(1) O conjunto Z sob as operações ⊕ e ⊗ forma um anel, onde ⊕ é a soma usual somada de 1 e ⊗ é a multiplicação usual dos números somada aos fatores. (2) Se 1A pertence a um ideal I de um anel A, então I é igual a A. (3) Os divisores de zero em Z8 são 0, 4 e os elementos invertíveis são 1, 3, 5, 7. Os ideais de Z8 são {0}, {0, 2, 4, 6}, {0, 4}, e Z8.

1. Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 de Álgebra II
1. Seja Z o conjunto dos números inteiros. Considere as seguintes operações binárias, ⊕ e ⊗ ,
definidas em Z:
a b=a+b+⊕ 1 e
a b=ab+a+b⊗ ,
para todo a, b∈Z .
a) Verifique se (Z, ⊕ , ⊗ ) satisfaz os axiomas de anel (com elemento neutro da adição −1 e
elemento neutro da multiplicação 0).
b) É possível concluir que (Z, ⊕ , ⊗ ) é um anel?
2. Seja I um ideal do anel A. Mostre que se 1A∈I então I=A .
3. a) Determine todos os divisores de zero e todos os elementos invertíveis de Z8.
b) Determine todos os ideais de Z8.
4. Resolva as seguintes equações no anel indicado:
a) x2
=−1 em Z5;
b) x2
2 x+2=0 em Z6.
5. Seja B={1+i z ∣ z∈Z [i]} , onde Z [i]={a+bi ∣ a, b∈Z } . Mostre que B é um ideal de Z[i].
6. Seja BAf →: um homomorfismo de anéis. Mostre que se a∈A é invertível, então f(a) é
invertível e  f a−1
=f a−1
 .
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