4 cn parte2.1_metodos

CCáálculo Numlculo Numééricorico
ResoluResoluçção Numão Numéérica derica de
EquaEquaççõesões –– MMéétodostodos ––
Parte IIParte II
Prof. Jorge Cavalcanti – jorge.cavalcanti@univasf.edu.br
MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO
NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/

2
Métodos Iterativos para a Obtenção de
Zeros Reais de Funções
BissecBissecççãoão
Falsa PosiFalsa Posiççãoão
Falsa PosiFalsa Posiçção Modificadoão Modificado
Ponto FixoPonto Fixo
NewtonNewton--RaphsonRaphson
SecanteSecante
Cálculo Numérico – BissecBissecççãoão

3
Método da BissecBissecççãoão
Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo
[a,b][a,b] onde existe uma raiz única, é possível
determinar tal raiz subdividindo sucessivas
vezes o intervalo que a contém pelo ponto
médio de aa e bb.

4
Definição do Intervalo Inicial
Atribui-se [a,b][a,b] como intervalointervalo inicialinicial
a0 = aa
b0 = bb
Condições de Aplicação
f(a)*f(b) < 0f(a)*f(b) < 0
Sinal da derivada constanteconstante

5
Análise Gráfica
x
a = a0
ξξξξξξξξ
f(x)
b = b0
xx11 = (a + b)/2= (a + b)/2
xx11
x
a = a1
ξξ
f(x)
x1 = b1
xx22 = (a + x= (a + x11)/2)/2
xx22
x
ξξ
f(x)
x1=b2
xx33 = (x= (x22 + x+ x11)/2)/2
x2=a2
xx33
Repete-se o processo até que o
valor de x atenda às condições
de parada.
Repete-se o processo até que o
valor de xx atenda às condicondiççõesões
de paradade parada.

6
Determina-se qual o subintervalo –
[a , x[a , x11]] ou [x[x11 , b], b] – que contém a raizraiz
Calcula-se o produto f(a)*f(xf(a)*f(x11))
Verifica-se se f(a)*f(xf(a)*f(x11) < 0) < 0
Se verdadeiroverdadeiro ξξ ∈∈ (a, x(a, x11))
(Logo a = aa e b = xx11)
Caso contrarioCaso contrario ξξ ∈∈ (x(x11 , b), b)
(Logo a = xx11 e b = bb)
Definição de Novos Intervalos
Repete-se o processo até que o valor de xx
atenda às condicondiçções de paradaões de parada.

7
...
232322
222
22
2
121211
111
11
1
010100
000
00
0
bb,xa),b,x(
0)x(f,0)b(f,0)a(f;
2
ba
x
xb,xa),b,x(
0)x(f,0)b(f,0)a(f;
2
ba
x
xb,aa),x,a(
0)x(f,0)b(f,0)a(f;
2
ba
x
========∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒
<<<<>>>><<<<
++++
====
========∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒
<<<<>>>><<<<
++++
====
========∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒
>>>>>>>><<<<
++++
====
ξ
ξ
ξ
Definição de Novos Intervalos

8
Aproximação de zero, dependente do
equipamento utilizado e da precisão
necessária para a solução do problema
TolerânciaTolerância (εεεεεεεε )
A tolerância é uma
estimativa para o erro
absoluto desta aproximação.
A tolerânciatolerância é uma
estimativa para o erroerro
absolutoabsoluto desta aproximação.

9
Condições de Parada
Se os valores fossem exatosexatos
f(x) = 0f(x) = 0
(x(xkk –– xxk+1k+1)/x)/xkk = 0= 0
Uma vez que são aproximadosaproximados
||f(x)f(x)|| ≤≤ tolerânciatolerância
||(x(xkk –– xxk+1k+1)/x)/xkk|| ≤≤ tolerânciatolerância

10
Algoritmo
k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a;
xk+1 := (ak + bk)/2;
while critério de parada não satisfeito and k ≤ L
if f(ak)f(xk+1) < 0 then /* raiz em [a/* raiz em [akk , x, xk+1k+1] */] */
ak+1 := ak; bk+1 := xk+1;
else /* raiz em [x/* raiz em [xk+1k+1, b, bkk] */] */
ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ;
endif
k := k +1; xk+1 := (ak + bk)/2;
endwhile
if k > L
parada falhou
endif

11
Após nn iterações, a raiz estará contida no
intervalo:
Generalização










====



−−−−
−−−− k
kk
2
ab
ab 00
2
ab
]a[b
1k1k
kk
−−−−−−−− −−−−
====−−−−

12
Deve-se obter o valor de K, tal que
bk – ak < ε, ou seja,
Estimativa do número de iterações
)log()ablog()2log(.k
200
00
00k
k
ab
2
ab
ε
ε
ε
−−−−−−−−>>>>
−−−−
>>>>⇒⇒⇒⇒<<<<
−−−−
)2log(
)log()ablog(
k
00 ε−−−−−−−−
>>>>

13
Ex.: Considerando um intervalo [2,3]e ε=10-2, calcular o
número mínimo de iterações para que tenhamos b-a< ε
(Critério de Parada).
Estimativa do número de iterações
)2log(
)log()ablog(
k
00 ε−−−−−−−−
>>>>
7k
64.6
3010.0
2
)2log(
)10log(2)1log(
k
)2log(
)10log()23log(
k
2
====
≈≈≈≈====
++++
>>>>
−−−−−−−−
>>>>
−−−−

14
Vantagens:Vantagens:
Facilidade de implementação;
Estabilidade e convergência para a solução
procurada;
Desempenho regular e previsível.
O número de interações é
dependente da tolerância
considerada
O número de interações é
dependentedependente da tolerânciatolerância
considerada

15
Desvantagens:Desvantagens:
Lentidão do processo de convergência
(requer o cálculo de f(x)f(x) em um elevado
número de iterações);
Necessidade de conhecimento prévio da
região na qual se encontra a raiz de interesse
(o que nem sempre é possível);
Complexidade da extensão do método para
problemas multivariáveis.

16
Exemplo 06: Resgatando o Exemplo 05Exemplo 05,
f(x) = xlogxf(x) = xlogx -- 11
h(x)
y
ξξξξξξξξ
g(x)
x1 2 3 4 5 6
ξξξξξξξξ2 3
Verificou-se que ξξ ∈ [2, 3][2, 3]

17
Cálculo da 1ª aproximação
x1 = (a0 + b0)/2 = (2,00000 + 3,00000)/2 ⇒⇒⇒⇒
x1 = 2,500002,50000
f(x1) = f(2,50000) = --0,005100,00510
f(a0) = f(2,00000) = --0,397940,39794
Teste de Parada
|f(x1)| =|-0,00510| = 0,005100,00510 > 0,002
Exemplo 06: f(x) = xlogxf(x) = xlogx -- 11
Considerando o método da bissecção com
toltol = 0,002= 0,002 e adotando [a[a00 ,b,b00] = [2, 3]] = [2, 3] como
intervalo inicial, tem-se:

18
Novo Intervalo
f(a0).f(x1) = (-0,39794).(-0,00510) > 0
logo: a1 = x1 = 2,500002,50000 e b1 = b0 = 3,000003,00000
x2 = (2,50000 + 3,00000)/2 =
x2 = 2,750002,75000
f(2,50000) = -0,051000,05100 < 0
f(3,00000) = 0,431400,43140 > 0
f(2,75000) = 0,208200,20820 > 0
ξξ ∈∈ [2,5 ; 2,75][2,5 ; 2,75]
a2 = a1 = 2,500002,50000 e b2 = x2 = 2,750002,75000

19
Exemplo 06:
x3 = (2,50000 + 2,75000)/2 = 2,625002,62500
f(2,50000) = --0,051000,05100 < 0
f(2,75000) = 0,208200,20820 > 0
f(2,62500) = 0,100200,10020 > 0
x4 = (2,50000 + 2,62500)/2 = 2,562502,56250
f(2,50000) = --0,051000,05100 < 0
f(2,62500) = 0,100200,10020 > 0
f(2,56250) = 0,047200,04720 > 0
ξξ ∈∈ [2,5 , 2,625][2,5 , 2,625]
a3 = a2 = 2,500002,50000
b3 = x3 = 2,625002,62500
ξξ ∈∈ [2,5 , 2,5625][2,5 , 2,5625]
a3 = a2 = 2,500002,50000
b3 = x4 = 2,562502,56250

20
0,001400,001402,507812,507810,00787-0,005152,515632,500006
0,007900,007902,515632,515630,02094-0,005152,531252,500005
0,020900,020902,531252,531250,04720-0,005152,562502,500004
0,047200,047202,562502,562500,10021-0,005152,625002,500003
0,100210,100212,625002,625000,20816-0,005152,750002,500002
0,208200,208202,750002,750000,43136-0,005153,000002,500001
--0,005100,005102,500002,500000,43136-0,397943,000002,000000
f(xk+1)xk+1f(bk)f(ak)bkakk
εεεεεεεε == 0,0020,002

21
Exemplo 07: Seja f(x) =f(x) = xx33
–– xx –– 11
Intervalo inicial atribuído: [1, 2][1, 2]
Considerando-se εεεε = 0,0020,002
f(a0) = --11
f(b0) = 55
f’(x) = 33xx22
–– 11
f(a0) * f(b0) = --5 < 05 < 0
(f’(a0) = 22 e f’(b0) = 1111)
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1

22
x1
= (a0
+b0
)/2 = (1,000000+2,000000)/2 =
x1 = 1,5000001,500000
f(x1
) = 1,51,533
– 1,51,5 – 11 = 0,8750000,875000
Teste de Parada
|f(x1)| =|0,875| = 0,8750000,875000 > 0,002
Escolha do Novo Intervalo
f(a0).f(x1) = (-1).0,8750,875 = --0,8750,875
logo: a1=a0=1,0000001,000000 e b1=x1= 1,500001,50000
Exemplo 07: f(x) =f(x) = xx33
–– xx –– 11

23
-0,018700
-0,051514
-0,051514
-0,051514
-0,296875
-0,296875
-1,000000
-1,000000
f(ak
)
1,324218751,32421875
1,320312501,32031250
1,328125001,32812500
1,343750001,34375000
1,312500001,31250000
1,375000001,37500000
1,250000001,25000000
1,500000001,50000000
xk+1
--0,0021280,0021280,0145761,32812501,32031257
--0,0187110,0187110,0145761,32812501,31250006
0,0145760,0145760,0826111,34375001,31250005
0,0826110,0826110,2246091,37500001,31250004
--0,0515140,0515140,2246091,37500001,25000003
0,2246090,2246090,8750001,50000001,25000002
--0,2968750,2968750,8750001,50000001,00000001
0,8750000,8750005,0000002,00000001,00000000
f(xk+1
)f(bk
)bk
ak
k
–– xx –– 11
εεεεεεεε == 0,0020,002

24
Método da BissecBissecççãoão
Calcula a média aritmaritmééticatica dos limites do
intervalo que contém a raiz ([aa, bb] )
Método da Falsa PosiFalsa Posiççãoão
Calcula a média ponderadaponderada dos limites
do intervalo que contém a raiz ([aa, bb] )
Cálculo Numérico – Falsa PosiFalsa Posiççãoão

25
Método da Falsa PosiFalsa Posiççãoão
Calcula a média ponderadaponderada dos limites
do intervalo que contém a raiz ([aa, bb] )
)a(f)b(f
)a(fb)b(fa
X
−−−−
++++
====
)a(f)b(f
)a(bf)b(af
X
−−−−
−−−−
====
xa ξξ
f(x)
bXX
f(b)
f(a)
f(a) e f(b) têm sinais opostos

26
Definição do Intervalo Inicial
Atribui-se [a,b][a,b] como intervalo inicialintervalo inicial
a0 = aa
b0 = bb
Condições de Aplicação
f(a)*f(b) < 0f(a)*f(b) < 0

27
Definição dos Subintervalos
Subdivide-se o intervalo pelo pontoponto dede
intersecintersecççãoão da reta que liga f(a) a f(b) e o
eixo das abscissas
Verifica-se se, através do teste de
parada, se xx11 é uma aproximaaproximaççãoão dada raizraiz
da equação (ξ)
Se verdadeiroverdadeiro xx11 é a raizraiz procurada
CasoCaso contrcontrááriorio define-se um novonovo intervalo

28
Determina-se qual subintervalo - [a[a00 , x, x11]]
ou [x[x11 , b, b00]] - contém a raiz ξξ
Calcula-se o produto f(a)*f(xf(a)*f(x11))
Verifica-se se f(a)*f(xf(a)*f(x11) < 0) < 0
Se verdadeiroverdadeiro ξ ∈ (a0, x1)
Logo: a1 = aa00 e b1 = xx11
CasoCaso contrariocontrario ξ ∈ (x1, b0)
Logo a1 = xx11 e b1 = bb00
Definição do Novo Intervalo
Repete-se o processo até que o valor de xx
atenda às condicondiçções de paradaões de parada.

29
Análise Gráfica
Repete-se o processo até
que o valor de x atenda
às condições de parada.
Repete-se o processo até
que o valor de xx atenda
às condicondiçções de paradaões de parada.
xa = a0
ξξξξξξξξ
f(x)
b = b0xx11
xa = a1
ξξ
f(x)
x1 = b1xx22
xξξ
f(x)
x1 = b2x2 = a2
xx33
)a(f)b(f
)a(fb)b(fa
X
00
0000
1
−−−−
−−−−
====
)a(f)b(f
)a(fb)b(fa
X
22
2222
3
−−−−
−−−−
====
)a(f)b(f
)a(fb)b(fa
X
11
1111
2
−−−−
−−−−
====

30
Condições de Parada
Se os valores fossem exatosexatos
f(x) = 0f(x) = 0
(x(xkk –– xxk+1k+1)/x)/xkk = 0= 0
Não o sendoNão o sendo
||f(x)f(x)|| ≤≤ tolerânciatolerância
||(x(xkk –– xxk+1k+1)/x)/xkk|| ≤≤ tolerânciatolerância

31
Algoritmo
k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a; F0 := f(a0); G0 := f(b0);
xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk); ou xk+1 := (akGk- bkFk)/(Gk –
Fk);
while critério de convergência não satisfeito and k≤L
if f(ak)f(xk+1) ≤ 0 then /* raiz em [a/* raiz em [akk , x, xk+1k+1] */] */
ak+1 := ak; bk+1 := xk+1;
else /* raiz em [x/* raiz em [xk+1k+1, b, bkk] */] */
ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ;
endif
k := k +1; xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk);
endwhile
if k>L
convergência falhou
endif

32
Exemplo 08: Considerando f(x) =f(x) = xlogxxlogx -- 11
h(x)
y
ξξ
g(x)
x1 2 3 4 5 6
Intervalo inicial atribuído:
[2, 3][2, 3]
Considerando-se εεεε = 0,0020,002
f(a0
) = -- 0,39790,3979
f(b0) = 0,43140,4314
f’(x) = logxlogx ++ 1/xln101/xln10
f(a0) * f(b0) = -- 0,0171650,017165<< 00
Sinal da derivada constante
(f’(a0) = 0,520,52 e f’(b0) = 0,6220,622)

33
Exemplo 08:
Cálculo da 1ª aproximação: a0 == 22 b0 == 33
f(a0) = -- 0,39790,3979 < 00
f(b0) = 0,43140,4314 > 00
x1 = [2.0,4314 – 3.(- 0,3979)] = 2,47982,4798
[0,4314 – (- 0,3979)]
Teste de Parada
|f(x1)| =|- 0,0219| = 0,02190,0219 > tolerânciatolerância
f(a0).f(x1) = (- 0,3979).(- 0,0219) > 00
logo: a1 = x1 = 2,47982,4798 e b1 = b0 = 33

34
Exemplo 08:
Cálculo da 2ª aproximação: a1 ==2,47982,4798 b1 ==33
f(a1) = -- 0,02190,0219 < 00
f(b1) = 0,43140,4314 > 00
x2 = [2,4798.0,4314 – 3.(- 0,0219)] = 2,50492,5049
[0,4314 – (- 0,0219)]
Teste de Parada
|f(x2)| =|- 0,0011| = 0,00110,0011 < tolerânciatolerância
f(a1).f(x2) = (- 0,0219).(- 0,0011) > 00
logo: a2 = x2 = 2,50492,5049 e b2 = b1 = 33

35
Exemplo 08:
Cálculo da 3ª aproximação a2 == 2,50492,5049 b2 = 33
f(a2) = -- 0,00110,0011 < 00
f(b2) = 0,43140,4314 > 00
x3 = [2,5049.0,4314 – 3.(- 0,0011)] = 2,50612,5061
[0,4314 – (- 0,0011)]
Teste de Parada
|f(x3)| = |- 7,0118.10-5 | = 7,0118.107,0118.10--55 < toltol
(valor aceit(valor aceitáável de raiz)vel de raiz)

36
-0,0011000
-0,0219000
--0,39790000,3979000
f(ak
)
2,50610002,5061000
2,50490002,5049000
2,47980002,4798000
xk+1
--0,0000700,0000700,4314003,0000002,5049002
--0,0011000,0011000,4314003,0000002,4798001
--0,0219000,0219000,4314000,4314003,0000003,0000002,0000002,0000000
f(xk+1
)f(bk
)bk
akk
Exemplo 08: f(x) =f(x) = xlogxxlogx -- 11
εεεεεεεε = 0,0020,002

37
Exemplo 09: Seja a função do Exemplo 07,
f(x) =f(x) = xx33
–– xx –– 11
Intervalo inicial atribuído:
[1, 2][1, 2]
tol = 0,0020,002
f(a0) = --11
f(b0) = 55
f’(x) = 33xx22
–– 11
f(a0)*f(b0) = --55 < 00
Sinal da derivada constante
(f’(a0) = 22 e f’(b0) = 1111)
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1

38
Exemplo 09:
Cálculo da 1ª aproximação a0 == 11 b0 == 22
f(a0) = -- 11 < 00
f(b0) = 55 > 00
x1 = [1.5 – 2.(- 1)] = 1,166671,16667
[5 – (- 1)]
Teste de Parada
|f(x1)| =|- 0,5787037| = 0,57870370,5787037 > toltol
f(a0).f(x1) = (- 1).(- 0,5787037) > 00
logo: a1 = x1 = 1,166671,16667 e b1 = b0 = 22

39
-0,0044039
-0,0103618
-0,0243037
-0,0565885
-0,1295421
-0,2853630
-0,5787037
--1,00000001,0000000
f(ak
)
1,32427951,3242795
1,32368431,3236843
1,32228271,3222827
1,31898851,3189885
1,31128121,3112812
1,29343741,2934374
1,25311201,2531120
1,16666671,1666667
xk+1
--0,0018690,0018695,0000002,0000001,3236847
--0,0044040,0044045,0000002,0000001,3222836
--0,0103620,0103625,0000002,0000001,3189885
--0,0243040,0243045,0000002,0000001,3112814
--0,0565880,0565885,0000002,0000001,2934373
--0,1295420,1295425,0000002,0000001,2531122
--0,2853630,2853635,0000002,0000001,1666671
--0,5787040,5787045,0000005,0000002,0000002,0000001,0000001,0000000
f(xk+1
)f(bk
)bk
akk
–– xx –– 11
εεεεεεεε = 0,0020,002

40
Vantagens:Vantagens:
Estabilidade e convergência para a solução
procurada;
Desempenho regular e previsível;
Cálculos mais simples que o método de
Newton.

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