O documento descreve três grandes categorias de estruturas matemáticas usadas para modelar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. As estruturas algébricas são definidas como conjuntos abstratos de objetos com operações e relações entre esses objetos que obedecem certas regras. Álgebras são estruturas algébricas com um conjunto de operações definidas sobre um conjunto. A álgebra de Boole é um exemplo importante de estrutura algébrica usada

1. Módulo 6:
Estruturas Matemáticas
• Modelos matemáticos de fenômenos da natureza podem
ser divididos em três grandes categorias:
• Estruturas de Ordem <C, R>
• Estruturas Algébricas <C, Op>
• Estruturas Topológicas (Geometria, Análise) <C, P(C)>
•UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
•CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
•DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO
•Professor Ulrich Schiel

2. Estruturas Algébricas
•Estruturas Algébricas:
- conjunto abstrato de objetos juntamente com operações e
relações entre esses objetos e que obedecem certas regras.
A = <C, Op, R>
Em que Op é um conjunto de operações e R é um conjunto de
relações
Se R é vazio temos uma Álgebra,
se Op é vazio temos um Modelo ou um Sistema Relacional

3. Estruturas Algébricas
• Estruturas Algébricas - Operações:
 Uma operação (interna) * sobre um conjunto C, é uma função
*:C×.. × C → C
 Exemplos: A = <Z, +>; B = <Z, +, ≤>;
 C = < Z, ≤ >; D = < N, succ, *, 0, 1, max, min >
 Uma operação externa * de um domínio K sobre um conjunto
C, é uma função
* : K × C → C
Exemplo:
 E = < N, R2
, *>, com *: N×R2
→ R2
, dado por *(k,(x,y)) = (kx,ky)

4. Estruturas Algébricas
• DEFINIÇÃO:
• Uma Álgebra é um par <C, Op> com:
 - C é um conjunto
 - Op é um conjunto de operações sobre C
NOTAÇÃO: dado uma álgebra <C,*>, com
*:C × C → C
para *(a,b) = c escrevemos a*b = c

5. Estruturas Algébricas
Propriedades das operações:
- Dado uma álgebra <C,*> as seguintes propriedades podem
ser válidas, para quaisquer x, y, z de C:
x * y = y * x (comutativa)
(x * y) * z = x * (y * z) (associativa)
∃ 1∈C (x * 1 = x) (identidade ou neutro à direita)
∀x ∈C ∃ x’
∈C (x * x’ = 1) (inverso)
Se houver outra operação + em C, ou seja, temos <C,*, ⊕>,
pode valer a propriedade:
x ⊕ (y * z) = (x ⊕ y) * (x ⊕ z) (distributiva-1)
x * (y ⊕ z) = (x * y) ⊕ (x * z) (distributiva-2)

6. Estruturas Algébricas
• Estruturas Algébricas – Álgebras de Boole
• Um exemplo notável de estrutura algébrica é a
álgebra booleana ou Álgebra de Boole (George
Boole, 1850), formulada inicialmente para modelar a
lógica proposicional e utilizada posteriormente por
Shannon (1938) para modelar circuitos eletrônicos
(ou digitais).

7. Álgebra Booleana
→Uma Álgebra de Boole B é uma álgebra
B = <B, +, ·, ‘, a, b> formada por
→um conjunto não-vazio (domínio) B,
→duas operações binárias + : B2
→B e · : B2
→B,
→uma operação unária ‘ : B→B e
→dois elementos distinguíveis de B, a e b,(funções 0-árias)
satisfazendo as seguintes propriedades:
→ para todo x, y e z pertencentes à B vale
• 1a. x+y = y+x 1b. x · y = y · x
• 2a. (x+y)+z = x+(y+z) 2b. (x · y) · z = x · (y · z)
• 3a. x+(y · z) = (x+y)·(x+z) 3b. x · (y+z) = (x · y)+(x · z)
• 4a. x+a = x 4b. x · b = x
• 5a. x+x’ = b 5b. x · x’ = a

8. Álgebra Booleana
• Exemplo 1: B1 = <{0,1}, +, ·, ‘, 0, 1>, onde:
• x+y = max(x,y), x · y = min(x,y), 0’=1 e 1’=0.
• Exemplo 2: B2 = <{∅, {1}, {2}, {1,2}}, ∪, ∩, ‘, ∅, {1,2} >
• Exemplo 3: B3 = <P(S), ∪, ∩, ‘, ∅, S>, para qualquer S
• Exemplo 4: B4= <{F,V}, OR, AND, NOT, F, V>.

9. Propriedades de uma àlgebra de Boole
• Demonstre as seguintes propriedades para uma
álgebra de Boole B = <B, +, ·, ‘, a, b> :
1. x+x = x, para todo x ∈ B (Idempotência)
2. x+b = b, para todo x ∈ B
3. (x ’) ’ = x, para todo x ∈ B (involução)
4. x+(x · y) = x, para todo x, y ∈ B
5. (x+y)’ = x ’ · y ’ e (x·y)’ = x’ + y’ (Leis de De Morgan)
1. Variante: x.y=(x’+y’)’ e x+y=(x’.y’)’
6. O elemento neutro é único.

10. Álgebra Booleana – conjuntos completos de
operadores
• Considerando a álgebra de Boole
B4= <{F,V}, OR, AND, NOT, F, V>.
pode-se mostrar que toda expressão booleana pode ser
realizada com um dos conjuntos
{AND, OR, NOT} ou {+, ·, ‘}
{AND, NOT} ou {·, ‘}
{NAND} ou {‘·} xNANDy = NOT(xANDy) ou x ’· y = (x·y)’
{NOR} ou {‘+} xNORy = NOT(xORy) ou x ‘+ y = (x+y)’

11. Álgebra Booleana – conjuntos completos de operadores
•Para escrever uma expressão booleana apenas com operadores NANDNAND deve-se
•(1) colocá-la na forma normal disjuntiva-FND (somas de produtos) e
•(2) eliminar as somas com as leis de DeMorgan
• (3) converter os produtos em NAND usando involução
•(4) eliminar as negações pela fórmula x’ = (x.1)’ = x '· 1
•EXEMPLO:EXEMPLO: x+(y·z’)=deMorg (x’ . (y.z’)’)’ =defNAND x’ '· (y.z’)’ = defNAND x’ '· (y '· z’)
•= defNOT (x '· 1) '· (y '· (z '· 1))
•Para escrever uma expressão booleana apenas com operadores NORNOR deve-se
•(1) colocá-la na forma normal conjuntiva-FNC (produtos de somas) e
•(2) eliminar os produtos com as leis de DeMorgan
• (3) converter as somas em NOR usando involução
•(4) eliminar as negações pela fórmula x’ = (x+0)’ = x ‘+ 0
•EXEMPLO:EXEMPLO: x+(y.z’) =distrib (x+y).(x+z’) = deMorg [(x+y)’ + (x+z’)’]’ =
•=defNOR (x '+ y) '+ (x '+ z’) =OBS-2 (x '+ y) '+ (x '+ (z '+ 0))

12. Álgebra Booleana – Exemplo de conversão
(1) Escreva a expressão booleana (x+(y·z’))’ com operadores NANDNAND
•(1) FND:(1) FND: (x+(y·z’))’ =distrib ((x+y).(x+z’))’ =deMorgan (x+y)’ + (x+z’)’
• =deMorgan (x’.y’) + (x’.z) =
•(2) deMorgan:(2) deMorgan: = (= ((x’.y’)’ . (x’.z)’)’
•(3) involução+def(3) involução+def = (((x’.y’)’ . (x’.z)’)’ = (x’.y’)’ '· (x’.z)’ = (x’ '· y’) '· (x’ '· z)
•(4) elim. negações(4) elim. negações = ((x '·1) '· (y '·1)) '· ((x '·1) '· z)
(2) Escreva a expressão booleana (x+(y·z’))’ com operadores NORNOR
•(1) FNC:(1) FNC: (x+(y·z’))’ =deMorgan x’ . (y.z’)’ =deMorgan x’ . (y’+z) =
•(2) deMorgan:(2) deMorgan: =deMorgan (x + (y’+z)’)’
•(3) involução+def:(3) involução+def: = x ‘+ (y’+z)’ = x ‘+ (y’ ‘+ z)
•(3) elim. Negações:(3) elim. Negações: = x ‘+ ((y ‘+ 0) ‘+ z))

13. Exercícios
• Escrever a expressão booleana x.(y’+z)
• apenas com operadores NANDNAND
• apenas com operadores NORNOR
• Calcule o valor da expressão para x=1, y=0 e z=0. Use primeiro a
expressão original e depois a com NAND e com NOR.
Exercício adicional: (x+y).(x.y)’

14. Funções Booleanas
Dado uma álgebra de Boole
B = <B, +, ·, ‘, a, b>
Uma função booleana é uma função
f: B x...x B → B
determinada por uma expressão da álgebra de Boole.
Exemplo:
f(x,y,z) = x.y + x.z’ + y.z'

15. Funções Booleanas
Formas de definição de uma
função booleana:
• algébrica
•tabular (tabela verdade)
• esquemática
•Definição algébricaalgébrica:
f (x,y,z)=x+( y'⋅z)
•Definição tabulartabular :
•Definição esquemáticaesquemática:
x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
y
z
x
f(x,y,z)

16. Funções Booleanas
Conectores lógicos: •inversorinversor •NOTNOT
•ANDAND •NANDNAND
•OROR •NORNOR
•XORXOR •XNORXNOR
NOT(x) = x’
AND(x,y) = x.y
OR(x,y) = x+y
NAND(x,y) = (x.y)’
NOR(x,y) = (x+y)’
XOR(x,y) = (x+y).(x.y)’
XNOR(x,y) = ((x+y).(x.y)’)’

17. Funções Booleanas
Conversões:
• algébrica => tabular (resolver cada trecho da expressão)
•tabular => algébrica (FND: cada linha com valor 1 é uma expressão AND;
combinar linhas com OR)
• algébrica <=> esquemática (substituir componentes)
• tabular <=> esquemática (converter para algébrica)

18. Funções Booleanas
Exemplo:
1. seja a função f(x,y) = (x+y’).(x’+y)
• encontre suas definições tabular e esquemática
2. seja a função f(x,y) dada
pela tabela ao lado:
• encontre suas
definições algébrica e
esquemática
x y f(x,y)
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

19. Funções Booleanas
Redução de uma expressão Booleana:
f(x,y) = (x’.y’) + (x.y’)+ (x’.y) =
=[3b] (x’+x).y’ + (x’.y)
=[5a+4b] y’ + (x’.y) =[3a] (y’+x’)(y’+y) =[5a] (y’+x’).1
=[4b] y’+x’ =[deMorgan] (x.y)’
1. f(x,y) = (x’.y’) + (x.y’)+ (x’.y) =? (x.y)’
Forma normal disjuntiva (soma de produtos)

20. Funções Booleanas
Exercícios:
1. seja a função f(x,y,z) = (x.y’).(y+z’)
• encontre suas definições tabular e esquemática
2. seja a função
f(x,y,z) dada pela
tabela ao lado:
• encontre suas
definições algébrica
(reduzida) e
esquemática
x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1

21. Álgebras - Homomorfismos e Isomorfismos
• Entre conjuntos temos funções
f:C → D
• Entre estruturas matemáticas ou álgebras ou categorias
temos morfismos
h:<A, opA> → <B, opB>,
com h: A → B e h: opA → opB funções
• Dados duas Álgebras A=<A, *A> e B=<B, *B>, um morfismo
h: A → B
é um homomorfismo se conserva as operações, ou
seja, para todo a,b ∈ A temos
• h(a * b) = h(a) * h(b)

22. Álgebras - Homomorfismos e Isomorfismos
• Duas estruturas matemáticas A e B são ditas serem
isomorfas se e somente se existir uma bijeção
(isomorfismo) que leva elementos de uma em
elementos da outra de modo que as propriedades
(funções e relações) sejam preservadas.
• Se duas estruturas são isomorfas então cada uma é
a imagem semelhante da outra, a menos do
rotulamento de seus elementos.
• Ex.: considere os seguintes POSET’s:
• P1 = ({1,2,3,6}, x divide y)
•
• P2 = (P({1,2}), x⊆y)

23. Isomorfismo
•
• Seja h:: {1,2,3,6} → P({1,2}) definida por:
• h(1) = ∅; h(2) = {1}; h(3) = {2}; h(6) = {1,2}
h é um isomorfismo de P1 em P2
2
6
3
1
{1}
{1,2}
{2}
∅
h

24. Isomorfismo de álgebras booleanas
• Sejam A = <A, +, ·, ‘, a, b > e B = <B, &, *, “, c, d >
duas álgebras booleanas.
Um morfismo f: A → B é um isomorfismo de A em B,
se para todo x e y ∈A:
1. f é uma bijeção entre A e B
2. f(x+y) = f(x) & f(y)
3. f(x.y) = f(x) * f(y)
4. f(x’) = f(x)”

25. Isomorfismo
Princípio da dualidade em Álgebras de Boole
Para qualquer Álgebra de Boole
• B = <B, +, ·, ‘, a, b>
A estrutura
BD
= <B, ·,+, ‘, b, a>
É uma Álgebra de Boole e, além disso,
B ≅ BD
são isomorfos

26. Teorema de álgebras booleanas finitas
Teorema: Seja B qualquer álgebra booleana com |B|=n
elementos. Então,
•n = 2m
, para algum inteiro m, e
•B é isomorfa a <P({1,2,..,m}), ∪, ∩, ‘, ∅, {1,2,..m}> .
Corolário: o número de elementos do domínio de
qualquer álgebra booleana é uma potência de 2.

27. Isomorfismo
x,y ∈B
f
u,v∈A
operação (+, .
, ‘)
operação (&, *, “)
z ∈B
f-1
w ∈A
Podemos implementar uma operação em outra estrutura:
P.ex.: u&v = f-1
(f(u)+f(v))

28. Exemplo
Sejam
C = <{a, b, c, d}, sup, inf>,
onde as operações são dadas pelas
tabelas ao lado, e
B = <P({1,2}), ∪, ∩> duas álgebras.
Seja o morfismo f:{a,b,c,d} → P({1,2}) dada
por:
f(a) = ∅ f(b) = {1} f(c) = {2}
f(d) = {1,2}
2. Calcule
inf(sup(a,b),b) = f-1
(f(a) ∪ f(b)∩f(b))
sup a b c d
a a b c d
b b b d d
c c d c d
d d d d d
inf a b c d
a a a a a
b a b a b
c a a c c
d a b c d

29. Álgebras
Seja S um conjunto e * uma operação binária :
* : S x S → S.
1. A operação * é associativa (A) se:
x * (y * z) = (x * y) * z, para quaisquer x, y e z ∈ S.
1. S tem um elemento neutro (N) em relação à
operação * se:
existe i ∈ S tal que para todo x ∈ S, x * i = x = i * x .
1. Todo elemento tem um inverso (I) em relação à
operação * se:
para todo x ∈ S existe y∈ S tal que x * y = i = y * x .
Notação: y= x-1
1. A operação * é comutativa (C) se:
x * y = y * x, para todo x e y ∈ S.
Exemplo: As estruturas < Z, + >, < Z, . >.

30. Grupo
→ Uma estrutura G = < S, * > é um grupo se S é um
conjunto não vazio e * é uma operação binária sobre S
(operação de grupo) tal que:
1. * é associativa;
2. S tem um elemento neutro ;
3. todo elemento de S tem um elemento inverso
→ Se valer só a associatividade temos um semi-grupo.
→ Se valer a associativa e neutro temos um monóide
→ Obs. Um grupo em que * é comutativa é chamado de
grupo comutativo ou abeliano.
→ Exemplos: A estrutura < Z, + > é um grupo comutativo.
E <Z, .> ??

31. Exemplo
Seja R+
o conjunto dos reais positivos e seja . a
operação de multiplicação de reais. Então :
• < R+
, . > é um grupo comutativo.
• O elemento neutro é o 1.
• Para qualquer real positivo x, 1/x é o seu inverso com
relação à operação de multiplicação.
• < R+
, + > é um semi-grupo comutativo.

32. Exercícios
1. < R, . > é um grupo ? É semi-grupo?
1. < Z, - > é um grupo ? É semi-grupo?
1. Seja M2(Z) o conjunto das matrizes 2x2 de
elementos inteiros e seja + a operação de adição de
matrizes. Mostre que < M2(Z), + > é um grupo
comutativo. Mostre que < M2(Z), . > não é um grupo.
Temos o grupo <Z, +> e o semi-grupo <Z, .>.
O que será <Z, +, .> ??

33. Anel
→ Uma álgebra G = < S, +, * > é um anel se valem as
seguintes propriedades:
1. < S, + > é um grupo abeliano;
2. < S, * > é um semi-grupo;
3. Vale a distributividade a esquerda e a direita da
operação * sobre +, ou seja,
a*(b+c)= a*b + a*c e (a+b)*c = a*c + a*c
Um anel é comutativo se * é comutativa.
Exemplos: Z, Q, R, C com + e . são anéis. Uma álgebra de
Boole é um anel comutativo idempotente (i.e. a.a = a)
Dado um anel <S, +, .>
O que falta para <S,*> ser um grupo ??

34. Corpo
→ Uma álgebra G = < S, +, * > é um corpo se valem as
seguintes propriedades:
1. < S, + , * > é um anel com o neutro 0 em +;
2. < S-{0}, * > é um grupo comutativo;
Exemplos: Q, R, C com + e . são corpos.
→ Dado um corpo < S, +, * >, podemos definir operadores
de diferença e divisão como
→ a - b = a + (-b) e a / b = a * b-1

35. Corpo ordenado
Uma estrutura < S, +, * , ≤> é um corpo ordenado, quando
1. < S, +, * > é um corpo
2. a ≤ b → a+c ≤ b+ c
3. 0 ≤ a e 0 ≤ b → 0 ≤ a.b
Exemplos: < R, +, * , ≤> é um corpo ordenado
< C, +, * , ≤> não é um corpo ordenado

36. Operadores externos
→ Dado um grupo <S, +> uma operação externa * de um
domínio K sobre S é uma função:
1. * : K x S → S, ou seja k*s1 = s2 ;
Operações externas de um anel <K, +, . > podem ser
combinadas com operações internas do grupo :
→ k * (s1 + s2) = k * s1 + k * s2
→ (k + m) * s = k * s + m * s
→ (k . m) * s = (k * s) . (m * s)
→ 1 * s = s
Que da origem a estrutura de Módulo.
Ou seja, um módulo é uma estrutura:
M= <K,S, *> em que Ké um anel comutativo <K,+,.> e
S é um grupo comutativo <S,+>
Se K é um corpo, temos um espaço vetorial.

37. Operadores externos
EXEMPLOS:
1. M = <R, R2
, *> com a soma de vetores e
k*<x,y> = <k.x, k.y> é um espaço vetorial
2. M = <Z, R2
, *> com k*<x,y> = <k.x, k.y> é um
módulo
3. Espaço vetorial das funções reais lineares:
M= <R, F, *> em que
F = {f:R →R, com f(x)=ax+b} com
f(x)+g(x) e com k*f(x)

38. Resumo & Exemplos
Propriedades: <S,*>
* é fechada se x * y está em S
A – associativa x * (y * z) = (x * y) * z
C – comutativa x * y = y * x
N – neutro ou identidade x * i = i * x = x
I – inverso x * x-1
= x-1
* x = i
A → semi-grupo
AN → monóide
ANI → grupo
ANIC → grupo comutativo
Exemplos:
• grupo
• <R+
, . > comutativo
• <M2(Z), +> comutativo
• <R, + > comutativo
• monóide
•<R, . > comutativo
• <N, +> comutativo
• <P(S), ∪> comutativo
• <P(S), ∩> comutativo
• <M2(Z), . > não-comutativo
• semi-grupo
• <R-{0}, +> comutativo

39. Resumo & Exemplos
Propriedades: <S,*>
* é fechada se x * y está em S
A – associativa x * (y * z) = (x * y) * z
N – neutro ou identidade x * i = i * x = x
I – inverso x * x-1
= x-1
* x = i
C – comutativa x * y = y * x
A → semi-grupo
AN → monóide
ANI → grupo
ANIC → grupo comutativo
Exemplos:
• grupo
• <R[x], + > comutativo
• monóide
•<R[x], . > comutativo
• < Σ*, ||> não-comutativo
•
• semi-grupo
•

40. Resumo & Exemplos
Propriedades: <S,+,*>
* é fechada se x * y está em S
A – associativa x * (y * z) = (x * y) * z
N – neutro ou identidade x * i = i * x = x
I – inverso x * x-1
= x-1
* x = i
C – comutativa x * y = y * x
D-distributivo a *(b+c)= a * b + a * c
(a+b)*c = a*c + b*c
Dado <S,+,*> é um:
Anel se
<S, +> grupo comutativo (ANIC)
<S, *> semi-grupo (A)
vale D
Corpo se
é um anel e
< S-{0}, * > é um grupo
Corpo comutativo se
é um corpo e * é comutativa
Exemplos:
• anel
• <Z, + , . > comutativo
• corpo
• <R, +, . > comutativo
• <M2(Z), +, . > não-comut.
•<R[x], +, . > comutativo
•
• Em uma Álgebra de Boole
<B, +, ·, ‘, 0, 1>
<B, +> e <B, .> são monóides
comutativos

41. Exercício
Sejam
C = <{0, 1, a, b}, +, *, “, 0, 1>,
onde as operações são dadas pelas tabelas ao lado, e
B = <P({1,2}), ∪, ∩, ‘, ∅, {1,2}> duas álgebras booleanas.
Seja o morfismo f:{0,1,a,b} → P({1,2}) dada por:
f(0) = ∅ f(1) = {1,2} f(a) = {1} f(b) = {2}
2. Calcule (a+b)”*b = f-1
(f(a) ∪ f(b)’ ∩f(b))
+ 0 1 a b
0 0 1 a b
1 1 1 1 1
a a 1 a 1
b b 1 1 b
* 0 1 a b
0 0 0 0 0
1 0 1 a b
a 0 a a 0
b 0 b 0 b
“
0 1
1 0
a b
b a

42. Exercícios
Analise a estrutura algébrica de
1) < Σ*, ||> com:
Σ* o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operação de concatenação de strings
2) < Z7, +7, .7> com:
Z7= {0,1,2,3,4,5,6} e + a soma módulo 7 e . o produto módulo 7.
3) Sendo Z=< Z7, +7,.7> da questão anterior e N = <N+
, +, .> o anel
dos inteiros positivos, como será a estrutura M = < N+
, Z, *> em
que *:N+
x Z → Z é o produto módulo 7 de N+
em Z.
4) < C, sup, inf> com:
C um reticulado finito ordenado por uma relação ≤ e inf(x,y) é o
ínfimo de x e y e sup(x,y) é o supremo de x e y.

43. Exercícios
Mais exercícios resolvidos em
http://pt.scribd.com/doc/57701066/Matematica-Discreta-Exercicios-resolv
http://web.ist.utl.pt/~ist10898/public/sd/Problems/Resolv_v01.pdf
http://pt.scribd.com/doc/93333089/Estruturas-Algebricas-Exercicios-
Resolvidos