1) Mostrar que o grupo (R, triângulo) é abeliano, onde triângulo é definida por (x3 + y3) raiz cúbica. 2) Provar que o subconjunto {0,1,2,6} é um subgrupo do grupo (Z6, +). 3) Demonstrar que o conjunto F = {O, e, a, b} com as operações dadas é um corpo assumindo associatividade e distributividade.

1. Questões propostas:
1) Mostrar que ( R, triangulo) é um grupo abeliano, quando triângulo é definida por x
triangulo y = (x³+y³) raiz cúbica.
2) O grupo ({0,1,2,6 , + ) A={1,2,3} é subgrupo de (Z6 , +)
3) Seja F= { O,e,a,b } com as operações dadas pelos seguintes quadros. Mostrar que anel
Assumindo a associatividade e distributividade e F é um corpo.
4) Prove que R é isomorfo ao anel de todas as matrizes 2X2 da forma ,
onde a ∊ R.
5) Seja A anel comutativo com identidade (1A ≠ 0A) cujos os único ideais são (0A) e A.
Prove que, A é corpo.

2. 6) Use o pequeno teorema de Fermat para determinar os últimos algarismos dos
números e escritos no sistema posicional com base .

3. Dizemos que o par (G, ∗) é um grupo se as seguintes condições são satisfeitas:
i. G e fechado para ∗
2.Ii.Existe um e ∈ G tal que e ∗ g = g ∗ e = g para todo g ∈ G
3. iii.g1 ∗ (g2 ∗ g3) = (g1 ∗ g2) ∗ g3 para quaisquer g1, g2 e g3
iv. Para todo g ∈ G existe g-¹∈ G tal que g ∗ g-¹ = e
Semigrupo : é um grupóide cuja operação interna é associativa. Portanto, é uma álgebra cuja
operação é fechada e associativa.
Seja ⊕ : A x A→A : um grupóide. Se ( A , ⊕) for associativa, então (A, ⊕ )é um semigrupo.Se,
adicionalmente, a operação for comutativa, então (A, ⊕ )é um Semigrupo Abeliano.
Um monóide é um semigrupo cuja operação possui elemento neutro. Portanto,
um semigrupo é, simultaneamente, fechado, associativo e possui elemento neutro.
Seja (A,⊕) um semigrupo. Se ⊕ : A x A→A possui elemento neutro, então (A,⊕, e) é um
monóide. Se, adicionalmente, a operação for comutativa, então (A ,⊕,e) é um Monóide
Abeliano .
Subgrupo
Seja G um grupo em relação a uma operação “*” (G , *) e cujo elemento seja um subconjunto
H de G . Se (H ,*) também é um grupo é dito um subgrupo de (G ,*).
i. o elemento identidade e ∈ H;
ii. H é fechado sob a operação de G, i.e.,a,b ∈ H então ab ∈ H;
iii. H é fechado sob inversos, isto é, se a ∈ H, então a-¹ ∈ H.
Sejam [G,⋅] e [H,∗] grupos. Uma função f : G → H é denominada um isomorfismo do grupo
[G,⋅] no grupo [H ,∗] quando para quaisquer x, y ∈ G f (x ⋅ y) = f (x) ∗ f ( y ) .
Sejam [G,⋅] e [H,∗] grupos. Uma função f : G → H é denominada um homomorfismo do
grupo [G,⋅] no grupo [H ,∗] quando para quaisquer x, y ∈ G f (x ⋅ y) = f (x) ∗ f ( y ) .
Define-se o conjunto Kerf ={ x ∈ G | f (x) = 1 H} denominado núcleo do homomorfismo f e o
conjunto Im f = { y ∈ H | existe x ∈ G, f (x) = y} denominado imagem do homomorfismo.
Um anel é uma estrutura algébrica (A;+; .) Com um conjunto não vazio A, com duas
operações + ( adição) . (multiplicação).
As duas operações binárias: (x, y) → x + y e (x, y) → x.y
Satisfazendo as seguintes propriedades: 1. A estrutura algébrica (A; +) é um grupo abeliano.
(a) √ a; b; c ∈ A, (a + b) + c = a + (b + c) (associativa) (b) √ a; b ∈ A, a + b = b + a (comutativa)(c)
Existe um elemento 0 ∈ A que é elemento neutro da operação +, ou seja, √ b ∈ A, b + 0 =0 b=b

4. (d) Para cada b ∈ A, existe um elemento simétrico aditivo (-b) ∈ A que é elemento oposto ou
inverso aditivo de b, ou seja, + (-b) = (-b) + b = 0
2. A operação . é associativa, isto é, √ a; b; c ∈ A ,(a . b) . c = a . (b . c)
3. A operação . é distributiva em relação à operação +, ou seja, √ a; b; c ∈ A, tem-se a . (b + c) =
(a . b) + (a .c).
Subanel
Seja (A;+;.) um anel e seja B um subconjunto não vazio de A. Dizemos que B é um sub-anel de
A se
1. B é fechado nas operações + e . de A, ou seja, √ a,b ∊ B; tem-se a + b ∊ B e a . b ∊ B
2. A estrutura algébrica (B;+; .), em que + e . São as restrições das operações de A ao
subconjunto B, é um anel
Anel ideal
Sejam A um anel e I⊂ A um sub-conjunto não vazio. Dizemos que I é um ideal do anel A, se:
1. I é um sub-anel de A; 2. (√ x,y) (x,y ∊ I x -y ∊ I) 3. (√ a,y) (a ∊ A e x ∊ I ax ∊ I)
Homomorfismo de anel
Sejam A e B dois anéis. Uma aplicação(f : A → B) f de um anel A em um anel B é chamado
homomorfismo de A em B com as seguintes condições:
1. (√ x,y ) ( x,y ∈ A→f(x + y ) = f(x) + f (y) ) 2. (√ x,y ) ( x,y ∈ A → f(x y ) = f(x) .f (y) )
Sejam A e B dois anéis. Uma aplicação(f : A →B) f de um anel A em um anel B é chamado
isomorfismo de A em B com as seguintes condições:
1. f é bijetora
2. f é homomorfismo de anéis , isto é: f(x+y) = f(x) + f(y) e f(xy) =f(x)f(y) , √x,y ∈ A.
Corpos
Um anel A comutativo com unidade,definindo o corpo se todo elemento não nulo de A
admite-se anti-simetrico multiplicativo. a ∊A ( a 0 → ∃ b ∊ A | ab =1 ) O B será inverso
de b = a-1
Pequeno teorema de Fermot
Revisão da operação e mod.: Algoritmo da divisão a= b*q+ r
A partir desse algoritmo podemos que definir :
Mod como sendo o resto dessa divisão
A mod b = r