Introdução ao Matlab

13.583 visualizações

Publicada em

Minicurso sobre o software Matlab. Aborda conceitos básicos e seu uso na resolução de problemas matemáticos, como Cálculo diferencial e integral e plotagem de gráficos.

0 comentários
5 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
13.583
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
34
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
490
Comentários
0
Gostaram
5
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Introdução ao Matlab

  1. 1. Eduardo da Silva Fernandes
  2. 2.  Introdução/Conceitos básicos Matrizes e Sistemas Lineares Polinômios Cálculo Diferencial e Integral Equações Diferenciais Transformada de Laplace Gráficos
  3. 3. • O Matlab• Ambiente Matlab• Iniciação de variáveis• Operadores matemáticos
  4. 4.  Matlab = MATrix LABoratory Software de alta performance utilizado para cálculos científicos e de engenharia Aplicado a várias áreas do conhecimento Desenvolvido pela MathWorks Linguagem muito rica (+de 1000 funções) Toolbox para várias áreas do conhecimento
  5. 5.  Exemplo de programa em Matlab>> b = 2 % sem o caractere ‘;’ no final da sentença oresultado é apresentado.b=2>> c = 3; % com o caractere ‘;’ no final da sentença oresultado não é apresentado.>> d = b+c % o resultado é armazenado na variável ‘d’ eé apresentado.d=5>> b+c % se nenhum nome é atribuído a uma variávelela é armazenada em “ans”.ans = 5
  6. 6.  Funções trigonométricas cos(x) Co-senoacos(x) Arco co-seno cosh(x) Co-seno hiperbólicoacosh(x) Arco co-seno hiperbólico cot(x) Cotangenteacot(x) Arco cotangente coth(x) Cotangente hiperbólicaacoth(x) Arco cotangente hiperbólico csc(x) Cossecanteacsc(x) Arco cossecante csch(x) Cossecante hiperbólico sec(x) Secanteacsch(x) Arco cossecante hiperbólico sech(x) Secante hiperbólicoasec(x) Arco secante sin(x) Senoasech(x) Arco secante hiperbólico sinh(x) Seno hiperbólicoasin(x) Arco seno tan(x) Tangenteasinh(x) Arco seno hiperbólico tanh(x) Tangente hiperbólicaatan(x) Arco tangenteatan2(x,y) Arco tangente do quarto quadranteatanh(x) Arco tangente hiperbólico
  7. 7.  Exemplo
  8. 8. • Funções Exponenciais  Números Complexos abs(x) Valor absoluto ou módulo^ Potência de um número complexoexp(x) Exponencial angle(x) Ângulo de um número complexolog(x) Logaritmo natural conj(x) Conjugado complexo imag(x) Parte imaginária delog10(x) Logaritmo na base 10 um número complexolog2(x) Logaritmo na base 2 real(x) Parte real de um número complexosqrt(x) Raiz quadrada
  9. 9.  Exemplo >> d=abs(2+2i)>> a=log(100) d=a= 2.8284 4.6052 >> e=angle(2+3i)>> b=log10(100) e= 0.9828b= 2>> c=exp(3)c= 20.0855
  10. 10.  Como podemos perceber, se trabalharmos no comand window não conseguiremos apagar ou salvar algo. A solução para isso é abrir um M-file No M-file podemos manipular valores com extrema facilidade e salvar o que estamos fazendo.
  11. 11. •Definindo matrizes•Operações com matrizes•Matriz transposta•Determinantes•Matriz Inversa•Resolução de Sistemas lineares
  12. 12.  Queremos apresentar a seguinte matriz no Matlab:
  13. 13.  Como fazer? >> A=[1 2 3;4 5 6] A= 1 2 3 4 5 6
  14. 14.  Outro exemplo:
  15. 15. >> X=[1 9 0;7 3 2;4 5 3]X= 1 9 0 7 3 2 4 5 3
  16. 16.  Adição Dada as matrizes:A= 2 3 6 0 -3 1 3 -3 7EB= -2 3 -4 4 1 1 0 -2 3Queremos achar a matriz A+B
  17. 17. >>A=[2 3 6; 0 -3 1;3 -3 7]A= 2 3 6 0 -3 1 3 -3 7>> B=[-2 3 -4;4 1 1;0 -2 3]B= -2 3 -4 4 1 1 0 -2 3>> C=A+BC= 0 6 2 4 -2 2 3 -5 10
  18. 18.  Exercício: Fazer a soma das seguintes matrizes: Y= 1 2 3 4 5 6 -1 3 0
  19. 19.  Multiplicação Condição para multiplicação de matrizes
  20. 20.  Multiplicação>> A=[1 0 2;-1 3 1]; >> A=[14 9 3;2 11 14;0 12 17;5 2 3]; >> B=[12 25;9 10;8 5];>> B=[3 1;2 1;1 0]; >> C=A*B>> C=A*B C=C= 273 455 235 230 5 1 244 205 4 2 102 160
  21. 21.  Fazer a multiplicação entre as seguintes matrizes:A= 2 3 6 0 -3 1 3 -3 7eB= Y= -2 3 -4 1 2 3 4 1 1 4 5 6 0 -2 3 -1 3 0
  22. 22.  Achar a transposta da seguinte matriz:
  23. 23. >> X=[1 9 0;7 3 2;4 5 3];>> Xt=XXt = 1 7 4 9 3 5 0 2 3
  24. 24.  Achar a transposta das seguintes matrizes. Y= 1 2 3 4 5 6 -1 3 0
  25. 25.  Queremos achar o determinante da seguinte matriz: Z= 1 4 6 0 3 2 9 0 0 -3 -2 12 12 15 4 -12 1 1 0 0 -2 2 -5 10 11 -3 -4 -2 0 -1 3 3 -3 9 10 7
  26. 26. >> Z=[1 4 6 0 3 2;9 0 0 -3 -2 12;12 15 4 -12 1 1;0 0 -2 2 -5 10;11 -3 -4 -2 0 -1;3 3 -3 9 10 7]Z= 1 4 6 0 3 2 9 0 0 -3 -2 12 12 15 4 -12 1 1 0 0 -2 2 -5 10 11 -3 -4 -2 0 -1 3 3 -3 9 10 7>> Zd=det(Z)Zd = 730450
  27. 27.  Achar os determinantes das seguintes matrizesY= A= 1 2 3 2 3 6 4 5 6 0 -3 1 -1 3 0 3 -3 7 B= -2 3 -4 4 1 1 0 -2 3
  28. 28.  Queremos encontrar a inversa da seguinte matriz:
  29. 29. >> X=[1 9 0;7 3 2;4 5 3];>>Xi=inv(X)Xi = 0.0085 0.2288 -0.1525 0.1102 -0.0254 0.0169 -0.1949 -0.2627 0.5085
  30. 30.  Achar a inversa das seguintes matrizes Y= A= 1 2 3 2 3 6 4 5 6 0 -3 1 -1 3 0 3 -3 7 B= -2 3 -4 4 1 1 0 -2 3
  31. 31.  Seja o sistema linear: Podemos escrevê-lo na forma matricial AX=B
  32. 32.  É desta forma que o Matlab trabalha, declarando as matrizes A, X e B. A X B
  33. 33.  Exemplo: Resolver o seguinte sistema linear:
  34. 34. >> A=[1 4 3;2 5 4;1 -3 -2];>> B=[1;4;5];>> X=AB %Comando para resolver sistemas linearesX= 3.0000 -2.0000 2.0000
  35. 35. Outra forma de se fazer:>> A=[1 4 3;2 5 4;1 -3 -2];>> B=[1;4;5];>>Y=inv(A)*BY= 3.0000 -2.0000 2.0000
  36. 36.  Exercícios: Resolver os seguintes sistemas lineares
  37. 37. •Declaração de polinômios•Raízes de polinômios•Operações com polinômios
  38. 38.  Seja um polinômio p(x) de grau n definido por: P(x)=No Matlab, este polinômio é definido da seguinte forma:>>p=[A B C...E D F];
  39. 39.  Exemplo >>P=[1 3 1] >>p=[1 -5 2 -1] P=[1 4 0 -1 0]
  40. 40.  Queremos achar as raízes do polinômio Para isso, utilizaremos o comando “roots” >> p=[1 3 2]; >> x=roots(p) x= -2 -1
  41. 41.  Outro exemplo>> p=[4 2 0 5];>> roots(q)ans = -1.2723 0.3861 + 0.9129i 0.3861 - 0.9129i
  42. 42.  Achar as raízes dos seguintes polinômios
  43. 43.  Multiplicação Suponhamos que queremos fazer a multiplicação dos polinômios: Q(x)=x-1 Para isso, utilizamos o comando “conv”
  44. 44.  Solução>> p=[1 3 2];>> q=[1 -1];>> r=conv(p,q)r= 1 2 -1 -2
  45. 45.  Exercício Fazer a multiplicação dos seguintes polinômios:
  46. 46.  Divisão Queremos fazer a divisão entre os seguintes polinômios Q(x)=x-1 Para isso, utilizaremos o comando “deconv”
  47. 47.  Solução >> p=[1 3 2]; >> q=[1 -1]; >> s=deconv(p,q) s= 1 4
  48. 48.  Exercício Fazer a divisão dos seguintes polinômios
  49. 49. •Limites•Derivada•Integrais indefinidas•Integrais definidas•Equações diferenciais
  50. 50.  No Matlab, calculamos limites da seguinte forma:>>syms x>>Limit((f(x),x,x0) “Quando x tende a ...” “Quem está tendendo” Função
  51. 51.  Exemplo: Calcular o seguinte limite:>> syms x>> limit(sin(x)/x,x,0)ans =1
  52. 52.  Exercício: Calcular os seguintes limites:
  53. 53.  Para se calcular derivadas no Matlab, utilizamos o comando “diff” Exemplo>> syms x>> diff((x^2)-(3*x),x)ans =2*x - 3
  54. 54.  Exercício Achar as derivadas das seguintes funções
  55. 55.  Para calcularmos integrais indefinidas, utilizamos o comando “int” da seguinte forma: >>int (f, x) função Variável que estamos integrando
  56. 56.  Exemplo: Calcular a integral da função F(x)= -x>> syms x>> int((x^3)-x,x)ans =(x^2*(x^2 - 2))/4
  57. 57.  Calcular as seguintes integrais das seguintes funções:
  58. 58.  Para calcularmos integrais definidas, utilizamos o comando “int” da seguinte forma: Int(f,x,a,b)
  59. 59.  Calcular a integral da função f(x)= no intervalo [0,1]>>syms x>> int(x^2,x,0,1)ans =1/3
  60. 60.  Calcular as seguintes integrais definidas:
  61. 61.  Para resolvermos equações diferenciais no Matlab, utilizamos o comando “dsolve” da seguinte forma: >>dsolve(„EDO‟,condições iniciais)
  62. 62.  Para isso, utilizamos a seguinte representação das derivadas:-y‟‟‟=D3y-y‟‟=D2y-y‟=Dy
  63. 63.  Exemplo: Resolver as seguintes equações diferenciais: A) y‟‟+2y‟+1=0 B) y‟‟+3y”+2=0, y‟(0)=1, y(0)=-1 C) y‟‟+5y‟+6=cos(t), y‟(0)=2, y(0)=0
  64. 64.  A) y‟‟+2y‟+1=0>> syms y>> dsolve(D2y+2*Dy+1=0,t)ans =C13 - t/2 + C14/exp(2*t) + 1/4
  65. 65.  B) y‟‟+3y”+2=0, y‟(0)=1, y(0)=-1>> syms y>> dsolve(D2y+3*Dy+2,Dy(0)=1,y(0)=-1)ans =- (2*t)/3 - 5/(9*exp(3*t)) - 4/9
  66. 66.  C) y‟‟+5y‟+6=cos(t), y‟(0)=2, y(0)=0>> syms y>> dsolve(D2y+5*Dy+6=cos(t),Dy(0)=2,y(0)=0)ans =(5*sin(t))/26 - 391/(650*exp(5*t)) - cos(t)/26 - (6*t)/5 + 16/25
  67. 67.  Exercícios: Achar a solução das seguintes equações diferenciais: A) y‟‟+y‟+1=0 B) y‟‟+9y‟+20=0, y‟(0)=0, y(0)=0 C) y‟‟+4y+4=sin(t), y‟(0)=0, y(0)=0
  68. 68. •Transformada de Laplace•Transformada inversa deLaplace
  69. 69.  Definição
  70. 70. f(t) L[f(t)] F(s) -1F(s) L[F(s)] f(t)
  71. 71. No Matlab, calculamos a Transformada de Laplace da seguinte forma:>>syms t;>>laplace(f(t))Função que queremos calcular atransformada de laplace
  72. 72.  Exemplo:>> syms t>> laplace(exp(t))ans =1/(s - 1)>> laplace(exp(t)*sin(t))ans =1/((s - 1)^2 + 1)
  73. 73.  Calcular a Transformada de Laplace das seguintes funções:
  74. 74.  Definição
  75. 75.  No Matlab, achamos a transformada inversa da seguinte forma:>>syms s;>>ilaplace(F(s)) Função que queremos calcular a transformada Inversa
  76. 76.  Achar a transformada da seguinte função:>> syms s>> ilaplace(1/(s+3))ans =1/exp(3*t)
  77. 77.  Exercício: Achar a transformada inversa das seguintes funções:
  78. 78.  Passos para se fazer um gráfico no Matlab: 1) Declarar a variação de x>>x=-5:0.5:52) Declarar a função em siEx:>>y=-x+13) Usar o comando “plot‟‟Ex:>>plot(x,y)
  79. 79.  Exemplo: Gráfico da função f(x)=sin(x)x=-4*pi:0.1:4*pi;y=sin(x)plot(x,y)
  80. 80.  Exemplo: Gráfico da função f(x)=sin(x) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -15 -10 -5 0 5 10 15
  81. 81.  Exemplo: Gráfico da função f(x)=cos(x)x=-4*pi:0.1:4*pi;y=cos(x)plot(x,y)
  82. 82.  Exemplo: Gráfico da função f(x)=cos(x) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -15 -10 -5 0 5 10 15
  83. 83.  Agora, digitando os dois códigos acima e utilizando o comando “hold on”, veja o que acontece. Depois, troque o comando “hold on” pelo comando figure.x=-4*pi:0.1:4*pi;y=cos(x)plot(x,y)hold onf=sin(x)plot(x,f)
  84. 84.  Comando “hold on” 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -15 -10 -5 0 5 10 15
  85. 85.  Exercício: Fazer o gráfico das seguintes funções: A) B) C)
  86. 86.  Os melhores comandos do Matlab são: 1) HELP 2)Google
  87. 87. MUITO OBRIGADO!!! edu.silva.fernandes@gmail.com

×