Diferenciação e Integração Numérica - @professorenan

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Diferenciação e Integração Numérica - @professorenan

  1. 1. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica
  2. 2. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Integração Numérica: Fórmulas de Newton-Cotes. • Primeira Regra de Simpson; • Regra dos Trapézios; • Segunda Regra de Simpson. • Diferenciação Numérica: • Primeiras Derivadas; • Segundas Derivadas; Diferenciação e Integração Numérica
  3. 3. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Diferenciação Numérica Diferenciação e Integração Numérica
  4. 4. Diferenciação Numérica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Em muitas circunstâncias, torna-se difícil obter valores de derivadas de uma função: • Derivadas que não são de fácil obtenção; • De não se conhecer a expressão analítica da função, sendo esta definida num número finito de pontos. Diferenciação e Integração Numérica
  5. 5. Diferenciação Numérica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares O que se faz? Métodos Numéricos! Diferenciação e Integração Numérica
  6. 6. Diferenciação Numérica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Considerações iniciais: Diferenciação e Integração Numérica A Diferenciação Numérica, também conhecida como Aproximação Numérica, é um método utilizado para avaliar as derivadas de funções por meio de valores funcionais nos pontos dados. Conhecendo os valores funcionais, a função pode ser expressa de uma forma aproximada por meio de uma interpolação polinomial, pelo que ao diferenciar o polinômio dado, se pode avaliar duas derivadas.
  7. 7. Diferenciação Numérica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica Em muitas situações é necessário obter valores para as derivadas de uma função sem recorrer à respectiva expressão analítica por esta não ser conhecida ou por ser demasiado complicada. Por estas razões é conveniente dispor de técnicas alternativas à derivação analítica que sejam simultaneamente fáceis de usar e que permitam a precisão necessária. Estas técnicas são genericamente designadas por Diferenciação Numérica. Considerações iniciais:
  8. 8. Diferenciação Numérica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição: Diferenciação e Integração Numérica
  9. 9. Diferenciação Numérica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição: 1ª derivada. Diferenciação e Integração Numérica • Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Superior ou Progressiva.
  10. 10. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo: 1ª derivada - Diferença Superior ou Progressiva. Diferenciação e Integração Numérica Solução:
  11. 11. Diferenciação Numérica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição: 1ª derivada. Diferenciação e Integração Numérica • Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Inferior ou Regressiva.
  12. 12. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo: 1ª derivada – Diferença Inferior ou Regressiva. Diferenciação e Integração Numérica
  13. 13. Diferenciação Numérica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição: 1ª derivada. Diferenciação e Integração Numérica • Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Centrada ou Intermédio.
  14. 14. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo: 1ª derivada – Diferença Centrada. Diferenciação e Integração Numérica
  15. 15. Diferenciação Numérica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição: 2ª derivada. Diferenciação e Integração Numérica • Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Superior ou Progressiva.
  16. 16. Diferenciação Numérica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição: 2ª derivada. Diferenciação e Integração Numérica • Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Inferior ou Regressiva.
  17. 17. Diferenciação Numérica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição: 2ª derivada. Diferenciação e Integração Numérica • Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Central ou Intermédio.
  18. 18. Diferenciação Numérica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica
  19. 19. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Integração Numérica Diferenciação e Integração Numérica
  20. 20. Integração Numérica: porque é importante? Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Por vezes, mesmo existindo solução analítica, a solução numérica é mais fácil! • Não existe expressão analítica para a primitiva da maior parte das funções; • Medições de velocidade ⇒ cálculo de distância; • Forma e dimensões de balizas ⇒ cálculo de deslocamento; • Em muitos problemas não temos expressões analíticas, mas sim séries de medições; Diferenciação e Integração Numérica
  21. 21. Integração Numérica: ideias base. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Em vez de integrar a função pretendida, vamos integrar uma função parecida que seja mais fácil de integrar. Os polinômios são funções fáceis de integrar! Diferenciação e Integração Numérica
  22. 22. Integração Numérica: ideias base. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica
  23. 23. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Fórmulas de Newton-Cotes Diferenciação e Integração Numérica
  24. 24. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica • Primeira Regra de Simpson; • Regra dos Trapézios; • Segunda Regra de Simpson. • Fórmulas de Newton-Cotes:
  25. 25. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Regra dos Trapézios Diferenciação e Integração Numérica
  26. 26. Regra dos Trapézios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica
  27. 27. Regra dos Trapézios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica
  28. 28. Regra dos Trapézios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica Assim, temos:
  29. 29. Regra dos Trapézios: exemplo. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica 1) Estimar o valor de: Solução: Pela regra dos trapézios, temos:
  30. 30. Regra dos Trapézios: exemplo. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica 1) Estimar o valor de: Solução: Pela regra dos trapézios, temos:
  31. 31. Regra dos Trapézios: exemplo. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica 1) Estimar o valor de: Solução: Pelo Cálculo Integral, teríamos:
  32. 32. Regra dos Trapézios: exemplo. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica 2) Estimar o valor de: Solução: Pela regra dos trapézios, temos:
  33. 33. Regra dos Trapézios: exemplo. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica 2) Estimar o valor de: Solução: Pela regra dos trapézios, temos:
  34. 34. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Regras de Simpson Diferenciação e Integração Numérica
  35. 35. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Regras de Simpson Diferenciação e Integração Numérica Thomas Simpson (1710-1761)
  36. 36. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Primeira Regra de Simpson Diferenciação e Integração Numérica
  37. 37. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Primeira Regra de Simpson Diferenciação e Integração Numérica
  38. 38. Primeira Regra de Simpson: definição. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica A Regra de Simpson faz aproximações para pequenos trechos de curvas usando arcos parabólicos. Veja Exemplo:
  39. 39. Primeira Regra de Simpson: definição. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica
  40. 40. Primeira Regra de Simpson: definição. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica
  41. 41. Primeira Regra de Simpson: definição. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica
  42. 42. Primeira Regra de Simpson: observação. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica
  43. 43. Primeira Regra de Simpson: exemplo. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica
  44. 44. Primeira Regra de Simpson: exemplo. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica
  45. 45. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Segunda Regra de Simpson Diferenciação e Integração Numérica
  46. 46. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Segunda Regra de Simpson Diferenciação e Integração Numérica
  47. 47. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Segunda Regra de Simpson Diferenciação e Integração Numérica
  48. 48. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Segunda Regra de Simpson Diferenciação e Integração Numérica
  49. 49. Segunda Regra de Simpson: definição. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica Do mesmo modo que se deduziu a regra de Simpson anterior, utilizando um polinómio interpolador de grau dois, é possível deduzir outras regras utilizando polinómios interpoladores de grau superior.
  50. 50. Segunda Regra de Simpson: definição. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica Essa fórmula é conhecida como Regra 3/8 de Simpson.
  51. 51. Segunda Regra de Simpson: definição. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica Essa fórmula é conhecida como Regra 3/8 de Simpson.
  52. 52. Segunda Regra de Simpson: exemplo. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica
  53. 53. Segunda Regra de Simpson: exemplo. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica
  54. 54. Considerações Finais. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Diferenciação numérica é mais difícil que integração. • A diferenciação representa a inclinação de uma função. • Diferenciação é muito mais sensível a alterações, ainda que pequenas, na função. • A diferenciação numérica é evitada, sempre que possível, devido a essas dificuldades inerentes. Assim, aconselha-se a Integração. • Se os dados são obtidos experimentalmente, em geral, é melhor realizar um ajuste de curva polinomial, usando quadrados mínimos, e então derivar o polinômio resultante. Diferenciação e Integração Numérica
  55. 55. Exercícios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  56. 56. Exercícios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Diferenciação e Integração Numérica 2) Por meio da regra dos trapézios, estimar o valor de:
  57. 57. Referências Bibliográficas Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares ARENALES, S.; DAREZZO, A., Cálculo Numérico: Aprendizagem com apoio de Software. São Paulo: Cengage Learning. 2007. BARROSO, L. C., BARROSO, M. M. A., CAMPOS Filho, F. F.. Cálculo Numérico com aplicações. São Paulo: Harbras 1987. CHAPA, S. C.; CANALE R. P.. Numerical Methods for Engineers. 2a ed.. Mc. Graw-Hill. 1990. CLÁUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª Ed.. São Paulo: Atlas. 2001. SANTOS, J. D. .SILVA, Z. C. Métodos Numéricos. Editora Universitária da UFPE, 2006.

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