Matemática Computacional - Unidade A - Sistemas de Numeração.pptx

Unidade - A 1
Matemática
Computacional
Apresentação

Unidade - A 2
Matemática Computacional
Paulo Alexandre Serra Coucello da Fonseca
Engenheiro Eletrônico
Mestre em Ciência da Computação
E-mail: paulo.fonseca@gruposapiens.com.br

Unidade - A 3
Introdução
Os sistemas de numeração têm por objetivo fornecer símbolos para representar
as quantidades, de forma a registrar a informação quantitativa e poder processá-
la. A representação de quantidades se faz com os números.
Na antiguidade, duas formas de representar quantidades foram inventadas.
Inicialmente, os egípcios criaram um sistema em que cada dezena era
representada por um símbolo diferente.
Relembremos ainda outro sistema, o sistema de numeração romano. Eram
usados símbolos (letras) que representavam as quantidades, como por exemplo:
I (valendo 1), V (valendo 5), X (valendo 10), C (valendo 100), etc.
A regra de posicionamento determinava que as letras que representavam
quantidades maiores e precediam as que representavam quantidades menores,
seriam somadas; se o inverso ocorresse, o menor valor era subtraído do maior.
Assim, a quantidade 127 era representada por CXXVII; enquanto que a
quantidade 94 era representada por XCIV.

Unidade - A 4
Introdução
Nesses sistemas, os símbolos tinham um valor intrínseco, independentemente da
posição que ocupavam na representação (sistema numérico não-posicional).
Um grande problema desse sistema é a dificuldade de realizar operações com
essa representação. Experimente, por exemplo, multiplicar CXXVII por XCIV.
Assim, posteriormente foram criados sistemas em que a posição dos algarismos
no número passou a alterar seu valor.
Esses sistemas numéricos são conhecidos como sistemas de numeração
posicionais.
Nestes sistemas, o valor representado pelo algarismo no número depende da
posição em que ele aparece na representação.
Um exemplo é o sistema numérico que utilizamos no nosso dia a dia (sistema
decimal).

Unidade - A 5
Sistemas de Numeração
Um sistema numérico deve:
• representar uma grande quantidade de números;
• dar a cada número representado uma única descrição;
• refletir as estruturas algébricas e aritméticas dos números.
Os sistemas de numeração são compostos por:
• uma base;
• um conjunto de símbolos que representam os algarismos.

Unidade - A 6
A base de um sistema é a quantidade de algarismos
disponível na representação.
Os principais sistemas de numeração utilizados estão
abaixo:

Unidade - A 7
A base 10 é hoje a mais usualmente empregada, embora não seja
a única utilizada.
No comércio pedimos uma dúzia de rosas e também marcamos o
tempo em minutos e segundos (base 60).
• Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os
programadores, por facilidade, usam em geral uma base que
seja uma potência de 2, tal como 23 = 8 (base 8 ou sistema
octal) ou ainda 24 = 16 (base 16 ou sistema hexadecimal).

Unidade - A 8
A partir de agora, iremos utilizar o valor da base
como subscrito para identificar o sistema de
numeração a que estamos nos referindo. Por
exemplo:

Unidade - A 9
A Tabela abaixo mostra a correspondência entre os valores dos símbolos em
cada base.

Unidade - A 10
Você observa algo peculiar na Tabela? Não?
Observe que todos os símbolos octais podem ser
representados por números binários com três dígitos.
Note também que todos os símbolos hexadecimais
podem ser representados por números binários com
quatro dígitos.
Isso é importante e vamos utilizar esta propriedade mais
tarde.

Unidade - A 11
Teorema da Representação por Base
Seja k um inteiro qualquer maior ou igual a 1, então, para
cada inteiro positivo n, existe uma representação do tipo
onde os ai, com i = 0,1,...,s , são os símbolos do sistema
numérico, a0 > 0 e k é a base do sistema. Esta
representação de n é única e é conhecida como a
representação do número n na base k. Por exemplo,
onde a0 = 1, a1 = 5, a2 = 4 e a3 = 8.

Unidade - A 12
Conversão de Bases
De um sistema qualquer para o sistema decimal
Utilizando o teorema da representação por base, podemos
substituir a base pelo seu valor correspondente e efetuarmos
os cálculos. O valor encontrado corresponde ao valor
decimal do número em questão.
Segue-se a regra simples:
Ou seja, eleva-se a base a converter à potência cujo valor é
sua posição no número e multiplica-se pelo símbolo.

Unidade - A 13
Conversão de Bases
Assim, de binário (base 2) para decimal (base 10), podemos
fazer, por exemplo:
Ex1:
Ex2:

Unidade - A 14
Conversão de Bases
E de octal (base 8) para decimal:
Finalmente, de hexadecimal (base 16) para decimal:

Unidade - A 15
Conversão de Bases
Outros exemplos a seguir ilustram o exposto acima.

Unidade - A 16
Conversão de Bases
Do sistema decimal para um sistema qualquer
Para converter números da base 10 para outras bases, segue-se as seguintes regras:
• parte inteira: divide-se o número a ser convertido pela base desejada; toma-se o
quociente resultante e divide-se novamente pela base até que o quociente seja
zero; os restos das divisões formam a parte inteira do número convertido; o
primeiro resto representa o último dígito da parte inteira do número; o último
quociente representa o primeiro dígito da parte inteira;
• parte fracionária: multiplica-se a parte fracionária do número a ser convertido pela
base desejada; toma-se a parte fracionária do número resultante e repete-se a
operação; a parte inteira dos produtos obtidos representam a parte fracionária do
número procurado.

Unidade - A 17
Conversão de Bases
Para conversão de decimal para binário, temos o exemplo:
• (174,25)10 : 174 / 2 = 87 resto 0
• 87 / 2 = 43 resto 1
• 43 / 2 = 21 resto 1
• 21 / 2 = 10 resto 1
• 10 / 2 = 5 resto 0
• 5 / 2 = 2 resto 1
• 2 / 2 = 1 resto 0
• último quociente: 1 ==> parte inteira: 10101110
• 0,25 x 2 = 0,50 inteiro 0
• 0,50 x 2 = 1,0 inteiro 1 ==> parte fracionária: 01 (174,25)10 =
(10101110,01)2

Unidade - A 18
Conversão de Bases
De decimal para octal:
• (749,97)10 : 749 / 8 = 93 resto 5
• 93 / 8 = 11 resto 5
• 11 / 8 = 1 resto 3
• último quociente: 1 ==> parte inteira: 1355
• 0,97 x 8 = 7,76 inteiro 7
• 0,76 x 8 = 6,08 inteiro 6
• 0,08 x 8 = 0,64 inteiro 0 ==> parte fracionária: 760 760
(749,97)10 = (1355,760)8

Unidade - A 19
Conversão de Bases
E de decimal para hexadecimal:
• (155,742)10 : 155 / 16 = 9 resto 11 (B)
• último quociente: 9 ==> parte inteira: 9B
• 0,742 x 16 = 11,872 inteiro 11 (B)
• 0,872 x 16 = 13,952 inteiro 13 (D)
• 0,952 x 16 = 15,232 inteiro 15 (F) ==> parte
fracionária: BDF (155,742)10 = (9B,BDF)16

Unidade - A 20
Conversão de Bases
Mais exemplos que ilustram o procedimento apresentado.

Unidade - A 21
Conversão de Bases
Do sistema binário para o sistema octal
Para realizar essa conversão, o primeiro passo é observar se o
número de dígitos do número binário é múltiplo de 3 (você recorda
da propriedade discutida anteriormente?).
Caso não seja, completa- se com zeros à esquerda.
Depois, separa-se o número de dígitos do número binário em
grupos de três.
Por fim, basta converter cada grupo para o seu octal
correspondente.

Unidade - A 22
Conversão de Bases
Do sistema binário para o sistema octal
Os exemplos a seguir ilustram o procedimento.
Um exemplo com parte fracionária:
(010 101,110 100)2 = (25,64)8

Unidade - A 23
Conversão de Bases
Do sistema octal para o sistema binário
O oposto do método anterior: pega-se cada valor e converte-
se pela tabela em três símbolos binários.
Exemplo:
(356,71)8 = (011 101 110,111 001)2

Unidade - A 24
Conversão de Bases
Do sistema binário para o sistema hexadecimal
Para realizar essa conversão, o primeiro passo é observar se o
número de dígitos do número binário é múltiplo de 4 (olhem a
propriedade discutida anteriormente outra vez).
Caso não seja, completa-se com zeros à esquerda.
Depois, separa-se o número de dígitos do número binário em
grupos de quatro. Por fim, basta converter cada grupo para o seu
hexadecimal correspondente.

Unidade - A 25
Conversão de Bases
Do sistema binário para o sistema hexadecimal
Os exemplos a seguir ilustram o procedimento:
Exemplo com parte fracionária:
(1101 1010 0100,1010 1100)2 = (DA4,AC)16

Unidade - A 26
Conversão de Bases
Do sistema hexadecimal para o sistema binário
Para operar esse tipo de conversão, basta converter cada dígito
hexadecimal para o seu correspondente binário com quatro dígitos (a
mesma propriedade já citada). Os exemplos a seguir ilustram o
procedimento.
Exemplo com parte fracionária:
(CAFE,01)16 = (1100 1010 1111 1110,0000 0001)2

Unidade - A 27
Conceitos adicionais
• Computador - como sendo uma máquina eletrônica, capaz de
solucionar problemas através da execução automática de
instruções que lhe sejam previamente fornecidas.
• Hardware - constituído pelos circuitos eletrônicos que compõem o
computador e que o tornam capaz de reconhecer e executar um
conjunto limitado de instruções simples.
• Software - constituído pelo conjunto de programas necessários
para tornar o hardware útil e operacional.
• Programa - como sendo uma peça de software constituída por uma
seqüência de instruções que descrevem ao computador como
executar uma determinada tarefa.
• Linguagem de máquina - constituída pelo conjunto básico de
instruções que são reconhecidas pelo hardware e, para a qual todo
programa precisa ser convertido para que possa ser executado.
• Tradutor - um programa que converte outros programas para a
linguagem de máquina.
• Pode ser de três tipos: montador (para a linguagem assembly),
interpretador (tradução e execução passo a passo) e compilador
(tradução e execução em fases distintas).

Unidade - A 28
Conceitos adicionais
• Bit (Binary digit ): É a menor unidade de dado que podemos armazenar na
memória de um computador .
• Nible: É um conjunto formado por 4 bits, cuja à combinação de estados
representa valores de 0 a 15 .
• Byte: É um conjunto de 8 BITS , cuja combinação de estados representa
os diversos símbolos ou caracteres que compõem o dado.
• Kilo K 2^10 = 1 024
• Mega M 2^20 = 1 048 576
• Giga G 2^30 = 1 073 741 824
• Tera T 2^40 = 1 099 511 627 776
• Peta P 2^50 = 1 125 899 906 842 624
• Exa E 2^60 = 1 152 921 504 606 846 976
• Zetta Z 2^70 = 1 180 591 620 717 411 303 424
• Yotta Y 2^80 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176

Unidade - A 29
Padrões de representação
• ASCII : “American Standard Code for
Information Interchange”
• EBCDIC : “Extended Binary Coded
Decimal Interchange Code”
• CBII : “Código Brasileiro para
Intercâmbio de Informações”
A  ASCII  EBCDIC
a  ASCII  EBCDIC

Unidade - A 30
Resumo
Nesta unidade, estudamos os principais sistemas
de numeração utilizados na área de Ciências da
Computação.
Aprendemos os símbolos e a base de cada sistema
numérico e como realizar a conversão de um
sistema para outro.

Unidade - A 31
Lista de
exercícios
Para cada número
da lista, faça a sua
representação no
sistema numérico
solicitado.

Unidade - A 32
Colaborações?
Críticas??
Dúvidas???
Sugestões????
Xingamentos?????
Choros????????

Matemática Computacional - Unidade A - Sistemas de Numeração.pptx

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a Matemática Computacional - Unidade A - Sistemas de Numeração.pptx

Semelhante a Matemática Computacional - Unidade A - Sistemas de Numeração.pptx (20)

Matemática Computacional - Unidade A - Sistemas de Numeração.pptx