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Zeros de Funções Reais
1. Introdução
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• A forma como se efetua o refinamento é o que diferencia os
métodos.
• Todos eles são iterativos. Isto é segue uma sequência que são
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• Métodos iterativos fornecem uma aproximação para a solução.
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Zeros de Funções Reais
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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
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O princípio fundamental do método da bissecção consiste em
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Considerando o intervalo [a,b]:
• Se , o novo intervalo é [a,(a+b)/2]
• Se , o novo intervalo é [(a+b)/2,b]
( ). ( ) 0
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a b
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a = a1
f(x)
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x2 = (a + x1)/2
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x
f(x)
x1 = b2
x3 = (x2 + x1)/2
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Repete-se o processo até que o valor
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29
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• O método exige pouco esforço computacional.
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um tamanho, b – a, muito maior que uma precisão, ε.
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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
Zeros de Funções Reais
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• Raiz(f,a,b,tol)
o Enquanto (|a-b|>tol)
• x=(a+b)/2
• Se f(x).f(a)<0
o b=x
• Senão
o a=x
o Resultado=(a+b)/2
Implementação do Método da Bisseção.
Zeros de Funções Reais
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Algoritmo
k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a;
xk+1 := (ak + bk)/2;
while critério de convergência não satisfeito and k L
if f(ak)f(xk+1) < 0 then /* raiz em [ak , xk+1] */
ak+1 := ak; bk+1 := xk+1;
else /* raiz em [xk+1, bk] */
ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ;
endif
k := k +1; xk+1 := (ak + bk)/2;
endwhile
if k>L
convergência falhou
endif
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Ideia: Reduzir o intervalo que contém a raiz, dividindo-o ao meio a cada
iteração.
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• Método da Iteração Linear.
• Método da Secante (das Cordas ou Falsa Posição);
Pesquisa em dupla sobre os seguintes métodos:
A pesquisa deve conter:
• Descrição de cada método;
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• Escolher um desses métodos e mostrar uma aplicação na
Engenharia;
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  • 1. Equações Algébricas e Transcendentes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Zero Reais de Funções Reais
  • 2. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Sendo P(x) um polinômio em C, chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0. O que é uma Equação Algébrica? Portanto, as raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x) .
  • 3. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Uma equação transcendente é uma equação que contém alguma função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja solução não pode ser expressa através de funções elementares. O que é uma Equação Transcendente?
  • 4. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou transcendente, algumas etapas devem ser seguidas: 1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o menor possível, que contenha a raiz; 2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido pelo problema. Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da seguinte maneira: 3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos.
  • 5. Zeros de Funções Reais 1. Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 6. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Existem vários métodos numéricos de refinamento de raiz. • A forma como se efetua o refinamento é o que diferencia os métodos. • Todos eles são iterativos. Isto é segue uma sequência que são executadas “passo a passo”, algumas das quais são repetidas em ciclos. • Métodos iterativos fornecem uma aproximação para a solução. • Execução de ciclo recebe nome de iteração.
  • 7. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Método da Bisseção; • Método de Newton-Raphson (Tangentes); • Método da Iteração Linear. • Método da Secante (das Cordas ou Falsa Posição);
  • 8. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Método da Bisseção
  • 9. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares O princípio fundamental do método da bissecção consiste em localizar a raiz em um intervalo [x1, x2], onde a função é estritamente crescente ou estritamente decrescente e considerar a raiz aproximada como o ponto médio desse intervalo, ou seja, a raiz será (x1 + x2)/2 ou (a+b)/2. Para que a raiz pertença a tal intervalo, nas condições citadas, devemos ter f(x1). f(x2) < 0.
  • 10. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
  • 11. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Para tornar o erro menor, pode-se dividir o intervalo em dois intervalos de amplitude igual à metade da amplitude do intervalo anterior. Para isso, tomemos x3 = (x1 + x2)/2. Veja a figura a seguir:
  • 12. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares A raiz estará no intervalo [x1, (x1+x2)/2] se f(x1).f((x1+x2)/2) < 0, caso contrário ela estará no intervalo [(x1+x2)/2, x2].
  • 13. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares A repetição do processo fará com que, a cada iteração o ponto médio do intervalo se aproxime cada vez mais da raiz. Assim, o processo deverá ser continuado até que se obtenha uma aproximação com erro inferior ao solicitado.
  • 14. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Para se aproximar de uma raiz, o princípio da bisseção consista em reduzir o intervalo inicial testando o sinal de f(x) para o ponto médio do intervalo. Considerando o intervalo [a,b]: • Se , o novo intervalo é [a,(a+b)/2] • Se , o novo intervalo é [(a+b)/2,b] ( ). ( ) 0 2 a b f a f ( ). ( ) 0 2 a b f b f Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
  • 15. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. 15 xa = a0 f(x) b = b0 x1 = (a + b)/2 x1 x a = a1 f(x) x1 = b1 x2 = (a + x1)/2 x2 x f(x) x1 = b2 x3 = (x2 + x1)/2 x2 = a2 x3 Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada.
  • 16. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
  • 17. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. • Solução: Começamos traçando o gráfico da função ou tabelando e analisando a mudança de sinal. Vamos ver os dois:
  • 18. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. • Solução: Começamos traçando o gráfico da função ou tabelando e analisando a mudança de sinal. Vamos ver os dois: Claramente vemos que existe uma raiz no intervalo [-3,5 ; -3,0], uma segunda raiz no intervalo [0 ; 0,5] e uma terceira raiz no intervalo [2,5 ; 3].
  • 19. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. • Solução: Agora pela tabulação e análise de sinais para determinar os intervalos iniciais. X -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 f(x) - + + + + + + + - - - - - +
  • 20. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. • Solução: Vamos adotar o intervalo [0,0 ; 0,5], portanto, para a iteração i=1 temos: Observem o algoritmo do método. O próximo passo é dividir o intervalo ao meio.
  • 21. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. • Solução: Critério de parada!
  • 22. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. • Solução: Agora temos dois intervalos. O primeiro é [0 ; 0,25] e o segundo é [0,25 ; 0,5]. Vamos verificar se a raiz se encontra no primeiro intervalo fazendo:
  • 23. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. • Solução: Como o produto foi positivo, o intervalo onde se encontra a raiz não é [0 ; 0,25] e sim [0,25 ; 0,5].
  • 24. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. • Solução: Vamos agora adotar o intervalo [0,25 ; 0,5], portanto, para a iteração i=2, temos: Observem o algoritmo do método. O próximo passo é dividir o intervalo ao meio.
  • 25. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. • Solução: Quadro!
  • 26. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
  • 27. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção. • Solução: Quadro!
  • 28. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
  • 29. 29
  • 30. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • O método exige pouco esforço computacional. • A convergência é lenta. Notadamente se o intervalo inicial tiver um tamanho, b – a, muito maior que uma precisão, ε. • O método sempre gera uma sequência convergente. Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
  • 31. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Raiz(f,a,b,tol) o Enquanto (|a-b|>tol) • x=(a+b)/2 • Se f(x).f(a)<0 o b=x • Senão o a=x o Resultado=(a+b)/2 Implementação do Método da Bisseção.
  • 32. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Algoritmo k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a; xk+1 := (ak + bk)/2; while critério de convergência não satisfeito and k L if f(ak)f(xk+1) < 0 then /* raiz em [ak , xk+1] */ ak+1 := ak; bk+1 := xk+1; else /* raiz em [xk+1, bk] */ ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ; endif k := k +1; xk+1 := (ak + bk)/2; endwhile if k>L convergência falhou endif Implementação do Método da Bisseção.
  • 33. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Ideia: Reduzir o intervalo que contém a raiz, dividindo-o ao meio a cada iteração. Implementação do Método da Bisseção.
  • 35. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
  • 37. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares • Método da Iteração Linear. • Método da Secante (das Cordas ou Falsa Posição); Pesquisa em dupla sobre os seguintes métodos: A pesquisa deve conter: • Descrição de cada método; • Seguir a ABNT quanto à formatação. • Escolher um desses métodos e mostrar uma aplicação na Engenharia; • Comparação entre os métodos; Data de Entrega: Dia da prova!
  • 38. Zeros de Funções Reais Fase II: Refinamento de Raiz Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Método de Newton-Raphson (Tangentes)
  • 39.