exercícios

1. 1
Conjuntos e Intervalos. Exercícios.
Lista 2a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento.
Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido.
Somente conclusões nais não serão aceitas.
Iezzi p.24:
N15, 16
Iezzi p.27-28:
N19: a), d); N20: b), g)
Iezzi p.31-32:
N25 b), f); N28 N33 N37
Iezzi p.34-36:
N38 a), f); N40 b), d); N41 N44 a), d); N46 D, E;
Iezzi 69-70:
N119 a), e); N120 a), e); N125 N126
Iezzi p.41:
N62
Iezzi p.44:
N65 c), e); N66 N69 a), d)
Iezzi p.48:
N70 b), e); N71 N72 N73 N75 b)
Iezzi p.50-52:
N80 e), f); N82 N83 N84 N85 a)
Iezzi p.55-56:
N89 A, D; N92 a), d); N93 a), c); N97
Algumas soluções e comentários.
Iezzi p.24: N 15, 16.
15. Quais dos conjuntos são unitários?
A = {x 9
4
e x 6
5
}
B = {0 · x = 2}
C = {x inteiro e x2
= 3}
D = {2x + 1 = 7}
Solução. Lembramos que, pela denição, um conjunto unitário é aquele que possui um único
elemento.
A: tem innitos números reais entre 6
5
e 9
4
, mas para armar que A não é conjunto unitário basta
indicar pelo menos dois elementos neste conjunto; evidentemente, os números 3
2
e 2 pertencem ao
conjunto A, o que já mostra que A não é conjunto unitário (Observação. Para ver melhor que 3
2
∈ A
e 2 ∈ A, todas as frações envolvidas podem ser representadas na forma com o mesmo denominador:
6
5
= 24
20
, 9
4
= 45
20
, 3
2
= 30
20
e 2 = 40
20
, e então ca simples de concluir que 24
20
30
20
40
20
45
20
.)
B: qualquer número real multiplicado por 0 vai dar 0; portanto, não se encontra nenhum elemento
em B (elé é vazio) e, por isso, ele não é unitário
C: lembramos que a equação quadrática x2
= 3 com incógnita x tem duas soluções x1 =
√
3 e
x2 = −
√
3 e ambas não são números inteiros; por isso, C não contém nenhum elemento (elé é vazio)

2. 2
e, consequentemente, ele não é unitário.
D: lembramos que a equação linear 2x + 1 = 7 com incógnita x tem uma única solução x = 3 e,
portanto, o conjunto D tem um único elemento 3, isto é, ele é unitário.
16. Quais dos conjuntos são vazios?
A = {0 · x = 0}
B = {x 9
4
e x 6
5
}
C = {x divisor de zero}
D = {x divisvel por zero}
Solução. Lembramos que, pela denição, um conjunto vazio é aquele que não possui elemento
algum.
A: a relação 0 · x = 0 é verdadeira para qualquer número real x, isto é, todos os números reais são
elementos de A e, portanto, ele não é vazio.
B: evidentemente não tem nenhum número que satisfaz as duas desiguadades dadas, o que sig-
nica que B é um conjunto vazio. (Observação. Para ver melhor B não contém nenhum elemento,
reescrevemos as desigualdades dadas na forma x 9
4
8
4
= 2 e x 6
5
10
5
= 2; obviamente não tem
nenhum número maior que 2 e menor que 2 ao mesmo tempo.)
C: zero é divisível por qualquer número diferente de zero com resultado igual a zero, isto é,
qualquer número x ̸= 0 é divisor de zero, portanto C não é um conjunto vazio
D: conforme regras aritméticas de números reais, nenhum número pode ser dividido por zero,
portanto, D é um conjunto vazio.
Iezzi p.27-28: N19 a), d); 20 b), g).
19. Quais das igualdades abaixo são verdadeiras?
a) {a, a, a, b, b} = {a, b}
b) {x2
= 4} = {x ̸= 0 e x3
− 4x = 0}
c) {2x + 7 = 11} = {2}
d) {x 0 e x ≥ 0} = ∅
Solução. A seguir, vamos chamar o conjunto do lado esquerdo de A e do lado direito de B. Pela
denição, dois conjunto são iguais se eles contêm os mesmos elementos.
a) qualquer elemento de A (isto é, a e b) é contido em B e reciprocamente, qualquer elemento de B
(isto é, a e b) é contido em B; logo, A = B.
b) o conjunto A tem dois elementos uma vez que há duas soluções da equação dada: x1 = −2 e
x2 = 2; para determinar os elementos do conjunto B, primeiro resolvemos a equação dada: x3
− 4x =
0 ↔ x(x2
− 4) = 0 ↔ x1 = −2, x2 = 2, x3 = 0 e depois retiramos o número 0, restando assim os dois
elementos x1 = −2, x2 = 2, o que signica que o conjunto B também contém aqueles dois elementos
que se encontram em A; como os dois conjuntos contém os mesmos dois elementos, então A = B.
c) evidentemente a única solução da equação 2x + 7 = 11 é x = 2, isto é, o conjunto A tem um
único elemento 2, assim como o conjunto B; logo, A = B.
d) evidentemente, não existe nenhum número x tal que x 0 e x ≥ 0, o que quer dizer que A é
um conjunto vazio, assim como B; logo, A = B.
Iezzi p.31-32: N25 b), f); 28, 33, 37.
25. tem respostas no livro
Alguns comentários:
a) conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto
b) se B tem elementos fora de A, então os mesmos cam em A ∪ B, mas não em A

3. 3
c) o mesmo que b)
d) um conjunto é subconjunto dele mesmo
e) todos os elementos de B se encontram em A ∪ B
f) todos os elementos de A ∪ B se encontram em A ∪ B ∪ C; ou chame D = A ∪ B e reduza a letra e)
33. Determine o conjunto X tal que {a, b, c, d} ∪ X = {a, b, c, d, e}, {c, d} ∪ X = {a, c, d, e} e
{b, c, d} ∩ X = {c}.
Solução. Da primeira relação segue que X pode conter, no máximo, os cinco elementos: a, b, c, d, e
e desses, o último e obrigatoriamente ca em X. Da segunda segue que b ̸∈ X enquanto a e e devem
car em X. Então as duas primeiras relações especicam que a ∈ X, e ∈ X e b ̸∈ X. Resta decidir
sobre d e c. Para isso usamos a terceira relação que acrescenta informação de que b ̸∈ X e d ̸∈ X,
mas c ∈ X. Finalmente, X = {a, e, c}.
Iezzi p.34-36: N 38 a), f); 40 b), d); 41, 44 a), d); 46 D, E.
38. tem respostas no livro
Alguns comentários:
a) os elementos que estão em A e, ao mesmo tempo, não estão em B são a e b
b) os elementos que estão em B e, ao mesmo tempo, não estão em A são e, f e g
c) os elementos que estão em C e, ao mesmo tempo, não estão em B são b (o único)
d) os elementos de A ∪ C = {a, b, c, d, e, g} que não estão em B são a e b
e) os elementos de A que não estão em B ∩ C = {d, e, g} são a, b e c
f) os elementos de A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g} que não estão em A ∩ C = {b, d} são a, c, e, f e g
40. tem respostas no livro
Alguns comentários:
a) conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto
b) A − B contém aqueles elementos de A que não estão em B; A ∩ B contém aqueles elementos de A
que estão em B; então a união dos dois contém todos os elemento de A (e nenhum outro)
c) A−B contém aqueles elementos de A que não estão em B; portanto, se A e B são diferentes, então
A − B vai ter elementos que não estão em B
d) A − B contém uma parte dos elementos de A, enquanto A ∪ B contém todos os elementos de A;
portanto, o primeiro conjunto faz parte to segundto.
41. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 6, 8} e C = {2, 4, 5, 7}, obtenha um
conjunto X tal que X ⊂ A e A − X = B ∩ C.
Observação. Seria mais claro especicar na formulação que X é dos naturais.
Solução. Pela condição, A − X = B ∩ C = {2, 4} e, pela denição da diferença, este é o conjunto
dos elementos de A que não estão em X. Como a condição X ⊂ A diz que X faz parte de A, então
concluímos que X = {1, 3, 5}.
44. tem respostas no livro
Alguns comentários:
a) A − B contém aqueles elementos de A que não estão em B, analogamente B − A contém aqueles
elementos de B que não estão em A, portanto, a união dos dois vai dar todos os elementos de A ∪ B
excluindo os elementos que pertencem tanto a A como a B;
b) primeiro, notamos que CB ≡ B′
é complemento de B até um conjunto universo U e o mesmo é
válido para CA ≡ A′
; então, B′
contém todos os elementos que não estão em B (mas estão em U);
devido a relação dada A ⊂ B, qualquer elemento que ca fora de B automaticamente ca fora de A
e, portanto, CB ≡ B′
⊂ CA ≡ A′
c) A − B contém aqueles elementos de A que não estão em B, mas CA ≡ A′
contém elementos fora
de A, portanto, o primeiro conjunto não está contido no segundo (a menos que B = A)

4. 4
d) A−B é o complemento de B até A, enquanto CB ≡ B′
é o complemento de B até um conjunto maior
U que contém A, portanto, o primeiro complemento é menor que o segundo, isto é, A−B ⊂ U −B.
46. tem respostas no livro
Alguns comentários:
A: as duas soluções reais da equação x2
− 5x − 6 = 0 podem ser encontradas da fatoração dessa
equação na forma x2
−5x−6 = (x+1)(x−6) = 0 ou da fórmula de Bhaskara e são x1 = −1 e x2 = 6;
logo A = {−1, 6};
B: B = {e, x, r, c, i, o} ;
C: as duas soluções da equação x2
− 9 = 0 são x1 = −3 e x2 = 3; a solução da equação linear
2x − 1 = 9 é x3 = 5; como temos que tomar tanto soluções da primeira como da segunda equações,
então C = {−3, 3, 5}
D: a solução da equação linear 2x+1 = 0 é x1 = −1
2
; as duas soluções da equação 2x2
−x−1 = 0 são
x2 = −1
2
e x3 = 1; como temos que tomar os números que são simultaneamente soluções da primeira
e segunda equações, então D = {−1
2
};
E: E = {2, 3, 4, 5} ;
Iezzi p.69-70: N 119, 120, 125, 126.
125. tem respostas no livro
Alguns comentários:
como o número de elementos de A×B é 12 = 3·4, então temos duas opções: ou o número de elementos
de A é 3 e de B é 4 ou vice-versa; levando em consideração a condição de que A ⊂ B, segue que
temos a primeira opção; sabendo que os pares (0, 5), (−1, 2), (2, −1) são elementos de A×B, podemos
concluir que A = {−1, 0, 2} e B = {−1, 0, 2, 5} (uma vez que B contém todos os elementos de A e
ainda o elemento 5); agora resta encontrar A × B usando sua denição.
Iezzi p.41, N 62:
62. tem resposta no livro
Alguns comentários:
vamos especicar os elementos de H como não tem muitos, podemos citar todos um por um: H =
{2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34, 38, 40}; agora só resta contar o número de elementos obtidos.
Iezzi p.48: N70 b), e); 71, 72, 73, 75 b).
70. tem resposta no livro
Alguns comentários:
Lembramos que conjunto de racionais Q é o conjunto de todas as frações na forma p
q
onde p ∈ Z e
q ∈ N∗
.
a) tomando q = 1 e p ∈ N na denição de Q, obtemos todos os números naturais;
b) tomando q = 1 e p ∈ Z na denição de Q, obtemos todos os números inteiros;
c) tomando p = 0 e q = 1 na denição de Q, obtemos o número 0;
d) tomando p = 517 e q = 1 na denição de Q, obtemos o número 517;
e) denotamos x = 0, 474747 . . . e multiplicando x por 100 temos 100x = 47, 4747 . . .; subtraindo desse
resultado x, obtemos 100x − x = 99x = 47 ou x = 47
99
; assim, com p = 47 e q = 99 temos a denição
do número racional.
71. tem resposta no livro
Alguns comentários:
a) 0, 4 = 4
10
= 2
5
;
b) denotamos x = 0, 444 . . . e multiplicando x por 10 temos 10x = 4, 444 . . .; subtraindo desse resul-
tado x, obtemos 10x − x = 9x = 4 ou x = 4
9
;
c) 0, 32 = 32
100
= 8
25
;

5. 5
d) denotamos x = 0, 3232 . . . e multiplicando x por 100 temos 100x = 32, 3232 . . .; subtraindo desse
resultado x, obtemos 100x − x = 99x = 32 ou x = 32
99
;
e) 54, 2 = 542
10
= 271
5
;
f) denotamos x = 5, 423423 . . . e multiplicando x por 1000 temos 1000x = 5423, 423423 . . .; subtraindo
desse resultado x, obtemos 1000x − x = 999x = 5418 ou x = 5418
999
= 602
111
.
72. Coloque em ordem crescente os seguintes números 15
16
, 11
12
, 18
19
, 1, 47
48
, 2
3
.
Solução. Primeiro, todos os números são menores que 1, exceto o próprio 1. Segundo, todas as
frações têm a forma a = n−1
n
para algum n natural maior que 1. Nesse caso, quando maior for n
maior será o número a. Realmente, comparemos os dois números desse tipo a = n−1
n
e b = m−1
m
,
m n 1. Podemos escrever a = 1 − 1
n
e b = 1 − 1
m
. Obviamente, 1
n
1
m
uma vez que m n, e
portanto, a = 1 − 1
n
b = 1 − 1
m
. Essa é toda a demonstração. Consequentemente, temos a seguinte
ordem dos núemros dados: 2
3
11
12
15
16
18
19
47
48
1.
73. Mostre que, se r1 e r2 são racionais e r1 r2, então existe um racional r tal que r1 r r2.
Solução. Como r1 e r2 são racionais, então r1 = p1
q1
e r2 = p2
q2
onde p1, p2 ∈ Z e q1, q2 ∈ N∗
. Vamos
mostrar que o ponto r = r1+r2
2
, que ca no meio dos dois números dados, é o racional procurado.
Realemente, pela sua denição, r1 r r2. Agora veremos que r é racional: r = r1+r2
2
=
p1
q1
+
p2
q2
2
=
p1·q2+p2·q1
2q1·q2
. Como p = p1 · q2 + p2 · q1 ∈ Z e 2q1q2 ∈ N∗
, então, pela denição, r ∈ Q.
75. tem respostas no livro
Alguns comentários:
a) 0,2·0,7−4·0,01
0,5·0,2
= 0,14−0,04
0,1
= 1;
b) 0, 999 . . .+
1
5
+1
3
3
5
− 1
15
= 1+
3+5
15
9−1
15
= 1+1 = 2 (transformação do primeiro número: a = 0, 999 . . . ⇒ 10a =
9, 999 . . . ⇒ 10a − a = 9a = 9 ⇒ a = 1)
Iezzi p.50-52: N 80 e), f); 82; 83, 84, 85 a).
80. Quais das proposições abaixo são verdadeiras
Soluções. Letras a)-e), i) são simples:
a) 3 ∈ R: 3 é um número decimal e, portanto, 3 ∈ R ;
b) N ⊂ R: qualquer número natural é decimal e, portanto, N ⊂ R ;
c) Z ⊂ R: qualquer número inteiro é decimal e, portanto, Z ⊂ R ;
d) 1
2
∈ R − Q: 1
2
é um número racional e, portanto, 1
2
̸∈ R − Q ;
e)
√
4 ∈ R − Q:
√
4 = 2 é um número racional e, portanto,
√
4 ̸∈ R − Q ;
Letras f)-h) não são muito simples (para respostas justicadas):
f) 3
√
4 ∈ R − Q: vamos demonstrar que 3
√
4 é um número irracional; para isso, usamos o método de
contradição supomos, por absurdo, que 3
√
4 é um número racional, ou seja, 3
√
4 = p
q
, onde p ∈ Z
e q ∈ N∗
; notando que 3
√
4 é um número positivo, podemos especicar que p ∈ N∗
e, além disso,
podemos considerar (sem perda de generalidade) que a fração p
q
é simplicada (p e q não têm divisores
comuns, além de 1); agora faremos algumas transformações aritméticas; primeiro, elevamos a relação
da suposição 3
√
4 = p
q
ao cubo, o que dá 4 = p3
q3 ou p3
= 4q3
; da última segue que p3
é divisível por 2
e então p é divisível por 2, isto é, p = 2m, m ∈ N∗
; substituindo essa expressão de p na relação com
q, obtemos (2m)3
= 4q3
ou 2m3
= q3
; da última relação segue que q3
é divisível por 2 e, portanto, q é
divisível por 2, isto é, q = 2n, n ∈ N∗
; assim, p
q
= 2m
2n
, ou seja, a fração original não é simplicada, o
que contradiz a nossa suposição que 3
√
4 é um número racional na forma de uma fração simplicada;
consequentemente, a suposição é falsa e, portanto, 3
√
4 não é um número racional; logo, 3
√
4 ∈ R − Q.
82. Mostre que
√
4 + 2
√
3 = 1 +
√
3.

6. 6
Solução. A ideia principal é tentar montar um quadrado completo dentro da raiz. A expressão
dentro da raiz é simples tranformar num quadrado, portanto, fazemos isso direto:
4 + 2
√
3 = 1 + 2
√
3 + (
√
3)2
= (1 +
√
3)2
⇒
√
4 + 2
√
3 =
√
(1 +
√
3)2 = 1 +
√
3
83. Mostre que existem a e b racionais tais que
√
18 − 8
√
2 = a + b
√
2.
Solução. A ideia principal é tentar montar um quadrado completo dentro da raiz usando números
racionais. Isso pode ser feito pela tentativa direta:
18 − 8
√
2 = 16 − 2 · 4 ·
√
2 + (
√
2)2
= (4 −
√
2)2
⇒
√
18 − 8
√
2 =
√
(4 −
√
2)2 = 4 −
√
2.
Ou pelo seguinte desenvolvimento lógico. Representamos o número dado na forma 18 − 8
√
2 =
(a + b
√
2)2
, a, b ∈ Q e tentamos achar a, b dessa relação. Reescrevendo ela na forma 18 − 8
√
2 =
a2
+2b2
+2ab
√
2 concluímos que temos o sistema de duas equações para a, b: ab = −4 e a2
+2b2
= 18.
Da primeira relação expressamos b = −4
a
e a segunda assume a forma a2
+242
a2 = 18 ou a4
+32 = 18a2
.
Fazendo a mudança de variável t = a2
reduzimos a equação de a à equação quadrática t2
−18t+32 = 0,
cujas raízes são t1 = 2 e t2 = 16. A primeira raiz não podemos usar, porque ela vai dar um número
irracional a na resolução da equação a2
= 2. Mas a segunda raiz serve, levando a a2
= 16 e,
consequentemente, a = 4 (basta tomar uma das raízes, porque precisamos só de uma solução, não
múltiplas). Se a = 4, então voltando para b temos b = −4
a
= −1. Assim, obtemos a representação
18 − 8
√
2 = (4 − 1 ·
√
2)2
, aquela mesma que já adivinhamos antes. Note que, neste caso especíco, a
segunda raiz a = −4 da equação a2
= 16 vai levar ao mesmo resultado para raiz original. Realmente,
ela dará b = −4
a
= 1 e o número negativo a + b
√
2 = −4 + 1 ·
√
2, o qual substituído na raiz original
vai dar √
18 − 8
√
2 =
√
(−4 +
√
2)2 = 4 −
√
2.
84. Dados dois números reais e positivos x e y, mostre que a sua média aritmética a = x+y
2
é maior
ou igual que a sua média geomátrica g =
√
xy.
Solução. Como todos os números são positivos, então a desigualdade a ≥ g equivale a a2
≥ g2
.
Abrimos a última em termos de x e y: (x+y)2
4
≥ xy ou (x + y)2
− 4xy ≥ 0 ou (x − y)2
≥ 0. A validade
evidente da última desigualdade garante a validade das anteriores e, em particular, da original a ≥ g.
85.
a) Mostre, por meios de um exemplo, que existe um número irracional a tal que a4
e a6
são racionais.
b) Mostre que, se a7
e a12
são racionais, então a é racional.
Solução. a) a =
√
2 é irracional, mas a4
= 4 e a6
= 8 são racionais.
b) No caso trivial a = 0 a resposta é imediata. Vamos supor que a ̸= 0. Então, usando sistematica-
mente as propriedades aritméticas de números racionais (mais precisamente, o fato de que a quociente
de dois racionais é um racional) chegamos ao resultado desejado. Realmente, a12
a7 = a5
é racional;
então a7
a5 = a2
é racional; então a12
a7·a2 = a3
é racional; nalmente, a3
a2 = a é racional.
Iezzi p.55-56: N89 A, D; 92 a), d); 93 a), c); 97.
97. tem resposta no livro
Alguns comentários:
a interseção R ∩ Q = Q porque Q faz parte de R; a interseção N ∩ Z = N porque N faz parte de Z,
e a operação (N ∩ Z) ∪ Q = N ∪ Q = Q dá Q, porque ele contém N; a interseção Z ∩ Q = Z porque
Z faz parte de Q, e a operação N ∪ (Z ∩ Q) = N ∪ Z = Z dá Z, porque ele contém N; nalmente, a
interseção dos resultados Q ∩ Q ∩ Z = Z, porque Z faz parte de Q.