O capítulo resume as características e resolução de equações e inequações racionais e irracionais, incluindo operações com funções racionais como soma, diferença, produto, quociente e função composta. Explica também como determinar se uma função tem inversa e como construir a expressão analítica da inversa.

1. Cap. I Fun¸oes Racionais
c˜
1- Caracter´
ısticas
Defini¸˜o: Uma fun¸ao f (x) ´ uma fun¸ao racional se
ca
c˜
e
c˜
f (x) =
p(x)
q(x)
tal que p(x) e q(x) s˜o polin´mios.
a
o
Dom´
ınio: O dom´
ınio de uma fun¸ao racional f (x) =
c˜
p(x)
q(x)
´:
e
Df = {x ∈ IR : q(x) = 0}
2- Equa¸oes Racionais
c˜
Para resolver uma equa¸˜o deste tipo basta seguir os seguintes passos:
ca
Passar tudo para um dos membros da equa¸ao;
c˜
Colocar tudo ao mesmo denominador e simplificar a express˜o. Fica do tipo
a
p(x)
=0
q(x)
As solu¸oes da equa¸ao s˜o todos os valores que anulam o numerador e n˜o anulam o
c˜
c˜ a
a
denominador, isto ´:
e
p(x) = 0 ∧ q(x) = 0
3- Inequa¸oes Racionais
c˜
A resolu¸ao de uma inequa¸˜o racional tem as seguintes etapas:
c˜
ca
Passar tudo para um dos membros da inequa¸ao;
c˜
Colocar tudo ao mesmo denominador e simplificar a express˜o. Fica do tipo
a
p(x)
≥0
q(x)
(O sinal ≥ serve apenas como exemplo pode tamb´m ser >, < ou ≤);
e
Calcular as raizes do numerador e denominador;
Introduzir as raizes obtidas por ordem crescente na primeira linha dum quadro de sinais.
Nas segunda e terceira introduz-se a p(x) e q(x) respectivamente. E na ultima linha a fun¸˜o
´
ca
p(x)
;
q(x)
Preencher adequadamente o quadro de sinais obedecendo `s caracteristicas das fun¸oes
a
c˜
p(x) e q(x) tal como `s regras de sinais na divis˜o.
a
a
Para terminar, basta observar os sinais da ultima linha e escolher o intervalo solu¸˜o
´
ca
com base na desigualdade obtida no segundo passo.
Cap. II Fun¸˜es Irracionais
co
1- Caracter´
ısticas
Defini¸˜o:Uma fun¸˜o f (x) ´ uma fun¸˜o irracional se
ca
ca
e
ca
f (x) =
1
n
p(x)

2. tal que p(x) ´ um polin´mio.
e
o
Dom´
ınio: O dom´
ınio de uma fun¸ao irracional f (x) =
c˜
Df = IR se n for ´
ımpar;
Df = {x ∈ IR : p(x) ≥ 0} se n for par;
n
p(x) ´:
e
2- Equa¸oes Irracionais
c˜
Para resolver uma equa¸˜o deste tipo basta seguir os seguintes passos:
ca
Passar a express˜o com raiz para um dos membros da equa¸ao e o resto para o outro
a
c˜
membro;
Elevar ao quadrado ambos os membros e resolver a equa¸˜o resultante;
ca
Deve-se substituir as solu¸oes obtidas na equa¸ao inicial de modo a confirmar se s˜o
c˜
c˜
a
v´lidas.
a
Cap. III Opera¸oes com Fun¸oes
c˜
c˜
1- Definir fun¸˜es e Dom´
co
ınios
Sempre que se define uma fun¸˜o deve-se indicar o seu dom´ e tamb´m a sua express˜o
ca
ınio
e
a
analitica:
f : Dom´
ınio −→
IR
x
→ express˜o
a
Obs.: Recorde que s˜o duas as situa¸oes em que ´ necess´rio o c´lculo de dom´
a
c˜
e
a
a
ınios:
•Denominadores diferentes de zero;
•Express˜es dentro de ra´ de ´
o
ızes
ındice par maiores ou iguais que zero.
2- Soma, Diferen¸a, Produto e Quociente de Fun¸oes
c
c˜
Soma: Quanto ` express˜o anal´
a
a
ıtica (f + g)(x) = f (x) + g(x);
e o dom´
ınio Df +g = Df ∩ Dg .
Diferen¸a: Quanto ` express˜o anal´
c
a
a
ıtica (f − g)(x) = f (x) − g(x);
e o dom´
ınio Df −g = Df ∩ Dg .
Produto: Quanto ` express˜o anal´
a
a
ıtica (f × g)(x) = f (x) × g(x);
e o dom´
ınio Df ×g = Df ∩ Dg .
Quociente: Quanto ` express˜o anal´
a
a
ıtica ( f )(x) =
g
f (x)
;
g(x)
e o dom´
ınio D f = Df ∩ Dg ∩ {x ∈ IR : g(x) = 0}.
g
Obs.: Resumindo, para o c´lculo do dom´
a
ınio da Soma, Diferen¸a e Produto basta interc
ceptar os dom´
ınios das fun¸oes. No caso do Quociente ´ ainda necess´rio retirar todos os
c˜
e
a
zeros da fun¸ao do denominador.
c˜
3- Fun¸˜o Composta
ca
Para obter a express˜o anal´
a
ıtica de f og basta substituir x por g(x) na fun¸ao de f :
c˜
f og(x) = f (g(x))
O dom´
ınio calcula-se interceptando os pontos do dom´
ınio da fun¸ao g (de dentro) com os
c˜
valores de g(x) que pertencem ao dom´
ınio de f (de fora):
2

3. Df og = {x ∈ IR : x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df }
Duas fun¸oes f e g s˜o ditas permut´veis se f og = gof (os dom´
c˜
a
a
ınios e as express˜es
o
anal´
ıticas s˜o iguais).
a
4- Fun¸˜o Inversa
ca
Uma fun¸ao f tem inversa se for injectiva, ou seja, se a duas abcissas (x) distintas
c˜
corresponderem duas ordenadas (y) distintas.
Analiticamente f ´ injectiva se f (x1 ) = f (x2 ) e ao simplificar as express˜es se obt´m
e
o
e
x1 = x2 . Para provar que uma fun¸˜o n˜o ´ injectiva basta que tenha dois valores disitintos
ca a e
de x com a mesma imagem.
Graficamente o teste das rectas horizontais permite testar se um uma fun¸ao ´ injectiva.
c˜ e
Se n˜o existir uma unica recta horizontal que ”toque”na fun¸ao mais que uma vez ent˜o esta
a
´
c˜
a
´ injectiva.
e
Não Injectiva
Injectiva
Passos para a constru¸˜o da express˜o da inversa f −1 de uma fun¸˜o f :
ca
a
ca
Igualar a fun¸˜o f a y;
ca
Isolar x;
Trocar x por y.
Obs.: O contradom´
ınio de uma fun¸˜o f ´ igual ao dom´
ca
e
ınio da sua inversa f −1 (e viceversa).
Para obter o gr´fico da inversa de uma fun¸ao f basta fazer uma simetria do gr´fico de f
a
c˜
a
em rela¸ao ` bissectriz dos quadrantes ´
c˜ a
ımpares y = x.
Cap. IV Tipos de Inequa¸oes
c˜
Essencialmente existem trˆs tipos de inequa¸oes a considerar:
e
c˜
Inequações
Grau 1
Grau 2
Outras
−tal como as equações −isolar a expressão num dos membros −isolar a expressão num dos membros
−calcular zeros com fórmula resolvente −passar ao mesmo denominador e simplificar
−calcular zeros do numerador e denominador
−desenhar a parábola
−construir quadro de sinais
3