Conjuntos numericos

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Conjuntos numericos

  1. 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Símbolos Matemáticos a, b, ... variáveis e parâmetros = igual A, B, ... conjuntos ≠ diferente ∈ pertence a > maior que ∉ não pertence < menor que ⊂ está contido ≥ maior ou igual a ⊄ não está contido ≤ menor ou igual a ⊃ contém !n fatorial ⊃ não contém Σ somatório ∃ existe Π produtório ∃ não existe ∞ infinito ∃| existe apenas um / existe um único ∫ integral | tal que lim limite ∀ todo, qualquer log logaritmo ⇒ implica (se então) ln logaritmo natural (neperiano) ⇔ equivale (se e somente se) números naturais ∪ união de conjuntos números inteiros ∩ interseção de conjuntos números racionais ∅ Conjunto vazio números reais ∨ ou ∧ e ~ negação (lógica)
  2. 2. Propriedades das desigualdades: a) Se a > b e b > c ⇒ a > c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2 b) Seja a > b : • Se c >0 ⇒ a . c > b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2 • Se c < 0 ⇒ a . c < b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = -2 c) a > b ⇒ a + c > b +c , ∀ c ∈ R d) a > b e c > d ⇒ a + c > b + d Ex. a = 3 , b = 2 , c = - 3, d = - 4 e) Se a > b > 0 e c > d >0 ⇒ a . c > b. d Valor Absoluto O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre ele e a origem, independentemente do sentido.    <− ≥ = 0, 0a, asea sea a Propriedades do Valor Absoluto • 000 =⇔=≥ aaea • 22 aa = • aa =2 • a < b, b > 0 ⇔ - b < a < b •  a > b, b > 0 ⇔ a > b ou a < -b ou • | a | = b, b > 0 ⇔ a = b ou a = -b • Se a, b ∈ R ⇒ | a . b | = | a | . | b | • Se a, b ∈ R , b ≠ 0 ⇒ a b a b = • Se a, b ∈ R ⇒ | a + b | ≤ | a | + | b | (Desigualdade Triangular) • Se a, b ∈ R ⇒ | a | - | b | ≤ | a - b | ≤ | a | + | b |
  3. 3. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Introdução Tudo que será desenvolvido está baseado nas propriedades dos números reais. Acreditamos ser imprescindível que você tenha essas propriedades bem conhecidas. O conjunto dos números naturais ( ) é formado pelos números 0,1,2,... = { 0,1,2,3,...}. O conjunto dos números inteiros ( ) é formado pelos números naturais acrescido dos números - 1,-2,-3,... . = { .....,-3,-2,-1,0,1,2,3,....} O conjunto dos números racionais ( ) é formado pelos números na forma a/b, onde a e b são inteiros com b≠ 0. = { .....,-3,-2,-1, 2 1 − ,0, 2 1 ,1,2,3,....} Utilizando o elemento genérico, podemos escrever, de modo mais simples, =       ∈∈ * ZbeZa| b a O conjunto dos números irracionais ( I ) é formado pelos números cuja representação decimal infinita não é periódica. Ex: 2 = 1,4142136... 3 = 1,7320508... π = 3,1415926... O conjunto dos números reais ( ) é formado pelos números racionais e pelos números irracionais. IQ U= , sendo =IQ I ∅ Regras Básicas Em estão definidas duas operações: a adição e a multiplicação. Para os números reais a e b associa-se um único número real, a + b, chamado soma de a e b. Para os números reais a e b associa-se um único número real, ba ⋅ , chamado produto de a e b. As propriedades básicas das operações de adição e multiplicação são dadas a seguir:
  4. 4. • Propriedade comutativa Quaisquer que sejam os números reais a e b, tem-se: a + b = b + a a. b = b. a • Propriedade associativa Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, tem-se (a + b) + c = a + ( b + c) (ab)c = a(bc) • Elemento Neutro Existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, tais que, para qualquer número real a, tem-se: a + 0 = a a . 1 = a • Elemento oposto e elemento inverso Existem únicos números reais, indicados – a ( chamado oposto) e a 1 ( a ≠ 0) (chamado inverso), tal que a + (–a) = 0 a . a 1 = 1 • Propriedade distributiva Quaisquer que sejam a,b e c reais, tem-se a (b + c ) = ab + ac (b + c) a = ba + ca Partindo dessas propriedades, apresentaremos alguns resultados: Cancelamento se a + b = a + c então b = c se ab = ac e 0a ≠ então b = c Anulamento a.0 = 0, para todo a pertencente a para quaisquer a e b de , se ab = 0, então a = 0, ou b = 0. Regras de sinal para quaisquer a e b de –( –a) = a (–a)b = – (ab) = a(–b) (–a)(–b) = ab
  5. 5. Subtração A diferença de b e a, indicada por b – a, é definida por b – a = b + (– a), para quaisquer a e b reais. A regra dos sinais nos diz: – ( a + b) = – a – b Divisão O quociente de b por a, onde a≠ 0, indicado por a b , onde b é o numerador e a o denominador. Também é chamado fração a b . É PROIBIDO DIVIDIR POR ZERO!! Soma de frações: c ba c b c a ± =± (c ≠ 0) bd bcad d c b a ± =± (b ≠ 0, d ≠ 0) Produto de frações: bd ac d c b a =⋅ (b ≠ 0, d ≠ 0) Quociente de frações: d c b a = c d b a ⋅ (b ≠ 0, d ≠ 0 e c ≠ 0) Bibliografia: 1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São Paulo, 2002. 2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 1. Atual editora. São Paulo, 2000.
  6. 6. EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS 1) Quais das proposições são verdadeiras? a) 3 ∈ d) 2 1 ∈ b) N ⊂ e) 4 ∈ c) Z ⊂ f) 3 ∈ 2) Complete, usando as propriedades especificadas: a) 32 . 45 = (comutativa) b) 5(2 +3 ) = (distributiva) c) 7 + 0 = (elemento neutro) d) 3 . 3 1 = (elemento inverso) 3) Efetue: a) (-4)(-3)=.......... b) (2)(-4)(3) =.............. c) (-3)6 =............... 4) Complete com verdadeiro ou falso, para todo a real: ( ) – (– a + 3) = a + 3 ( ) – (1 – a) = –1 + a ( ) –2 – a = – (2 + a) 5) Efetue: a) =+ 3 7 3 1 b) =− 7 3 5 2 c) -2 3 2 + 4 1 = d) =+− 5 1 4 3 3 2 e) =⋅ 3 4 5 8 f) =      −⋅      − 8 6 3 1 g) = 8 3 10 12 h) = − 7 2 3 2 i) Sendo 0bcd ≠ , cd a bc a − =
  7. 7. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÈRICOS INTRODUÇÃO: 1)a) V b) V c) V d) V e) V f) V PROPRIEDADES 2) a) 45.32 b) 5.2 + 5.3 c) 0 + 7 = 7 d) 1 EFETUE 3) a) 12 b) – 24 c) – 18 REGRA DE SINAL 4) a) F b) V c) V EFETUE 5) a) 8 3 b) 14 15 1 35 35 − = − c) 8 1 32 3 29 3 4 12 12 − + − + = = − d) 40 45 12 52 45 7 60 60 60 − + − = = e) 32 15 f) 1 4 g) 12 3 12 8 16 . 10 8 10 3 5 ÷ = = h) 2 2 2 7 7 . 3 7 3 2 3 − ÷ = − = − i) ( )ad ab a d b bcd bcd − − =

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