Sistemas Lineares
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Métodos Iterativos
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Métodos Iterativos
 Método de Jacobi para se chegar às fórmulas de
iterações, na forma matricial:
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Métodos Iterativos
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Exemplos
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2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.
Prof. Renan Gusta...
3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
Prof. Renan Gusta...
4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
6x + y + 2z = 10
...
10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de
Jacobi,...
Exercícios
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1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss-
Jacobi, tendo como para X1=0, X2=0 e X3=0 e ε=0,05.
Prof. Rena...
4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
Prof. Renan Gusta...
5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de
Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06.
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Métodos Iterativos
 Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de
iterações, na forma algébrica:
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Métodos Iterativos
 Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de
iterações, na forma matricial:
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Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel
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• Segundo esse critério, um determ...
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Exemplo: O sistema abaixo satisfaz o critério das
linhas e essa verificação pode ser fe...
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 Distância entre duas iterações
d(k) = max xi
(k) - xi
(k-1)
 Critério de parada
dr
(k) = d(k)/ (max xi
(k) ) <
Prof....
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EXEMPLO
 Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = -6
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Com x0 =
0,7
-1,6
0,6
e = 0,05
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Métodos Iterativos - Critério de Parada
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obtemos
x(1) =
-0,56
-1,86
-0,26
= 0,05
|x1
(1) – x1
(0)| = 1,26
|x2
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(0)| = 0,26
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(1) – x3
(0)| = 0,86
dr
(...
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x(2) =
-0,25
-1,44
0,07
= 0,05
dr
(2) = 0,42/ 1,44 = 0,29 >
x(3) =
-0,43
-1,56
-0,11
dr
(3) = 0,18/ 1,56 = 0,12 >
Prof....
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x(4) =
-0,35
-1,49
-0,04
= 0,05
dr
(4) = 0,08/ 1,49 = 0,054 >
x(5) =
-0,39
-1,52
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dr
(5) = 0,04/ 1,52 = 0,03 <
Pro...
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SOLUÇÃO
10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = -6
x* =
-0,39
-1,52
-0,08
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Exemplos
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2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.
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3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de
Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
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4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
6x + y + 2z = 10
...
10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,...
Exercícios
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1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de
Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
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4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
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5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de
Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06.
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  1. 1. Sistemas Lineares - - - Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  2. 2. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  3. 3. Métodos Iterativos  Método de Jacobi para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  4. 4. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
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  7. 7. Exemplos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  8. 8. 2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  9. 9. 3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  10. 10. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. 6x + y + 2z = 10 x – 3y + 0,5z = 2,8 0,75x + 3y – 10z = -6,9 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  11. 11. 10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7 x1 + 5x2 + x3 = -8 2x1 + 3x2 + 10x3 = 6 6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  12. 12. Exercícios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  13. 13. 1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss- Jacobi, tendo como para X1=0, X2=0 e X3=0 e ε=0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  14. 14. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  15. 15. 5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  16. 16. Métodos Iterativos  Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma algébrica: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  17. 17. Métodos Iterativos  Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  18. 18. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  19. 19. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  20. 20. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  21. 21. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  22. 22. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  23. 23. Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Segundo esse critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se: ii n ij j ij aa 1 , para i=1, 2, 3, ..., n.
  24. 24. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo: O sistema abaixo satisfaz o critério das linhas e essa verificação pode ser feita de maneira quase imediata, observando-se que: Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel 0.1048.02.14.0 0.12.02.01.0 8.73.06.036.0 4.02.02.02 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 4.28.02.14.04 5.02.02.01.01 5.13.06.06.03 4.12.02.012 43424144 34323133 24232122 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa ii n ij j ij aa 1 para i=1, 2, 3, 4.
  25. 25. 29  Distância entre duas iterações d(k) = max xi (k) - xi (k-1)  Critério de parada dr (k) = d(k)/ (max xi (k) ) < Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  26. 26. 30 EXEMPLO  Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7 x1 + 5x2 + x3 = -8 2x1 + 3x2 + 10x3 = -6 Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  27. 27. 31 Com x0 = 0,7 -1,6 0,6 e = 0,05 Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  28. 28. 32 obtemos x(1) = -0,56 -1,86 -0,26 = 0,05 |x1 (1) – x1 (0)| = 1,26 |x2 (1) – x2 (0)| = 0,26 |x3 (1) – x3 (0)| = 0,86 dr (1) = 1,26/ (max xi(1) ) = 0,677 > Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  29. 29. 33 x(2) = -0,25 -1,44 0,07 = 0,05 dr (2) = 0,42/ 1,44 = 0,29 > x(3) = -0,43 -1,56 -0,11 dr (3) = 0,18/ 1,56 = 0,12 > Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  30. 30. 34 x(4) = -0,35 -1,49 -0,04 = 0,05 dr (4) = 0,08/ 1,49 = 0,054 > x(5) = -0,39 -1,52 -0,08 dr (5) = 0,04/ 1,52 = 0,03 < Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  31. 31. 35 SOLUÇÃO 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7 x1 + 5x2 + x3 = -8 2x1 + 3x2 + 10x3 = -6 x* = -0,39 -1,52 -0,08 Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  32. 32. Exemplos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  33. 33. 2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  34. 34. 3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  35. 35. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. 6x + y + 2z = 10 x – 3y + 0,5z = 2,8 0,75x + 3y – 10z = -6,9 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  36. 36. 10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7 x1 + 5x2 + x3 = -8 2x1 + 3x2 + 10x3 = 6 6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  37. 37. Exercícios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  38. 38. 1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  39. 39. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  40. 40. 5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  41. 41.

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