Matemática - Aula 5

1. Potenciação e
Radiação
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1

2. POTENCIAÇÃO
Potência é um produto indicado de
fatores iguais.
, n vezes
Vamos chamar de base o fator que se
repete e de expoente o número de vezes
pelo qual o fator se multiplica. Assim,
.
aaaaan
×××=
2433333335
=××××=
2

3. POTENCIAÇÃO
Observação:
Se a base é negativa e o expoente é par,
então a potência é positiva.
Se a base é negativa e o expoente é
ímpar, então a potência é negativa.
Exemplo:
Atenção:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
3 3 3 3 3 81− = − × − × − × − =
( ) ( )2
4 4 4 16 16− = − × = − = −
3

4. POTENCIAÇÃO
Se o expoente for negativo, teremos uma
fração que possui no numerador a
unidade, e para o denominador, a mesma
base somente com o sinal do expoente
trocado.
Exemplo:
1
, para 0n
n
a a
a
−
= ≠
2
2
1 1 1 1
25
11 15 1
255 55
−
 
− = = = = ÷
       − × −−  ÷  ÷ ÷     
4

5. POTENCIAÇÃO
Propriedades
b) Quociente de potências de mesma base
Para dividir potências de mesma base,
deve-se conservar a base e subtrair os
expoentes, isto é:
Exemplo:
0, ≠= −
aa
a
a nm
n
m
4
2
2
3 3 3 3 3
3
3 3 3
× × ×
= =
×
224
2
4
33
3
3
== −
5

6. POTENCIAÇÃO
Propriedades
c) Potência de potência
Para elevar uma potência a um expoente,
deve-se conversar a base e multiplicar os
expoentes, isto é: ( )
nm m n
a a ×
=
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7. POTENCIAÇÃO
Propriedades
d) Potência de um produto
Para elevar um produto a um expoente,
eleva-se cada fator a esse expoente, isto
é:
Exemplo:
( )
n n n
a b a b× = ×
( )
3 3 3
2 3 2 3 8 27 216× = × = × =
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8. POTENCIAÇÃO
Propriedades
e) Potência de um quociente
Para elevar um quociente a um expoente,
eleva-se o numerador e o denominador a
esse expoente, isto é: .
Exemplo:
0, ≠=





b
b
a
b
a
n
nn
27
8
3
2
3
2
3
33
==





8

9. POTENCIAÇÃO
Propriedades
f) Potência de expoente um (1)
Toda potência de expoente um (1) é igual
a base.
Considere o quociente: .
Aplicando a propriedade do quociente de
potências de bases iguais, temos:
.
45
22 ÷
14545
2222 ==÷ −
9

10. POTENCIAÇÃO
Propriedades
g) Potência de expoente zero (0)
Toda potência de expoente zero e base
diferente de zero é igual a um (1).
Considere o quociente: .
Aplicando a propriedade do quociente de
potências de bases iguais, temos:
.
55
22 ÷
05555
2222 ==÷ −
10

11. POTENCIAÇÃO
Propriedades
h) Potência de base dez
Observe os seguintes múltiplos de dez:
O expoente indica o número de zeros.
11

12. POTENCIAÇÃO
Propriedades
h) Potência de base dez
Vejamos, agora, os submúltiplos de dez:
O expoente indica o número de
casas decimais. 12

13. POTENCIAÇÃO
Propriedades
h) Potência de base dez
Como consequência das potências de
dez, podem-se manipular os números
decimais de duas formas simples:
1ª Forma
2ª Forma
1 2 3 4
0,023 0,23 10 2,3 10 23 10 230 10− − − −
= × = × = × = ×
1 2 3 4
230 23 10 2,3 10 0,23 10 0,023 10= × = × = × = × 13

14. RADICIAÇÃO
Radiciação é a operação inversa da
potenciação.
.
Define-se como raiz de índice “n” de um
número “a” ao número “b” tal que “b”
expoente “n” é igual a “a”, ou seja:
nn
a b b a= ⇔ =
33
8 2, pois 2 8= =
( )
44
81 3, pois 3 81= ± ± =
14

15. RADICIAÇÃO
A raiz de índice “n” de um número “a” pode
ser definida como sendo uma potência de
“a”, onde o expoente é o inverso de “n”, ou
seja:
( )
1 11
3
33 3 338 8 2 2 2
×
= = = =
( )
1 11
4
44 4 4481 81 3 3 3
×
= = = =
( )
1 11
2
22 2 2216 16 4 4 4
×
= = = =
15

16. RADICIAÇÃO
Propriedades dos radicais
nnn
baba ×=×
0, ≠= b
b
a
b
a
n
n
n
n pn m m p
a a
× ×
=
( ) n mm
n
aa =
mnn m
aa ×
=
16

17. RADICIAÇÃO
Redução de radicais ao mesmo índice
17

18. RADICIAÇÃO
Potências de expoente fracionário
Todo número elevado a um expoente
fracionário do
tipo ( n ≠ 0) é igual à raiz enésima do
número elevado ao expoente m.
Exemplo:
n
m
n mn
m
aa =
33 23
2
2555 == 18

19. RADICIAÇÃO
Operações com radicais
a)Adição e Subtração
Soma:
Subtração:
b) Multiplicação e Divisão
Multiplicação:
Divisão: (com c ≠ 0 e d ≠ 0)
( )nnn
bcabcba +=+
( )nnn
bcabcba −=−
n n n
a b c d a c b d× = × ×
n
n
n
a b a b
c dc d
 
= × ÷
 
19

20. RADICIAÇÃO
c) Racionalização
Racionalizar uma fração consiste em
eliminar, através de propriedades
algébricas, o radical ou os radicais que
estiverem no denominador. Esta operação é
obtida multiplicando-se o numerador e o
denominador da correspondente fração pelo
fator de racionalização.
20

21. RADICIAÇÃO
1º Caso:
Quando a expressão fracionária
apresenta no denominador apenas um
radical da forma .
Exemplo:
2
1 1 3 3 3 3
33 3 3 3 3 3
= × = = =
×
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22. RADICIAÇÃO
2º Caso:
Quando a expressão fracionária
apresenta no denominador apenas um
radical da forma (n>2).
Exemplo:
3 33 2 1 3 3
3
3 3 3 3 3 32 2 3 2 2 1 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
24 2 2 2 2 2 2
−
−
× × ×
= = × = = = =
×
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23. RADICIAÇÃO
3º Caso
Quando a expressão fracionária
apresenta no denominador a soma de
radicais.
Exemplo:
( )
( )
( )
( )
( )
( )2
2
2 1 3 2 1 3 2 13 3
3 2 1
2 12 1 2 1 2 1 2 1
+ × + +
= × = = = +
−− − + −
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24. Potenciação e Radiação
FIM DA
AULA 5
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