Mat relacoes trigonometricas nos triangulos

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Mat relacoes trigonometricas nos triangulos

  1. 1. Relações trigonométricas nos triângulos Profa. Dra. Denise Ortigosa StolfSumário PáginaRazões trigonométricas no triângulo retângulo .............................................................. 1 Seno .......................................................................................................................... 1 Cosseno .................................................................................................................... 2 Tangente ................................................................................................................... 2Tabela trigonométrica ..................................................................................................... 4 Tabelas importantes.................................................................................................. 6Resolvendo problemas no triângulo retângulo ............................................................... 6Relações entre seno, cosseno e tangente......................................................................... 9Relações trigonométricas em um triângulo qualquer ................................................... 10 Lei dos senos .......................................................................................................... 11 Lei dos cossenos ..................................................................................................... 12Referências bibliográficas............................................................................................. 16
  2. 2. 1Relações trigonométricas nos triângulosRazões trigonométricas no triângulo retânguloUm triângulo é uma figura geométrica plana, constituída por três lados e trêsângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidadede medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0o e 180o, demodo que, em qualquer triângulo, a soma dessas medidas é 180o.Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que sãorelações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar amedida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos. Um triângulo é dito retângulo quando um de seus ângulos é reto, isto é, tem medida igual a 90o. Os outros dois ângulos, evidentemente, são agudos.No triângulo retângulo ABC, consideremos, por exemplo, o ângulo que temvértice em B, cuja medida α, em graus, é um número real que está no intervalo]0,90[. Entre os lados do triângulo podemos estabelecer as seguintes razões:SenoSeno de α é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo B e o ˆcomprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o seno de α por sen α, ACtemos: sen α = . BCDado um segmento AB , indicamos o comprimento de AB por AB, ondeAB = med( AB ).
  3. 3. 2CossenoCosseno de α é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo B e ˆo comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o cosseno de α por cos α, ABtemos: cos α = . BCTangenteTangente de α é a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto ACadjacente ao ângulo B . Indicando a tangente de x por tg α, temos: tg α = ˆ . AB sen αObservação: De acordo com a definição, é fácil verificar que tg α = , para cos αtodo α variando no intervalo ]0,90[.Exemplo:► No triângulo retângulo ABC, determine o valor do seno, cosseno e tangente ˆdo ângulo C .Resolução:Representando a medida da hipotenusa por x, calculamos esse valor aplicando oteorema de Pitágoras no ∆ABC. x 2 = 5 2 + 12 2 sen β = CO cos β = CA tg β = CO x 2 = 25 + 144 H H CA 5 12 5 x 2 = 169 sen β = cos β = tg β = 13 13 12 x = 169 x = 13
  4. 4. 3 EXERCÍCIOS A(1) Considerando que 5 = 2,23 , determine o valor do seno, do cosseno e da ˆtangente do ângulo B no triângulo retângulo ABC da figura abaixo.(2) A figura seguinte é um triângulo eqüilátero ABC, onde cada ângulo internovale 60º. Traçando-se a altura AH , teremos um triângulo retângulo AHC. l 3Sabendo que h = (você já conhece essa fórmula), considere o triângulo 2retângulo AHC e determine o valor de sen 60º, cos 60º e tg 60º, deixando essesvalores na forma de radical.
  5. 5. 4(3) Usando a mesma figura e o mesmo triângulo retângulo AHC (do exercícioanterior), determine o valor de sen 30º, cos 30º e tg 30º, pois a altura AH ˆcoincide com a bissetriz do ângulo interno A , no triângulo eqüilátero (deixar aresposta na forma de radical).(4) No triângulo retângulo, determine o valor do seno, do cosseno e da tangentedo ângulo de 45º (deixar a resposta na forma de radical).Tabela trigonométricaEm muitos casos, para resolver problemas com triângulos retângulos énecessário conhecer as razões trigonométricas dos ângulos agudos do triângulo.Como a cada ângulo agudo está associado um único valor para o seno, para ocosseno e para a tangente, podemos elaborar uma tabela que nos forneça essesvalores, evitando assim a necessidade de calculá-los a toda hora.A tabela a seguir foi construída há séculos, e nos dá os valores do seno, docosseno e da tangente de ângulos de 1º até 89º, com aproximação até milésimos.A maioria das calculadoras, hoje em dia, nos fornecem esses valores.
  6. 6. 5 TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICASÂngulo ( º ) sen cos tg Ângulo ( º ) sen cos tg 1 0,017 1,000 0,017 46 0,719 0,695 1,036 2 0,035 0,999 0,035 47 0,731 0,682 1,072 3 0,052 0,999 0,052 48 0,743 0,669 1,111 4 0,070 0,998 0,070 49 0,755 0,656 1,150 5 0,087 0,996 0,087 50 0,766 0,643 1,192 6 0,105 0,995 0,105 51 0,777 0,629 1,235 7 0,122 0,993 0,123 52 0,788 0,616 1,280 8 0,139 0,990 0,141 53 0,799 0,602 1,327 9 0,156 0,988 0,158 54 0,809 0,588 1,376 10 0,174 0,985 0,176 55 0,819 0,574 1,428 11 0,191 0,982 0,194 56 0,829 0,559 1,483 12 0,208 0,978 0,213 57 0,839 0,545 1,540 13 0,225 0,974 0,231 58 0,848 0,530 1,600 14 0,242 0,970 0,249 59 0,857 0,515 1,664 15 0,259 0,966 0,268 60 0,866 0,500 1,732 16 0,276 0,961 0,287 61 0,875 0,485 1,804 17 0,292 0,956 0,306 62 0,883 0,469 1,881 18 0,309 0,951 0,325 63 0,891 0,454 1,963 19 0,326 0,946 0,344 64 0,899 0,438 2,050 20 0,342 0,940 0,364 65 0,906 0,423 2,145 21 0,358 0,934 0,384 66 0,914 0,407 2,246 22 0,375 0,927 0,404 67 0,921 0,391 2,356 23 0,391 0,921 0,424 68 0,927 0,375 2,475 24 0,407 0,914 0,445 69 0,934 0,358 2,605 25 0,423 0,906 0,466 70 0,940 0,342 2,747 26 0,438 0,899 0,488 71 0,946 0,326 2,904 27 0,454 0,891 0,510 72 0,951 0,309 3,078 28 0,469 0,883 0,532 73 0,956 0,292 3,271 29 0,485 0,875 0,554 74 0,961 0,276 3,487 30 0,500 0,866 0,577 75 0,966 0,259 3,732 31 0,515 0,857 0,601 76 0,970 0,242 4,011 32 0,530 0,848 0,625 77 0,974 0,225 4,331 33 0,545 0,839 0,649 78 0,978 0,208 4,705 34 0,559 0,829 0,675 79 0,982 0,191 5,145 35 0,574 0,819 0,700 80 0,985 0,174 5,671 36 0,588 0,809 0,727 81 0,988 0,156 6,314 37 0,602 0,799 0,754 82 0,990 0,139 7,115 38 0,616 0,788 0,781 83 0,993 0,122 8,144 39 0,629 0,777 0,810 84 0,995 0,105 9,514 40 0,643 0,766 0,839 85 0,996 0,087 11,430 41 0,656 0,755 0,869 86 0,998 0,070 14,301 42 0,669 0,743 0,900 87 0,999 0,052 19,081 43 0,682 0,731 0,933 88 0,999 0,035 28,636 44 0,695 0,719 0,966 89 1,000 0,017 57,290 45 0,707 0,707 1,000 90 1,000 0,000 -
  7. 7. 6Tabelas importantesNa resolução de alguns problemas é mais conveniente usar os valores daseguinte tabela: Ângulo sen cos tg 1 3 3 30º 2 2 3 2 2 45º 1 2 2 3 1 60º 3 2 2Por extensão da definição, consideramos: Ângulo sen cos tg 0º 0 1 0 não 90º 1 0 existeResolvendo problemas no triângulo retânguloUsando os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo agudo de umtriângulo retângulo, podemos resolver problemas como veremos nos exemplos aseguir.Exemplos:
  8. 8. 7a) No triângulo retângulo da figura, determinar as medidas x e y dos catetos. x y sen 32 o = cos 32 o = 123 20 123 20 0 ,53 0 ,848 x y 0,53 = 0,848 = 20 20 x = 20 ⋅ 0,53 y = 20 ⋅ 0,848 x = 10,60 cm y = 16,96 cmb) Em um triângulo isósceles, cada ângulo da base mede 71º. Sabendo-se que abase desse retângulo mede 8 cm, determinar a medida h da altura relativa à base. h tg 71o = 13 4 2 2 , 904 h 2,904 = 4 h = 4 ⋅ 2,904 h = 11,616 cm EXERCÍCIOS B(1) No triângulo retângulo determine as medidas x e y indicadas. (Use:sen 65 o = 0,91; cos 65 o = 0,42 ; tg 65 o = 2,14 )
  9. 9. 8(2) Considerando o triângulo retângulo ABC, determine as medidas a e bindicadas.(3) Na figura temos que PA = 18 cm. Nessas condições, calcule:a) o comprimento r do raio da circunferência;b) a distância x do ponto P ao centro O.(4) A determinação feita por radares da altura de uma nuvem em relação ao soloé importante para previsões meteorológicas e na orientação de aviões para queevitem turbulências. Nessas condições, determine a altura das nuvens detectadaspelos radares conforme o desenho seguinte.(Use: sen 28 o = 0,47 ; cos 28 o = 0,88 ; tg 28 o = 0,53 )
  10. 10. 9Relações entre seno, cosseno e tangenteAs razões trigonométricas seno, cosseno e tangente se relacionam de váriasformas, como veremos a seguir:1ª) sen 2 θ + cos 2 θ = 1 ( 0 o < θ < 90 o ) sen θ2ª) tg θ = ( 0 o < θ < 90 o ) cos θExemplo:► Sabendo que sen α = 0,6 , determine o cos α e a tg α . sen 2 α + cos 2 α = 1 tg α = sen α (0,6) 2 + cos 2 α = 1 cos α 0,6 0,36 + cos 2 α = 1 tg α = 0,8 cos 2 α = 1 − 0,36 tg α = 0,75 cos 2 α = 0,64 cos α = 0,64 64 cos α = 100 8 cos α = 10 cos α = 0,8Então, cos α = 0,8 e tg α = 0,75 .
  11. 11. 10 EXERCÍCIOS C 2 2 17(1) Sabendo que sen α = e cos α = , calcule o valor de tg α . 5 5 12(2) No triângulo retângulo da figura, temos cos α = . Calcule: 13a) o sen α e a tg α ;b) a medida x da hipotenusa.Relações trigonométricas em um triângulo qualquerAs relações trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas em triângulosretângulos. Vamos conhecer outras relações que valem para quaisquertriângulos.
  12. 12. 11Lei dos senos Em todo triângulo, as medidas de seus lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. a b C = = ˆ ˆ ˆ sen A sen B sen CExemplo:► Um agrimensor quer medir a distância entre duas árvores, A e B, que seencontram em margens opostas de um rio, como mostra a figura. A partir de um ˆponto C, ele tomou as seguintes medidas: AC = 14 m, med( C ) = 80º e ˆmed( A ) = 72º. Com esses dados ele determinou a distância de A até B. Qual éessa distância?Resolução:Utilizando os dados do problema, temos:med( B ) = 180 o − (80 o + 72 o ) = 28º ˆAplicando a lei dos senos no ∆ABC: BC AC AB = = ˆ ˆsen A sen B sen C ˆ BC AC AB o = o =sen 72 sen 28 sen 80 o BC 14 AB = =sen 72 o sen 28 o sen 80 o 14 AB o =sen 28 sen 80 o
  13. 13. 12Na tabela trigonométrica encontramos os valores de sen 28o e sen 80 o . 14 AB = 0,469 0,985 0,469 AB = 14 ⋅ 0,985 13,79 AB = 0,469 AB = 29,4Portanto, a distância entre as duas árvores é aproximadamente de 29,4 m.Lei dos cossenos Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A ˆ b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B ˆ c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C ˆExemplo:
  14. 14. 13► No triângulo ABC, as medidas de dois lados são 10 cm e 6 cm e o ânguloformado por esses lados mede 50º. Qual é a medida do terceiro lado?Resolução:Como são dadas as medidas de dois lados e oângulo formado por eles, podemos aplicar a lei doscossenos.a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A ˆ a 2 = 6 2 + 10 2 − 2 ⋅ 6 ⋅10 ⋅ cos 50 oNa tabela trigonométrica temos cos 50 o = 0,643 a 2 = 6 2 + 10 2 − 2 ⋅ 6 ⋅10 ⋅ cos 50 o a 2 = 36 + 100 − 120 ⋅ 0,643 a 2 = 136 − 77,16 a 2 = 58,84 5884 a= 100 2 1471 a= 10 1471 a= 5 1471Portanto, o terceiro lado mede cm. 5
  15. 15. 14 EXERCÍCIOS D ˆ ˆ(1) No triângulo ABC, o ângulo B mede 60º, o ângulo C mede 45º e o lado ABmede 3 2 cm. Calcule a medida do lado AC.(2) No triângulo RMP, determine o valor de x sabendo que: MP = 18 cm, ˆ ˆmed( M ) = 45º e med( P ) = 75º.
  16. 16. 15(3) O ∆CNT possui dois lados que medem 4 cm e 3 3 cm. O ângulo formadopor esses lados mede 30º. Qual é a medida do lado oposto a esse ângulo? ˆ(4) Observe as medidas marcadas na figura e calcule a medida do ângulo A .
  17. 17. 16Referências bibliográficasANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.E-CÁLCULO. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br>. Acesso em: 9 de outubro de 2008.EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 9 de outubro de 2008.MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997.SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>. Acesso em: 21 de agosto de 2008.

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