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FUNC¸ ˜OES: DEFINIC¸ ˜AO, DOM´INIO,
IMAGEM E GR´AFICO DE FUNC¸ ˜AO
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
DEFINIC¸ ˜AO DE FUNC¸ ˜AO
Uma fun¸c˜ao f : A → B ´e uma lei ou regra que a cada elemento de A faz
corresponder um ´unico elemento de B.
• A - dom´ınio de f, dom(f)
• B - codom´ınio ou contra-dom´ınio de f, cod(f)
Funcionalidade:
f : A → B ou f : BA
Que ´e lido como “f de A sobre B”.
A figura a seguir apresenta um exemplo de fun¸c˜ao usando diagrama de
setas:
Neste exemplo, dom(f) = A = {1, 2, 4, 6} e cod(f) = B = {3, 5, 7, 8, 9, 10}
1
Podemos representar esta mesma fun¸c˜ao por meio de uma tabela que
relaciona os elementos do dom´ınio com os do codom´ınio:
A B
1 3
2 3
4 9
6 7
Uma outra forma de representar a fun¸c˜ao ´e a nota¸c˜ao f(a) = b, denotando
que o valor da fun¸c˜ao em a ´e b. No caso do exemplo acima: f(1) = 3;
f(2) = 3; f(4) = 9; e f(6) = 7.
Assim, uma fun¸c˜ao ´e um conjunto de pares ordenados
(a, b) ∈ dom(f) × cod(f)
tal que
f = {(a, b)|a ∈ dom(f) ∧ b ∈ cod(f) ∧ b = f(a)}
No exemplo, a fun¸c˜ao seria representada por:
f = {(1, 3), (2, 3), (4, 9), (6, 7)}
O que significa uma fun¸c˜ao ser uma “lei ou regra”? O que significa “cada
elemento de A corresponder a um ´unico elemento de B”?
Uma lei ou regra estabelece uma rela¸c˜ao entre dois conjuntos. Por exem-
plo, as leis do nosso c´odigo penal atribuem puni¸c˜oes para cada um dos delitos.
Isso estabelece uma rela¸c˜ao entre os elementos do conjunto dos delitos, com
os elementos do conjunto das puni¸c˜oes. A lei penal faz corresponder a cada
delito uma puni¸c˜ao.
2
Quando uma lei ou regra ´e aplicada, s´o pode haver um resultado poss´ıvel,
nunca mais de um. Vejamos o exemplo de uma fun¸c˜ao que associasse a cada
produto, por exemplo de um supermercado, o seu pre¸co. N˜ao faz nenhum
sentido que um produto seja associado a mais de um pre¸co. Mas dois produ-
tos podem ter o mesmo pre¸co. Vejamos isso ilustrado nos seguintes diagramas
de setas:
Este diagrama ´e uma fun¸c˜ao
Este diagrama ´e uma fun¸c˜ao
Esse diagrama n˜ao ´e uma fun¸c˜ao
3
Isso significa que um elemento do conjunto de partida, o dom´ınio, n˜ao
pode relacionar-se com mais de um elemento do conjunto de chegada, o
codom´ınio, mas um elemento do conjunto de chegada pode relacionar-se com
mais de um elemento do conjunto de partida.
Vejamos um segundo exemplo. Vamos assumir um carro deslocam-se por
uma estrada. Sua posi¸c˜ao na estrada ao longo do tempo, em rela¸c˜ao a um
ponto de origem, pode ser dado por uma fun¸c˜ao que mapeia tempo, em
segundos, na posi¸c˜ao do carro em metros.
Vamos assumir a seguinte fun¸c˜ao representada na forma canˆonica
f(x) = α
onde α ´e uma express˜ao em x. Por exemplo,
f(t) = t/2 + 5
onde t ´e dado em segundos e f(t) em metros, representando o deslocamento
do carro. A seguinte tabela mostra esta fun¸c˜ao para alguns valores:
t (segundos) f(t) (metros)
1 s 5, 5 m
2 s 6 m
3 s 6, 5 m
...
...
Observe-se que a defini¸c˜ao de fun¸c˜ao imp˜oe que um elemento do dom´ınio
(neste caso, tempo em segundos) n˜ao pode estar associado a mais de um
elemento do codom´ınio (neste caso, posi¸c˜ao no espa¸co em metros). Ou seja,
o carro n˜ao pode ocupar duas posi¸c˜oes no espa¸co ao mesmo tempo!
4
IMAGEM
Seja f : A → B. Dado x ∈ A, o elemento f(x) ∈ B ´e chamado de valor
da fun¸c˜ao no ponto x ou de imagem de x por f.
O conjunto de todos os valores assumidos pela fun¸c˜ao ´e chamado de con-
junto imagem de f e ´e denotado por img(f).
Exemplos:
1.
Onde: dom(f) = {1, 2, 4, 6}, cod(f) = {3, 5, 7, 8, 9, 10} e img(f) = {3, 7, 9}.
2. Seja f : N∗
→ N∗
, com f(x) = 2x. Logo, img(f) = {2, 4, 6, 8, . . . }, ou
seja, o conjunto dos n´umeros pares.
3. Seja f : R → R, com f(x) = x2
. Logo, dom(f) = R e img(f) =
[0, +∞).
GR´AFICO DE FUNC¸ ˜OES
Seja f uma fun¸c˜ao. O gr´afico de f ´e o conjunto de todos os pontos (x, f(x))
de um plano coordenado, onde x pertence ao dom´ınio de f. Assim, o gr´afico
consiste no conjunto de pares ordenados {(x, y) ∈ R2
|x ∈ dom(f) ∧ y = x2
}.
5
Exemplos:
1. f(x) = x2
com dom(f) = R
x f(x)
...
...
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
...
...
Chamamos este gr´afico de par´abola.
6
2. f(x) = x com dom(f) = R
x f(x)
...
...
-3 -3
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1
2 2
3 3
...
...
Chamamos esta fun¸c˜ao de fun¸c˜ao identidade.
7
3.
f(x) =



−2 se x ≤ −2
2 se − 2 < x ≤ 2
4 se x > 2
com dom(f) = R
Este tipo de fun¸c˜ao ´e chamada de fun¸c˜ao modular pois ´e definida por
casos.
8
TESTE DA RETA VERTICAL
O seguinte gr´afico representa uma fun¸c˜ao?
N˜ao ´e uma fun¸c˜ao porque um elemento do dom´ınio se relaciona com mais
de um elemento do codom´ınio. Para verificar isso, basta tra¸car uma reta
vertical passando por mais de um ponto da curva do gr´afico. Este teste ´e
chamado de teste da reta vertical.
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FUNÇÕES: DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICO DE FUNÇÃO

  • 1. FUNC¸ ˜OES: DEFINIC¸ ˜AO, DOM´INIO, IMAGEM E GR´AFICO DE FUNC¸ ˜AO Prof. Dr. Carlos A. P. Campani DEFINIC¸ ˜AO DE FUNC¸ ˜AO Uma fun¸c˜ao f : A → B ´e uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um ´unico elemento de B. • A - dom´ınio de f, dom(f) • B - codom´ınio ou contra-dom´ınio de f, cod(f) Funcionalidade: f : A → B ou f : BA Que ´e lido como “f de A sobre B”. A figura a seguir apresenta um exemplo de fun¸c˜ao usando diagrama de setas: Neste exemplo, dom(f) = A = {1, 2, 4, 6} e cod(f) = B = {3, 5, 7, 8, 9, 10} 1
  • 2. Podemos representar esta mesma fun¸c˜ao por meio de uma tabela que relaciona os elementos do dom´ınio com os do codom´ınio: A B 1 3 2 3 4 9 6 7 Uma outra forma de representar a fun¸c˜ao ´e a nota¸c˜ao f(a) = b, denotando que o valor da fun¸c˜ao em a ´e b. No caso do exemplo acima: f(1) = 3; f(2) = 3; f(4) = 9; e f(6) = 7. Assim, uma fun¸c˜ao ´e um conjunto de pares ordenados (a, b) ∈ dom(f) × cod(f) tal que f = {(a, b)|a ∈ dom(f) ∧ b ∈ cod(f) ∧ b = f(a)} No exemplo, a fun¸c˜ao seria representada por: f = {(1, 3), (2, 3), (4, 9), (6, 7)} O que significa uma fun¸c˜ao ser uma “lei ou regra”? O que significa “cada elemento de A corresponder a um ´unico elemento de B”? Uma lei ou regra estabelece uma rela¸c˜ao entre dois conjuntos. Por exem- plo, as leis do nosso c´odigo penal atribuem puni¸c˜oes para cada um dos delitos. Isso estabelece uma rela¸c˜ao entre os elementos do conjunto dos delitos, com os elementos do conjunto das puni¸c˜oes. A lei penal faz corresponder a cada delito uma puni¸c˜ao. 2
  • 3. Quando uma lei ou regra ´e aplicada, s´o pode haver um resultado poss´ıvel, nunca mais de um. Vejamos o exemplo de uma fun¸c˜ao que associasse a cada produto, por exemplo de um supermercado, o seu pre¸co. N˜ao faz nenhum sentido que um produto seja associado a mais de um pre¸co. Mas dois produ- tos podem ter o mesmo pre¸co. Vejamos isso ilustrado nos seguintes diagramas de setas: Este diagrama ´e uma fun¸c˜ao Este diagrama ´e uma fun¸c˜ao Esse diagrama n˜ao ´e uma fun¸c˜ao 3
  • 4. Isso significa que um elemento do conjunto de partida, o dom´ınio, n˜ao pode relacionar-se com mais de um elemento do conjunto de chegada, o codom´ınio, mas um elemento do conjunto de chegada pode relacionar-se com mais de um elemento do conjunto de partida. Vejamos um segundo exemplo. Vamos assumir um carro deslocam-se por uma estrada. Sua posi¸c˜ao na estrada ao longo do tempo, em rela¸c˜ao a um ponto de origem, pode ser dado por uma fun¸c˜ao que mapeia tempo, em segundos, na posi¸c˜ao do carro em metros. Vamos assumir a seguinte fun¸c˜ao representada na forma canˆonica f(x) = α onde α ´e uma express˜ao em x. Por exemplo, f(t) = t/2 + 5 onde t ´e dado em segundos e f(t) em metros, representando o deslocamento do carro. A seguinte tabela mostra esta fun¸c˜ao para alguns valores: t (segundos) f(t) (metros) 1 s 5, 5 m 2 s 6 m 3 s 6, 5 m ... ... Observe-se que a defini¸c˜ao de fun¸c˜ao imp˜oe que um elemento do dom´ınio (neste caso, tempo em segundos) n˜ao pode estar associado a mais de um elemento do codom´ınio (neste caso, posi¸c˜ao no espa¸co em metros). Ou seja, o carro n˜ao pode ocupar duas posi¸c˜oes no espa¸co ao mesmo tempo! 4
  • 5. IMAGEM Seja f : A → B. Dado x ∈ A, o elemento f(x) ∈ B ´e chamado de valor da fun¸c˜ao no ponto x ou de imagem de x por f. O conjunto de todos os valores assumidos pela fun¸c˜ao ´e chamado de con- junto imagem de f e ´e denotado por img(f). Exemplos: 1. Onde: dom(f) = {1, 2, 4, 6}, cod(f) = {3, 5, 7, 8, 9, 10} e img(f) = {3, 7, 9}. 2. Seja f : N∗ → N∗ , com f(x) = 2x. Logo, img(f) = {2, 4, 6, 8, . . . }, ou seja, o conjunto dos n´umeros pares. 3. Seja f : R → R, com f(x) = x2 . Logo, dom(f) = R e img(f) = [0, +∞). GR´AFICO DE FUNC¸ ˜OES Seja f uma fun¸c˜ao. O gr´afico de f ´e o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao dom´ınio de f. Assim, o gr´afico consiste no conjunto de pares ordenados {(x, y) ∈ R2 |x ∈ dom(f) ∧ y = x2 }. 5
  • 6. Exemplos: 1. f(x) = x2 com dom(f) = R x f(x) ... ... -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 ... ... Chamamos este gr´afico de par´abola. 6
  • 7. 2. f(x) = x com dom(f) = R x f(x) ... ... -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3 ... ... Chamamos esta fun¸c˜ao de fun¸c˜ao identidade. 7
  • 8. 3. f(x) =    −2 se x ≤ −2 2 se − 2 < x ≤ 2 4 se x > 2 com dom(f) = R Este tipo de fun¸c˜ao ´e chamada de fun¸c˜ao modular pois ´e definida por casos. 8
  • 9. TESTE DA RETA VERTICAL O seguinte gr´afico representa uma fun¸c˜ao? N˜ao ´e uma fun¸c˜ao porque um elemento do dom´ınio se relaciona com mais de um elemento do codom´ınio. Para verificar isso, basta tra¸car uma reta vertical passando por mais de um ponto da curva do gr´afico. Este teste ´e chamado de teste da reta vertical. 9