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Ajuste de Curvas
Método dos Mínimos Quadrados
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
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• Ajuste de Curvas
• Exemplos.
• Método dos Mínimos Quadrados
Tópicos da Aula
• Definições;
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Ajuste de Curvas
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Nas aulas anteriores estudamos uma forma de lidar com
funções matemáticas definidas por tabelas de valores.
Ajuste de Curvas
Introdução
Frequentemente, estas tabelas são obtidas com base em
dados experimentais, contendo erros inerentes aos métodos de
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Como os valores não são exatos, muitas vezes não é
razoável recorrer à interpolação polinomial, ou seja, exigir que a
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Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Ajuste de Curvas
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Estes valores podem ser representados por um gráfico
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Ajuste de Curvas
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Existem vários tipos de ajustes de curvas, onde cada um dos
métodos vai depender do tipo de função a se trabalhar. Eis alguns
dos tipos de ajustes de curvas:
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• Ajuste a uma Hipérbole;
• Ajuste a uma Curva Exponencial;
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Nesta aula vamos focar o ajuste a uma reta!
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Ajuste de Curvas
Definição
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Exemplos de Ajuste de Curvas
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Exemplos de Ajuste de Curvas
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• Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste de Curvas
Objetivo
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O objetivo é apresentar o método dos mínimos quadrados
(MMQ) como outra forma de aproximação de funções. Ao contrário
do polinômio interpolador visto nas aulas anteriores, agora não é
necessário que o ajuste passe exatamente por cima dos pontos
ajustados.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Em muitos ramos da ciência, dados experimentais são
utilizados para deduzir uma relação matemática entre as variáveis
que estão sendo medidas.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
O Método dos Quadrados Mínimos é aplicado quando se
tem um conjunto de pontos e pretende-se definir a curva que
melhor se ajusta a este. Estudando a relação entre duas variáveis,
deve-se inicialmente fazer um gráfico de dados, conhecido como
diagrama de dispersão, o qual irá fornecer uma ideia de qual é a
função aproximada determinada pelos pontos.
Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
Como “os valores que uma variável pode assumir estão
associados, além dos erros experimentais, a outras variáveis cujos
valores se alteram durante o experimento” (BARROSO, 1987, p. 323),
é que o Método dos Quadrados Mínimos tem grande aplicação,
pois ajusta estas funções já tabeladas a uma função que represente
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Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Se um certo número de medidas é realizado de uma
mesma quantidade física e se estas medidas estão sujeitas a erros
aleatórios apenas, então a teoria dos mínimos quadrados
estabelece que o valor mais provável da quantidade medida é
aquele que faz a soma dos quadrados dos erros um mínimo.
Definição.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
Este teorema pode ser aplicado ao caso particular em que
se pretende ajustar uma linha reta a um conjunto de pares
experimentais.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Através deste método obtém-se valores otimizados dos
parâmetros de uma reta que passa pelos dados plotados em
gráficos no papel milimetrado. O método funciona assim:
Definição.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
A equação acima representa o valor esperado (ou valor
mais provável) para a variável y. Ver figura a seguir:
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Representação gráfica.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
As estimativas de mínimos quadrados das constantes a e b
são então aqueles valores de a e b que tornam mínima a expressão.
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Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
(I)
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Definição.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
(IV)
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Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de
oito pontos experimentais:
Solução:
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
X 10 20 30 40 50 60 70 80
y 2 5 6 7 10 13 14 15
De (I), temos:
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Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de
oito pontos experimentais:
Solução:
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
n = 8
----- 10 2 20 100 4
----- 20 5 100 400 25
----- 30 6 180 900 36
----- 40 7 280 1600 49
----- 50 10 500 2500 100
----- 60 13 780 3600 169
----- 70 14 980 4900 196
----- 80 15 1200 6400 225
360 72 4040 20400 804
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Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de
oito pontos experimentais:
Solução:
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X 10 20 30 40 50 60 70 80
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Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
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• Exemplos
Ajuste de Curvas
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Exemplo 2: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos
experimentais:
Solução:
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
X 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0
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Exemplo 3: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos
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Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
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• Exercícios
Ajuste de Curvas
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Exercício 1: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos
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Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
X -1,0 -0,1 0,2 1,0
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Exercício 2: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos
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Assuntos da 2ª V.C
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• Interpolação Linear;
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• Integração numérica: Regra dos Trapézios e Simpson (1/3 e 3/8);
• Quadratura Gaussiana;
• Ajuste de curvas: Método dos Mínimos Quadrados.
Referências Bibliográficas
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
ARENALES, S.; DAREZZO, A., Cálculo Numérico: Aprendizagem com
apoio de Software. São Paulo: Cengage Learning. 2007.
BARROSO, L. C., BARROSO, M. M. A., CAMPOS Filho, F. F.. Cálculo
Numérico com aplicações. São Paulo: Harbras 1987.
CHAPA, S. C.; CANALE R. P.. Numerical Methods for Engineers. 2a ed..
Mc. Graw-Hill. 1990.
CLÁUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª
Ed.. São Paulo: Atlas. 2001.
SANTOS, J. D. .SILVA, Z. C. Métodos Numéricos. Editora Universitária
da UFPE, 2006.

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  • 1. Ajuste de Curvas Método dos Mínimos Quadrados Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 2. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Ajuste de Curvas • Exemplos. • Método dos Mínimos Quadrados Tópicos da Aula • Definições; • Objetivos; • Aplicações. • Definições; • Tipos;
  • 3. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Ajuste de Curvas
  • 4. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Nas aulas anteriores estudamos uma forma de lidar com funções matemáticas definidas por tabelas de valores. Ajuste de Curvas Introdução Frequentemente, estas tabelas são obtidas com base em dados experimentais, contendo erros inerentes aos métodos de medição utilizado. Como os valores não são exatos, muitas vezes não é razoável recorrer à interpolação polinomial, ou seja, exigir que a função aproximada satisfaça exatamente os dados disponíveis.
  • 5. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Ajuste de Curvas Definição Estes valores podem ser representados por um gráfico cartesiano formando um diagrama de dispersão.
  • 6. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Ajuste de Curvas Tipos de Ajuste de Curvas Existem vários tipos de ajustes de curvas, onde cada um dos métodos vai depender do tipo de função a se trabalhar. Eis alguns dos tipos de ajustes de curvas: • Ajuste a uma Reta; • Ajuste a uma Exponencial; • Ajuste a uma Hipérbole; • Ajuste a uma Curva Exponencial; • Ajuste a uma Curva Geométrica. • Ajuste a um Polinômio; Nesta aula vamos focar o ajuste a uma reta!
  • 7. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Ajuste de Curvas Definição
  • 8. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Ajuste de Curvas Definição
  • 9. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Ajuste de Curvas Exemplos de Ajuste de Curvas
  • 10. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Ajuste de Curvas Exemplos de Ajuste de Curvas
  • 11. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Método dos Mínimos Quadrados Ajuste de Curvas
  • 12. Objetivo Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares O objetivo é apresentar o método dos mínimos quadrados (MMQ) como outra forma de aproximação de funções. Ao contrário do polinômio interpolador visto nas aulas anteriores, agora não é necessário que o ajuste passe exatamente por cima dos pontos ajustados. Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
  • 13. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Em muitos ramos da ciência, dados experimentais são utilizados para deduzir uma relação matemática entre as variáveis que estão sendo medidas. Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados O Método dos Quadrados Mínimos é aplicado quando se tem um conjunto de pontos e pretende-se definir a curva que melhor se ajusta a este. Estudando a relação entre duas variáveis, deve-se inicialmente fazer um gráfico de dados, conhecido como diagrama de dispersão, o qual irá fornecer uma ideia de qual é a função aproximada determinada pelos pontos.
  • 14. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados Como “os valores que uma variável pode assumir estão associados, além dos erros experimentais, a outras variáveis cujos valores se alteram durante o experimento” (BARROSO, 1987, p. 323), é que o Método dos Quadrados Mínimos tem grande aplicação, pois ajusta estas funções já tabeladas a uma função que represente uma boa aproximação para os valores já conhecidos.
  • 15. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Se um certo número de medidas é realizado de uma mesma quantidade física e se estas medidas estão sujeitas a erros aleatórios apenas, então a teoria dos mínimos quadrados estabelece que o valor mais provável da quantidade medida é aquele que faz a soma dos quadrados dos erros um mínimo. Definição. Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados Este teorema pode ser aplicado ao caso particular em que se pretende ajustar uma linha reta a um conjunto de pares experimentais.
  • 16. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Através deste método obtém-se valores otimizados dos parâmetros de uma reta que passa pelos dados plotados em gráficos no papel milimetrado. O método funciona assim: Definição. Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados A equação acima representa o valor esperado (ou valor mais provável) para a variável y. Ver figura a seguir:
  • 17. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Representação gráfica. Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
  • 18. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares As estimativas de mínimos quadrados das constantes a e b são então aqueles valores de a e b que tornam mínima a expressão. Logo: Definição. Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados (I)
  • 19. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Os melhores valores para as constantes a e b podem então ser encontrados diferenciando-se a equação anterior com respeito a a e b, respectivamente, e igualando-se os resultados a zero (condição de mínimo). Assim, temos: Definição. Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados (II) (III) Conhecidas também por equações normais adaptadas!
  • 20. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição. Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados (IV)
  • 21. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de oito pontos experimentais: Solução: Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados X 10 20 30 40 50 60 70 80 y 2 5 6 7 10 13 14 15 De (I), temos:
  • 22. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de oito pontos experimentais: Solução: Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados n = 8 ----- 10 2 20 100 4 ----- 20 5 100 400 25 ----- 30 6 180 900 36 ----- 40 7 280 1600 49 ----- 50 10 500 2500 100 ----- 60 13 780 3600 169 ----- 70 14 980 4900 196 ----- 80 15 1200 6400 225 360 72 4040 20400 804
  • 23. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de oito pontos experimentais: Solução: Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados X 10 20 30 40 50 60 70 80 y 2 5 6 7 10 13 14 15 Resolvendo o sistema de equações de (II) e (III), obtemos para a e b: a = 0,191 e b = 0,428
  • 24. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de oito pontos experimentais: Gráfico: Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados No Excel ® é possível realizar essa plotagem com facilidade!
  • 25. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Exemplos Ajuste de Curvas
  • 26. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 2: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos experimentais: Solução: Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados X 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0 y 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8 Quadro!
  • 27. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 3: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos experimentais: Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados X 2 3 5 7 9 12 14 y 2,6 2,0 4,30 3,25 5,0 4,32 5,10 Solução: Quadro!
  • 28. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Exercícios Ajuste de Curvas
  • 29. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exercício 1: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos experimentais: Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados X -1,0 -0,1 0,2 1,0 y 1,0 1,099 0,808 1,0 Exercício 2: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos experimentais: X 50 60 70 80 y 10 13 14 15
  • 30. Assuntos da 2ª V.C Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Interpolação Linear; • Interpolação pelo método de Lagrange; • Integração numérica: Regra dos Trapézios e Simpson (1/3 e 3/8); • Quadratura Gaussiana; • Ajuste de curvas: Método dos Mínimos Quadrados.
  • 31. Referências Bibliográficas Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares ARENALES, S.; DAREZZO, A., Cálculo Numérico: Aprendizagem com apoio de Software. São Paulo: Cengage Learning. 2007. BARROSO, L. C., BARROSO, M. M. A., CAMPOS Filho, F. F.. Cálculo Numérico com aplicações. São Paulo: Harbras 1987. CHAPA, S. C.; CANALE R. P.. Numerical Methods for Engineers. 2a ed.. Mc. Graw-Hill. 1990. CLÁUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª Ed.. São Paulo: Atlas. 2001. SANTOS, J. D. .SILVA, Z. C. Métodos Numéricos. Editora Universitária da UFPE, 2006.