Este documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra e funções matemáticas do 9o ano, incluindo equações de 2o grau, sistemas de equações, funções de proporcionalidade direta e inversa e funções afins. Fornece exemplos destes conceitos e suas representações gráficas.

1. Matemática em ação 9
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Álgebra e Funções

2. Matemática em ação 9
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Fichas teóricas
Conteúdos abordados:
 Equações do 2.º grau a uma incógnita
 Sistemas de equações
 Funções de proporcionalidade direta
 Função afim
 Funções de proporcionalidade inversa
Estas fichas apresentam noções essenciais já
anteriormente estudadas, mas na perspetiva de um
aluno que frequenta o último ano do Ensino Básico.
Contêm noções essenciais: estudadas no 9.º ano e
estudadas em anos anteriores e que são pré-
requisitos para a aprendizagem do aluno.

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Álgebra
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Equação do 2.º grau é toda a equação redutível à forma ax2
+ bx + c = 0 , a 0 0 forma canónica:
o 1.º membro é um polinómio do 2.º grau e o 2.° membro é zero.
Para resolver uma equação do 2.° grau são válidas as regras para a resolução de equações do 1.º grau (ver ficha 21).
Equações do 2.º grau incompletas
São as equações em que b = 0 ou c = 0 .
◆ 3x2
- 48 = 0 Equação do tipo
3x2
- 48 = 0 § 3x2
= 48 - 48 passou para o 2.º membro trocando o sinal
§ x2
= Dividiram-se ambos os membros por 3
§ x2
= 16 § x = › x = -
§ x = 4 › x = - 4 - 4 e 4 são as soluções: S = {- 4, 4}
◆ x2
+ 25 = 0
x2
+ 25 = 0 § x2
= - 25
Não existe nenhum número real que elevado ao quadrado dê - 25 a equação não tem solução: é impossível.
◆ x2
+ 8x = 0 Equação do tipo
Pondo em evidência o factor comum: x (x + 8) = 0
obtém-se um produto nulo, logo, um dos fatores tem de ser nulo:
x = 0 › x + 8 = 0 › lê-se "ou".
x = 0 › x = - 8 0 e - 8 são as soluções: S = {- 8, 0}
Estas equações que se podem transformar num produto de dois fatores igual a zero, resolvem-se aplicando a:
Lei do anulamente do produto
(2x + 5) (1 - x) = 0 § 2x + 5 = 0 › 1 - x = 0 § x = - › x = 1 S =
Equações do 2.º grau completas
◆ Caso particular: o 1.° membro é um caso notável.
Pode usar-se a lei do anulamento do produto
(o 2.° membro é zero).
x2
- 2x + 1 = 0 § (x - 1)2
= 0
§ (x - 1) (x - 1) = 0
§ x - 1 = 0 › x - 1 = 0
§ x = 1 › x = 1
§ x = 1 1 é solução dupla ou raiz dupla
Número de soluções de uma equação do 2.° grau:
• Duas soluções quando ˚ > 0
• Nehuma solução quando ˚ < 0
• Uma solução dupla quando ˚ = 0
22 Equações do 2.° grau
ax2
+ bx = 0 (c = 0 , b 0 0)
Se um produto A * B é nulo, ou A é nulo ou B é nulo e reciprocamente.
A * B = 0 § A = 0 › B = 0
ax2
+ c = 0 (b = 0)
48
3
"16 "16
5
2 {-
5
2
, 1}
ax2
+ bx + c = 0 , b 0 0 , c 0 0
◆ Caso geral usando a fórmula resolvente.
x2
- 7x + 10 = 0 §
§ x =
§ x = § x = › x = § x = 5 › x = 2
2 e 5 são soluções: S = {2, 5}
7 ¿ "49 - 4 * 1 * 10
2 * 1
7 ¿ 3
2
7 + 3
2
7 - 3
2
da fórmula resolvente
x =
- b ¿ "b2
- 4ac
2a
• ax2
+ bx + c = 0 §
˚ = b2
- 4ac chama-se
binómio discriminante.
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Álgebra
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Equações do 1.° grau com duas incógnitas
Equações com dois valores desconhecidos: as incógnitas.
Os expoentes das incógnitas são iguais a 1 .
◆ As soluções de uma equação do 1.° grau com duas incógni-
tas são pares ordenados de números que a transformam
numa igualdade verdadeira.
◆ Resolver uma equação em ordem a uma das incógnitas é
escrever essa incógnita em função da outra, usando as regras
para resolver equações.
2x + y = 5 §
Agora é fácil determinar soluções: dando valores a x ,
calcula-se o correspondente valor para y .
Sistemas de duas equações com duas incógnitas
Conjunção de duas equações com duas incógnitas, redutíveis à
forma simplificada (forma canónica).
◆ Solução de um sistema de duas equações com duas incóg-
nitas é um par ordenado que transforma cada uma das equa-
ções em igualdades verdadeiras.
◆ Resolver um sistema de duas equações com duas incógni-
tas é determinar estes pares ordenados.
Uma estratégia para resolver um sistema:
Efetuar todas as operações possíveis para desembaraçar
de parêntesis e denominadores, caso existam.
Usar o método de substituição:
• Resolver uma das equações em ordem a uma das incóg-
nitas.
• Substituir na outra equação essa incógnita pela expres-
são encontrada.
• Resolver a equação que tem agora uma só incógnita.
• Substituir o valor encontrado na outra equação.
• Resolver essa equação.
◆ Número de soluções de um sistema
• Uma solução: Sistema possível e determinado.
• Nenhuma solução: Sistema impossível.
• Uma infinidade de soluções: Sistema possível e indeter-
minado.
23 Sistemas de duas equações do 1.° grau com duas incógnitas
y = 5 - 2x
1.°
2.°
a
b
c
ax + by = c
a'x + b'y = c'
com a , b , c , a' , b' , c' å R
1
2
Resolver a equação é determinar os pares orde-
nados (x , y) que a verificam.
O par (1, 3) é uma solução da equação. 2 * 1 + 3 = 5
O par (3, 1) não é solução. 2 * 3 + 1 0 5
O par (0, 5) é outra solução. 2 * 0 + 5 = 5
Existe uma infinidade de soluções.
Na física:
• e = 70t equação que dá o espaço percorrido por um automó-
vel a velocidade constante de 70 km/h em função do
tempo.
Está resolvida em ordem a e .
e = 70t § t = (a mesma equação resolvida em ordem a t )
Resolver um sistema
§ Forma canónica
§ §
§ §
§ §
Solução: (7, 2)
Pode-se averiguar se não houve engano, isto é, se o par
obtido verifica o sistema:
Verificação: §
2x + y = 5
e
70
3x + 5y - 31 = 0
2x -
y
2
= 13
a
d
b
d
c
a
d
b
d
c
a
b
c
3x + 5y = 31
- y = 26 - 4x
a
b
c
3x + 5 (- 26 + 4x) = 31
y = - 26 + 4x
a
b
c
3x - 130 + 20x = 31
y = - 26 + 4x
a
b
c
23x = 161
y = - 26 + 4x
a
b
c
x = 7
y = - 26 + 4 * 7
a
b
c
x = 7
y = 2
a
d
b
d
c
3 * 7 + 5 * 2 - 31 = 0
2 * 7 -
2
2
= 13
a
d
b
d
c
0 = 0
13 = 13
3x + 5y = 31
4x - y = 26
1.°
2.°
equação resolvida
em ordem a y
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São funções de proporcionalidade direta:
A representação gráfica seguinte:
não é de uma função de proporcionalidade direta porque a reta não passa na origem.
27 Função de proporcionalidade direta
Função de proporcionalidade direta é toda a correspondência do tipo x 1 y = kx , k 0 0 .
A cada número x corresponde o número kx , sendo k a constante de proporcionalidade.
O gráfico de uma função de proporcionalidade direta é um conjunto de pontos de coordenadas (x , kx).
Pertencem à reta que passa na origem do referencial e no ponto (1, k).
k
O 1 x
y
x
O
y
Tabela
• O preço da entrada numa piscina municipal
n = número de entradas
p = preço em euros
Expressão
algébrica
p = 5n
Gráfico
5
10
15
20
O 1 2 3 4 n
p
0
p 0
1
5
2
10
3
15
4
20
…
…
* 5
n
• O custo das peras no mercado
p = peso em kg
c = custo em euros
c = 1,5p
1,5
3
4,5
6
O 1 2 3 4 p
c
As duas tabelas representam grandezas dire-
tamente proporcionais.
Nos dois casos, a variá-
vel dependente é igual
ao produto da cons-
tante de proporcionali-
dade pela variável inde-
pendente.
Todos os pontos dos dois gráficos
pertencem a retas que passam
na origem do referencial e pelo
ponto (1, k) , sendo k a cons-
tante de proporcionalidade.
0
c 0
1
1,5
2
3
3
4,5
4
6
…
…
* 1,5
p
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É exemplo de uma função afim a função que a cada x faz corresponder - x + 2 : x 1 y = - x + 2 .
A imagem de 0 é - 0 + 2 = 2 ; a imagem de 1 é - 1 + 2 = 1 .
Bastam dois pontos para desenharmos a reta.
Casos particulares
◆ Se k 0 0 e b = 0 vem y = kx Função linear
Uma função de proporcionalidade direta é uma função linear quando a variável independente x pode tomar qualquer valor, ou
seja, quando o domínio é R .
O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem do referencial.
◆ Se k = 0 vem y = b Função constante
O gráfico é uma reta paralela ao eixo Ox .
Todos os objetos têm a mesma imagem.
Dada a expressão algébrica de uma função afim y = kx + b , com k 0 0 :
Se k > 0 , ou seja, se o declive é positivo, então a função é crescente.
Se k < 0 , ou seja, se o declive é negativo, então a função é decrescente.
28 Função afim
• Se k > 0 a reta passa no 1.º e no 3.º quadrantes. • Se k < 0 a reta passa no 2.º e no 4.º quadrantes.
Uma função afim é uma função do tipo y = kx + b , com k e b constantes,
e em que a variável independente x pode tomar qualquer valor real.
O gráfico de uma função afim é uma reta.
k representa o declive da reta.
b é a ordenada na origem.
Domínio = R
x
b
O
y
y = kx + b
1
2
-1
1 x
y
y = -x + 2
0
O
x
O
y
x
b
O
y
O
x
O
b
y
Os gráficos de funções afins com o mesmo valor de k são
retas com o mesmo declive, ou seja, retas paralelas.
Funções afins com a mesma ordenada na origem b cor-
respondem a retas que têm um ponto comum: o ponto de
coordenadas (0, b) .
4.° quadrante
2.° quadrante
1.° quadrante
3.° quadrante
Ordenada na origem
y = b
D = R
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Grandezas inversamente proporcionais
Se os valores de uma grandeza y são inversamente proporcionais aos valores de outra grandeza x , então existe uma constante
k , diferente de zero, tal que xy = k .
Reciprocamente, se existe uma constante k 0 0 tal que xy = k , então y é inversamente proporcional a x .
Designando por t o tempo, em horas, que um automóvel demora a percorrer uma distância e por v a velocidade média, em
km/h, a que circula, verifica-se:
40 * 12 = 80 * 6 = 100 * 4,8 = 120 * 4 = 480 constante de proporcionalidade,
representa a distância percorrida.
O tempo t que um automóvel demora a percorrer uma certa distância é inversamente proporcional à sua velocidade média v
utilizada.
Neste caso, vt = 480 § t = .
Função de proporcionalidade inversa
É uma função de proporcionalidade inversa, a função f que a um número x faz corresponder :
x 1 y = ou f(x) =
• - 2 1 - 1 ou f(- 2) = - 1
• 1 1 2 ou f(1) = 2
• Zero não pertence ao domínio de f (0 não tem imagem).
Representação gráfica
A representação gráfica de uma função de proporcionalidade inversa é o conjunto de
todos os pontos de coordenadas .
◆ O gráfico de uma função do tipo y = , k 0 0 é uma curva chamada hipérbole.
◆ O produto das coordenadas de qualquer ponto do gráfico é constante e igual a k :
x * y = k .
◆ D = CD = ]- ?, 0[ ∂ ]0, + ?[ .
29 Função de proporcionalidade inversa
480
v
2
x
ax,
k
x
b
k
x
2
x
2
x
1
2
3
1
2
3
4
-1
-2
-3
x
x
y
y
1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
Quando a velocidade aumenta para o dobro, o tempo
diminui para metade; quando a velocidade aumenta para
o triplo, o tempo diminui para a terça parte; …
Função de proporcionalidade inversa é toda a correspondência do tipo y = , k 0 0 .
A cada número x 0 0 corresponde (k constante diferente de zero).
k é a constante de proporcionalidade inversa.
k
x
k
x
40
Tempo t
(em horas)
12
80 100 120
6 4,8 4
Velocidade média
(em km/h) v
Uma hipérbole é constituída por dois ramos.
k > 0
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8. Resolução de exercícios
e problemas
Para consolidares os teus
conhecimentos, resolve os
exercícios e problemas que te
propomos.

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Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, escolhe a opção
correta.
1 A solução do sistema { é o par ordenado:
(A) (B) (C) (D)
2 A equação :
(A) não tem soluções reais. (B) tem duas soluções diferentes.
(C) tem uma solução dupla. (D)
3 O gráfico da função interseta os eixos coordenados nos
pontos:
(A) (B)
(C) (D)
4 A tabela ao lado representa uma relação de proporcionalidade
direta, . A constante de proporcionalidade é:
(A) (B) (C) (D)
5 A partir da tabela ao lado podemos concluir que:
(A) (B) (C) (D)
?
Nenhuma das respostas
anteriores é correta.
1.ª parte

10. Matemática em ação 9
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Apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efetuados e as
justificações necessárias.
1 Um cavalo e um burro caminhavam juntos levando sacos muito pesados,
todos com o mesmo peso. Lamentava-se o cavalo da sua pesada carga quando o
burro lhe disse:
Quantos sacos levava cada animal?
Adaptado de Álgebra, Editora Mir
2 Na figura está representado um triângulo . Determina o valor de , de
modo que o triângulo seja retângulo em .
2.ª parte

11. Matemática em ação 9
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3 Sabe-se que o gráfico de uma função afim passa pelo ponto e
tem 5 como ordenada na origem. Faz a representação gráfica dessa função e
determina a sua expressão algébrica.
4 A distância (em quilómetros) percorrida pelo Afonso no seu jogging matinal
é diretamente proporcional ao tempo (em minutos) gasto a percorrê-la.
O Afonso percorre 3 km em 15 minutos.
a) Escreve em função de .
b) Determina a distância percorrida pelo Afonso em três
quartos de hora.
5 Um pastor tinha 60 ovelhas e ração para as sustentar durante 30 dias.
Vendeu um certo número de animais de modo que a ração passou a ser suficiente
para mais 10 dias.
Quantas ovelhas vendeu?