Método de Newton-Raphson - @professorenan

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Método de Newton-Raphson - @professorenan

  1. 1. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Método de Newton-Raphson (Tangentes)
  2. 2. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Considerações Iniciais Nós aprendemos a achar as raízes de uma função pelo método da bisseção. Este método tem uma vantagem, ele sempre converge para a raiz, desde que exista uma no intervalo inicial dado. Mas tem duas desvantagens: ele é lento e se a função não muda de sinal, a raiz não é encontrada.
  3. 3. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Considerações Iniciais Vamos aprender um outro método, o de Newton-Raphson. Ele cobre as desvantagens da bisseção, isto é, é mais rápido e encontra raízes que tocam o eixo x, mas também apresenta duas desvantagens: • Nem sempre converge; • Precisa do cálculo da derivada da função, o que nem sempre é uma tarefa fácil.
  4. 4. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição Mantendo apenas os dois primeiros termos da série, temos:
  5. 5. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição
  6. 6. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição
  7. 7. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Definição Mudando ligeiramente a notação, obtemos a fórmula de iteração. Veja:
  8. 8. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Interpretação Geométrica do método de Newton Vejam que a cada iteração a raiz se aproxima mais da raiz real ξ.
  9. 9. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Critérios de Convergência As condições de convergência são agora (por análise intuitiva):
  10. 10. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  11. 11. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 12 6 12 62 12 6 2 1 22 2 1 0 0 01 x x x x xxxx x xx xx xf xf xx
  12. 12. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Portanto, temos que: 12 62 1 x x x
  13. 13. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Desta forma, temos: 12 62 1 x x x 132 632 1x 1429,21x 6²3|)(| 0xf Portanto, continua!
  14. 14. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Tomando a nova iteração: 12 6 1 1 2 1 12 x xx xx 11429,22 61429,21429,2 1429,2 2 2x 1429,21x 7349,061429,2²1429,2|)(| 1xf Portanto, continua! 0039,22x
  15. 15. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Continuando... 0039,22x Quadro!
  16. 16. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Generalizando, temos: xn xn f(xn) f(x1) X0 3 6 2,1429 X1 2,1429 0,7349 2,0039 x2 2,0039 0,0195 0039,2x
  17. 17. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Primeiramente, encontramos as raízes, já que não temos:
  18. 18. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Então, se: Como a raiz quadrada de 6 está localizada entre 2 e 3, podemos adotar um valor inicial entre este intervalo ou em sua proximidade. Vamos adotar 1 como valor inicial.
  19. 19. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Calcula o erro...
  20. 20. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Calcula o erro...
  21. 21. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Calcula o erro...
  22. 22. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Calcula o erro...
  23. 23. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo
  24. 24. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Primeiramente, encontramos as raízes, já que não temos:
  25. 25. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo
  26. 26. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo Quadro!
  27. 27. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Quando o Método de Newton pode não Convergir?
  28. 28. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares A não convergência do método pode ocorrer nos pontos de máximos, mínimos e inflexão, quando a função muda a concavidade. Quando o Método de Newton pode não Convergir? O gráfico seguinte mostra um caso em que o método não converge.
  29. 29. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Quando o Método de Newton pode não Convergir?
  30. 30. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Considerações Finais No método da bisseção nós damos o limite inferior e superior da região que deve conter a raiz. No Newton-Raphson damos um valor inicial e dependendo deste valor nem sempre o método converge, pois podemos ter o caso em que a reta tangente a função no ponto inicial não representa bem a função naquele ponto.
  31. 31. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Considerações Finais O método ideal para aproximação de raízes é aquele que a convergência é assegurada, e rápida, e que haja um número mínimo de iterações.
  32. 32. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exercícios
  33. 33. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  34. 34.

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