O documento discute os tipos de erros que podem ocorrer em cálculos numéricos, como erros de arredondamento, truncamento e representação. Explica que erros estão sempre presentes devido à imprecisão dos dados e aproximações necessárias nos métodos numéricos. Também aborda a propagação dos erros e formas de se estimar erros absolutos e relativos.

1. Cálculo Numérico
Erros
Período: 2008/01
UFAM/ICE/DCC
Profª.: Valinda Maia

2. ERROS
Cálculo Numérico – Introdução

3. Erros
 Existem vários tipos de erros e várias
são as suas causas
 Por erro é entendida a diferença entre o
valor real de uma dada grandeza e
aquela que é obtida

4. Erros
 Logo, erro é um conceito filosófico: se
não conhecemos o valor real de uma
dada grandeza, como podemos saber a
diferença entre este valor e o obtido por
algum método de medição ou de
cálculo?
 Modernamente muitos preferem usar o
termo incerteza do que erro

5. Erros - Existência
Erros estão sempre presentes nas soluções
numéricas
 Dados representados por intervalo:
imprecisão na medição ou incerteza sobre o
valor verdadeiro
 Exemplo: 50,3 ± 0,2 cm
Erro Inerente

6. Erro Inerente
 Aparecem na criação ou simplificação de um
modelo matemático de determinado sistema,
ou ainda nas medidas, em geral.
 Os valores de medidas como tempo,
temperatura, distância, intensidade luminosa,
entre outros, são obtidos de instrumentos
que tem precisão limitada
 Sobre tais erros o analista numérico não tem
meios de evitá-los ou meios de minimizar os
seus efeitos

7. Erros - Existência
Erros estão sempre presente nas soluções numéricas
 os métodos numéricos geralmente são
aproximados, iterativos, buscando minimizar o erro
Erro de truncamento

8. Erro de Truncamento
 São erros cometidos quando se
substitui qualquer processo infinito
por um processo finito ou discreto
 Quando isso acontece, partes dos
processo são desprezados

9. Erro de Truncamento
 Quando representamos números reais
utilizando o sistema decimal ou binário
(utilizado por computadores) de um modo
geral. Ao executarmos algumas operações, o
resultado pode necessitar de um número
muito grande de dígitos (até mesmo um
número infinito de dígitos, no caso de
números irracionais) para representar com
exatidão

10. Erro de Truncamento
 O que ocorre é a limitação do número
de dígitos de modo que o erro
introduzido seja desprezível para o
propósito a que se destina o cálculo
efetuado
 Para amenizar o erro introduzido por
truncamento, é procedimento normal
arredondar o número

11. Erros - Existência
Erros estão sempre presente nas soluções numéricas
 a representação dos números reais, com um número
finito de dígitos, dependem da máquina utilizada
podendo exigir aproximações (lembremos que um
número, pode ter representação finita em uma base e
não finita em outra)
Erro de Representação.

12. Erros - Existência
Erros estão sempre presente nas soluções numéricas.
 A conversão de bases pode acarretar erros.
Erro de Conversão
Operações com dados imprecisos / incertos
acarretam propagação do erro.

13. Erros - Existência
Ex. 01: Calcular a área de uma circunferência de
raio 100 m
 =  r 2
Resultados:
P/  =3,14 (1) A = 31400 m2
 =3,1416 (2) A = 31416 m2
 =3,141592654 (3) A = 31414,92654 m2

14. Erros - Existência
(1) A = 31400 m2
(2) A = 31416 m2
(3) A = 31414,92654 m2
Como justificar as diferentes áreas calculadas?
Os resultados dos cálculos realizados dependem da
representação dos números nas máquinas utilizadas.
 não tem representação finita, sempre será representado
de forma aproximada: 3,14, 3,1416 e 3,141592654, para os
cálculos 1,2 e 3, respectivamente.

15. Erros - Existência
Ex. 02: Calcular usando uma calculadora e um
computador:
, para xi = 0,5 e xi = 0,11



3000
1
i
i
x
S
Resultados:
para xi=0,5 calculadora: S= 15000
computador: S= 15000
para xi =0,11 calculadora: S= 3300
computador: S=3299.99691

16. Erros - Existência
Resultados:
para xi=0,5 calculadora: S= 15000
computador: S=15000
para xi =0,11 calculadora: S= 3300
computador: S= 3299.99691
Os resultados dos cálculos realizados dependem da
representação dos números nas máquinas utilizadas.
(0,11)10 = (0,000111 )2 = (0,109375 )10
(0,11)10 não tem representação finita na base 2.

17. Erros - Existência
Ex.03: Fazer a conversão de O,1 de base 10
para a base 2
(O,1)10 = (0,00011001100110011...)2
(O,1)10 não tem representação exata na base 2.
A representação de um número depende da base em uso e do
número máximo de dígitos usados na sua representação.

18. Erros - Tipos
 Absoluto
 Relativo
Quanto menor for o erro, mais preciso
será o resultado da operação
 Truncamento
 Arredondamento

19. Erros – Arredondamento
Ex. 05: Seja: calcular em uma máquina digital
Não existe uma forma de representar um número
irrracional com um número finito de algarismos.
Portanto, o número apresentado pela
calculadora é uma aproximação do valor real de
(1,41421356....). O erro introduzido é chamado
erro de arredondamento
2
2

20. Erros –Truncamento
Ex. 06: Seja: calcular o valor de .
Sabemos que a exponencial é uma função que
pode ser representada por uma série infinita,
.....
4!
x
3!
x
2!
x
x
1
e
4
3
2
x






x
e

21. Erros –Truncamento
na prática, é impossível calcular seu valor
exato. Tem que se fazer uma aproximação, que
levará a um erro no resultado final de ex. O erro
introduzido é chamado erro de truncamento.
.....
4!
x
3!
x
2!
x
x
1
e
4
3
2
x







22. Erros – Absoluto e Relativo
 Erro Absoluto = Valor Exato – Valor Aproximado
EAx = x –
 Erro Relativo = Erro Absoluto / Valor Aproximado
ERx = (x – ) /
Obs.: Erro Porcentualx = ERx x 100
x
x
x

23. Erros – Absolutos
Em geral, não é possível obter EAx, pois não se
conhece x.
A solução é obter um limitante superior ou uma
estimativa do erro absoluto.
|EAx| = |x - | < limitante superior
EX. 01: Para  (3.14 ,3.15)
|EA  | = | | < 0.01
x
π
π 

24. Erros – Absolutos
Ex. 04: Para = 2112,9 com |EAx| < 0.1
temos x (2112,8, 2113),
Para = 5.3 com |EAx| < 0.1
temos y  (5.2,5.4)
Temos mesmos limitantes superiores. Pode-se
afirmar que x e y são representados com a mesma
precisão?
É preciso comparar a ordem de grandeza de x e y.
x
y

25. Erros – Relativos
Dependendo da ordem de grandeza o erro
absoluto não é suficiente para descrever a
precisão de um cálculo.
Erro Relativo

26. Erros – Relativos
Ainda, no Ex. 04:
Para = 2112,9 com |EAx| < 0.1
|EAx| = |x - | / | | = 0.1/2112.9  4.7 x 10-5
Para = 5.3 com |EAx| < 0.1
|EAy| = |y - | / | | = 0.1/5.3  0.02
Mostramos que X é representado com maior
precisão que y
x
y
y
y
x
x

27. Erros – Propagação
Ao se resolver um problema numericamente, a cada etapa e
a cada operação realizada, devem surgir diferentes tipos de
erros gerados das mais variadas maneiras, e estes erros se
propagam e determinam o erro no resultado final obtido.
Conhecer os efeitos da propagação de erros é muito
importante pois, além de determinar o erro final de uma
operação numérica, pode-se conhecer a sensibilidade de
um determinado problema ou método numérico.

28. Conversão de números
 Representação de inteiros
 Base decimal (10)
 10 dígitos disponíveis [0,1,2, ... ,9]
 “Posição” indica potência positiva de 10
 5432 = 5x103 + 4x102 + 3x101 + 2x100

29. Conversão de números
 Representação de inteiros
 Base binária (2)
 2 “bits” disponíveis [0,1]
 “Posição” indica potência positiva de 2
 1011 na base 2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 =
8+0+2+1 = 11 na base decimal

30. Conversão de números
 Representação de números fracionários
 Base decimal (10)
 “Posição” da parte inteira indica potência positiva
de 10
 Potência negativa de 10 para parte fracionária
 54,32 = 5x101 + 4x100 + 3x10-1 + 2x10-2

31. Conversão de números
 Representação de números fracionários
 Base binária (2)
 “Posição” da parte inteira indica potência positiva
de 2
 Potência negativa de 2 para parte fracionária
 10,11 na base 2 = 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-
2 = 2+0+1/2+1/4 = 2,75 na base decimal

32. Conversão de números inteiros
 Binário para decimal
 Já visto
 Inteiro decimal para binário
 Divisão inteira (do quociente) sucessiva por 2, até que
resto seja = 0 ou 1
 Binário = composição do último quociente (Bit Mais
Significativo – BMS) com restos (primeiro resto é bit
menos significativo – bms)

33. Conversão de números inteiros
 Exemplo: Converter 25 decimal para binário
 25 / 2 = 12 (quociente) e resto 1=bms
 12 / 2 = 6 (quociente) e resto 0
 6 / 2 = 3 (quociente) e resto 0
 3 / 2 = 1 (último quociente=BMS) e resto 1
 Binário = 1 1 0 0 1
= 1x24 + 1x24 + 0x22 + 0x21 + 1x20
= 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25 decimal

34. Conversão de números inteiros

35. Conversão de fração
 Operação inversa: multiplicar parte
fracionária por 2 até que parte
fracionária do resultado seja 0 (zero)
 Bits da parte fracionária derivados das
partes inteiras das multiplicações
 Bit imediatamente à direita da vírgula =
Parte inteira da primeira multiplicação

36. Conversão de fração
 Exemplo: converter 0,625 decimal para binário
 0,625 x 2 = 1,25 logo a primeira casa fracionária é
1 ; nova fração (resto) é 0,25 (1,25-1=0,25)
 0,25 x 2 = 0,5 segunda casa é 0 ; resto é 0,5
 0,5 x 2 = 1,0 terceira casa é 1 ; resto é zero.
 Resultado: 0,62510 = 0,1012

37. Conversão de fração
 Para converter um número com parte
inteira e parte fracionária, fazer a
conversão de cada parte,
separadamente.

38. Conversão de inteiro e fração
(8,375)10 = ( ? )2

39. Representação em
ponto flutuante
 Representação pode variar (“flutuar”) a
posição da vírgula, ajustando potência
da base.
 54,32 = 54,32 x 100 = 5,432 x 101 =
0,5432 x 102 = 5432,0 x 10-2
 Forma normalizada usa um único dígito
antes da vírgula, diferente de zero
 Exemplo: 5,432 x 101

40. Representação em pto flutuante
 No sistema binário:
 110101 = 110,101x23 = 1,10101x25 =
0,0110101x27
 No caso dos números serem armazenados em um
computador, os expoentes serão também
gravados na base dois
 Como 310 = 112 e 7=1112
 110,101 x (10)11 = 1,10101x(10)101 = 0,0110101x(10)111
 Na representação normalizada, há apenas um “1”
antes da vírgula
 Exemplo: 1,10101x(10)101

41. Representação em pto flutuante
 Algumas definições
 No número 1,10101x(10)101 , tomado como
referência:
 1,10101 = significando (antiga “mantissa”)
 101 = expoente
 OBS:
 a base binária não precisa ser explicitada
(o computador usa sempre esta)
 O “1” antes da vírgula, na representação
normalizada – se esta for adotada, também pode
ficar implícito, economizando um bit (“bit
escondido”).

42. Armazenamento de float
 Na organização/arquitetura do
computador, definir:
 Número de bits do significando (precisão, p)
 Número de bits do expoente
 Um bit (“0” para + e “1” para -) de sinal
(tipicamente o primeiro, da esquerda)

43. Armazenamento de float
 Ilustração
 Sinal do número: 0 = + e 1 = -
 Expoentes: 8 combinações possíveis
 Sinal do Número: Bit 6: 0 = + e 1 = -
Bit 7 Bit 6 Bit 5 Bit 4 Bit 3 Bit 2 Bit 1 Bit 0
Expoente (+/-) Significando
Sinal

44. Armazenamento de float
000 (especial)
001
010
011
100
101
110
111 (especial)
Bit 7 Bit 6 Bit 5 Bit 4 Bit 3 Bit 2 Bit 1 Bit 0
Expoente (+/-)
Sinal
0 = +
1 = -
1,0000
1,0001
....
....
1,1111
1 = bit escondido
Significando

45. Arquitetura de 32 bits
 Alocaremos 4 bytes para representar o
número, totalizando 32 bits;
 O primeiro bit do primeiro byte (bit 0)
representará o sinal do número (0 positivo e 1
negativo);
 Os bits de 1 a 7 (7 bits) representarão a
característica (expoente), sendo que o bit 1
representará o sinal do expoente e os bits de 2
a 8 representarão o módulo do expoente;
 Os bits 8 a 31 (24 bits) representarão a
mantissa.

46. Erros e Representação de Nºs
Fim da Primeira Parte