º GRAU É toda sentença aberta, redutível e equivalente (x 3 + x 2 + x + 1) + ( 3x 2 + 8x 3 + x + 4 ) = 9x 3 + 4x 2 + 2x + 5 a ax + b = 0 , com a ∈ R * e b ∈ R . (x 3 + 5x + 2 ) − ( 2x 4 + 3x 3 − x + 2 ) = Exemplos: = x + 5x + 2 − 2x 4 − 3x 3 + x − 2 = 3 São equações do 1º grau as sentenças abertas = −2x 4 − 2x 3 + 6x 3x x + 3 5x − 12 e − = 1. 2 2Editora Exato 7
  2. 2. Resolução: Portanto, sendo V o conjunto verdade em R, Notando que ax + b = 0 ⇔ ax = −b ⇔ x = − b para conclui-se que: a  −b + ∆ −b − ∆   a≠0, concluímos que o conjunto-verdade da equa- ∆>0⇒V = ;    2a 2a  ção é V = −  . b    −b   a ∆=0⇒V =   2a  Exercício resolvido: ∆<0⇒V =φ 3x x + 3 − = 1 ⇔ 2 ⋅ 3x − ( x + 3 ) = 4 ⇔ Propriedades 2 4 7 Se ∆ ≥ 0 e {x ; x } é conjunto verdade da equa- 1 2 6x − x − 3 = 4 ⇔ 5x = 7 ⇔ x = ⇔ 5 ção ax + bx + x = 0 , com a ≠ 0 , então: 2 7  −b V =  . S = x1 + x 2 = 5  a c5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU P = x1 ⋅ x 2 = a Quando temos duas ou mais equações, em quea solução de uma equação deve satisfazer as outras EXERCÍCIOS RESOLVIDOSequações, tem-se um sistema de equações. Existem 1 Resolva a expressão algébrica a seguir:vários processos de solução, porém estudaremos os 3x 2 y + 7x 2 y =dois mais importantes: Resolução: (3 + 7) x y = 2 ADIÇÃO e SUBSTITUIÇÃO 10x 2 ySubstituição 2 Resolva os seguintes agrupamentos: Consiste em escolhermos uma das duas equa- 2ções e isolarmos uma incógnita, substituindo-a na ou- a) ab + ax + bx + xtra equação: Resolução:Adição a(b + x) + x(b + x)= Consiste em adicionar os membros das equa- (b + x) (a + x)ções de forma que se anule uma das incógnitas. Caso 3 2não ocorra, devemos preparar as equações. b) 2x + 3x - 3x - 2x Resolução6. EQUAÇÃO DO 2º GRAU É toda a sentença aberta, em x, redutível e e- 2x 3 + 3x 2 - 3x - 2xquivalente a: ax + bx + c = 0 , com a a ∈ R * , b ∈ R e 2 2x(x 2 - 1) + 3x(x - 1)c ∈R . 2x(x + 1) (x - 1) + 3x(x - 1) x(x - 1) [2(x + 1) + 3]Resolução do caso geral ou x(x - 1) [2x + 2 + 3] x(x - 1) (2x + 5) Utilizando “alguns artifícios”, Baskara verifi-cou que a equação ax + bx + c = 0 é equivalente à e- 2quação ( 2ax + b ) = b − 4ac . 2 2 3 Resolva o sistema a seguir: De fato: ax + bx + c = 0 ⇔ ax + bx = −c , multi- 2 2 x + y = 4plicando ambos os membros desta última igualdade por 4a , obtém-se: ax + bx = −c ⇔ 2 2x + y = 74a x + 4abx = −4ac . 2 2 x+y = 4 Somando b2 aos dois membros da igualdade x = 4−yassim obtida, resulta: Substituindo na 2ª equação4a x + 4abx + b = b − 4ac ⇔ ( 2ax + b ) = b − 4ac . 2 2 2 2 2 2 2x + y = 7 2(4 − y) + y = 7 Assim, representando por ∆ o discriminanteb − 4ac , tem solução em R. 2 8 − 2y + y = 7 a) ∆ < 0 ⇒ a equação não tem solução em R. 8−y =7 b) ∆ ≥ 0 ⇒ 2ax + b = ± ∆ ⇔ 2ax = −b ± ∆ ⇔ y =1 −b ± ∆ Então: ⇔x= . 2aEditora Exato 8
  3. 3. x = 4−y 2 O número 2 é raiz da equação: x = 4 −1 a) x + 4=7 x=3 b) x + 2=4 c) 2x – 1=0 d) x + 6=124 Resolva: e) Nenhuma. x + y = 3  2x − 2 x − 3 2x-y=3 3 A raiz de − =1 é: 2 2 Resolução: a) –5 x + y = 3 I b) +1  /  2x − y = 3 II c) 7   d) 2 3x = 6 e) Nenhum. 6 x= ⇔x=2 3 Volta em I: x + y = 2 x+y =3 4 Resolva:  x − y = 4 2+ y = 3 a) x = 3 ; y = −1 y = 3−2 b) x = −1 ; y = −3 y =1 c) x = 1 ;y = 4 d) x = 2 ; y = −25 Resolver, em R, a equação 10x + x − 2 = 0 . 2 e) nenhuma. Resolução: Notando que ∆ = 1 − 4 ⋅ 10 ⋅ ( −2 ) = 81 , temos: 2  x − 3y = 5 5 Resolva:  −1 ± 81 −1 ± 9 −1 + 9  x − 8y = 0 x= = ⇔x= ou 2 ⋅ 10 20 20 a) x = −8 ; y = −1 −1 − 9 8 10 2 1 b) x = 8 ; y = −1 x= ⇔x= ou x = − ⇔V= ;  20 20 20 5 2  c) x = −8 ;y = 1 d) x = 8 ;y = 16 Determinar a soma e o produto das raízes da e- e) Nenhuma. quação 2x + 3y = 8 2x 2 − 7x − 3 = 0 6 O valor de x em:  é: 5x − 2y = 1 a) 3 Resolução: b) 2 Lembrando que se 2x − 7x − 3 = ax + bx + c , 2 2 c) 1temos a = 2 , b = −7 e x = −3 . A soma das raízes é d) –1 −b −7 ( −7 ) 7 c −3 e) Nenhuma.S= = = e o produto é P = = . a 2 2 a 2 7 A soma de dois números é 14, a diferença é 2. EXERCÍCIOS Quais são esses números? a) 9 e 51 Resolver as equações: b) 10 e 4 a) 4x+6=5x+9 c) 8 e 6 b) 2(x+3)=3x+7(x+4) d) 11 e 3 c) 5(x+1)–2(x–3)=10–(2x+3)Editora Exato 9
  4. 4. 8 Resolva: x2–4x+3=0 14 Resolva: x2+9x2–4x=7x] a) x´= 1 e x´´= 2 a) {3, 5} b) x´= −1 e x´´= −2 b) 0;  10 c) x´= 1 e x´´= 3    11 d) x´= −1 e x´´= −3  11 e) Nenhuma. c) 0;   10  d) 3;  11 2  9 Resolva: x –10x+25=0  10  a) x´= 1 e x´´=25 e) Nenhuma. b) x´= 5 e x´´=-5 c) x´= x´´= 5 15 Resolva: x + 2 = 4 d) x´= 2 e x´´=5 a) 14 e) Nenhuma. b) 12 c) 010 Na equação x2–10x+24=0, a soma e o produto d) 1 das raízes valem, respectivamente: e) 2 a) {−10; 24} b) { 24;10} 16 Resolva: x = 2 c) { 10; 24} a) 4 d { 10; −24} b) 6 c) 8 e) Nenhuma. d) 10 e) 1211 As raízes de x2-2x-3=0, são: a) 3 e–1 b)–3 e 1 17 Resolva: x + 2 = 2x c) 1 e 3 a) 2 d) –1 e –3 b) 3 e) 2 e 3 c) 4 d) 1 e) 012 O valor de m na equação x2–8x+m=0, de modo que essa equação não tenha raiz real: a) m=16 18 Resolva: 3x + 1 = 2x + 1 b) m<16 a) 1 d) –4 c) m>16 b) 0 e) 3 d) m<–16 c) –1 e) Nenhuma.13 Resolva: 16x2+3x–10=0 a) {0; 3} b) 0;  3    16  c) {4;1} d) {−1; 4} e) Nenhuma.Editora Exato 10
  5. 5. GABARITO1 a) x=–3 11 b) − 4 −4 c) 52 B3 B4 A5 D6 C7 C8 C9 C10 C11 A12 C13 E14 C15 A16 A17 A18 BEditora Exato 11

×