Sistemas Lineares
-
- -
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
• Motivação I
o Ocorrência em larga escala de sistemas lineares em
cálculos de Engenharia e modelagem c...
Métodos Iterativos
• Motivação II
o Tendência à existência de matrizes de coeficientes à
grandes e esparsas
• Grandes  Co...
Métodos Iterativos
• Motivação III
o Métodos mais apropriados para a resolução de
sistemas de natureza esparsa  Métodos
i...
Métodos Iterativos
• Vantagem  Menos suscetíveis ao acúmulo de
erros de arredondamento do que o método de
Eliminação de G...
Métodos Iterativos
• Em certos casos, métodos diretos não são eficientes, por
exemplo, quando a matriz dos coeficientes é ...
Métodos Iterativos
• Um método é iterativo quando fornece uma
sequência de aproximações da solução
• Cada uma das aproxima...
Métodos Iterativos
• Para determinar a solução de um sistema linear por
métodos iterativos, precisamos transformar o
siste...
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
nnnn xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
210
4
2
4
1
4
0
4
3
2
3
1
3
0
3
2
2
2
1
2
0
2
1
2
1
1
1
0
1


• Métodos Iterativos: C...
Métodos Iterativos
• Outra vantagem destes métodos  não são
tão suscetíveis ao acúmulo de erros de
arredondamento como o ...
Métodos Iterativos
Métodos Iterativos
• Transforma o sistema linear Ax=b em x = Cx +g
o A: matriz dos coeficientes, n x m
...
Métodos Iterativos
Método de Gauss-Jacobi
• Conhecido x(0) (aproximação inicial) obtém-se
consecutivamente os vetores:
 D...
Métodos Iterativos
 Da primeira equação do sistema
a11 x1 + a12 x2 + ... +a1n x2 = b1
obtém-se
x1 = (1/a11) (b1 - a12 x2 ...
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
 Método de Jacobi para se chegar às fórmulas de iterações,
na forma matricial:
Prof. Renan Gustavo Pac...
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.
Prof. Renan Gusta...
3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
Prof. Renan Gusta...
4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
6x + y + 2z = 10
...
10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,...
Exercícios
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss-
Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
Prof. Rena...
4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
Prof. Renan Gusta...
5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06.
Prof. Renan Gusta...
Métodos Iterativos
 Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de
iterações, na forma matricial:
Prof. Renan Gusta...
Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Segundo esse critério, um determ...
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo: O sistema abaixo satisfaz o critério das
linhas e essa verificação pode ser fe...
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.
Prof. Renan Gusta...
3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
Prof. Renan Gusta...
4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
6x + y + 2z = 10
...
10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,...
Exercícios
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
Prof. Renan Gusta...
4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
Prof. Renan Gusta...
5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06.
Prof. Renan Gusta...

Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Métodos Iterativos - Gauss-Jacobi - Part I - @professorenan

3.648 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
3.648
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
89
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Métodos Iterativos - Gauss-Jacobi - Part I - @professorenan

  1. 1. Sistemas Lineares - - - Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  2. 2. Métodos Iterativos • Motivação I o Ocorrência em larga escala de sistemas lineares em cálculos de Engenharia e modelagem científica • Exemplos: o Simulações de processos químicos o Simulações de dispositivos e circuitos o Modelagem de processos geocientíficos e geoambientais o Análise estrutural o Biologia estrutural o Modelagem de processos físicos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  3. 3. Métodos Iterativos • Motivação II o Tendência à existência de matrizes de coeficientes à grandes e esparsas • Grandes  Comum para n > 100.000 • Esparsas  Maioria dos coeficientes nulos o Resolução de sistemas esparsos por métodos diretos • Processos de triangularização e fatoração  Onerosos, por não preservarem a esparsidade original, que pode ser útil por facilitar a resolução do sistema. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  4. 4. Métodos Iterativos • Motivação III o Métodos mais apropriados para a resolução de sistemas de natureza esparsa  Métodos iterativos • Gauss-Jacobi • Gauss-Seidel Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  5. 5. Métodos Iterativos • Vantagem  Menos suscetíveis ao acúmulo de erros de arredondamento do que o método de Eliminação de Gauss. • Lembretes importantes: o Como todo processo iterativo, estes métodos sempre apresentarão um resultado aproximado, que será tão próximo do resultado real conforme o número de iterações realizadas. o Além disto, também é preciso ter cuidado com a convergência destes métodos. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  6. 6. Métodos Iterativos • Em certos casos, métodos diretos não são eficientes, por exemplo, quando a matriz dos coeficientes é uma matriz esparsa (muitos elementos iguais a zero). • Métodos iterativos são mais econômicos no que tange a memória dos computadores • Podem ser usados para reduzir os erros de arredondamento na solução obtida por métodos exatos. • Em alguns casos podem ser aplicados para resolver conjuntos de equações não lineares Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  7. 7. Métodos Iterativos • Um método é iterativo quando fornece uma sequência de aproximações da solução • Cada uma das aproximações é obtida das anteriores pela repetição do mesmo processo • Precisam sempre saber se a sequência obtida está convergindo ou não para a solução desejada. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  8. 8. Métodos Iterativos • Para determinar a solução de um sistema linear por métodos iterativos, precisamos transformar o sistema dado em um outro sistema onde possa ser definido um processo iterativo • A solução obtida para o sistema transformado deve ser também solução do sistema original (sistemas lineares devem ser equivalentes) Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  9. 9. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  10. 10. nnnn xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx 210 4 2 4 1 4 0 4 3 2 3 1 3 0 3 2 2 2 1 2 0 2 1 2 1 1 1 0 1   • Métodos Iterativos: Consistem em encontrar uma seqüência de estimativas xi k (dada uma estimativa inicial xi 0) que após um número suficientemente grande de iterações convirja para a solução do sistema de equações. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  11. 11. Métodos Iterativos • Outra vantagem destes métodos  não são tão suscetíveis ao acúmulo de erros de arredondamento como o método de Eliminação de Gauss. • É importante lembrar que: o Como todo processo iterativo, estes métodos sempre apresentarão um resultado aproximado, que será tão próximo do resultado real conforme o número de iterações realizadas. o Além disso, também é preciso ter cuidado com a convergência desses métodos. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  12. 12. Métodos Iterativos Métodos Iterativos • Transforma o sistema linear Ax=b em x = Cx +g o A: matriz dos coeficientes, n x m o x: vetor das variáveis, n x 1; o b: vetor dos termos constantes, n x 1. • Métodos utilizados: o Gauss-Jacobi o Gauss-Seidel Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  13. 13. Métodos Iterativos Método de Gauss-Jacobi • Conhecido x(0) (aproximação inicial) obtém-se consecutivamente os vetores:  De um modo geral, a aproximação x(k+1) é calculada pela fórmula x(k+1) = C x(k)+g, k=0, 1, ... etc.o),aproximaçã(segunda, o)aproximaçã(primeira, )()( )()( gCxx gCxx   12 01 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  14. 14. Métodos Iterativos  Da primeira equação do sistema a11 x1 + a12 x2 + ... +a1n x2 = b1 obtém-se x1 = (1/a11) (b1 - a12 x2 - ... -a1n x2) analogamente x2 = (1/a22 (b2 - a21 x1 - ... -a2n xn) . . . . xn = (1/ann) (bn - an1 x1 - ... - an,n-1 xn-1 ) Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  15. 15. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  16. 16. Métodos Iterativos  Método de Jacobi para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  17. 17. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  18. 18. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  19. 19. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  20. 20. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  21. 21. Exemplos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  22. 22. 2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  23. 23. 3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  24. 24. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. 6x + y + 2z = 10 x – 3y + 0,5z = 2,8 0,75x + 3y – 10z = -6,9 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  25. 25. 10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7 x1 + 5x2 + x3 = -8 2x1 + 3x2 + 10x3 = 6 6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  26. 26. Exercícios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  27. 27. 1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss- Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  28. 28. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  29. 29. 5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  30. 30. Métodos Iterativos  Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  31. 31. Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Segundo esse critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se: ii n ij j ij aa   1 , para i=1, 2, 3, ..., n.
  32. 32. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo: O sistema abaixo satisfaz o critério das linhas e essa verificação pode ser feita de maneira quase imediata, observando-se que: Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel 0.1048.02.14.0 0.12.02.01.0 8.73.06.036.0 4.02.02.02 4321 4321 4321 4321     xxxx xxxx xxxx xxxx 4.28.02.14.04 5.02.02.01.01 5.13.06.06.03 4.12.02.012 43424144 34323133 24232122 14131211     aaaa aaaa aaaa aaaa ii n ij j ij aa   1 para i=1, 2, 3, 4.
  33. 33. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  34. 34. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  35. 35. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  36. 36. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  37. 37. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  38. 38. Exemplos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  39. 39. 2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  40. 40. 3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  41. 41. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. 6x + y + 2z = 10 x – 3y + 0,5z = 2,8 0,75x + 3y – 10z = -6,9 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  42. 42. 10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7 x1 + 5x2 + x3 = -8 2x1 + 3x2 + 10x3 = 6 6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  43. 43. Exercícios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  44. 44. 1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  45. 45. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  46. 46. 5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  47. 47.

×