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Sistemas Lineares
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Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
 Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de
iterações, na forma algébrica:
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
 Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de
iterações, na forma matricial:
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Métodos Iterativos
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Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Segundo esse critério, um determinado sistema
irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:
ii
n
ij
j
ij aa
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, para i=1, 2, 3, ..., n.
7
 Distância entre duas iterações
d(k) = max xi
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 Critério de parada
dr
(k) = d(k)/ (max xi
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Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
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EXEMPLO
 Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = -6
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Métodos Iterativos - Critério de Parada
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Com x0 =
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Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
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x(1) =
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|x1
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(0)| = 1,26
|x2
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Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
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x(2) =
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x(3) =
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Métodos Iterativos - Critério de Parada
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Métodos Iterativos - Critério de Parada
13
SOLUÇÃO
10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = -6
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Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
Exemplos
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2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
6x + y + 2z = 10
x – 3y + 0,5z = 2,8
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4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exercícios
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1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
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10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
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Cálculo de Determinantes
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Praticar e relembrar
Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes
sistemas lineares abaixo:
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achar zeros exatamente.
Zeros de Funções Reais
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Por isso, temos que dos contentar em encontrar apenas
aproximações para esses zeros (soluções numéricas); mas isto não é
uma limitação muito séria, pois, com os métodos que veremos, vamos
conseguir encontrar os zeros de uma função com qualquer precisão
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Zeros de Funções Reais
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Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
A ideia central destes métodos numéricos é partir de uma
aproximação inicial para a raiz (um intervalo onde imaginamos a
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Zeros de Funções Reais
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Zeros de Funções Reais
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Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou
transcendente, algumas etapas devem ser seguidas:
1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o menor possível,
que contenha a raiz;
2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de
exatidão requerido pelo problema.
Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da
seguinte maneira:
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algumas calculadoras ou softwares matemáticos.
Zeros de Funções Reais
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Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
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Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função
f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II depende
fortemente da precisão desta análise. Na analise teórica, usamos
frequentemente o Teorema de Bolzano:
Pois (+) (+) → (+), (-) (-) → (+); (+) (-) ou (-) (+) → (-)
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Graficamente, temos:
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
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Graficamente, temos:
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Se f(a) x f(b) > 0, pode-se ter outras situações no intervalo
estudado, como as mostradas abaixo:
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
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Observação:
Sob as hipóteses do Teorema de Bolzano, se f’(x) existir,
preservando sinal dentro de (a, b), então este intervalo contém um
único zero de f(x).
Graficamente, temos:
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Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando resultados
anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as
mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em
que f(x) mudou de sinal.
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
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Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as
raízes da função:
Primeira análise: Construindo uma tabela de valores para
f(x) e considerando apenas os sinais, temos:
Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
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Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as
raízes da função:
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Fase I: Isolamento das Raízes
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Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as
raízes da função:
Como f(x) é um polinômio de 3º grau, podemos afirmar que
cada intervalo contém um único zero de f(x); assim, localizamos
todas as raízes de f(x)=0.
Uma segunda análise da função, por meio do sinal da sua
derivada, não se faz necessário, neste exemplo, tendo em vista sua
trivialidade. Veja:
Zeros de Funções Reais
Fase I: Análise Gráfica
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Pode-se utilizar um dos seguintes processos:
Zeros de Funções Reais
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Métodos Iterativos para Sistemas Lineares

  • 1. Sistemas Lineares - - - Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 2. Métodos Iterativos  Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma algébrica: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 3. Métodos Iterativos  Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 4. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 5. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 6. Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Segundo esse critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se: ii n ij j ij aa 1 , para i=1, 2, 3, ..., n.
  • 7. 7  Distância entre duas iterações d(k) = max xi (k) - xi (k-1)  Critério de parada dr (k) = d(k)/ (max xi (k) ) < Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  • 8. 8 EXEMPLO  Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7 x1 + 5x2 + x3 = -8 2x1 + 3x2 + 10x3 = -6 Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  • 9. 9 Com x0 = 0,7 -1,6 0,6 e = 0,05 Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  • 10. 10 obtemos x(1) = -0,56 -1,86 -0,26 = 0,05 |x1 (1) – x1 (0)| = 1,26 |x2 (1) – x2 (0)| = 0,26 |x3 (1) – x3 (0)| = 0,86 dr (1) = 1,26/ (max xi(1) ) = 0,677 > Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  • 11. 11 x(2) = -0,25 -1,44 0,07 = 0,05 dr (2) = 0,42/ 1,44 = 0,29 > x(3) = -0,43 -1,56 -0,11 dr (3) = 0,18/ 1,56 = 0,12 > Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  • 12. 12 x(4) = -0,35 -1,49 -0,04 = 0,05 dr (4) = 0,08/ 1,49 = 0,054 > x(5) = -0,39 -1,52 -0,08 dr (5) = 0,04/ 1,52 = 0,03 < Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  • 13. 13 SOLUÇÃO 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7 x1 + 5x2 + x3 = -8 2x1 + 3x2 + 10x3 = -6 x* = -0,39 -1,52 -0,08 Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada
  • 15. 2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 16. 3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. 6x + y + 2z = 10 x – 3y + 0,5z = 2,8 0,75x + 3y – 10z = -6,9 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 17. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 19. 1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 20. 10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7 x1 + 5x2 + x3 = -8 2x1 + 3x2 + 10x3 = 6 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 21.
  • 22. Inversão de Matrizes e Cálculo de Determinantes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Praticar e relembrar
  • 23. Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 24. Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 25. Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 26. Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 27. Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 28. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:
  • 29. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:
  • 30. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:
  • 31. Equações Algébricas e Transcendentes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Zero Reais de Funções Reais
  • 32. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Nas mais diversas áreas das ciências exatas ocorrem, frequentemente, situações que envolvem a resolução de uma equação do tipo f(x)=0. Consideremos, por exemplo, o seguinte circuito: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Kirchoff’s Law
  • 33. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Estruturas Isostáticas
  • 34. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 35. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 36. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 37. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Serão analisados os casos dos Zeros Reais da função f(x)=0. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 38. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Como obter raízes reais de uma equação qualquer?
  • 39. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Sabemos que, para algumas equações, como por exemplo às equações polinomiais do segundo grau, existem fórmulas explicitas que nos mostram as raízes em função dos coeficientes (Bháskara, por exemplo). No entanto, no caso de polinômios de grau mais elevado e no caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se achar zeros exatamente.
  • 40. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Por isso, temos que dos contentar em encontrar apenas aproximações para esses zeros (soluções numéricas); mas isto não é uma limitação muito séria, pois, com os métodos que veremos, vamos conseguir encontrar os zeros de uma função com qualquer precisão prefixada.
  • 41. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares A ideia central destes métodos numéricos é partir de uma aproximação inicial para a raiz (um intervalo onde imaginamos a raiz estar contida) e em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo.
  • 42. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 43. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou transcendente, algumas etapas devem ser seguidas: 1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o menor possível, que contenha a raiz; 2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido pelo problema. Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da seguinte maneira: 3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos.
  • 44. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 45. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II depende fortemente da precisão desta análise. Na analise teórica, usamos frequentemente o Teorema de Bolzano: Pois (+) (+) → (+), (-) (-) → (+); (+) (-) ou (-) (+) → (-)
  • 46. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Graficamente, temos:
  • 47. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Graficamente, temos:
  • 48. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Se f(a) x f(b) > 0, pode-se ter outras situações no intervalo estudado, como as mostradas abaixo:
  • 49. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Observação: Sob as hipóteses do Teorema de Bolzano, se f’(x) existir, preservando sinal dentro de (a, b), então este intervalo contém um único zero de f(x). Graficamente, temos:
  • 50. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 51. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando resultados anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal.
  • 52. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função: Primeira análise: Construindo uma tabela de valores para f(x) e considerando apenas os sinais, temos:
  • 53. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função:
  • 54. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função: Como f(x) é um polinômio de 3º grau, podemos afirmar que cada intervalo contém um único zero de f(x); assim, localizamos todas as raízes de f(x)=0. Uma segunda análise da função, por meio do sinal da sua derivada, não se faz necessário, neste exemplo, tendo em vista sua trivialidade. Veja:
  • 55. Zeros de Funções Reais Fase I: Análise Gráfica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Pode-se utilizar um dos seguintes processos:
  • 56. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 2: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função:
  • 57. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes. Método (i): Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 58. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes. Método (ii): Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 59. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes. Método (ii): Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
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