1) O documento apresenta conceitos básicos de inferência estatística, incluindo distribuições de frequências, teste de hipóteses, intervalo de confiança e testes para uma ou mais médias. 2) São descritos testes estatísticos como z, t e qui-quadrado para análise de uma ou duas médias e proporções. 3) São explicadas condições e pressupostos para a aplicação correta desses testes e como interpretá-los.

1. Noções Básicas de Inferência Estatística - II Paulo Novis Rocha Nefrologista Professor Adjunto do Depto. Medicina FMB-UFBA Professor Colaborador do PPgCS

2. Na aula passada... Distribuições de freqüências reais Distribuição normal: curva teórica para população infinita Área entre 2 pontos = probabilidade Distribuição normal padrão Média = 0, DP = EP = 1 Todas as áreas entre 2 pontos já calculadas (Tabela Z) Inferência estatística, erro padrão Teste de hipóteses Alfa, hipóteses, cálculo de z, valor-p, comparar p com alfa Erro tipo I (alfa), tipo II (beta), poder (1-beta) Intervalo de confiança para 1 média Determinantes da significância estatística Magnitude da diferença entre as médias, DP, tamanho da amostra

3. Fórmulas importantes

4. Inferência Estatística sobre 1 Média Teste z Teste t

5. Utilização do teste z Objetivo: inferência estatística sobre uma média Pressupostos: Distribuição populacional normal da variável testada n grande (  30) Desvio-padrão populacional, σ , conhecido

6. Utilização do teste t Objetivo: inferência estatística sobre uma média Pressupostos: Distribuição populacional normal da variável testada n pequeno Se o n for grande, pode-se aplicar o teste z ou t Desvio-padrão populacional, σ , desconhecido Será substituído pelo DP amostral, s

7. Distribuições Z e T Distribuição T: ápice menos pontiagudo e caudas mais largas

8. Distribuição T x Distribuição Z SEMELHANÇAS Simétrica em torno de zero Varia de -∞ a +∞ DIFERENÇAS Variância > 1 Aproxima-se de 1 com aumento no n Uma distribuição T para cada tamanho de amostra Graus de liberdade ( n – 1) Gosset WS 1908

9. Distribuições T para alguns tamanhos de amostra: n = 31, n = 6, n = 3 T Distribuição T ≈ Z quando (n-1) se aproxima de infinito. Graus de liberdade = 30 Graus de liberdade = 5 Graus de liberdade = 2

10. Teste de Hipóteses

11. Tabela T Relembrando: tabela Z contém valores das áreas sob a curva Z Como existem várias curvas T (a depender do tamanho da amostra), há uma tabela de probabilidades sob a curva para cada uma... Saída: confecção de tabela T contendo os valores críticos de T (e não as probabilidades sob a curva) para cada tamanho de amostra e níveis de significância estatística mais comumente utilizados.

14. Os programas de computador possuem tabelas completas! Também são capazes de fornecer o valor- p para o teste t

15. Teorema central do limite Mesmo quando a distribuição da variável estudada na população não tiver distribuição normal, se o n for grande , a distribuição das médias amostrais vai apresentar uma distribuição normal DP populacional conhecido = teste z DP populacional desconhecido = teste t

16. Se a distribuição da variável na população estudada não for normal e o n for pequeno.... não podemos assumir que a distribuição das médias amostrais seja normal. Solução: TESTES ESTATÍSTICOS NÃO-PARAMÉTRICOS

18. EXEMPLOS NO SPSS

19. Até o momento, só aprendemos inferência estatística sobre UMA média. O mais comum em estudos clínicos é fazermos inferência estatística sobre DUAS ou MAIS médias

20. Inferência Estatística sobre 2 Médias Teste z Teste t de Student Teste t’

21. Inferência sobre 2 médias Comparação de duas médias: Na verdade, compara-se as diferenças entre as duas médias Definição das hipóteses: H 0 : µ 1 - µ 2 = 0 ou H 0 : µ 1 = µ 2 H A : µ 1 - µ 2 ≠ 0 ou H 0 : µ 1 ≠ µ 2

22. Distribuição Normal a ser utilizada ƒ( x ) Diferença entre médias INFERÊNCIA SOBRE UMA MÉDIA INFERÊNCIA SOBRE DUAS MÉDIAS µ 0 0 ƒ( x ) média

23. Pressupostos a serem considerados para escolha do teste: z, t ou t’ ? Os grupos comparados são independentes ? Se não forem, teste t para amostras emparelhadas A distribuição da variável testada é normal em cada grupo da população-alvo ? Se não for, atentar para o tamanho da amostra Os tamanhos das amostras investigadas são suficientemente grandes ? Distribuição não normal e “n” pequeno: teste não paramétrico Os desvios-padrão populacionais da variável testada são conhecidos para cada grupo ? Se forem, usar teste z (salvo em caso de distribuição não normal e n pequeno) Esses desvios-padrão são iguais ? Se forem, teste z ou t Se não forem, teste z ou t’

24. Os desvios-padrão são iguais ? Variâncias iguais = homocedasticidade Teste t de Student Variâncias desiguais = heterocedasticidade Teste t’ (ou t de Welch)

25. Teste de razão das variâncias α = 0,05 H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 e H A : σ 1 2 ≠ σ 2 2 Cálculo do valor de F Obtenção na tabela F, do valor crítico de F para um α = 0,05 e graus de liberdade do numerador e denominador Comparação do valor observado de F ao valor crítico de F

26. Página 230

27. Inferência Estatística: 2 médias

28. The t test is also know as the Student’s t test. “It was developed by the statistician William Gosset who was employed as a quality control supervisor at the Guinness Brewery in Dublin, and who wrote under the pseudonym of Student, presumably because no one who knew his occupation would take him seriously” Norman & Streiner. PDQ Statistics. 1986.

29. Problema de Behrens–Fischer Como t’ não segue uma distribuição T , podem se fazer as seguintes aproximações para obtenção do valor crítico de t’ : Cochran Satterwaite

30. Amostras Dependentes Teste t para amostras emparelhadas ( paired t test )

31. Amostras Dependentes (emparelhadas) Ex.: Quaisquer medias antes x depois do tratamento TA, glicemia, colesterol, peso, etc... Teste t para amostras emparelhadas (paired-sample t test) Basicamente: em vez de comparar a média do grupo 1 com a média do grupo 2, o teste foca nas médias das diferenças “antes-depois” (nova variável a ser testada, d)

32. EXEMPLOS NO SPSS

33. Inferência Estatística sobre Proporções Para uma ou duas proporções Teste z Teste do qui-quadrado Teste de Fisher

34. Inferência estatísticas sobre proporções Teoricamente, deveríamos utilizar a distribuição binomial (e não a normal) Método pouco utilizado Garantidas certas condições, a distribuição normal poderá ser utilizada como aproximação válida da distribuição binomial Nestes casos, pode-se utilizar o teste z

35. Condições para utilização da distribuição normal como aproximação da binomial Número grande de indivíduos estudados Probabilidade intermediária (nem muito grande nem muito pequena; ex: 0,40) de ocorrência do evento Correção para continuidade Desnecessária se o n for suficientemente grande Quando o tamanho da amostra é suficientemente grande ? npq  5 [ n = tamanho da amostra; p =proporção esperada do evento na população; q = (1- p )]

36. Teste z para comparar proporções 1 PROPORÇÃO 2 PROPORÇÕES

37. Teste do qui-quadrado Aplicação mais comum: verificar se duas variáveis são independentes ou não H0: as variáveis são independentes HA: as variáveis não são independentes Utiliza freqüências absolutas (em vez de proporções) Ponto de partida é a elaboração de uma tabela de contingência Comparar as freqüências observadas às esperadas se os eventos fossem independentes P = no de eventos ocorridos /n o total de eventos Se evento A e B são independentes, a probabilidade de ocorrerem simultaneamente é P(A) x P(B)

38. P (morar perto) x P (estar intoxicada) = (112 /250) x (176/250) = 0,315 N esperado de intoxicados na área próxima = 0,315 x 250 = 78,85 Domicílio Intoxicação por chumbo Total Sim Não Perto 90 (78,85) 22 112 Longe 86 52 138 Total 176 74 250

39. O = n o observado em cada célula E = n o esperado em cada célula i = varia entre 1 (primeira célula) e k (última célula) Domicílio Intoxicação por chumbo Total Sim Não Perto 90 (78,85) 22 (33,15) 112 Longe 86 (97,15) 52 (40,85) 138 Total 176 74 250

40. Domicílio Intoxicação por chumbo Total Sim Não Perto 90 (78,85) 22 (33,15) 112 Longe 86 (97,15) 52 (40,85) 138 Total 176 74 250

41. Distribuição Qui-quadrado Quando há apenas 1 grau de liberdade, ao elevarmos ao quadrado cada valor da distribuição normal, os valores de Z 2 obtidos ao estudarmos numerosas amostras distribuem-se segundo uma distribuição qui-quadrado Assim como a distribuição T, a distribuição qui-quadrado é uma família de distribuições. O formato depende do número de graus de liberdade.

42. Distribuição Qui-quadrado

43. Tabelas de contingência Nas 2x2, existe apenas 1 grau de liberdade v = (l-1)(c-1) , onde v = graus de liberdade l = número de categorias da variável nas linhas c = número de categorias da variável nas colunas

44. Cálculo do qui-quadrado Quando há apenas 1 grau de liberdade, os valores de X 2 não assumem todos os valores possíveis para garantir sua representação por uma distribuição contínua Solução: correção de continuidade de Yates:

46. Interpretação do teste

47. Condições para aplicação do X 2 Não usar o qui-quadrado se: Tabelas com 1 grau de liberdade n < 20 20 <n< 40 e qualquer das freqüências esperadas for < 5 n  40 e mais de uma freqüência esperada = 1 ALTERNATIVA: teste exato de Fisher Tabelas com > 1 grau de liberdade > 20% das células tiverem freqüências esperadas < 5 ALTERNATIVA: aumentar o n ou aglutinar categorias WG Cochran

48. Teste exato de Fisher Proposto na década de 30, quase simultaneamente por: Fisher RA, 1934 Yates F, 1934 Irwin JO, 1935 Serve como uma alternativa ao qui-quadrado quando temos números pequenos

49. Tabelas com 1 grau de liberdade: não usar o qui-quadrado se, n < 20 20 <n< 40 e qualquer das frequencias esperadas for < 5 n  40 e mais de uma freqüência esperada = 1 ALTERNATIVA: teste exato de Fisher Domicílio Intoxicação por chumbo Total Sim Não Perto 10 (7,88) 2 (4,13) 12 Longe 11 (13,13) 9 (6,88) 20 Total 21 11 32

50. Teste de Fisher: 1 o passo Quais e quantas combinações são possíveis para a distribuição das 32 crianças na tabela, mantidos fixos os totais marginais (21, 11, 12, 20) ? Domicílio Intoxicação por chumbo Total Sim Não Perto a ? b ? 12 Longe c ? d ? 20 Total 21 11 32

51. Distribuição utilizada Hipergeométrica (≠ de Z , T , F ou X 2 ) Não é simétrica A distribuição é obtida com o cálculo das probabilidades exatas para cada uma das combinações específicas Ao definirmos a , automaticamente ficam estabelecidos os valores de b , d , e .

52. Teste de Fisher: 1 o passo Domicílio Intoxicação por chumbo Total Sim Não Perto a b a+b Longe c d c+d Total a+c b+d a+b+c+d

53. Teste de Fisher: 1 o passo Subtrair 1 da freqüência mais baixa e recalcular. Continuar procedimento até que uma freqüência seja ZERO. Adicionar 1 à freqüência mais baixa e recalcular. Continuar procedimento até que uma freqüência seja ZERO. Domicílio Intoxicação por chumbo Total Sim Não Perto a = 10 b = 2 a+b = 12 Longe c = 11 d = 9 c+d = 20 Total a+c = 21 b+d = 11 a+b+c+d = 32

54. Teste de Fisher: 2 o passo Domicílio Intoxicação por chumbo Total Sim Não Perto a = 11 b = 1 a+b = 12 Longe c = 10 d = 10 c+d = 20 Total a+c = 21 b+d = 11 a+b+c+d = 32 Domicílio Intoxicação por chumbo Total Sim Não Perto a = 12 b = 0 a+b = 12 Longe c = 9 d = 11 c+d = 20 Total a+c = 21 b+d = 11 a+b+c+d = 32

55. Valor-p em uma cauda = 0,0859+0,0172+0,0013=0,1044 Valor-p outra cauda = 0,0297+0,0044+0,0003+0,00001+0,00000009+0,0859=0,1203 Valor-p bicaudado = (0,1044+0,1203)-0,0859 = 0,1388

56. Teste de Fisher Probabilidade observada: 0,0859 Probabilidade de combinações mais extremas: Uma cauda: Subtrair 1 da freqüência mais baixa e recalcular. Continuar procedimento até que uma freqüência seja ZERO. Valor-p é dado pela soma da p observada com as p mais extremas. Outra cauda: Adicionar 1 à freqüência mais baixa e recalcular. Continuar procedimento até que uma freqüência seja ZERO. Valor-p é dado pela soma da p observada com as p mais extremas. Valor-p bi-caudado: (soma das probabilidades extremas) – probabilidade observada

57. EXEMPLOS NO SPSS