Primitivas - Teoria e exercícios de aplicação

1. numerosnamente 1
Primitivas
- A primitivação é a operação inversa da derivação.
-Seja f uma função definida num intervalo , então qualquer função definida e diferenciável
no intervalo , tal que ( ) ( ), para todo o , diz-se primitiva de em .
Assim se a função é primitivável no intervalo se admitir uma primitiva no intervalo .
Note que se for a primitiva de , também é a primitiva de , sendo constante.
Num intervalo  , todas as primitivas de uma dada função diferem de uma constante.
Assim se e são duas primitivas da função no intervalo  , então e , diferem de
uma constante.
Notações: ( ) ( ) ( ) ∫ ( )
Propriedades das primitivas:
1- Sejam e , funções primitiváveis no intervalo   e . Então no intervalo  
tem-se que:
a) ( ( ) ( )) ( ) ( )
b) ( ( )) ( )
Nota = Ao primitiva de um produto não é igual ao produto das primitivas.
2- Se uma função é continua no intervalo  , então é primitivável no intervalo
 .
3- Se uma função é continua em  , para cada valor   e , existe
uma e uma só primitiva da função nesse intervalo, tal que: ( )
Regra da Derivada da Função Composta:
 ( ( )) ( ( )) ( )
-Potência
  ;  
Exemplos de aplicação:
-Primitive as seguintes funções:
a)
b) √ √
c)
√ √
d)

2. numerosnamente 2
e) (√ )( √ )
f) √ √
g) ( )
Resolução:
) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )
b) (√ √ ) ( ) ( ) =
( )
+ 2
( )
= + 2 = + =
+ = √ √ = √ √ + C
c) (
√ √
* (
√
) (
√
* (√ * (√ ) (√ ) (√ )=
( ) ( )
( ) ( )
= =
√ √ + C
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ C
e) ((√ )( √ )) ( √ √ √ √ )=
( √ ) (√ ) ( * ( )
( )
√ + C

3. numerosnamente 3
f) (√ √ ) (√ ) (√ ) ( ) (( ) )
( )
( )
( )( )
( )
( )
√ √( ) = √ ( ) √( )
g) (( ) ) ( ( ) ….pois a derivada de ( )
( )( ) ( ) ( )
+ C
- Exponencial
  ;  
Exemplos de aplicação:
-Primitive as seguintes funções:
a)
b)
√
√
c) ( )
( )
d)
e)
f) , k
g)
Resolução:
a) ( ) ( )…pois a derivada de ( )

4. numerosnamente 4
b) (
√
√
* ( √ ) (√ ) √ ( )
√
√
√
√
(
√
√ * √
C) ( ( )
( )) ( ( )) ( )
( ( )
( )) ( )
d) ( ) ( )
( )
e) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f) ( ) ( )
( *
g) ( ) ( )
( ) ( * ( )

5. numerosnamente 5
-Logaritmo
  ;  
Exemplos de aplicação:
-Primitive as seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f) ( )
g)
( ) ( )
( ) ( )
h)
Resolução:
) ( ) … nota que a derivada de ( ( ))
( )
( *
b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = ( )( ) ( )
(( ) ( ) ( ))=
c) ( ) ( )
( ) + C

6. numerosnamente 6
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 3( ) ( )
( )
(3( ) ( )) ( )
e) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) + C
f) ( ( )
) ( ( ( ))
( ( ))
( )
( )
( ) ( )
( ( )
) ( ) + C
g) (
( ) ( )
( ) ( )
) ( ( ( ) ( )))
( ) ( )
( ) ( )
ou seja se u = ( ) ( ) e a derivada de ( log(u))’ = então temos que:
(
( ) ( )
( ) ( )
) (
( ) ( )
( ) ( )
) ( ) ( )
h) ( ) ( ( ) , tem-se:
( )
-Arc tan ; Arc sin
  ( ) ;   ( )

√
 ( ) 
√
 ( )
Exemplos de aplicação:
-Primitive as seguintes funções:
a)

7. numerosnamente 7
b)
√
c)
√ √
d)
e)
√
f)
√ ( )
g)
h)
i)
j)
√ ( )
Resolução:
a) ( )…nota que ( ) ( ) , e que a derivada de ( ( ) )’= 3
(
( )
) ( )
b) (
√
) ( ) ( ) , e que a derivada de ( ( ) )’=
(
√ ( )
) ( )
c) (
√ √
) √ , logo
assim a derivada de u’=
√
, então: 2 (
√
) (√ )
d) ( ) nota que , então ( ) e a derivada de ( ) ( )
se fizermos a mudança de variável, tem-se: ( )= ( )= ( ) + C
Caso não se opte pela mudança de variável podemos resolver diretamente a primitiva:

8. numerosnamente 8
( ) (
( )
) ( )
e) (
√
)…nota que ( )=( ) e a derivada de ( ) , tem-se:
(
√
) ( ) +
f) (
√ ( )
*…nota que ( ) ( ) e a derivada de ( ) , tem-se:
(
√ ( )
) (
√ ( )
) ( )
g) ( ) ( ) ( ) (
( )
) …nota que a derivada de ( )
( )
h) ( ) ( ( )
)…nota que a derivada de (2 ) , tem-se:
(
( )
) ( )
i) ( ) ( ( )
)…nota que a derivada de ( )’= 4 , tem-se:
(
( )
) ( )
j) (
√ ( )
* (
√ ( )
) …nota que a derivada de (ln )’=
(
√ ( )
) ( )

9. numerosnamente 9
-Seno , coseno, tan e cotan
 ( )  ( ) ;  ( ) ( ) ;  ( ) ( )
 ( ) ( )
Exemplos de aplicação:
-Primitive as seguintes funções:
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
e) ( ) ( )
f) ( )
g) ( )
h) ( )
i)
( )
√ ( )
Resolução:
a) ( ( )) nota que a derivada de ( ( ))’ ( ), então tem-se:
( ( )) ( )
b) ( ( ))…nota que a derivada de ( ( ))’ ( ) ( ), então tem-se:
( ( ) ( )
c) ( ( ))…nota que a derivada de ( ( ))’ ( ), então tem-se:
( ( )) ( )

10. numerosnamente 10
d) ( ( ))…nota que a derivada de ( ( ))’ ( ), então tem-se:
( ( )* ( )
e) ( ( ) ( ))…nota que ( ( ) ( )) = , então tem-se:
( ( ) ( ))
( )
f) ( ( ))…nota que a derivada de ( ( ))’ ( ), então tem-se:
( ( )) ( )
g) ( ( )) ( ( ) ( ))…nota que ( ) ( ) ( )
 ( ) ( ) ( ( ))  ( ) ( ) 
 ( ) ( ( )), então tem-se:
(( ( ( )).( ( ( )) ( ( ( ) ) nota que
( ) (caso notável); assim tem-se:
( ( ( )) ) ( ( ( ) ( )))…nota que
( ) ( ( ))…substituindo na expressão anterior, tem-se:
= ( ( ( ) ( ))* ( ( ) ( ))
( * ( ( )) ( ( )* ( * ( ) ( )
( * ( ) ( )
Atenção: ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )

11. numerosnamente 11
( ) ( ) ; ( )
( )
( )
h) ( ( ))…nota que ( )
( )
( )
e a derivada de ( ( ))’ ( ), temos:
( ( )
( )
* ( )
i) (
( )
√ ( )
* (
( ) ( )
√ ( )
* (
( )( ( ))
√ ( )
) (
( )
√ ( )
* (
( ) ( )
√ ( )
*
( ( ) ( ( ) )) ( ( ) ( ) ( ) )
( ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) )
( ( )) ( ( ))
√ ( ) √ ( ) √ ( ) ( ) √ ( )
-Frações Racionais
- Método dos coeficientes indeterminados (sempre que se tem no numerador um polinómio e
grau inferior ao grau do polinómio do denominador)
Exemplos de aplicação:
-Primitive as seguintes funções:
a)
b) ( )( )
c)
d)
Resolução:
a) ( )…Temos de factorizar o denominador, para isso tem-se de calcular as suas
raízes.

√

12. numerosnamente 12
( )( )
= ( ) 
( ) ( )
( )( )
…assim ( ) ( ) 
  {  { , então:
( * ( ( ), ( )
( * ( ) | |
b) ( ( )( )
)
( )( )
 ( )( )
( ) ( )
( )( )
 ( )( ) ( )( )

 {  {
( ) – ( ) ( )
( ) = |
( )
( )
|
c) ( )
( ) ( )( )
= 

( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ( )

 ( )( ) ( )(
 {  {
( ) ( * ( * ( *
( * ( * ( *
|
( ) ( )
|

13. numerosnamente 13
Atenção: ( ) ( ) ( ) ; ( )= ( ) ( ) ; ( ) ( )
( )
d) ( )…tem-se de baixar o grau para tornar a fracção numa expressão mais simples:
0
0 0 0 1
( ) , agora temos de trabalhar a expressão
Assim ( ) ( ) ( )( )
…podemos agora aplicar o método dos
coeficientes indeterminados:
( )( )
 ( )( )
( ) ( )( )

 ( )( ) ( )( )
 { 
{

( )( )
;
( ) (( ) ) (( ) ( ) ( ) )
( ) ( ) ( * ( * ( )
Nota que a derivada de( ( )) ….assim: ( ) ( )= ( )
( * ( * ( ) ( *

14. numerosnamente 14
-Primitivação por partes
( ) ( ) ∫ ∫
Geralmente usa-se nas situações:
- função polinomial x (função sino, função coseno)
- função polinomial x (função logaritmo, função hiperbólica inversa, função trigonométrica
inversa)
- função exponencial x (função seno, função coseno)
Exemplos de aplicação:
-Primitive as seguintes funções:
a) ( ( ))
b) ( )
c) ( ( ))
d) ( ( ))
e) ( ( ))
f) ( )
g) ( ( ))
Resolução:
a) ( ( ))...tem-se que: ( ) ( )
( ( ))) ( ) ( ( ))
Por sua vez na ( ( )) tem-se que: ( )
( )…então tem-se:
( ( )) ( ( )) ( ( ( )))…assim juntando tudo tem-
se:

15. numerosnamente 15
( ( ))) ( ) ( ( ) ( ( )) 
 ( ( )))= ( ) ( ( )) 
 ( ( )) ( ( ) ( ))
b) ( )…tem-se que
( ) ( )  ( )
c) ( ( ))…tem-se que
( ( )) ( ( )) (( )( ))
Tem-se agora que trabalhar (( )( ))
(( )( )) ( ) ( )
(( )( )) ( ) …juntando tudo, tem-se:
( ( )) ( ( )) ( )
( ( )) ( ) ( ))
d) ( ( ))…tem-se que : ( ) ( )
( ( )) ( ( )* ( ( ( ))
Por outro lado ( ( ( )) ( )…Juntado tudo, tem-se:
( ( )) ( ( )* ( )
e) ( ( ))…tem-se que: ( ) ; v’=
( ( )) ( ) ( )

16. numerosnamente 16
A primitiva ( ) ( ) …Juntando tudo:
( ( )) ( )
f) ( )…tem-se que: ( ) ( ( ))
( ) ( ( )) ( ( ))
A primitiva ( ( )) ( ( ))…temos de fazer por partes esta primitiva:
Assim na primitiva ( ( ))…tem-se ( )
A primitiva ( ( )) ( ) ( )  ( ) .Juntando tudo, tem-se:
( )= ( ( )) ( )
g) ( ( ))…tem-se que: ( ) ( ) ( ) ( )
( ( )) ( ( )) ( ) (( ( ))( ( )))
 ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) , note que a primitiva de:
( ( )) ( ( )) ( ( )). Juntando tudo, tem-se:
( ( )) ( ( )) ( ) ( ( ))  ( ( )) ( ( )) ( )
 ( ( )) ( ( )) ( ) 
-Primitivas por substituição
Método muito útil, onde se substitui a variável ( ) na expressão por uma expressão noutra
variável, de modo a facilitar a resolução do exercício.
( ) ( ( )) ( ( ( ) ( ))
Exemplos de aplicação:
-Primitive as seguintes funções:
a) ( )

17. numerosnamente 17
b) (
√
)
c) (
√
)
d) ( (√ )
e) (
( )
)
f) ( √ )
Resolução:
a) ( )…por substituição: ( ) ;
( ) ( ( )
) (( ( )
) ( )* Note que ( )
, tem-se então:
(( ( )
) ( )* ( ( )* ( )
b) (
√
) (
√ ( )
) (
√ ( )
) (
√ ( )
)
Por substituição: ( ) ( ) ( )
(
√ ( )
) (
( )
√ ( )
)…note que: ( ) √ ( ) , tem-se que:
(
( )
√ ( )
) (
( )
( )
) ( ) , então com ( ) , tem-se:
(
√
)
( )
c) (
√
)…por substituição:
(
√
* (
√
( )) ( ( )+ ( )
( )
(
√
) …Note que √ , tem-se que:
(
√
*
√
√

18. numerosnamente 18
d) ( (√ )…por substituição:
( (√ ) (( (√ ) ) ( ( ) )
Agora tem-se que fazer a primitiva por partes:
( ( ) )….por partes: ( ) ( )
Temos: ( ( ) ) ( ( )) ( ( ( ))
Volta-se a ter primitivação por partes:
( ( ( ))… por partes: ( ) ( ) . Tem-se:
( ( ( )) ( ( )) ( ( ( )) ( ) ( )
Juntando tudo, tem-se:
( ( ) ) ( ( )) ( ) ( ) substituindo a variável ( ):
( (√ ) √ (√ ) √ (√ ) (√ )
e) (
( )
)…por substituição:
(
( )
) (
( )
) ( )
( )
Note que ( ) ( )
(
( )
)
( )
( √ ) por substituição: √  ;
( √ ) ( )…tem-se agora uma primitivação por partes.
( )…por partes: ( )
. Tem-se então:
( )
( )
(
( )
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
(
( )
)
Substituindo, tem-se:
( √ )
√
√
( )
√
( )

19. numerosnamente 19
-Primitivas das funções hiperbólicas
Vamos fazer uma breve revisão das suas derivadas:
( ( )) ( ) ; ( ( )) ( ) ;
( ( )) ( )
( ( ))
( ( ))
( )
; ( ( )) ( ) ( )
( ( )) ( ) ( )
Outras fórmulas a reter:
( ) (seno hiperbólico)
cosh( ) (coseno hiperbólico)
tanh( )
( )
( )
(tangente hiperbólica)
cotanh( )
( )
( )
(cotangente hiperbólica)
( ) ;
sech( )
( )
(secante hiperbólica)
cosech( )
( )
(cossecante hiperbólica)
( ) ; ( )
( ) ( )
As suas primitivas:
 ( )   ( )   ( )   ( )
 ( )  
( )
  ( )

20. numerosnamente 20
 ( )  
( )
  ( )
 ( )   ( ) ( )
 ( )  ( ) ( )
Funções hiperbólicas inversas:
 ( ) 
√
 ( √ )
 ( ) 
√
 ( √ )
 ( )   |
 ( )   |
Exemplos de aplicação:
-Primitive as seguintes funções:
a) ( ( ))
b) ( ( ))
c) ( ( )
)
d) ( ( )
)
e) (
( )
( )
)
f) ( ( ))
g) ( ( ))
h) ( ( ))
i) ( ( ))
j) ( ( ))
l) ( ( ))
m) (
√
)

21. numerosnamente 21
n) ( )
Resolução:
a) ( ( )) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ).( ) , substituindo:
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 
   ( )   ( )
b) ( ( )) ( ( ) ( )) = (( ( )) ( ))
nota: ( ) ( )
Fazendo uma substituição: ( ) ( ( )) ( ) , tem-se:
(( ( )) ( )) (( ) )
( )

( ( )) ( )
( )
c) ( ( )
) ( ) ( ) ( ) fazendo uma mudança de variável:
t’=1. ;
( ) ( ) ( ) ( )
d) ( ( )
)…fazendo o artifício de cálculo = (
( )
( )
) (
( )
( ( ))( ( ))
)
Atendendo que ( ( )) ( ( ) ), tem-se:
(
( )
( ( ) )( ( ) )
)…fazendo a mudança de variável
( ) ( ), obtem-se:
(( )
) ((( )( ))
) aplicado o método dos coeficientes indeterminados:
(( )( ))
=
( ) ( ) ( ) ( )
 (( )( ))
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
(( )( ))


22. numerosnamente 22

{
 (( ) ( ) ( ) ( )
) 
 (( )
) (( )
) (( )
) (( )
) 
 ( ) + ( ) 

( )
( )
|
( )
( )
|
e) (
( )
( )
) (
( ( )) ( )
( )
) (
( ( ) ) ( )
( )
)…fazendo uma substituição,
tem-se:
( ) ( ) ; ( ) ( ) ;
(
( ( ) ) ( )
( )
) (
( )
) ( ) ( )
( )
( )

( ( )) ( ( ))
f) ( ( )) ( ( )) ( ) (nota: ( ( )) ( ) )
g) ( ( )) ( ( ) ( ) ( ( ( )) ( ) )
h) ( ( ))… Como ( )
( )
, tem-se:
( ( )) ( (
( )
)+ ( ( ) )
( )
i) ( ( ))…nota que: ( )
( )
 ( ) ( ),
tem-se:

23. numerosnamente 23
( ( )) ( ( )) ( ) ( ( ) ) ( )
j) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
l) ( ( )) ( ) ( ) ( ) …temos agora primitivas por
partes:
, tem-se que:
( ) ( )
, tem-se que:
( ) ( ) ……. Juntando tudo, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )
m) (
√
) (
√ (
) (
√( )
)…fazendo a mudança de variável:
(
√( )
) (
√
) ( ) = ( )
n) ( ) (
(( ) *
+ (
(( ) )
)…fazendo a mudança de variável:
(
(( ) )
, (
( )
) ( ) ( *