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CÁLCULO INTEGRAL
MIGUEL FERNANDES
 MOTIVAÇÃO
Dada a expressão que define a velocidade de um corpo num instante 𝑡, como obter
a lei 𝑥(𝑡) do movimento?
Para dar resposta à pergunta enunciada, importa introduzir um conceito
imprescindível no domínio do Cálculo Integral: o conceito de primitiva (ou
antiderivada).
 NOÇÃO DE PRIMITIVA
Dado 𝐼 ⊆ ℝ, dizemos que 𝐹 ∶ 𝐼 ⟶ ℝ é uma primitiva de uma função 𝑓 ∶ 𝐼 ⟶ ℝ se
tivermos a igualdade:
𝐹′( 𝑥) = 𝑓( 𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼
No contexto das derivadas, sabemos que, dado 𝒞 ∈ ℝ, [ 𝐹( 𝑥) + 𝒞]′
= 𝐹′( 𝑥) = 𝑓( 𝑥).
Deste modo, podemos falar numa família de primitivas de uma única função 𝑓.
Por outro lado, considerando duas primitivas de 𝑓 em 𝐼, 𝐹1 e 𝐹2, tem-se:
( 𝐹1 − 𝐹2)′
= 𝐹1
′
− 𝐹2
′
= 𝑓 − 𝑓 = 0
E, portanto, 𝐹1 − 𝐹2 é uma função constante em 𝐼 (porquê?).
Ao conjunto de todas as primitivas de 𝑓 chamamos integral indefinida de 𝑓 em
relação a 𝑥. Denota-se
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
Exemplos:
1. A função 𝐹 ∶ ℝ ⟶ ℝ definida por 𝐹( 𝑥) = 𝑥 é uma primitiva da função 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ
definida por 𝑓( 𝑥) = 1 (porquê?).
2. A função 𝐺 ∶ [0,2] ⟶ ℝ definida por
𝐺( 𝑥) = {
1 se 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 se 1 < 𝑥 ≤ 2
não é primitivável em [0,2].
Se fosse primitivável, então existiria uma função 𝑔 cuja expressão da derivada
seria igual a 𝐺( 𝑥). Mas então, 𝑔′(1+) =1
𝑔′ 𝑑 = 0 e 𝑔′(1−) = 𝑔′ 𝑒 = 1 derivadas
laterais com valores diferentes, o que contradiz 𝑔′(1) existir.
1
É um resultado do Cálculo Diferencial o facto de a derivada lateral num ponto existir se o limite da função
derivada no mesmo ponto existir.
3. Qual a primitiva da função ℎ ∶ ℝ ⟶ ℝ definida por ℎ( 𝑥) = 𝑥2
cujo gráfico contém
o ponto de coordenadas (1,3)?
Trata-se de um problema de valor inicial.
Todas as funções da forma 𝐻( 𝑥) =
𝑥3
3
+ 𝒞, com 𝒞 ∈ ℝ, são primitivas da função ℎ
(porquê?).
Porquê?
2
𝐻(1) = 3, porque o ponto de coordenadas (1,3) pertence ao gráfico da primitiva
que procuramos. Ora,
𝐻(1) = 3 ⇔
13
3
+ 𝒞 = 3 ⇔ 𝒞 = 3 −
1
3
=
8
3
Assim, 𝐻( 𝑥) =
𝑥3
3
+
8
3
.
Exercício:
Recorra ao seu conhecimento sobre derivadas para primitivar mentalmente as
seguintes funções (em intervalos a determinar):
1. 3𝑥2
2. −sen 𝑥
3. cos 𝑥
4. 2cos (2𝑥)
 PROPRIEDADES DOS INTEGRAIS INDEFINIDOS: ADITIVIDADE E LINEARIDADE
 Multiplicação por uma constante: dado 𝑘 ∈ ℝ independente da variável 𝑥, tem-se:
∫ 𝑘𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
Caso particular: 𝑘 = −1
∫ −𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
 Soma e diferença:
∫[ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔( 𝑥) 𝑑𝑥
demonstração: a cargo do aluno
Exemplo:
1. ∫ 8𝑥3
+ 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 2 × 4𝑥3
𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 4𝑥3
𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥 𝑑𝑥
= 2𝑥4
+ 𝒞1 + 𝑥2
+ 𝒞2, 𝒞1, 𝒞2 ∈ ℝ
No entanto, por uma questão de simplificação, podemos combinar 𝒞1 e 𝒞2 numa
única constante, fazendo 𝒞 = 𝒞1 + 𝒞2.
Assim, teremos ∫ 8𝑥3
+ 2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥4
+ 𝑥2
+ 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ.
 PRIMITIVAS IMEDIATAS
São primitivas que se deduzem a partir da inversão das fórmulas de derivação:
∫ 𝑢′𝑢 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑢 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝒞 𝑛 ∈ ℝ{−1}
∫ 𝑢′
sen 𝑢 𝑑𝑥 = − cos 𝑢 + 𝒞
∫ 𝑢′
cos 𝑢 𝑑𝑥 = sen 𝑢 + 𝒞
∫ 𝑢′
sec2
𝑢 𝑑𝑥 = tg 𝑢 + 𝒞
∫ 𝑢′
cosec2
𝑢 𝑑𝑥 = −cotg 𝑢 + 𝒞
∫ 𝑢′
sec 𝑢 tg 𝑢 𝑑𝑥 = sec 𝑢 + 𝒞
∫ 𝑢′
cosec 𝑢 cotg 𝑢 𝑑𝑥 = −cosec 𝑢 + 𝒞
∫ 𝑢′
𝑒 𝑢
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑢
+ 𝒞
∫
𝑢′
1+𝑢2 𝑑𝑥 = arctg 𝑢 + 𝒞 = −arccotg 𝑢 + 𝒞
∫
𝑢′
𝑢√ 𝑢2−1
𝑑𝑥 = arcsec 𝑢 + 𝒞 = −arccosec 𝑢 + 𝒞
∫ 𝑢′
𝑎 𝑢
𝑑𝑥 =
1
ln 𝑎
𝑎 𝑢
+ 𝒞 𝑎 ∈ ℝ+
∫ 𝑢′
senh 𝑢 𝑑𝑥 = cosh 𝑢 + 𝒞
∫ 𝑢′
cosh 𝑢 𝑑𝑥 = senh 𝑢 + 𝒞
∫ 𝑢′
cosech2
𝑢 𝑑𝑥 = −cotgh 𝑢 + 𝒞
3
∫
𝑢′
𝑢
𝑑𝑥 = ln | 𝑢| + 𝒞
∫
𝑢′
√1−𝑢2
𝑑𝑥 = arcsen 𝑢 + 𝒞 = − arccos 𝑢 + 𝒞
Tabela 1: algumas primitivas
imediatas
 TÉCNICAS DE PRIMITIVAÇÃO
 Primitivação por partes
Sejam 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐼 ⟶ ℝ funções deriváveis.
Tem-se:
∫ 𝑓′( 𝑥) 𝑔( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑥) 𝑔( 𝑥) − ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑔′( 𝑥) 𝑑𝑥
Demonstração:
Basta atender à fórmula de derivação do produto:
( 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))′
= 𝑓′
(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′
(𝑥) ⇔ 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) = (𝑓( 𝑥) 𝑔( 𝑥))
′
− 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
E, primitivando ambos os lados da igualdade, fica:
∫ 𝑓′
(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫( 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))′
𝑑𝑥 − ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑔′( 𝑥) 𝑑𝑥 ⇔
⇔ ∫ 𝑓′
(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑔′( 𝑥) 𝑑𝑥
(dadas as propriedades dos integrais indefinidos).
Exemplo:
1. ∫ 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥
Faça-se:
𝑓′( 𝑥) = sen 𝑥 ⇒ 𝑓( 𝑥) = − cos 𝑥
𝑔( 𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝑔′( 𝑥) = 1
Resulta que:
∫ 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 + ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 + sen 𝑥 + 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ.
Exercício:
Calcular:
1. ∫ 𝑒 𝑥
sen 𝑥 𝑑𝑥
2. ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
3. Mostrar que, para 𝑛 ∈ ℕ ∩ [2, +∞[, ∫ cos 𝑛
𝑡 𝑑𝑡 é calculado, recursivamente,
através da fórmula:
∫ cos 𝑛
𝑡 𝑑𝑡 =
1
𝑛
sen 𝑡 cos 𝑛−1
𝑡 +
𝑛−1
𝑛
∫ cos 𝑛−2
𝑡 𝑑𝑡 em 𝐼 = ℝ
4. Nas mesmas condições do exercício anterior, mostrar que ∫ sen 𝑛
𝑡 𝑑𝑡 é calculado
como se segue:
∫ sen 𝑛
𝑡 𝑑𝑡 = −
1
𝑛
cos 𝑡 sen 𝑛−1
𝑡 +
𝑛−1
𝑛
∫ sen 𝑛−2
𝑡 𝑑𝑡 em 𝐼 = ℝ
4
 Primitivação por substituição
Sejam 𝐼 e 𝐽 dois intervalos reais, 𝑓 ∶ 𝐼 ⟶ ℝ primitivável em 𝐼 e 𝑔 ∶ 𝐽 ⟶ 𝐼 uma função
bijetiva diferenciável.
Então, se 𝜃 designar uma primitiva de ( 𝑓 ∘ 𝑔) 𝑔′ em 𝐽, tem-se ( 𝜃 ∘ 𝑔−1)′
= 𝑓 em 𝐼 e,
portanto, 𝜃 ∘ 𝑔−1
é uma primitiva de 𝑓.
Demonstração:
Seja 𝐹 uma primitiva de 𝑓 em 𝐼.
Então,
( 𝐹 ∘ 𝑔)′
= ( 𝐹′
∘ 𝑔) 𝑔′
= ( 𝑓 ∘ 𝑔) 𝑔′
= 𝜃′
em 𝐽 e, portanto, ( 𝐹 ∘ 𝑔 − 𝜃)′
= 0 em 𝐽 e, consequentemente, 𝐹 ∘ 𝑔 − 𝜃 é uma função
constante nesse intervalo.
Mas
( 𝐹 ∘ 𝑔 − 𝜃) ∘ 𝑔−1
= 𝐹 − 𝜃 ∘ 𝑔−1
é também constante em 𝐼 (porquê?)
Ou seja, 𝜃 ∘ 𝑔−1
difere de uma primitiva de 𝑓 por uma constante, donde se conclui
que 𝜃 ∘ 𝑔−1
é também uma primitiva de 𝑓.
 Casos particulares
Vejamos como utilizar esta técnica de primitivação em alguns casos particulares:
CASO 1
∫ √𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙, |𝒙| ≤ 𝒂
Utiliza-se a substituição 𝑥 = 𝑎sen 𝑡 ou 𝑥 = acos 𝑡
CASO 2
∫ √𝒙 𝟐 + 𝒂 𝟐 𝒅𝒙
Utiliza-se a substituição 𝑥 = 𝑎tg 𝑡, 𝑥 = 𝑎cotg 𝑡 ou 𝑥 = 𝑎senh 𝑡
CASO 3
∫ √𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝒅𝒙, |𝒙| ≥ 𝒂
Utiliza-se a substituição 𝑥 = 𝑎sec 𝑡, 𝑥 = 𝑎cosec 𝑡 ou 𝑥 = 𝑎cosh 𝑡
Exemplo:
1. ∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥, 𝑥 ∈ [−4, 4] (Caso 1)
Seja 𝑔 ∶ [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] ⟶ [−2,2] definida por 𝑔( 𝑡) = 2 sen 𝑡
(a ideia é fazer uma substituição que seja vantajosa!)
∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ √4 − (2sen 𝑡)2. 2 cos 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ √4 − 4 sen2 𝑡. 2 cos 𝑡 𝑑𝑡 =
= ∫ 2√1 − sen2 𝑡. 2 cos 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 4√cos2 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 =∗
4 ∫ cos2
𝑡 𝑑𝑡 =
= 4 ∫
1 + cos (2𝑡)
2
𝑑𝑡 = 4 ∫
1
2
+
cos (2𝑡)
2
𝑑𝑡 = 4 (
1
2
𝑡 +
1
4
sen(2𝑡)) =
= 2arcsen (
𝑥
2
) + sen (2arcsen (
𝑥
2
)) =∗
2 arcsen (
𝑥
2
) +
𝑥√4−𝑥2
2
+ 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ.
Exercício:
1. Calcular:
∫ 𝑥 √1 + 𝑥 𝑑𝑥 ∫
𝑑𝑥
𝑒 𝑥+1
∫ √𝑥2 + 4 𝑑𝑥
*Porquê?
Voltando à variável inicial
5
 Primitivação de funções racionais
 Frações simples
Chama-se fração simples a toda fração racional da forma:
𝐴
(𝑥−𝛼) 𝑟 ou
𝐵𝑥+𝐶
[(𝑥−𝑎)2 + 𝑏2] 𝑠
𝑟, 𝑠 ∈ ℕ e 𝛼, 𝑎, 𝑏, 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ
CASO 1
O cálculo de uma primitiva de
𝐴
(𝑥−𝛼) 𝑟 faz-se em dependência do número 𝑟:
𝒓 = 𝟏
Tem-se ∫
𝐴
𝑥−𝛼
𝑑𝑥 = 𝐴 ∫
1
𝑥−𝛼
𝑑𝑥 = 𝐴 ln|𝑥 − 𝛼| + 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ
em qualquer intervalo 𝐼 real tal que 𝛼 ∉ 𝐼.
𝒓 ≠ 𝟏
∫
𝐴
(𝑥−𝛼)
𝑟 𝑑𝑥 = 𝐴 ∫( 𝑥 − 𝛼)−𝑟 𝑑𝑥 = 𝐴
(𝑥−𝛼)−𝑟+1
−𝑟+1
+ 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ
em qualquer intervalo nas condições anteriores.
CASO 2
O cálculo de uma primitiva de
𝐵𝑥+𝐶
[(𝑥−𝑎)2+𝑏2] 𝑠
, 𝑏 ∈ ℝ+
, utilizamos a primitivação por
substituição: 𝑔 ∶ ]−
𝜋
2
,
𝜋
2
[ ⟶ ℝ definida por 𝑔( 𝑡) = 𝑎 + 𝑏tg 𝑡, donde:
∫
𝐵(𝑎+𝑏tg 𝑡)+𝐶
[(𝑎+𝑏tg 𝑡−𝑎)
2
+ 𝑏
2
]
𝑠 𝑏sec2
𝑡 𝑑𝑡 = ∫
𝐵𝑎+𝐶+𝐵𝑏tg 𝑡
( 𝑏
2
tg2 𝑡 + 𝑏
2
)
𝑠 𝑏sec2
𝑡 𝑑𝑡 = ∫
𝐵𝑎+𝐶+𝐵𝑏tg 𝑡
( 𝑏
2
sec2 𝑡)
𝑠 𝑏sec2
𝑡 𝑑𝑡
Segue que:
𝒔 = 𝟏
Tem-se ∫
𝐵𝑎+𝐶+𝐵𝑏tg 𝑡
𝑏2
sec2 𝑡
𝑏sec2
𝑡 𝑑𝑡 = ∫
𝐵𝑎+𝐶+𝐵𝑏tg 𝑡
𝑏
𝑑𝑡 = ∫
𝐵𝑎+𝐶
𝑏
+
𝐵𝑏tg 𝑡
𝑏
𝑑𝑡 =
= ∫
𝐵𝑎+𝐶
𝑏
𝑑𝑡 + ∫ 𝐵tg 𝑡 𝑑𝑡 = ∫
𝐵𝑎+𝐶
𝑏
𝑑𝑡 + 𝐵 ∫
sen 𝑡
cos 𝑡
𝑑𝑡 =
𝐵𝑎+𝐶
𝑏
𝑡 − 𝐵ln |cos 𝑡| =
=
𝐵𝑎+𝐶
𝑏
arctg (
𝑥−𝑎
𝑏
) − 𝐵ln
1
√1+𝑥2
+ 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ
(porquê?)
𝒔 ≠ 𝟏
∫
𝐵𝑎+𝐶+𝐵𝑏tg 𝑡
( 𝑏2
sec2 𝑡)
𝑠 𝑏sec2
𝑡 𝑑𝑡 = ∫
𝐵𝑎+𝐶+𝐵𝑏tg 𝑡
𝑏
2𝑠−1 cos2𝑠−2
𝑡 𝑑𝑡 =
=
𝐵𝑎+𝐶
𝑏
2𝑠−1 ∫ cos2𝑠−2
𝑡 𝑑𝑡 +
𝐵
𝑏
2𝑠−2 ∫
sen 𝑡
cos 𝑡
cos2𝑠−2
𝑡 𝑑𝑡 =
=
𝐵𝑎+𝐶
𝑏2𝑠−1 ∫ cos2𝑠−2
𝑡 𝑑𝑡 +
𝐵
𝑏2𝑠−2 ∫ sen 𝑡. cos2𝑠−3
𝑡 𝑑𝑡 =
=
𝐵𝑎+𝐶
𝑏2𝑠−1 ∫ cos2𝑠−2
𝑡 𝑑𝑡 −
𝐵
𝑏2𝑠−2
cos2𝑠−2
2𝑠−2
6
O cálculo de ∫ cos2𝑠−2
𝑡 𝑑𝑡 pode ser feito dado o resultado já visto:
∫ cos 𝑛
𝑡 𝑑𝑡 =
1
𝑛
sen 𝑡 cos 𝑛−1
𝑡 +
𝑛−1
𝑛
∫ cos 𝑛−2
𝑡 𝑑𝑡 em 𝐼 = ℝ
Finalmente, procede-se à substituição de 𝑡 por arctg (
𝑥−𝑎
𝑏
).
 Decomposição de uma fração racional
Toda a fração racional pode ser decomposta na soma de frações simples.
PRÉ-REQUISITOS
Antes de avançarmos neste tópico, é fundamental a recuperação de algumas
ideias sobre polinómios…
Divisão de polinómios
Para efetuar a divisão de polinómios, pode usar-se o algoritmo da divisão, a regra
de Ruffini ou o método dos coeficientes indeterminados.
Exemplo
1. Efetuar a divisão de 𝑥2
+ 3𝑥 − 4 por 𝑥 − 1.
Pela regra de Ruffini, tem-se:
E, assim, o polinómio 𝑥2
+ 3𝑥 − 4 é divisível por 𝑥 − 1 e o quociente da
divisão é 𝑥 + 4.
1
1 3
1
–4
4
1 4 0
Exercício
1. Efetuar a divisão de 𝑥4
+ 2𝑥2
+ 2𝑥 + 1 por 𝑥2
+ 1 pelo:
1.1.
1.2.
Algoritmo da divisão;
Método dos coeficientes indeterminados.
Fatorização/zeros de um polinómio
Dado um polinómio 𝑃:
1. de grau 𝑛, o mesmo tem 𝑛 zeros (reais e/ou complexos).
Os zeros complexos aparecem sempre aos pares de conjugados (se 𝑎 + 𝑏𝑖
é zero, então 𝑎 − 𝑏𝑖 também será).
2. cada um dos seus zeros pode ser simples ou múltiplo.
A multiplicidade de um zero – 𝑘 – de 𝑃 relaciona-se com o facto de o mesmo
zero anular 𝑃 e todas as derivadas até à ordem 𝑘 − 1 e não anular a derivada
de ordem 𝑘. Nesse caso, na fatorização de 𝑃, o fator (𝑥 − 𝑎) ocorre 𝑘 vezes
(𝑎 é o zero). Analogamente, se 𝑃 possuir um par de zeros complexos, 𝑎 + 𝑏𝑖
e 𝑎 − 𝑏𝑖, com multiplicidade 𝑘 ≥ 1, então, na factorização do mesmo, o fator
(𝑥 − 𝑎)2
+ 𝑏2
ocorre exatamente 𝑘 vezes.
7
Exercício
1. Fatorizar o polinómio 𝑥2
+ 2𝑥 + 1 e indicar a multiplicidade das raízes.
Comecemos por considerar dois polinómios, 𝑃 e 𝑄, e a fração racional
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
.
1.ª Étapa
Caso o grau do polinómio 𝑷 seja superior ao do polinómio 𝑸.
Neste caso, devemos efetuar a divisão de 𝑃 por 𝑄. Resulta:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 𝑆( 𝑥) +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
onde 𝑆 é o quociente da divisão e 𝑅 é o resto, ambos polinómios, e o grau de 𝑅 é
menor do que o grau de 𝑄.
Se o problema do grau do numerador em relação ao do denominador não se
impor, podemos avançar diretamente para a etapa que se segue:
2.ª Étapa
Se o grau do denominador for superior ao grau do numerador, a
decomposição na soma de frações simples faz-se da seguinte maneira:
1. Cada raiz real 𝑎 de 𝑄(𝑥) de multiplicidade 𝑘 origina uma soma de 𝑘 frações
simples como se segue:
𝛼1
𝑥−𝑎
+
𝛼2
(𝑥−𝑎)2
+ ⋯ +
𝛼 𝑘
(𝑥−𝑎) 𝑘
2. Cada par de raízes complexas 𝑎 ± 𝑏𝑖, 𝑏 > 0, de multiplicidade 𝑘 origina uma
soma de 𝑘 frações simples como se segue:
𝛽1 𝑥+𝛿1
(𝑥−𝑎)2+𝑏2
+
𝛽2 𝑥+𝛿2
[(𝑥−𝑎)2+𝑏2]2
+ ⋯ +
𝛽 𝑘 𝑥+𝛿 𝑘
[(𝑥−𝑎)2+𝑏2] 𝑘
Finalmente, as constantes 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼 𝑘, 𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽 𝑘 e 𝛿1, 𝛿, … , 𝛿 𝑘 podem ser
determinadas pelo método dos coeficientes indeterminados.
Exemplo
1. Calcular:
∫
𝑥5
𝑥2−1
𝑑𝑥
Dado que o grau do numerador é superior ao grau do denominador, devemos
efetuar a divisão dos polinómios. Utilize-se o método dos coeficientes
indeterminados (aplicado à divisão de polinómios):
𝑥5
= ( 𝑥2
− 1)( 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑) + (𝑒𝑥 + 𝑓) ⇔
⇔ 𝑥5
= 𝑎𝑥5
+ 𝑏𝑥4
+ 𝑐𝑥3
+ 𝑑𝑥2
− 𝑎𝑥3
− 𝑏𝑥2
− 𝑐𝑥 − 𝑑 + 𝑒𝑥 + 𝑓 ⇔
⇔ 𝑥5
= 𝑎𝑥5
+ 𝑏𝑥4
+ ( 𝑐 − 𝑎) 𝑥3
+ ( 𝑑 − 𝑏) 𝑥2
+ ( 𝑒 − 𝑐) 𝑥 + (𝑓 − 𝑑)
Resulta
{
𝑎 = 1
𝑏 = 0
𝑐 − 𝑎 = 0
𝑑 − 𝑏 = 0
𝑒 − 𝑐 = 0
𝑓 − 𝑑 = 0
⇔
{
𝑎 = 1
𝑏 = 0
𝑐 = 1
𝑑 = 0
𝑒 = 1
𝑓 = 0
8
Portanto,
𝑥5
𝑥2−1
= ( 𝑥3
+ 𝑥) +
𝑥
𝑥2−1
(1) e:
𝑥
𝑥2−1
=
𝛼1
𝑥−1
+
𝛼2
𝑥+1
⇔
𝑥
𝑥2−1
=
𝛼1 𝑥+𝛼1+𝛼2 𝑥−𝛼2
𝑥2−1
⇔
𝑥
𝑥2−1
=
(𝛼1+𝛼2)𝑥+(𝛼1−𝛼2)
𝑥2−1
Resulta:
{
𝛼1 + 𝛼2 = 1
𝛼1 − 𝛼2 = 0
⇔ {
𝛼1 = 1
2⁄
𝛼2 = 1
2⁄
(2)
E, finalmente, por (1) e (2):
∫
𝑥5
𝑥2−1
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3
𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥 +
1
2
∫
1
𝑥−1
𝑑𝑥 +
1
2
∫
1
𝑥+1
𝑑𝑥 =
=
𝑥4
4
+
𝑥2
2
+
ln| 𝑥−1|
2
+
ln| 𝑥+1|
2
+ 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ
Exercício
1. Calcular:
∫
2𝑥−3
(𝑥2+1)
2 𝑑𝑥
FIM

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  • 1. 1 CÁLCULO INTEGRAL MIGUEL FERNANDES  MOTIVAÇÃO Dada a expressão que define a velocidade de um corpo num instante 𝑡, como obter a lei 𝑥(𝑡) do movimento? Para dar resposta à pergunta enunciada, importa introduzir um conceito imprescindível no domínio do Cálculo Integral: o conceito de primitiva (ou antiderivada).  NOÇÃO DE PRIMITIVA Dado 𝐼 ⊆ ℝ, dizemos que 𝐹 ∶ 𝐼 ⟶ ℝ é uma primitiva de uma função 𝑓 ∶ 𝐼 ⟶ ℝ se tivermos a igualdade: 𝐹′( 𝑥) = 𝑓( 𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 No contexto das derivadas, sabemos que, dado 𝒞 ∈ ℝ, [ 𝐹( 𝑥) + 𝒞]′ = 𝐹′( 𝑥) = 𝑓( 𝑥). Deste modo, podemos falar numa família de primitivas de uma única função 𝑓. Por outro lado, considerando duas primitivas de 𝑓 em 𝐼, 𝐹1 e 𝐹2, tem-se: ( 𝐹1 − 𝐹2)′ = 𝐹1 ′ − 𝐹2 ′ = 𝑓 − 𝑓 = 0 E, portanto, 𝐹1 − 𝐹2 é uma função constante em 𝐼 (porquê?). Ao conjunto de todas as primitivas de 𝑓 chamamos integral indefinida de 𝑓 em relação a 𝑥. Denota-se ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 Exemplos: 1. A função 𝐹 ∶ ℝ ⟶ ℝ definida por 𝐹( 𝑥) = 𝑥 é uma primitiva da função 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ definida por 𝑓( 𝑥) = 1 (porquê?). 2. A função 𝐺 ∶ [0,2] ⟶ ℝ definida por 𝐺( 𝑥) = { 1 se 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 0 se 1 < 𝑥 ≤ 2 não é primitivável em [0,2]. Se fosse primitivável, então existiria uma função 𝑔 cuja expressão da derivada seria igual a 𝐺( 𝑥). Mas então, 𝑔′(1+) =1 𝑔′ 𝑑 = 0 e 𝑔′(1−) = 𝑔′ 𝑒 = 1 derivadas laterais com valores diferentes, o que contradiz 𝑔′(1) existir. 1 É um resultado do Cálculo Diferencial o facto de a derivada lateral num ponto existir se o limite da função derivada no mesmo ponto existir. 3. Qual a primitiva da função ℎ ∶ ℝ ⟶ ℝ definida por ℎ( 𝑥) = 𝑥2 cujo gráfico contém o ponto de coordenadas (1,3)? Trata-se de um problema de valor inicial. Todas as funções da forma 𝐻( 𝑥) = 𝑥3 3 + 𝒞, com 𝒞 ∈ ℝ, são primitivas da função ℎ (porquê?). Porquê?
  • 2. 2 𝐻(1) = 3, porque o ponto de coordenadas (1,3) pertence ao gráfico da primitiva que procuramos. Ora, 𝐻(1) = 3 ⇔ 13 3 + 𝒞 = 3 ⇔ 𝒞 = 3 − 1 3 = 8 3 Assim, 𝐻( 𝑥) = 𝑥3 3 + 8 3 . Exercício: Recorra ao seu conhecimento sobre derivadas para primitivar mentalmente as seguintes funções (em intervalos a determinar): 1. 3𝑥2 2. −sen 𝑥 3. cos 𝑥 4. 2cos (2𝑥)  PROPRIEDADES DOS INTEGRAIS INDEFINIDOS: ADITIVIDADE E LINEARIDADE  Multiplicação por uma constante: dado 𝑘 ∈ ℝ independente da variável 𝑥, tem-se: ∫ 𝑘𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 Caso particular: 𝑘 = −1 ∫ −𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥  Soma e diferença: ∫[ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔( 𝑥) 𝑑𝑥 demonstração: a cargo do aluno Exemplo: 1. ∫ 8𝑥3 + 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 2 × 4𝑥3 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 4𝑥3 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥4 + 𝒞1 + 𝑥2 + 𝒞2, 𝒞1, 𝒞2 ∈ ℝ No entanto, por uma questão de simplificação, podemos combinar 𝒞1 e 𝒞2 numa única constante, fazendo 𝒞 = 𝒞1 + 𝒞2. Assim, teremos ∫ 8𝑥3 + 2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥4 + 𝑥2 + 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ.  PRIMITIVAS IMEDIATAS São primitivas que se deduzem a partir da inversão das fórmulas de derivação: ∫ 𝑢′𝑢 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑛+1 𝑛+1 + 𝒞 𝑛 ∈ ℝ{−1} ∫ 𝑢′ sen 𝑢 𝑑𝑥 = − cos 𝑢 + 𝒞 ∫ 𝑢′ cos 𝑢 𝑑𝑥 = sen 𝑢 + 𝒞 ∫ 𝑢′ sec2 𝑢 𝑑𝑥 = tg 𝑢 + 𝒞 ∫ 𝑢′ cosec2 𝑢 𝑑𝑥 = −cotg 𝑢 + 𝒞 ∫ 𝑢′ sec 𝑢 tg 𝑢 𝑑𝑥 = sec 𝑢 + 𝒞 ∫ 𝑢′ cosec 𝑢 cotg 𝑢 𝑑𝑥 = −cosec 𝑢 + 𝒞 ∫ 𝑢′ 𝑒 𝑢 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑢 + 𝒞 ∫ 𝑢′ 1+𝑢2 𝑑𝑥 = arctg 𝑢 + 𝒞 = −arccotg 𝑢 + 𝒞 ∫ 𝑢′ 𝑢√ 𝑢2−1 𝑑𝑥 = arcsec 𝑢 + 𝒞 = −arccosec 𝑢 + 𝒞 ∫ 𝑢′ 𝑎 𝑢 𝑑𝑥 = 1 ln 𝑎 𝑎 𝑢 + 𝒞 𝑎 ∈ ℝ+ ∫ 𝑢′ senh 𝑢 𝑑𝑥 = cosh 𝑢 + 𝒞 ∫ 𝑢′ cosh 𝑢 𝑑𝑥 = senh 𝑢 + 𝒞 ∫ 𝑢′ cosech2 𝑢 𝑑𝑥 = −cotgh 𝑢 + 𝒞
  • 3. 3 ∫ 𝑢′ 𝑢 𝑑𝑥 = ln | 𝑢| + 𝒞 ∫ 𝑢′ √1−𝑢2 𝑑𝑥 = arcsen 𝑢 + 𝒞 = − arccos 𝑢 + 𝒞 Tabela 1: algumas primitivas imediatas  TÉCNICAS DE PRIMITIVAÇÃO  Primitivação por partes Sejam 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐼 ⟶ ℝ funções deriváveis. Tem-se: ∫ 𝑓′( 𝑥) 𝑔( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑥) 𝑔( 𝑥) − ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑔′( 𝑥) 𝑑𝑥 Demonstração: Basta atender à fórmula de derivação do produto: ( 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))′ = 𝑓′ (𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥) ⇔ 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) = (𝑓( 𝑥) 𝑔( 𝑥)) ′ − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) E, primitivando ambos os lados da igualdade, fica: ∫ 𝑓′ (𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫( 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))′ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑔′( 𝑥) 𝑑𝑥 ⇔ ⇔ ∫ 𝑓′ (𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑔′( 𝑥) 𝑑𝑥 (dadas as propriedades dos integrais indefinidos). Exemplo: 1. ∫ 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 Faça-se: 𝑓′( 𝑥) = sen 𝑥 ⇒ 𝑓( 𝑥) = − cos 𝑥 𝑔( 𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝑔′( 𝑥) = 1 Resulta que: ∫ 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 + ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 + sen 𝑥 + 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ. Exercício: Calcular: 1. ∫ 𝑒 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 2. ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 3. Mostrar que, para 𝑛 ∈ ℕ ∩ [2, +∞[, ∫ cos 𝑛 𝑡 𝑑𝑡 é calculado, recursivamente, através da fórmula: ∫ cos 𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = 1 𝑛 sen 𝑡 cos 𝑛−1 𝑡 + 𝑛−1 𝑛 ∫ cos 𝑛−2 𝑡 𝑑𝑡 em 𝐼 = ℝ 4. Nas mesmas condições do exercício anterior, mostrar que ∫ sen 𝑛 𝑡 𝑑𝑡 é calculado como se segue: ∫ sen 𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = − 1 𝑛 cos 𝑡 sen 𝑛−1 𝑡 + 𝑛−1 𝑛 ∫ sen 𝑛−2 𝑡 𝑑𝑡 em 𝐼 = ℝ
  • 4. 4  Primitivação por substituição Sejam 𝐼 e 𝐽 dois intervalos reais, 𝑓 ∶ 𝐼 ⟶ ℝ primitivável em 𝐼 e 𝑔 ∶ 𝐽 ⟶ 𝐼 uma função bijetiva diferenciável. Então, se 𝜃 designar uma primitiva de ( 𝑓 ∘ 𝑔) 𝑔′ em 𝐽, tem-se ( 𝜃 ∘ 𝑔−1)′ = 𝑓 em 𝐼 e, portanto, 𝜃 ∘ 𝑔−1 é uma primitiva de 𝑓. Demonstração: Seja 𝐹 uma primitiva de 𝑓 em 𝐼. Então, ( 𝐹 ∘ 𝑔)′ = ( 𝐹′ ∘ 𝑔) 𝑔′ = ( 𝑓 ∘ 𝑔) 𝑔′ = 𝜃′ em 𝐽 e, portanto, ( 𝐹 ∘ 𝑔 − 𝜃)′ = 0 em 𝐽 e, consequentemente, 𝐹 ∘ 𝑔 − 𝜃 é uma função constante nesse intervalo. Mas ( 𝐹 ∘ 𝑔 − 𝜃) ∘ 𝑔−1 = 𝐹 − 𝜃 ∘ 𝑔−1 é também constante em 𝐼 (porquê?) Ou seja, 𝜃 ∘ 𝑔−1 difere de uma primitiva de 𝑓 por uma constante, donde se conclui que 𝜃 ∘ 𝑔−1 é também uma primitiva de 𝑓.  Casos particulares Vejamos como utilizar esta técnica de primitivação em alguns casos particulares: CASO 1 ∫ √𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙, |𝒙| ≤ 𝒂 Utiliza-se a substituição 𝑥 = 𝑎sen 𝑡 ou 𝑥 = acos 𝑡 CASO 2 ∫ √𝒙 𝟐 + 𝒂 𝟐 𝒅𝒙 Utiliza-se a substituição 𝑥 = 𝑎tg 𝑡, 𝑥 = 𝑎cotg 𝑡 ou 𝑥 = 𝑎senh 𝑡 CASO 3 ∫ √𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝒅𝒙, |𝒙| ≥ 𝒂 Utiliza-se a substituição 𝑥 = 𝑎sec 𝑡, 𝑥 = 𝑎cosec 𝑡 ou 𝑥 = 𝑎cosh 𝑡 Exemplo: 1. ∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥, 𝑥 ∈ [−4, 4] (Caso 1) Seja 𝑔 ∶ [− 𝜋 2 , 𝜋 2 ] ⟶ [−2,2] definida por 𝑔( 𝑡) = 2 sen 𝑡 (a ideia é fazer uma substituição que seja vantajosa!) ∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ √4 − (2sen 𝑡)2. 2 cos 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ √4 − 4 sen2 𝑡. 2 cos 𝑡 𝑑𝑡 = = ∫ 2√1 − sen2 𝑡. 2 cos 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 4√cos2 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 =∗ 4 ∫ cos2 𝑡 𝑑𝑡 = = 4 ∫ 1 + cos (2𝑡) 2 𝑑𝑡 = 4 ∫ 1 2 + cos (2𝑡) 2 𝑑𝑡 = 4 ( 1 2 𝑡 + 1 4 sen(2𝑡)) = = 2arcsen ( 𝑥 2 ) + sen (2arcsen ( 𝑥 2 )) =∗ 2 arcsen ( 𝑥 2 ) + 𝑥√4−𝑥2 2 + 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ. Exercício: 1. Calcular: ∫ 𝑥 √1 + 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 𝑒 𝑥+1 ∫ √𝑥2 + 4 𝑑𝑥 *Porquê? Voltando à variável inicial
  • 5. 5  Primitivação de funções racionais  Frações simples Chama-se fração simples a toda fração racional da forma: 𝐴 (𝑥−𝛼) 𝑟 ou 𝐵𝑥+𝐶 [(𝑥−𝑎)2 + 𝑏2] 𝑠 𝑟, 𝑠 ∈ ℕ e 𝛼, 𝑎, 𝑏, 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ CASO 1 O cálculo de uma primitiva de 𝐴 (𝑥−𝛼) 𝑟 faz-se em dependência do número 𝑟: 𝒓 = 𝟏 Tem-se ∫ 𝐴 𝑥−𝛼 𝑑𝑥 = 𝐴 ∫ 1 𝑥−𝛼 𝑑𝑥 = 𝐴 ln|𝑥 − 𝛼| + 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ em qualquer intervalo 𝐼 real tal que 𝛼 ∉ 𝐼. 𝒓 ≠ 𝟏 ∫ 𝐴 (𝑥−𝛼) 𝑟 𝑑𝑥 = 𝐴 ∫( 𝑥 − 𝛼)−𝑟 𝑑𝑥 = 𝐴 (𝑥−𝛼)−𝑟+1 −𝑟+1 + 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ em qualquer intervalo nas condições anteriores. CASO 2 O cálculo de uma primitiva de 𝐵𝑥+𝐶 [(𝑥−𝑎)2+𝑏2] 𝑠 , 𝑏 ∈ ℝ+ , utilizamos a primitivação por substituição: 𝑔 ∶ ]− 𝜋 2 , 𝜋 2 [ ⟶ ℝ definida por 𝑔( 𝑡) = 𝑎 + 𝑏tg 𝑡, donde: ∫ 𝐵(𝑎+𝑏tg 𝑡)+𝐶 [(𝑎+𝑏tg 𝑡−𝑎) 2 + 𝑏 2 ] 𝑠 𝑏sec2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝐵𝑎+𝐶+𝐵𝑏tg 𝑡 ( 𝑏 2 tg2 𝑡 + 𝑏 2 ) 𝑠 𝑏sec2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝐵𝑎+𝐶+𝐵𝑏tg 𝑡 ( 𝑏 2 sec2 𝑡) 𝑠 𝑏sec2 𝑡 𝑑𝑡 Segue que: 𝒔 = 𝟏 Tem-se ∫ 𝐵𝑎+𝐶+𝐵𝑏tg 𝑡 𝑏2 sec2 𝑡 𝑏sec2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝐵𝑎+𝐶+𝐵𝑏tg 𝑡 𝑏 𝑑𝑡 = ∫ 𝐵𝑎+𝐶 𝑏 + 𝐵𝑏tg 𝑡 𝑏 𝑑𝑡 = = ∫ 𝐵𝑎+𝐶 𝑏 𝑑𝑡 + ∫ 𝐵tg 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝐵𝑎+𝐶 𝑏 𝑑𝑡 + 𝐵 ∫ sen 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐵𝑎+𝐶 𝑏 𝑡 − 𝐵ln |cos 𝑡| = = 𝐵𝑎+𝐶 𝑏 arctg ( 𝑥−𝑎 𝑏 ) − 𝐵ln 1 √1+𝑥2 + 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ (porquê?) 𝒔 ≠ 𝟏 ∫ 𝐵𝑎+𝐶+𝐵𝑏tg 𝑡 ( 𝑏2 sec2 𝑡) 𝑠 𝑏sec2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝐵𝑎+𝐶+𝐵𝑏tg 𝑡 𝑏 2𝑠−1 cos2𝑠−2 𝑡 𝑑𝑡 = = 𝐵𝑎+𝐶 𝑏 2𝑠−1 ∫ cos2𝑠−2 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐵 𝑏 2𝑠−2 ∫ sen 𝑡 cos 𝑡 cos2𝑠−2 𝑡 𝑑𝑡 = = 𝐵𝑎+𝐶 𝑏2𝑠−1 ∫ cos2𝑠−2 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐵 𝑏2𝑠−2 ∫ sen 𝑡. cos2𝑠−3 𝑡 𝑑𝑡 = = 𝐵𝑎+𝐶 𝑏2𝑠−1 ∫ cos2𝑠−2 𝑡 𝑑𝑡 − 𝐵 𝑏2𝑠−2 cos2𝑠−2 2𝑠−2
  • 6. 6 O cálculo de ∫ cos2𝑠−2 𝑡 𝑑𝑡 pode ser feito dado o resultado já visto: ∫ cos 𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = 1 𝑛 sen 𝑡 cos 𝑛−1 𝑡 + 𝑛−1 𝑛 ∫ cos 𝑛−2 𝑡 𝑑𝑡 em 𝐼 = ℝ Finalmente, procede-se à substituição de 𝑡 por arctg ( 𝑥−𝑎 𝑏 ).  Decomposição de uma fração racional Toda a fração racional pode ser decomposta na soma de frações simples. PRÉ-REQUISITOS Antes de avançarmos neste tópico, é fundamental a recuperação de algumas ideias sobre polinómios… Divisão de polinómios Para efetuar a divisão de polinómios, pode usar-se o algoritmo da divisão, a regra de Ruffini ou o método dos coeficientes indeterminados. Exemplo 1. Efetuar a divisão de 𝑥2 + 3𝑥 − 4 por 𝑥 − 1. Pela regra de Ruffini, tem-se: E, assim, o polinómio 𝑥2 + 3𝑥 − 4 é divisível por 𝑥 − 1 e o quociente da divisão é 𝑥 + 4. 1 1 3 1 –4 4 1 4 0 Exercício 1. Efetuar a divisão de 𝑥4 + 2𝑥2 + 2𝑥 + 1 por 𝑥2 + 1 pelo: 1.1. 1.2. Algoritmo da divisão; Método dos coeficientes indeterminados. Fatorização/zeros de um polinómio Dado um polinómio 𝑃: 1. de grau 𝑛, o mesmo tem 𝑛 zeros (reais e/ou complexos). Os zeros complexos aparecem sempre aos pares de conjugados (se 𝑎 + 𝑏𝑖 é zero, então 𝑎 − 𝑏𝑖 também será). 2. cada um dos seus zeros pode ser simples ou múltiplo. A multiplicidade de um zero – 𝑘 – de 𝑃 relaciona-se com o facto de o mesmo zero anular 𝑃 e todas as derivadas até à ordem 𝑘 − 1 e não anular a derivada de ordem 𝑘. Nesse caso, na fatorização de 𝑃, o fator (𝑥 − 𝑎) ocorre 𝑘 vezes (𝑎 é o zero). Analogamente, se 𝑃 possuir um par de zeros complexos, 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑎 − 𝑏𝑖, com multiplicidade 𝑘 ≥ 1, então, na factorização do mesmo, o fator (𝑥 − 𝑎)2 + 𝑏2 ocorre exatamente 𝑘 vezes.
  • 7. 7 Exercício 1. Fatorizar o polinómio 𝑥2 + 2𝑥 + 1 e indicar a multiplicidade das raízes. Comecemos por considerar dois polinómios, 𝑃 e 𝑄, e a fração racional 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) . 1.ª Étapa Caso o grau do polinómio 𝑷 seja superior ao do polinómio 𝑸. Neste caso, devemos efetuar a divisão de 𝑃 por 𝑄. Resulta: 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) = 𝑆( 𝑥) + 𝑅(𝑥) 𝑄(𝑥) onde 𝑆 é o quociente da divisão e 𝑅 é o resto, ambos polinómios, e o grau de 𝑅 é menor do que o grau de 𝑄. Se o problema do grau do numerador em relação ao do denominador não se impor, podemos avançar diretamente para a etapa que se segue: 2.ª Étapa Se o grau do denominador for superior ao grau do numerador, a decomposição na soma de frações simples faz-se da seguinte maneira: 1. Cada raiz real 𝑎 de 𝑄(𝑥) de multiplicidade 𝑘 origina uma soma de 𝑘 frações simples como se segue: 𝛼1 𝑥−𝑎 + 𝛼2 (𝑥−𝑎)2 + ⋯ + 𝛼 𝑘 (𝑥−𝑎) 𝑘 2. Cada par de raízes complexas 𝑎 ± 𝑏𝑖, 𝑏 > 0, de multiplicidade 𝑘 origina uma soma de 𝑘 frações simples como se segue: 𝛽1 𝑥+𝛿1 (𝑥−𝑎)2+𝑏2 + 𝛽2 𝑥+𝛿2 [(𝑥−𝑎)2+𝑏2]2 + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑥+𝛿 𝑘 [(𝑥−𝑎)2+𝑏2] 𝑘 Finalmente, as constantes 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼 𝑘, 𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽 𝑘 e 𝛿1, 𝛿, … , 𝛿 𝑘 podem ser determinadas pelo método dos coeficientes indeterminados. Exemplo 1. Calcular: ∫ 𝑥5 𝑥2−1 𝑑𝑥 Dado que o grau do numerador é superior ao grau do denominador, devemos efetuar a divisão dos polinómios. Utilize-se o método dos coeficientes indeterminados (aplicado à divisão de polinómios): 𝑥5 = ( 𝑥2 − 1)( 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑) + (𝑒𝑥 + 𝑓) ⇔ ⇔ 𝑥5 = 𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 + 𝑑𝑥2 − 𝑎𝑥3 − 𝑏𝑥2 − 𝑐𝑥 − 𝑑 + 𝑒𝑥 + 𝑓 ⇔ ⇔ 𝑥5 = 𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + ( 𝑐 − 𝑎) 𝑥3 + ( 𝑑 − 𝑏) 𝑥2 + ( 𝑒 − 𝑐) 𝑥 + (𝑓 − 𝑑) Resulta { 𝑎 = 1 𝑏 = 0 𝑐 − 𝑎 = 0 𝑑 − 𝑏 = 0 𝑒 − 𝑐 = 0 𝑓 − 𝑑 = 0 ⇔ { 𝑎 = 1 𝑏 = 0 𝑐 = 1 𝑑 = 0 𝑒 = 1 𝑓 = 0
  • 8. 8 Portanto, 𝑥5 𝑥2−1 = ( 𝑥3 + 𝑥) + 𝑥 𝑥2−1 (1) e: 𝑥 𝑥2−1 = 𝛼1 𝑥−1 + 𝛼2 𝑥+1 ⇔ 𝑥 𝑥2−1 = 𝛼1 𝑥+𝛼1+𝛼2 𝑥−𝛼2 𝑥2−1 ⇔ 𝑥 𝑥2−1 = (𝛼1+𝛼2)𝑥+(𝛼1−𝛼2) 𝑥2−1 Resulta: { 𝛼1 + 𝛼2 = 1 𝛼1 − 𝛼2 = 0 ⇔ { 𝛼1 = 1 2⁄ 𝛼2 = 1 2⁄ (2) E, finalmente, por (1) e (2): ∫ 𝑥5 𝑥2−1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 1 2 ∫ 1 𝑥−1 𝑑𝑥 + 1 2 ∫ 1 𝑥+1 𝑑𝑥 = = 𝑥4 4 + 𝑥2 2 + ln| 𝑥−1| 2 + ln| 𝑥+1| 2 + 𝒞, 𝒞 ∈ ℝ Exercício 1. Calcular: ∫ 2𝑥−3 (𝑥2+1) 2 𝑑𝑥 FIM