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FUNÇÕES, SUAS PROPRIEDADES E
GRÁFICO
Prof. Dr. Carlos Campani
Identificar as seguintes funções e investigar analiticamente suas proprie-
dades: domı́nio; imagem; paridade; periodicidade; interseções com os eixos
coordenados; intervalos de monotonia; e extremos. No caso das funções mo-
dulares, determinar o vértice. No caso das funções quadráticas, apresentar a
forma canônica de parábola e determinar vértice e eixo de simetria. Baseado
nestas propriedades deduzidas, construir um esboço do gráfico da função.
1. f(x) = 8x − x2
Função quadrática ou função do 2º grau.
f(x) = −(x2
− 8x) = −(x2
− 8x + 16) + 16 = −(x − 4)2
+ 16
Como não há restrição nenhuma na aplicação de qualquer número real x
na expressão 8x − x2
, dom(f) = R.
Uma vez que −(x − 4)2
≤ 0 para todo R, −(x − 4)2
+ 16 ≤ 16, então
img(f) ⊆ (−∞, 16]. Consideremos y = −(x − 4)2
+ 16 para y ≤ 16. Então,
x = 4 ±
√
16 − y e existe pelo menos um x ∈ R para todo y ≤ 16. Assim,
img(f) = (−∞, 16]. O valor 16 é o máximo absoluto da função e ocorre em
x = 4.
Da forma canônica podemos afirmar que (xv, yv) = (4, 16) e o eixo de
simetria é x = xv = 4. Como a = −1 < 0, a concavidade da parábola é
voltada para baixo.
1
Considerar:
f(x2) − f(x1) = 8x2 − x2
2 − (8x1 − x2
1) = 8(x2 − x1) − (x2
2 − x2
1) =
8(x2 − x1) − (x2 + x1)(x2 − x1) = (x2 − x1)(8 − x2 − x1)
• Intervalo (−∞, 4), ou seja, x1 < x2 < 4:
x2 − x1 > 0
8 − x2 − x1 > 0
Logo, f(x2) − f(x1) > 0 e f(x2) > f(x1). (−∞, 4) é intervalo de
crescimento estrito.
• Intervalo (4, +∞), ou seja, 4 < x1 < x2:
x2 − x1 > 0
8 − x2 − x1 < 0
Logo, f(x2) − f(x1) < 0 e f(x2) < f(x1). (4, +∞) é intervalo de
decrescimento estrito.
Interseções com os eixos coordenados:
f(0) = 8.0 − 02
= 0
8x − x2
= 0 ⇒ x(8 − x) = 0 ⇒ x0
= 0 e x00
= 8
Concluimos que existem interseções com o eixo x em (0, 0) e (8, 0). Com
o eixo y e (0, 0).
A função não é par nem ı́mpar, basta ver que:
f(−x) = 8(−x) − (−x)2
= −8x − x2
Que é diferente tanto de f(x) quanto de −f(x).
A função não é periódica pois
f(x) = f(x + t) ⇒ 8x − x2
= 8(x + t) − (x + t)2
⇒
8x − x2
= 8x + 8t − (x2
+ 2tx + t2
) ⇒ t2
+ 2tx − 8t = 0 ⇒ t(t + 2x − 8) = 0
Então, t = 0 ou t = −2x + 8, que não satisfazem a condição de periodi-
cidade que exige t 6= 0 e t constante (independente de x).
2
3
2. f(x) = |3 − x|
Função modular.
Não existe nenhuma restrição para avaliação da expressão |3 − x|, assim
dom(f) = R.
Sabemos que |t| ≥ 0, então img(f) ⊆ [0, +∞). Abrindo o módulo:
f(x) =

3 − x para x ≤ 3
x − 3 para x  3
No intervalo x  3, f(x) = x − 3 é crescente estritamente (como provare-
mos a seguir), sem valor máximo, e não tem valor mı́nimo, pelo intervalo ser
aberto. No intervalo x ≤ 3, f(x) = 3 − x é decrescente estritamente (como
provaremos a seguir), e portanto tem como valor mı́nimo f(3) = 3 − 3 = 0,
mas não tem valor máximo. Consideremos y = 3 − x no intervalo x ≤ 3,
então x = 3 − y e existe sempre um x ≤ 3 para todo y ≥ 0. Assim,
img(f) = [0, +∞). Disto concluı́mos que o vértice de f é (3, 0).
• Consideremos o intervalo (−∞, 3), com x1  x2  3:
f(x2) − f(x1) = 3 − x2 − (3 − x1) = x1 − x2  0
f(x2)  f(x1)
Intervalo é decrescente estritamente.
• Consideremos o intervalo (3, +∞), com 3  x1  x2:
f(x2) − f(x1) = x2 − 3 − (x1 − 3) = x2 − x1  0
f(x2)  f(x1)
Intervalo é crescente estritamente.
Consideremos f(−1) = |3 − (−1)| = 4 e f(1) = |3 − 1| = 2. Assim,
f(−1) 6= f(1) e f(−1) 6= −f(1) e a função não é par nem ı́mpar.
4
5
3. f(x) =
√
x + 1
Função raiz.
x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −1
dom(f) = [−1, +∞)
Sabemos que
√
x + 1 ≥ 0, então img(f) ⊆ [0, +∞). Consideremos y =
√
x + 1, então x = y2
− 1, para y ≥ 0. Observamos que para qualquer y ≥ 0
existe um x ∈ [−1, +∞). Assim, img(f) = [0, +∞).
f(0) =
√
0 + 1 = 1
f(x) = 0 ⇒
√
x + 1 = 0 ⇒ x = −1
Logo, a curva do gráfico da função intercepta o eixo y em (0, 1) e o eixo
x em (−1, 0).
Consideremos −1  x1  x2. Então,
f(x2) − f(x1) =
√
x2 + 1 −
√
x1 + 1 =
(
√
x2 + 1 −
√
x1 + 1)
√
x2 + 1 +
√
x1 + 1
√
x2 + 1 +
√
x1 + 1
=
x2 + 1 − (x1 + 1)
√
x2 + 1 +
√
x1 + 1
=
x2 − x1
√
x2 + 1 +
√
x1 + 1
Como x2 − x1  0 e
√
x2 + 1 +
√
x1 + 1  0, então f(x2) − f(x1)  0 e
f(x2)  f(x1). Ou seja, a função é crescente em todo seu domı́nio.
Forma alternativa de determinar a monotonia:
f(x2) − f(x1) =
√
x2 + 1 −
√
x1 + 1
Devemos comparar
√
x2 + 1 e
√
x1 + 1. Sabemos que a2
 b2
implica
a  b para a, b ≥ 0. Então, podemos comparar simplesmente x2 + 1 e x1 + 1,
já que
√
t ≥ 0.
x2 + 1 − (x1 + 1) = x2 − x1
Mas como x2  x1, f(x2)  f(x1) e concluimos que a função é crescente
estritamente em todo seu domı́nio.
A função não é periódica pois seu domı́nio é limitado à esquerda.
A função não é par nem ı́mpar pois
f(−x) =
√
−x + 1
não é igual a f(x) nem a −f(x).
6
7
4. f(x) =
√
4 − x2
Função raiz.
4 − x2
≥ 0 ⇒ x2
≤ 4 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2
dom(f) = [−2, 2]
A função é crescente no intervalo [−2, 0] e decrescente no intervalo [0, 2],
como iremos provar a seguir. O maior valor de f(x) =
√
4 − x2, no intervalo
[−2, 0], ocorre em x = 0, f(0) = 2, e o menor valor ocorre em x = −2,
f(−2) = 0. O maior valor da função no intervalo [0, 2] ocorre em x = 0 e o
menor valor em x = 2, f(2) = 0.
Assim, img(f) ⊆ [0, 2]. Consideremos y =
√
4 − x2 para y ∈ [0, 2]. Entao
x = ±
p
4 − y2. Logo, existe sempre pelo menos um x no intervalo [−2, 2]
para todo 0 ≤ y ≤ 2. Então, img(f) = [0, 2].
A seguir analisaremos os intervalos de monotonia da função:
• Intervalo (−2, 0), ou seja −2  x1  x2  0:
f(x2) − f(x1) =
q
4 − x2
2 −
q
4 − x2
1 =
q
4 − x2
2 −
q
4 − x2
1
 p
4 − x2
2 +
p
4 − x2
1
p
4 − x2
2 +
p
4 − x2
1
=
4 − x2
2 − 4 + x2
1
p
4 − x2
2 +
p
4 − x2
1
=
(x2 + x1)(x1 − x2)
p
4 − x2
2 +
p
4 − x2
1
Como
p
4 − x2
2 +
p
4 − x2
1  0, x2 + x1  0 e x1 − x2  0, então
f(x2) − f(x1)  0 e o intervalo é de crescimento estrito.
• Intervalo (0, 2), ou seja 0  x1  x2  2:
Neste caso,
p
4 − x2
2 +
p
4 − x2
1  0, x2 + x1  0 e x1 − x2  0, então
f(x2) − f(x1)  0 e o intervalo é de decrescimento estrito.
Forma alternativa de determinar os intervalos crescentes e decrescentes:
f(x2) − f(x1) =
q
4 − x2
2 −
q
4 − x2
1
8
Devemos comparar
p
4 − x2
2 e
p
4 − x2
1. Sabemos que se a2
 b2
então
a  b, para a, b ≥ 0. Então, podemos comparar simplesmente 4−x2
2 e 4−x2
1,
já que
√
t ≥ 0.
4 − x2
2 − (4 − x2
1) = x2
1 − x2
2 = (x1 + x2)(x1 − x2)
• Intervalo −2  x1  x2  0: f(x2) − f(x1)  0 e o intervalo é de
crescimento estrito.
• Intervalo 0  x1  x2  2: f(x2) − f(x1)  0 e o intervalo é de
decrescimento estrito.
Agora devemos determinar os extremos da função. O valor mı́nimo da
função pode ser determinado considerando que −2 e 2 estão no domı́nio de f
e f(−2) = f(2) = 0 é o menor valor da imagem da função. O valor máximo
pode ser determinado considerando que f(0) = 2 e 2 está na imagem da
função e é o maior valor da imagem.
A função não é periódica pois seu domı́nio é limitado.
A função é par pois:
f(−x) =
p
4 − (−x)2 =
√
4 − x2 = f(x), para x ∈ dom(f)
9
5. f(x) = (2 − x)3
Função polinomial de grau 3.
Uma vez que não há restrições para os valores reais que possam ser apli-
cados na expressão (2 − x)3
, dom(f) = R.
Consideremos y = (2−x)3
e x = 2− 3
√
y. Assim, existe sempre um x ∈ R
para cada y ∈ R e img(f) = R.
f(0) = (2 − 0)3
= 8 ⇒ interseção com o eixo y em (0, 8)
f(x) = 0 ⇒ (2 − x)3
= 0 ⇒ x = 2 ⇒ interseção com o eixo x em (2, 0)
f(−1) = 27 e f(1) = 1
Logo, a função não é par nem ı́mpar.
Como a função é decrescente estritamente em todo o conjunto R (como
mostraremos a seguir), ela não é periódica e não possui extremos.
Consideremos x2  x1 e
f(x2) − f(x1) = (2 − x2)3
− (2 − x1)3
=
(2 − x2 − (2 − x1))[(2 − x2)2
+ (2 − x2)(2 − x1) + (2 − x1)2
] =
(x1 − x2)[(2 − x2)2
+ (2 − x2)(2 − x1) + (2 − x1)2
] =
(x1 − x2)[{(2 − x2) + (2 − x1)/2}2
+ 3(2 − x1)2
/4]
Observe que na última linha usamos a propriedade
a2
+ ab + b2
= (a + b/2)2
+ 3b2
/4
Sabemos que x1 − x2  0 e os termos dentro do colchete são sempre
positivos pois são quadrados. Então f(x2)  f(x1) e a função é decrescente
estritamente em todo o seu domı́nio.
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  • 1. FUNÇÕES, SUAS PROPRIEDADES E GRÁFICO Prof. Dr. Carlos Campani Identificar as seguintes funções e investigar analiticamente suas proprie- dades: domı́nio; imagem; paridade; periodicidade; interseções com os eixos coordenados; intervalos de monotonia; e extremos. No caso das funções mo- dulares, determinar o vértice. No caso das funções quadráticas, apresentar a forma canônica de parábola e determinar vértice e eixo de simetria. Baseado nestas propriedades deduzidas, construir um esboço do gráfico da função. 1. f(x) = 8x − x2 Função quadrática ou função do 2º grau. f(x) = −(x2 − 8x) = −(x2 − 8x + 16) + 16 = −(x − 4)2 + 16 Como não há restrição nenhuma na aplicação de qualquer número real x na expressão 8x − x2 , dom(f) = R. Uma vez que −(x − 4)2 ≤ 0 para todo R, −(x − 4)2 + 16 ≤ 16, então img(f) ⊆ (−∞, 16]. Consideremos y = −(x − 4)2 + 16 para y ≤ 16. Então, x = 4 ± √ 16 − y e existe pelo menos um x ∈ R para todo y ≤ 16. Assim, img(f) = (−∞, 16]. O valor 16 é o máximo absoluto da função e ocorre em x = 4. Da forma canônica podemos afirmar que (xv, yv) = (4, 16) e o eixo de simetria é x = xv = 4. Como a = −1 < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo. 1
  • 2. Considerar: f(x2) − f(x1) = 8x2 − x2 2 − (8x1 − x2 1) = 8(x2 − x1) − (x2 2 − x2 1) = 8(x2 − x1) − (x2 + x1)(x2 − x1) = (x2 − x1)(8 − x2 − x1) • Intervalo (−∞, 4), ou seja, x1 < x2 < 4: x2 − x1 > 0 8 − x2 − x1 > 0 Logo, f(x2) − f(x1) > 0 e f(x2) > f(x1). (−∞, 4) é intervalo de crescimento estrito. • Intervalo (4, +∞), ou seja, 4 < x1 < x2: x2 − x1 > 0 8 − x2 − x1 < 0 Logo, f(x2) − f(x1) < 0 e f(x2) < f(x1). (4, +∞) é intervalo de decrescimento estrito. Interseções com os eixos coordenados: f(0) = 8.0 − 02 = 0 8x − x2 = 0 ⇒ x(8 − x) = 0 ⇒ x0 = 0 e x00 = 8 Concluimos que existem interseções com o eixo x em (0, 0) e (8, 0). Com o eixo y e (0, 0). A função não é par nem ı́mpar, basta ver que: f(−x) = 8(−x) − (−x)2 = −8x − x2 Que é diferente tanto de f(x) quanto de −f(x). A função não é periódica pois f(x) = f(x + t) ⇒ 8x − x2 = 8(x + t) − (x + t)2 ⇒ 8x − x2 = 8x + 8t − (x2 + 2tx + t2 ) ⇒ t2 + 2tx − 8t = 0 ⇒ t(t + 2x − 8) = 0 Então, t = 0 ou t = −2x + 8, que não satisfazem a condição de periodi- cidade que exige t 6= 0 e t constante (independente de x). 2
  • 3. 3
  • 4. 2. f(x) = |3 − x| Função modular. Não existe nenhuma restrição para avaliação da expressão |3 − x|, assim dom(f) = R. Sabemos que |t| ≥ 0, então img(f) ⊆ [0, +∞). Abrindo o módulo: f(x) = 3 − x para x ≤ 3 x − 3 para x 3 No intervalo x 3, f(x) = x − 3 é crescente estritamente (como provare- mos a seguir), sem valor máximo, e não tem valor mı́nimo, pelo intervalo ser aberto. No intervalo x ≤ 3, f(x) = 3 − x é decrescente estritamente (como provaremos a seguir), e portanto tem como valor mı́nimo f(3) = 3 − 3 = 0, mas não tem valor máximo. Consideremos y = 3 − x no intervalo x ≤ 3, então x = 3 − y e existe sempre um x ≤ 3 para todo y ≥ 0. Assim, img(f) = [0, +∞). Disto concluı́mos que o vértice de f é (3, 0). • Consideremos o intervalo (−∞, 3), com x1 x2 3: f(x2) − f(x1) = 3 − x2 − (3 − x1) = x1 − x2 0 f(x2) f(x1) Intervalo é decrescente estritamente. • Consideremos o intervalo (3, +∞), com 3 x1 x2: f(x2) − f(x1) = x2 − 3 − (x1 − 3) = x2 − x1 0 f(x2) f(x1) Intervalo é crescente estritamente. Consideremos f(−1) = |3 − (−1)| = 4 e f(1) = |3 − 1| = 2. Assim, f(−1) 6= f(1) e f(−1) 6= −f(1) e a função não é par nem ı́mpar. 4
  • 5. 5
  • 6. 3. f(x) = √ x + 1 Função raiz. x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −1 dom(f) = [−1, +∞) Sabemos que √ x + 1 ≥ 0, então img(f) ⊆ [0, +∞). Consideremos y = √ x + 1, então x = y2 − 1, para y ≥ 0. Observamos que para qualquer y ≥ 0 existe um x ∈ [−1, +∞). Assim, img(f) = [0, +∞). f(0) = √ 0 + 1 = 1 f(x) = 0 ⇒ √ x + 1 = 0 ⇒ x = −1 Logo, a curva do gráfico da função intercepta o eixo y em (0, 1) e o eixo x em (−1, 0). Consideremos −1 x1 x2. Então, f(x2) − f(x1) = √ x2 + 1 − √ x1 + 1 = ( √ x2 + 1 − √ x1 + 1) √ x2 + 1 + √ x1 + 1 √ x2 + 1 + √ x1 + 1 = x2 + 1 − (x1 + 1) √ x2 + 1 + √ x1 + 1 = x2 − x1 √ x2 + 1 + √ x1 + 1 Como x2 − x1 0 e √ x2 + 1 + √ x1 + 1 0, então f(x2) − f(x1) 0 e f(x2) f(x1). Ou seja, a função é crescente em todo seu domı́nio. Forma alternativa de determinar a monotonia: f(x2) − f(x1) = √ x2 + 1 − √ x1 + 1 Devemos comparar √ x2 + 1 e √ x1 + 1. Sabemos que a2 b2 implica a b para a, b ≥ 0. Então, podemos comparar simplesmente x2 + 1 e x1 + 1, já que √ t ≥ 0. x2 + 1 − (x1 + 1) = x2 − x1 Mas como x2 x1, f(x2) f(x1) e concluimos que a função é crescente estritamente em todo seu domı́nio. A função não é periódica pois seu domı́nio é limitado à esquerda. A função não é par nem ı́mpar pois f(−x) = √ −x + 1 não é igual a f(x) nem a −f(x). 6
  • 7. 7
  • 8. 4. f(x) = √ 4 − x2 Função raiz. 4 − x2 ≥ 0 ⇒ x2 ≤ 4 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2 dom(f) = [−2, 2] A função é crescente no intervalo [−2, 0] e decrescente no intervalo [0, 2], como iremos provar a seguir. O maior valor de f(x) = √ 4 − x2, no intervalo [−2, 0], ocorre em x = 0, f(0) = 2, e o menor valor ocorre em x = −2, f(−2) = 0. O maior valor da função no intervalo [0, 2] ocorre em x = 0 e o menor valor em x = 2, f(2) = 0. Assim, img(f) ⊆ [0, 2]. Consideremos y = √ 4 − x2 para y ∈ [0, 2]. Entao x = ± p 4 − y2. Logo, existe sempre pelo menos um x no intervalo [−2, 2] para todo 0 ≤ y ≤ 2. Então, img(f) = [0, 2]. A seguir analisaremos os intervalos de monotonia da função: • Intervalo (−2, 0), ou seja −2 x1 x2 0: f(x2) − f(x1) = q 4 − x2 2 − q 4 − x2 1 = q 4 − x2 2 − q 4 − x2 1 p 4 − x2 2 + p 4 − x2 1 p 4 − x2 2 + p 4 − x2 1 = 4 − x2 2 − 4 + x2 1 p 4 − x2 2 + p 4 − x2 1 = (x2 + x1)(x1 − x2) p 4 − x2 2 + p 4 − x2 1 Como p 4 − x2 2 + p 4 − x2 1 0, x2 + x1 0 e x1 − x2 0, então f(x2) − f(x1) 0 e o intervalo é de crescimento estrito. • Intervalo (0, 2), ou seja 0 x1 x2 2: Neste caso, p 4 − x2 2 + p 4 − x2 1 0, x2 + x1 0 e x1 − x2 0, então f(x2) − f(x1) 0 e o intervalo é de decrescimento estrito. Forma alternativa de determinar os intervalos crescentes e decrescentes: f(x2) − f(x1) = q 4 − x2 2 − q 4 − x2 1 8
  • 9. Devemos comparar p 4 − x2 2 e p 4 − x2 1. Sabemos que se a2 b2 então a b, para a, b ≥ 0. Então, podemos comparar simplesmente 4−x2 2 e 4−x2 1, já que √ t ≥ 0. 4 − x2 2 − (4 − x2 1) = x2 1 − x2 2 = (x1 + x2)(x1 − x2) • Intervalo −2 x1 x2 0: f(x2) − f(x1) 0 e o intervalo é de crescimento estrito. • Intervalo 0 x1 x2 2: f(x2) − f(x1) 0 e o intervalo é de decrescimento estrito. Agora devemos determinar os extremos da função. O valor mı́nimo da função pode ser determinado considerando que −2 e 2 estão no domı́nio de f e f(−2) = f(2) = 0 é o menor valor da imagem da função. O valor máximo pode ser determinado considerando que f(0) = 2 e 2 está na imagem da função e é o maior valor da imagem. A função não é periódica pois seu domı́nio é limitado. A função é par pois: f(−x) = p 4 − (−x)2 = √ 4 − x2 = f(x), para x ∈ dom(f) 9
  • 10. 5. f(x) = (2 − x)3 Função polinomial de grau 3. Uma vez que não há restrições para os valores reais que possam ser apli- cados na expressão (2 − x)3 , dom(f) = R. Consideremos y = (2−x)3 e x = 2− 3 √ y. Assim, existe sempre um x ∈ R para cada y ∈ R e img(f) = R. f(0) = (2 − 0)3 = 8 ⇒ interseção com o eixo y em (0, 8) f(x) = 0 ⇒ (2 − x)3 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ interseção com o eixo x em (2, 0) f(−1) = 27 e f(1) = 1 Logo, a função não é par nem ı́mpar. Como a função é decrescente estritamente em todo o conjunto R (como mostraremos a seguir), ela não é periódica e não possui extremos. Consideremos x2 x1 e f(x2) − f(x1) = (2 − x2)3 − (2 − x1)3 = (2 − x2 − (2 − x1))[(2 − x2)2 + (2 − x2)(2 − x1) + (2 − x1)2 ] = (x1 − x2)[(2 − x2)2 + (2 − x2)(2 − x1) + (2 − x1)2 ] = (x1 − x2)[{(2 − x2) + (2 − x1)/2}2 + 3(2 − x1)2 /4] Observe que na última linha usamos a propriedade a2 + ab + b2 = (a + b/2)2 + 3b2 /4 Sabemos que x1 − x2 0 e os termos dentro do colchete são sempre positivos pois são quadrados. Então f(x2) f(x1) e a função é decrescente estritamente em todo o seu domı́nio. 10
  • 11. 11