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Ângulos
Definição – Medidas - Operações
Ao final dessa aula você saberá:
   O que é um ângulo, assim como seus
    elementos e identificação
   Como medir um ângulo
   O que é um ângulo reto
   O que é um ângulo raso
   O que é um ângulo de uma volta ou nulo
   Fazer operações com ângulos
O que é um ângulo?
    É o espaço entre duas semirretas.

Representação:




   O espaço em vermelho é um ângulo.
Elementos de um ângulo
  Todo ângulo apresenta um vértice e dois lados.




Dependendo de onde olhamos, vemos dois ângulos
diferentes, formados pelas mesmas semirretas.


                     {   Ângulo “a” é convexo

                         Ângulo “b” é côncavo
Como identificamos um
             ângulo ?
  Indicando seu vértice e os pontos que determinam
                       os lados.

Exemplo:


                        { Dizemos que esse é o
                          ângulo AÔB ou BÔA .




     Note que o vértice está sempre no meio.
Que instrumento usamos para
       medir um ângulo?
              Transferidor




A unidade de medida do ângulo é o grau (º)


 Como usamos um transferidor?
      Seguindo os passos a seguir.
1º passo: posicionamos o zero do transferidor em
  cima do vértice do ângulo.
2º passo: posicionamos a linha que liga o 180º e o
  0º em cima de um dos lados do ângulo.
3º passo: verificamos que medida o outro lado
  está marcando.
                 Medida = outro lado




                                       linha = lado
                0º = vértice
O que é um ângulo reto?
 É um ângulo que mede 90º.

         B




             O      A



        AÔB = 90º
O que é um ângulo raso?
     É um ângulo que mede 180º.




       B         O         A


             BÔA = 180º

O ângulo raso também é conhecido como
          ângulo de meia volta.
Quantos graus mede um ângulo de
           uma volta?
               360º



                O        A =B

            AÔB = 360º
     Essa também pode ser a
  representação do ângulo nulo.
           AÔB = 0º
Como transformamos graus em
             minutos?
             Basta multiplicar por 60.
Pois,               1º = 60’

Exemplos:      10º = 600’
                2º = 120’
               18º = 1080’



        Para passar de minutos para graus,
               basta dividir por 60.
E como transformamos minutos em
           segundos?
          Basta multiplicar por 60.
Pois,             1’ = 60’’
Exemplos:      3’ = 180’’
              22’ = 1320’’
              50’ = 3000’’



        Para passar de segundos para
        minutos, basta dividir por 60.
Tente fazer sozinho



Transforme 2º 30’ 41’’
    em segundos
Solução
2º 30’ 41’’ = _______ segundos

        2 x 60 = 120’
        120’ + 30’ = 150’

        150’ x 60 = 9000”
        9000” + 41” = 9041”

Logo, 2º 30’ 41’’ = 9041”
Como somamos medidas de
               ângulos?
Devemos armar a conta e efetuar os cálculos (somando
   segundo com segundo, minuto com minuto e grau
                     com grau)
  Atenção!
  Quando armamos a conta, devemos colocar as
  unidades semelhantes na mesma direção.

Exemplo 1:                    30º 40’ 12’’
30º 40’ 12’’ + 22º 13’ 7” = + 22º 13’ 7”
                             52º 53’ 19”
Exemplo 2:
11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” =
                 11º 36’ 30”
               + 20º 45’ 50”
                 31º 81’ 80”
                         80

Como sempre devemos dar a resposta da forma
mais simplificada, faremos:
80” = 1’ 20”          1’ + 81’ = 82’

82’ = 1º 22’         1º + 31º = 32º


Logo, 11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” = 32º 22’ 20”
Tente fazer sozinho



        Calcule:
10º 45’ 45” + 20º 20’ 45”
Solução

               10º 45’ 45”
              + 20º 20’ 45”
                30º 65’ 90”


30º 65’ 90”     30º 66’ 30”   31º 6’ 30”
Como calculamos a diferença entre
  as medidas de dois ângulos?
   Devemos armar a conta e efetuar os cálculos
    (diminuindo segundo de segundo, minuto de
              minuto e grau de grau)

Exemplo 1:
                                30º 40’ 12’’
30º 40’ 12’’ - 22º 13’ 7” =   - 22º 13’ 7”
                                 8º 27’ 5”
Exemplo 2:

76º 50’ 8” – 20º 12’ 31” =
                               Como não podemos
                             tirar 31 de 8, pedimos
             49’ 68”           emprestado pro 50.
     76º 50’ 8”                 Mas o 50 está em
                                 minutos, então
   – 20º 12’ 31”             precisamos transformar
     56º 37’ 37”                 esse minuto em
                              segundos, para somar
                                    com o 8.
                             Sendo assim, 1’ = 60”
                                 60” + 8” = 68”
Tente fazer sozinho



      Calcule:
   90º - 9º 2’ 40”
Solução

89    59’
90º 60’ 60”
- 9º 2’ 40”
 80º 57’ 20”
Como multiplicamos a medida de
um ângulo por um número natural?
 Devemos multiplicar, o grau, o minuto
 e o segundo, separadamente.

Exemplo:
                      15º 35’ 28”
(15º 35’ 28”) x 3 =
                      X         3
                      45º 105’ 84”
Simplificando, temos:



 84” = 1’ 24”       105’ + 1’ = 106’
 106’ = 1º 46’       45º + 1º = 46º



Logo, (15º 35’ 28”) x 3 = 46º 46’ 24”
Tente fazer sozinho



      Calcule:
    12 (50’ 20”)
Solução
                    50’    20”
                    X       12
                    600’ 240”

Simplificando:
240” = 4’      600’ + 4’ = 604’      604’ = 10º 4’

            Logo, 12 (50’ 20”) = 10º 4’
Como dividimos a medida de um
 ângulo por um número natural?
  Armando a conta e seguindo os passos.
1º passo: dividir os graus.
2º passo: se não sobrar resto, dividir os
  minutos. Se sobrar resto, pular para o
  passo 3.
3º passo: multiplicar o resto por 60, somar
  aos minutos e dividir. Obs: o mesmo deve
  ser feito se sobrar resto nos minutos.
Exemplo:
27º 22’ 4” : 4 =

1º passo:    27º 22’ 4”     4
              3º            6º




3º passo:      27º    22’        4”      4
               3º    180’                6º 50’ 31”
                     202’
                      2’         120’’
                                 124”
                                  0
Tente fazer sozinho



     Calcule:
     5º : 3 =
Solução


5º          3
2º   120’   1º 40’
      0

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Ângulos: Definições, Medidas e Operações

  • 2. Ao final dessa aula você saberá:  O que é um ângulo, assim como seus elementos e identificação  Como medir um ângulo  O que é um ângulo reto  O que é um ângulo raso  O que é um ângulo de uma volta ou nulo  Fazer operações com ângulos
  • 3. O que é um ângulo? É o espaço entre duas semirretas. Representação: O espaço em vermelho é um ângulo.
  • 4. Elementos de um ângulo Todo ângulo apresenta um vértice e dois lados. Dependendo de onde olhamos, vemos dois ângulos diferentes, formados pelas mesmas semirretas. { Ângulo “a” é convexo Ângulo “b” é côncavo
  • 5. Como identificamos um ângulo ? Indicando seu vértice e os pontos que determinam os lados. Exemplo: { Dizemos que esse é o ângulo AÔB ou BÔA . Note que o vértice está sempre no meio.
  • 6. Que instrumento usamos para medir um ângulo? Transferidor A unidade de medida do ângulo é o grau (º) Como usamos um transferidor? Seguindo os passos a seguir.
  • 7. 1º passo: posicionamos o zero do transferidor em cima do vértice do ângulo. 2º passo: posicionamos a linha que liga o 180º e o 0º em cima de um dos lados do ângulo. 3º passo: verificamos que medida o outro lado está marcando. Medida = outro lado linha = lado 0º = vértice
  • 8. O que é um ângulo reto? É um ângulo que mede 90º. B O A AÔB = 90º
  • 9. O que é um ângulo raso? É um ângulo que mede 180º. B O A BÔA = 180º O ângulo raso também é conhecido como ângulo de meia volta.
  • 10. Quantos graus mede um ângulo de uma volta? 360º O A =B AÔB = 360º Essa também pode ser a representação do ângulo nulo. AÔB = 0º
  • 11. Como transformamos graus em minutos? Basta multiplicar por 60. Pois, 1º = 60’ Exemplos: 10º = 600’  2º = 120’ 18º = 1080’ Para passar de minutos para graus, basta dividir por 60.
  • 12. E como transformamos minutos em segundos? Basta multiplicar por 60. Pois, 1’ = 60’’ Exemplos:  3’ = 180’’ 22’ = 1320’’ 50’ = 3000’’ Para passar de segundos para minutos, basta dividir por 60.
  • 13. Tente fazer sozinho Transforme 2º 30’ 41’’ em segundos
  • 14. Solução 2º 30’ 41’’ = _______ segundos 2 x 60 = 120’ 120’ + 30’ = 150’ 150’ x 60 = 9000” 9000” + 41” = 9041” Logo, 2º 30’ 41’’ = 9041”
  • 15. Como somamos medidas de ângulos? Devemos armar a conta e efetuar os cálculos (somando segundo com segundo, minuto com minuto e grau com grau) Atenção! Quando armamos a conta, devemos colocar as unidades semelhantes na mesma direção. Exemplo 1: 30º 40’ 12’’ 30º 40’ 12’’ + 22º 13’ 7” = + 22º 13’ 7” 52º 53’ 19”
  • 16. Exemplo 2: 11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” = 11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” 31º 81’ 80” 80 Como sempre devemos dar a resposta da forma mais simplificada, faremos: 80” = 1’ 20” 1’ + 81’ = 82’ 82’ = 1º 22’ 1º + 31º = 32º Logo, 11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” = 32º 22’ 20”
  • 17. Tente fazer sozinho Calcule: 10º 45’ 45” + 20º 20’ 45”
  • 18. Solução 10º 45’ 45” + 20º 20’ 45” 30º 65’ 90” 30º 65’ 90” 30º 66’ 30” 31º 6’ 30”
  • 19. Como calculamos a diferença entre as medidas de dois ângulos? Devemos armar a conta e efetuar os cálculos (diminuindo segundo de segundo, minuto de minuto e grau de grau) Exemplo 1: 30º 40’ 12’’ 30º 40’ 12’’ - 22º 13’ 7” = - 22º 13’ 7” 8º 27’ 5”
  • 20. Exemplo 2: 76º 50’ 8” – 20º 12’ 31” = Como não podemos tirar 31 de 8, pedimos 49’ 68” emprestado pro 50. 76º 50’ 8” Mas o 50 está em minutos, então – 20º 12’ 31” precisamos transformar 56º 37’ 37” esse minuto em segundos, para somar com o 8. Sendo assim, 1’ = 60” 60” + 8” = 68”
  • 21. Tente fazer sozinho Calcule: 90º - 9º 2’ 40”
  • 22. Solução 89 59’ 90º 60’ 60” - 9º 2’ 40” 80º 57’ 20”
  • 23. Como multiplicamos a medida de um ângulo por um número natural? Devemos multiplicar, o grau, o minuto e o segundo, separadamente. Exemplo: 15º 35’ 28” (15º 35’ 28”) x 3 = X 3 45º 105’ 84”
  • 24. Simplificando, temos: 84” = 1’ 24” 105’ + 1’ = 106’ 106’ = 1º 46’ 45º + 1º = 46º Logo, (15º 35’ 28”) x 3 = 46º 46’ 24”
  • 25. Tente fazer sozinho Calcule: 12 (50’ 20”)
  • 26. Solução 50’ 20” X 12 600’ 240” Simplificando: 240” = 4’ 600’ + 4’ = 604’ 604’ = 10º 4’ Logo, 12 (50’ 20”) = 10º 4’
  • 27. Como dividimos a medida de um ângulo por um número natural? Armando a conta e seguindo os passos. 1º passo: dividir os graus. 2º passo: se não sobrar resto, dividir os minutos. Se sobrar resto, pular para o passo 3. 3º passo: multiplicar o resto por 60, somar aos minutos e dividir. Obs: o mesmo deve ser feito se sobrar resto nos minutos.
  • 28. Exemplo: 27º 22’ 4” : 4 = 1º passo: 27º 22’ 4” 4 3º 6º 3º passo: 27º 22’ 4” 4 3º 180’ 6º 50’ 31” 202’ 2’ 120’’ 124” 0
  • 29. Tente fazer sozinho Calcule: 5º : 3 =
  • 30. Solução 5º 3 2º 120’ 1º 40’ 0