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Escola Básica de Ribeirão (Sede)
ANO LETIVO 2011/2012
SOLUÇÕES
9.º Ano
Compilação de Exercícios de Exames Nacionais (EN) e de Testes Intermédios (TI)
Tema: Circunferência e Polígonos. Rotações
1.1. Ponto G; 1.2. Porque os dois ângulos estão inscritos no mesmo arco
de circunferência.
1.3. ver construção geométrica ao lado.
2.1. valor aproximado por defeito: 14,4;
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2.2. (A);
3.1. A amplitude do arco AB é 120 graus;
3.2. A amplitude do ângulo BAD é 60 graus. Na justificação deve estar implícito o conhecimento de que uma recta
tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangencia.
4. Os quatro lados do quadrilátero são iguais, porque a arcos iguais correspondem cordas iguais e cada um dos
seus ângulos é recto, pois cada um destes ângulos está inscrito num arco de circunferência cuja amplitude é 180
graus.
5. (B); 6. (B); 7. A amplitude do arco CB é 40 graus;
8.1. 60º (a amplitude do arco é o dobro da amplitude do ângulo inscrito);
8.2. 2,5ED = . Nota: 30º 5 30º 2,5
5
ED
sen ED sen ED= ⇔ = ⇔ =
8.3. A recta BD é um eixo de simetria. O ângulo AED tem de amplitude 90º . A imagem do ponto A é o ponto C e
os pontos E e D são imagens de si próprios. Uma simetria em relação a uma recta transforma uma figura noutra
geometricamente igual, logo os triângulos [ ]ADE e [ ]CDE são geometricamente iguais.
9. O ângulo ACB está inscrito no arco AB, logo é um ângulo inscrito numa semicircunferência e como tal tem 90º
de amplitude. O triângulo ABC não pode ser equilátero, pois todos os ângulos internos de qualquer triângulo
equilátero têm uma amplitude de 60º . Nota: Um triângulo rectângulo nunca pode ser equilátero, a hipotenusa é
sempre o lado maior do triângulo.
10. (C)
11.1. Aplicando a fórmula que nos dá a amplitude de um polígono regular com n lados podemos concluir que
180 3
108º
5
×
= , logo ˆ 108ºTPQ = . OU Tendo em conta que o ângulo TPQ é um ângulo inscrito no arco maior
TQ, cuja amplitude é 216º, porque 360º 5 72º÷ = e 72º 3 216º× = , a sua amplitude será metade deste valor, ou
seja, ˆ 108ºTPQ = .
11.2. 5 25 60 18,5sombreada pentágonoA A A A A π∆= − = − × = −⊙ ⊙ ≃
Cálculo Auxiliares:
2
5 25A π π= × =⊙ e 5 5 12 60pentágonoA A= × = × =△
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12. 30ºα = . Nota: ˆ 180º 60º 120ºAOC = − = ; ˆ ˆ180º 120º 60º OAC OCA− = = + , como o triângulo [AOC] é
isósceles ˆ ˆ 60º 2 30ºACO OAC= = ÷ = , ou seja, 30ºα = . OU Tendo em conta que 60ºCB = , uma vez que se
trata do arco correspondente ao ângulo ao centro COB, podemos concluir que o ângulo inscrito BAC vai ter uma
amplitude de 30º (metade de 60º). Dado que o triângulo [AOC] é isósceles, a lados iguais opõem-se ângulos
iguais, ou seja, ˆ ˆ 30ºBAC ACO α= = = .
13.1. Trata-se de um ângulo inscrito numa semicircunferência.
13.2. 56,25 54 123sombreadaA A A π∆= − = −⊙ ≃
Cálculo Auxiliares:
2
7,5 56,25A π π= × =⊙ e
9 12
54
2
A
×
= =△
Para determinar a base do triângulo, BC , usamos o Teorema de
Pitágoras:
2 2 2 2 2 2
2 2
12 15 225 144 81 81 9AB BC AC BC BC BC BC BC+ = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ±
, como se trata de um comprimento não pode ser negativo logo 9BC = .
14. (A); 15. (D); 16.1. 56ºAC = ; 16.2. 0,8DE = . Nota: DE OE OD= − ; 6,8OE AO= = (raio da
circunferência) e OD pode ser calculado usando o Teorema de Pitágoras, uma vez que o triângulo [AOD] é
rectângulo. Sendo assim
2 2 2 2 2 2
3,2 6,8 (...) 6OD AD AO OD OD+ = ⇔ + = ⇔ ⇔ = ± , como se trata de um
comprimento não pode ser negativo logo 6OD = . Deste modo 6,8 6 0,8DE OE OD= − = − = .
17.1. ˆ 45ºACB = (ângulo inscrito num quarto de circunferência). 17.2. (D); 17.3. 2 . Nota: Pelo Teorema de
Pitágora podes concluir que
2 2 2
2 2 2
2OG GB OB x x+ = ⇔ + = 2 2
2 4 2 2x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = ± , como se
trata de um comprimento não pode ser negativo logo 2x OG= = .
18.1. ˆ 60ºDOC = ; 18.2. 16 24 3 9sombreada hexágonoA A A π= − = −⊙ ≃
Cálculo Auxiliares:
2
4 16A π π= × =⊙ e 6 6 4 3 24 3hexágonoA A= × = × =△
18.3. F; 19.1. 140ºAB = ; 19.2. 2 ; 19.3.
4,35 4,35
70 4,63
70º
sen BD BD cm
senBD
° = ⇔ = ⇔ ≃
20.1. ˆ 45ºBIH = (ângulo inscrito num quarto de circunferência).
20.2. 1
4
4 16 4 3,4SombreadaA A A A A π= − × = − = −□ □ ⊙
⊙
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2 4A π π= × =⊙ .
20.2. 2 8 4,8IO IA AO IO IO= + ⇔ = + ⇔ ≃ . Nota: Usando o Teorema de Pitágoras podes concluir
que 8AO = , uma vez que [ ]AO é a hipotenusa do triângulo [ ]AHO e 2AH HO= = (raio da
circunferência).
21.1. 108º . Nota: 180º 72º 108ºAB = − = .
21.2. [ ] 32 64tan36º 54Sombreada Semicírculo QBSA A A π= − = −△ ≃ . Nota:
2
8 64A π π= × =⊙ , logo 32SemicírculoA π= ;
tan36º 8tan36º
8
OQ
OQ= ⇔ = ; [ ] [ ]
8tan36º 8
2 2 2 64tan36º
2 2QBS QOB
OQ OB
A A
× ×
= × = × = × =△ △
;
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22.1. (C); 22.2.
72
2 2 72 26,7
2
P rπ π π= = × × =⊙ ≃ . Nota: pelo Teorema de Pitágoras podemos
determinar o diâmetro da circunferência.
2 2 2 2 2
2 2
6 6 72 72AC AB BC AC AC AC= + ⇔ = + ⇔ = ⇔ = ± ,
como se trata de um comprimento, não pode ser negativo logo 72AC = , ou seja, o valor exato do raio desta
circunferência é
72
2
.
23.1. (B); 23.2. 100º . Nota: 180º 80º 100ºAC = − = .
23.3. 2 7,52 23,6P r d AD cmπ π π π= = × = × = ×⊙ ≃ . Nota: O triângulo [AED] é retângulo em E porque o
ângulo AED é um ângulo inscrito numa semicircunferência. O valor de AD pode ser determinado pelo Teorema
de Pitágoras.
2 2
2 2
6,8 3,2 56,48 56,48 7,52AD AD AD AD= + ⇔ = ⇔ = ± ⇔ ±≃ , como se trata de um
comprimento 7,52AD ≃ .
24.1. ˆ 55DBA = °. Nota: ˆ 85DPB = ° (ângulos verticalmente opostos) e ˆ 40CAB = °(ângulo inscrito num arco de
amplitude igual a 80º).
24.2. (C). Nota: a razão de semelhança desta ampliação é 2, como a razão entre as áreas de figuras semelhantes
é igual à razão de semelhança ao quadrado temos
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2 2
2 24
6
DCP DCP
DCP
DCP
A A
r A
A
= ⇔ = ⇔ =
△ △
△
△
.
NOTA: Podes encontrar uma sugestão de resolução destas questões no PortalMath, para isso basta veres de
onde foi retirada a questão (Teste Intermédio ou Exame Nacional) e o respectivo ano, consultares as páginas
onde estão os todos os Testes Intermédios (http://portalmath.wordpress.com/ti-9ano/) / Exames Nacionais
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  • 1. Ex. Exame + TI (9.º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações http://portalmath.wordpress.com 1 / 3 Escola Básica de Ribeirão (Sede) ANO LETIVO 2011/2012 SOLUÇÕES 9.º Ano Compilação de Exercícios de Exames Nacionais (EN) e de Testes Intermédios (TI) Tema: Circunferência e Polígonos. Rotações 1.1. Ponto G; 1.2. Porque os dois ângulos estão inscritos no mesmo arco de circunferência. 1.3. ver construção geométrica ao lado. 2.1. valor aproximado por defeito: 14,4; valor aproximado por excesso: 14,5; 2.2. (A); 3.1. A amplitude do arco AB é 120 graus; 3.2. A amplitude do ângulo BAD é 60 graus. Na justificação deve estar implícito o conhecimento de que uma recta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangencia. 4. Os quatro lados do quadrilátero são iguais, porque a arcos iguais correspondem cordas iguais e cada um dos seus ângulos é recto, pois cada um destes ângulos está inscrito num arco de circunferência cuja amplitude é 180 graus. 5. (B); 6. (B); 7. A amplitude do arco CB é 40 graus; 8.1. 60º (a amplitude do arco é o dobro da amplitude do ângulo inscrito); 8.2. 2,5ED = . Nota: 30º 5 30º 2,5 5 ED sen ED sen ED= ⇔ = ⇔ = 8.3. A recta BD é um eixo de simetria. O ângulo AED tem de amplitude 90º . A imagem do ponto A é o ponto C e os pontos E e D são imagens de si próprios. Uma simetria em relação a uma recta transforma uma figura noutra geometricamente igual, logo os triângulos [ ]ADE e [ ]CDE são geometricamente iguais. 9. O ângulo ACB está inscrito no arco AB, logo é um ângulo inscrito numa semicircunferência e como tal tem 90º de amplitude. O triângulo ABC não pode ser equilátero, pois todos os ângulos internos de qualquer triângulo equilátero têm uma amplitude de 60º . Nota: Um triângulo rectângulo nunca pode ser equilátero, a hipotenusa é sempre o lado maior do triângulo. 10. (C) 11.1. Aplicando a fórmula que nos dá a amplitude de um polígono regular com n lados podemos concluir que 180 3 108º 5 × = , logo ˆ 108ºTPQ = . OU Tendo em conta que o ângulo TPQ é um ângulo inscrito no arco maior TQ, cuja amplitude é 216º, porque 360º 5 72º÷ = e 72º 3 216º× = , a sua amplitude será metade deste valor, ou seja, ˆ 108ºTPQ = . 11.2. 5 25 60 18,5sombreada pentágonoA A A A A π∆= − = − × = −⊙ ⊙ ≃ Cálculo Auxiliares: 2 5 25A π π= × =⊙ e 5 5 12 60pentágonoA A= × = × =△ http://portalmath.wordpress.com http://portalmath.wordpress.com http://portalmath.wordpress.com
  • 2. Ex. Exame + TI (9.º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações http://portalmath.wordpress.com 2 / 3 12. 30ºα = . Nota: ˆ 180º 60º 120ºAOC = − = ; ˆ ˆ180º 120º 60º OAC OCA− = = + , como o triângulo [AOC] é isósceles ˆ ˆ 60º 2 30ºACO OAC= = ÷ = , ou seja, 30ºα = . OU Tendo em conta que 60ºCB = , uma vez que se trata do arco correspondente ao ângulo ao centro COB, podemos concluir que o ângulo inscrito BAC vai ter uma amplitude de 30º (metade de 60º). Dado que o triângulo [AOC] é isósceles, a lados iguais opõem-se ângulos iguais, ou seja, ˆ ˆ 30ºBAC ACO α= = = . 13.1. Trata-se de um ângulo inscrito numa semicircunferência. 13.2. 56,25 54 123sombreadaA A A π∆= − = −⊙ ≃ Cálculo Auxiliares: 2 7,5 56,25A π π= × =⊙ e 9 12 54 2 A × = =△ Para determinar a base do triângulo, BC , usamos o Teorema de Pitágoras: 2 2 2 2 2 2 2 2 12 15 225 144 81 81 9AB BC AC BC BC BC BC BC+ = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± , como se trata de um comprimento não pode ser negativo logo 9BC = . 14. (A); 15. (D); 16.1. 56ºAC = ; 16.2. 0,8DE = . Nota: DE OE OD= − ; 6,8OE AO= = (raio da circunferência) e OD pode ser calculado usando o Teorema de Pitágoras, uma vez que o triângulo [AOD] é rectângulo. Sendo assim 2 2 2 2 2 2 3,2 6,8 (...) 6OD AD AO OD OD+ = ⇔ + = ⇔ ⇔ = ± , como se trata de um comprimento não pode ser negativo logo 6OD = . Deste modo 6,8 6 0,8DE OE OD= − = − = . 17.1. ˆ 45ºACB = (ângulo inscrito num quarto de circunferência). 17.2. (D); 17.3. 2 . Nota: Pelo Teorema de Pitágora podes concluir que 2 2 2 2 2 2 2OG GB OB x x+ = ⇔ + = 2 2 2 4 2 2x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = ± , como se trata de um comprimento não pode ser negativo logo 2x OG= = . 18.1. ˆ 60ºDOC = ; 18.2. 16 24 3 9sombreada hexágonoA A A π= − = −⊙ ≃ Cálculo Auxiliares: 2 4 16A π π= × =⊙ e 6 6 4 3 24 3hexágonoA A= × = × =△ 18.3. F; 19.1. 140ºAB = ; 19.2. 2 ; 19.3. 4,35 4,35 70 4,63 70º sen BD BD cm senBD ° = ⇔ = ⇔ ≃ 20.1. ˆ 45ºBIH = (ângulo inscrito num quarto de circunferência). 20.2. 1 4 4 16 4 3,4SombreadaA A A A A π= − × = − = −□ □ ⊙ ⊙ ≃ Cálculo Auxiliares: 4 4 16A = × =□ e 2 2 4A π π= × =⊙ . 20.2. 2 8 4,8IO IA AO IO IO= + ⇔ = + ⇔ ≃ . Nota: Usando o Teorema de Pitágoras podes concluir que 8AO = , uma vez que [ ]AO é a hipotenusa do triângulo [ ]AHO e 2AH HO= = (raio da circunferência). 21.1. 108º . Nota: 180º 72º 108ºAB = − = . 21.2. [ ] 32 64tan36º 54Sombreada Semicírculo QBSA A A π= − = −△ ≃ . Nota: 2 8 64A π π= × =⊙ , logo 32SemicírculoA π= ; tan36º 8tan36º 8 OQ OQ= ⇔ = ; [ ] [ ] 8tan36º 8 2 2 2 64tan36º 2 2QBS QOB OQ OB A A × × = × = × = × =△ △ ; http://portalmath.wordpress.com http://portalmath.wordpress.com http://portalmath.wordpress.com
  • 3. Ex. Exame + TI (9.º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações http://portalmath.wordpress.com 3 / 3 22.1. (C); 22.2. 72 2 2 72 26,7 2 P rπ π π= = × × =⊙ ≃ . Nota: pelo Teorema de Pitágoras podemos determinar o diâmetro da circunferência. 2 2 2 2 2 2 2 6 6 72 72AC AB BC AC AC AC= + ⇔ = + ⇔ = ⇔ = ± , como se trata de um comprimento, não pode ser negativo logo 72AC = , ou seja, o valor exato do raio desta circunferência é 72 2 . 23.1. (B); 23.2. 100º . Nota: 180º 80º 100ºAC = − = . 23.3. 2 7,52 23,6P r d AD cmπ π π π= = × = × = ×⊙ ≃ . Nota: O triângulo [AED] é retângulo em E porque o ângulo AED é um ângulo inscrito numa semicircunferência. O valor de AD pode ser determinado pelo Teorema de Pitágoras. 2 2 2 2 6,8 3,2 56,48 56,48 7,52AD AD AD AD= + ⇔ = ⇔ = ± ⇔ ±≃ , como se trata de um comprimento 7,52AD ≃ . 24.1. ˆ 55DBA = °. Nota: ˆ 85DPB = ° (ângulos verticalmente opostos) e ˆ 40CAB = °(ângulo inscrito num arco de amplitude igual a 80º). 24.2. (C). Nota: a razão de semelhança desta ampliação é 2, como a razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual à razão de semelhança ao quadrado temos [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 24 6 DCP DCP DCP DCP A A r A A = ⇔ = ⇔ = △ △ △ △ . NOTA: Podes encontrar uma sugestão de resolução destas questões no PortalMath, para isso basta veres de onde foi retirada a questão (Teste Intermédio ou Exame Nacional) e o respectivo ano, consultares as páginas onde estão os todos os Testes Intermédios (http://portalmath.wordpress.com/ti-9ano/) / Exames Nacionais (http://portalmath.wordpress.com/exames-9ano/) e clicares no link relativo à proposta de resolução do mesmo. Podes (e deves ) também recorrer ao teu professor de Matemática, para te esclarecer as dúvidas que surgirem. Mais fichas de trabalho e de avaliação com as respetivas soluções em http://portalmath.wordpress.com http://portalmath.wordpress.com http://portalmath.wordpress.com http://portalmath.wordpress.com