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Demonstrações
• Lógica Formal (1.1 a 1.4)
‣ Lógica Proposicional
‣ Lógica de Predicados
• Técnicas básicas de demonstração (2.1)
• Demonstrações por Indução Matemática (2.2)
‣ Primeiro Princípio de Indução
‣ Segundo Princípio de Indução
Lógica Formal
• Proposições e Tautologias
• Lógica Proposicional
• Quantificadores e Predicados
• Lógica de Predicados
Lógica é a “ciência do raciocínio”.
Aristóteles
(384 a.C.–322 a.C.)
Leibniz
(1646–1716)
George Boole
(1815–1864)
Augustus De Morgan
(1806–1871)
Objetivos
• Proporcionar universalidade na
representação do “raciocínio”.
‣ Evitar ambigüidades
• Garantir consistência
A Lógica formal ignora o conteúdo de
um argumento e se preocupa com a
validade da argumentação.
A Lógica formal fornece as estruturas
básicas para descrever o método de
pensar organizado e cuidadoso que
caracteriza qualquer atividade racional.
Conceitos Primitivos
• Sentença
• Valores Lógicos
‣ Falso (F ou 0)
‣ Verdadeiro (V ou 1)
Proposições
• Uma proposição é uma sentença que é falsa
ou verdadeira.
• Em lógica, utilizamos proposições para
representar afirmações que fazemos em
linguagem natural (fatos e informações)
‣ Usaremos letras maiúsculas para representar
proposições.
Exemplo 1
• Quais das seguintes sentenças são
proposições?
‣ A = “Dez é menor do que sete”;
‣ B = “Como você está?”;
‣ C = “Ela é muito talentosa”;
‣ D = “Existe vida em outros planetas do universo”.
Exemplo 1
• Quais das seguintes sentenças são
proposições?
‣ A = “Dez é menor do que sete”;
‣ B = “Como você está?”;
‣ C = “Ela é muito talentosa”;
‣ D = “Existe vida em outros planetas do universo”.
Conectivos Lógicos
• Podemos usar conectivos lógicos para
combinar proposições em expressões.
‣ Conjunção
‣ Disjunção
‣ Condicional
‣ Equivalência
‣ Negação
Conjunção
• A expressão A ∧ B é chamada conjunção
• O símbolo ∧ é o conectivo lógico de
conjunção (“e”).
• A e B são os fatores (ou elementos) da
expressão.
• Qual é o valor lógico da expressão A ∧ B?
A B A ∧ B
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabela-Verdade da conjunção
Disjunção
• Denotada pelo símbolo ∨ (“ou”)
A B A ∨ B
V V V
V F V
F V V
F F F
Condicional
• O conectivo → representa uma expressão
condicional
• A → B significa “se A, então B”
A B A → B
V V V
V F F
F V V
F F V
Condicional
• Uma expressão condicional é também
denominada “implicação”
‣ A → B também significa “A implica B”
• Suponha que A → B seja verdadeira, então:
‣ A ser verdadeira implica que B seja verdadeira
‣ B é uma condição necessária para A.
Exemplo 2
• Expressão condicional (implicação)
‣ A = “Há fumaça”
‣ B = “Há fogo”
‣ A → B (“se há fumaça, então há fogo”)
Equivalência
• O símbolo é o conectivo de equivalência
• A B = (A → B) ∧ (B → A)
A B A B
V V V
V F F
F V F
F F V
Negação
• A negação é um conectivo lógico unário,
simbolizada por ′ (“não”)
A A′
V F
F V
Exemplo 3
• Negação de uma expressão
‣ A = “Pedro é alto”
‣ B = “Pedro é magro”
‣ (A ∧ B)′ = ???
Exemplo 3
• Negação de uma expressão
‣ A = “Pedro é alto”
‣ B = “Pedro é magro”
‣ (A ∧ B)′ = “Pedro é baixo ou gordo”
FBF
• Uma combinação válida de proposições e
conetivos lógicos é denominada uma
fórmula bem formulada (FBF)
‣ (A → B) ∧ (B → C) é uma FBF
‣ A)) → ∧C não é uma FBF
• O valor lógico de uma FBF depende dos
valores lógicos associados às proposições
que fazem parte da fórmula.
• Podemos identificar o valor lógico para
uma FBF construindo sua tabela-verdade.
Ordem de Precedência
1. ′
2. ∧, ∨
3. →
4.
Em uma FBF, o último conectivo a ser aplicado é
denominado o conectivo principal.
Exemplos:
A ∨ (B′) = A ∨ B′
(A ∨ B) → C = A ∨ B → C
Exemplo 4
• Construa a tabela-verdade para a seguinte
fórmula:
‣ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′
Exemplo 4
• Construa a tabela-verdade para a seguinte
fórmula:
‣ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′
A B B′ A ∨ B′ ( A ∨ B) ( A ∨ B)′ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′
V V F V V F F
V F V V V F F
F V F F V F V
F F V V F V V
Tautologia
• Uma tautologia é uma FBF “intrinsecamente
verdadeira” pela sua própria estrutura.
‣ Ela assume o valor verdadeiro (V)
independentemente do valor associado às
proposições da fórmula.
• Exemplos:
‣ A ∨ A′
‣ (A → B) (B′ → A′)
Contradição
• Uma contradição é uma FBF cujo valor
lógico é sempre falso
• Exemplos
‣ A ∧ A′
‣ (A ∨ A′) → (B ∧ B′)
FBFs Equivalentes
• Sejam P e Q duas FBFs
• Se P Q é uma tautologia, então dizemos
que P e Q são FBFs equivalentes.
‣ P Q
Equivalências Tautológicas
• A ∨ B B ∨ A (comutatividade)
• (A ∨ B) ∨ C A ∨ (B ∨ C) (associatividade)
• A ∨ (B ∧ C) (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (distributividade)
• A ∨ F A (elemento neutro)
• A ∧V A (elemento neutro)
Leis de Morgan
(A ∨ B)′ A′ ∧ B′
(A ∧ B)′ A′ ∨ B′
Exercício 1
• Utilize a notação simbólica da lógica formal
para representar as seguintes expressões.
1. Tanto ir dormir como ir nadar é uma condição
suficiente para a troca de roupa; além disso,
mudar a roupa não significa que se vai nadar.
2. Vai chover ou nevar, mas não ambos.
3. Se Jane vencer ou perder, ela vai ficar cansada.
4. Ou Jane irá vencer ou, se perder, ela ficará
cansada.
Exercício 2
• Construa a tabela-verdade para a seguinte
fórmula:
‣ (A ∨ A′) → (B ∧ B′)
Exercício 3
• Prove que é verdadeira a seguinte Lei de
Morgan (A ∨ B)′ A′ ∧ B′
Exercício 4
• Suponha que você está viajando em um país
onde todo habitante é completamente
honesto ou completamente mentiroso.
Você encontra dois habitantes daquele
país: Parcival e Levelim. Parcival diz:“pelo
menos um de nós é mentiroso”.
‣ Parcival é honesto ou mentiroso?
‣ E Levelim?
Lógica Formal
• Proposições e Tautologias
• Lógica Proposicional
• Quantificadores e Predicados
• Lógica de Predicados
Lógica Proposicional
• Um sistema formal de regras de dedução
‣ Como chegar a conclusões a partir de
proposições dadas?
• Objetivo: provar a validade de um
argumento
Argumentos
• Uma argumento é uma FBF proposicional
na seguinte forma:
‣ P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q
‣ P1, P2, … ,Pn são denominadas hipóteses;
‣ Q é a conclusão do argumento.
Q pode ser deduzido de P1, P2, … ,Pn ?
Q é uma conclusão lógica de P1, P2, … ,Pn ?
• Q é uma conclusão lógica de P1, P2, … , Pn
sempre que a verdade das proposições P1,
P2, … , Pn implica na verdade de Q.
‣ Quando P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q é verdadeiro
ArgumentosVálidos
• Uma FBF proposicional na forma
P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q é um argumento
válido quando for uma tautologia
• Um argumento válido é “intrinsecamente
verdadeiro”.
Como podemos verificar se um
argumento é válido?
Regras de Dedução
• A lógica formal define regras que nos
permitem deduzir uma conclusão a partir
de hipóteses.
‣ Podem ser usadas para demonstrar a validade
de um argumento
‣ As regras de dedução modificam as FBFs, mas
preservam o seu valor lógico
Demonstrações
• Uma demonstração é uma seqüência de
FBFs na qual cada fórmula é:
‣ uma hipótese ou
‣ o resultado de se aplicar uma regra de dedução
às fórmulas anteriores.
Para demonstrar a validade de um argumento
P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q
podemos derivar a conclusão Q
aplicando as regras de dedução nas hipóteses
(ou fórmulas decorrentes)
P1
P2
…
Pn
FBF1
…
FBFn
Q
As Regras de Dedução
• Existem dois tipos de regras de dedução na
Lógica Proposicional:
‣ Equivalências (reescrever fórmulas anteriores)
‣ Inferências (deduzir novas fórmulas a partir das
anteriores)
Regras de Equivalência
• R S significa que R S é uma tautologia.
• Neste caso, R pode ser substituída por S
em uma fórmula, sem mudança do valor
lógico da forma.
As Regras de Equivalência
Equivalência Nome da regra
P ∨ Q
P ∧ Q
Q ∨ P
Q ∧ P
Comutatividade
(P ∨ Q) ∨ R
(P ∧ Q) ∧ R
P ∨ (Q ∨ R)
P ∧ (Q ∧ R)
Associatividade
(P ∨ Q)′
(P ∧ Q)′
P′ ∧ Q′
P′ ∨ Q′
Leis de Morgan
P → Q P′ ∨ Q Condicional
P (P′)′ Dupla negação
P Q (P → Q) ∧ (Q → P) Equivalência
Regras de Inferência
• Permitem deduzir uma nova fórmula, a
partir das fórmulas que fazem parte da
seqüência da demonstração.
‣ Também preservam os valores lógicos
‣ Não são “aplicáveis em ambas as direções”
como as regras de equivalência
As Regras de Inferência
De Podemos concluir Nome
P , P → Q Q Modus Ponens
P → Q , Q′ P′ Modus Tollens
P , Q P ∧ Q Conjunção
P ∧ Q P , Q Simplificação
P P ∨ Q Adição
Exemplo
• Demonstre que o argumento a seguir é
válido:
‣ A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip
A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip
5. C 2, 4 mp
A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip
5. C 2, 4 mp
6. A ∧ B 1, 4 conjuncao
A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip
5. C 2, 4 mp
6. A ∧ B 1, 4 conjuncao
7. D ∨ C′ 3, 6 mp
A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip
5. C 2, 4 mp
6. A ∧ B 1, 4 conjuncao
7. D ∨ C′ 3, 6 mp
8. C′ ∨ D com
A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip
5. C 2, 4 mp
6. A ∧ B 1, 4 conjuncao
7. D ∨ C′ 3, 6 mp
8. C′ ∨ D com
9. C → D cond
A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
1. A hip
2. (B → C) hip
3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
4. B hip
5. C 2, 4 mp
6. A ∧ B 1, 4 conjuncao
7. D ∨ C′ 3, 6 mp
8. C′ ∨ D com
9. C → D cond
10. ∴D 5, 9 mp
Exercício
• Demonstre que
‣ [(A ∨ B′) → C] ∧ (C→D) ∧ A → D
Método Dedutivo
P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → ( R → S )
↕
P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn ∧ R → S
Silogismo Hipotético
(P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R)
Como podemos representar a sentença a seguir
com a simbologia da Lógica Proposicional?
“Para todo X, X é maior que 0.
Predicados
• Um predicado descreve uma propriedade
particular P de uma variável x
‣ Notação P(x)
• O valor lógico de P(x) depende do valor e
do domínio de x
• Exemplo:
‣ P(x) é a propriedade de x ser par, dado que o
conjunto universo é o conjunto dos inteiros.
Quantificadores
Nome Símbolo Exemplo
Quantificador
Universal
∀
(∀x) P(x)
“Para todo x, P(x) é
verdadeiro”
Quantificador
Existencial
∃
∃(x) P(x)
“Existe algum x, tal que P(x) é
verdadeiro”
Escopo
• “Símbolos de agrupamento”, como
parênteses ou colchetes, identificam o
escopo de um quantificador.
‣ Escopo é a “parte” da fórmula à qual o
quantificador se aplica
• Uma variável livre é uma variável que não
faz parte de um quantificador.
Exemplo de Predicado
• Domínio: é o conjunto dos números
inteiros
• P(x): “x é par”
‣ P(1) é falso
‣ P(4) é verdadeiro
‣ (∀x)P(x) é falso
‣ (∃x)P(x) é verdadeiro
Exemplo
• Determine o valor lógico da fórmula
predicada a seguir:
• (∃x) ( P(x) ∧ (∀y)[(Q(x,y)→R(y)] )
‣ P(x):“x > 0”
‣ Q(x,y):“x > y”
‣ R(y):“y ≤ 0”
‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros
Exemplo
• Determine o valor lógico da fórmula
predicada a seguir:
• (∃x) ( P(x) ∧ (∀y)[(Q(x,y)→R(y)] )
‣ P(x):“x > 0”
‣ Q(x,y):“x > y”
‣ R(y):“y ≤ 0”
‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros
Verdadeiro
Exemplo
• Determine o valor lógico da fórmula
predicada a seguir:
• (∀x)(∃y) ( P(x,y) )
‣ P(x,y):“x+y=0”
‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros
Exemplo
• Determine o valor lógico da fórmula
predicada a seguir:
• (∀x)(∃y) ( P(x,y) )
‣ P(x,y):“x+y=0”
‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros
Verdadeiro
Exemplo
• Escreva a sentença “Todo papagaio é feio”
como uma fórmula predicada.
‣ P(x) :“x é um papagaio”
‣ F(x) :“x é feio”
‣ (∀x) [ P(x) → F(x)]
• “Existe um papagaio feio”
‣ (∃x) [P(x) ∧ F(x)]
Exercício
• Usando os símbolos predicados E(x):“x é um
estudante”, I(x):“x é inteligente” e M(x):“x gosta
de música”, escreve fórmulas que descrevam as
sentenças abaixo. O domínio é o conjunto das
pessoas.
‣ Todos os estudantes são inteligentes.
‣ Alguns estudantes inteligentes gostam de música.
‣ Existem estudantes que não gostam de música.
‣ Apenas estudantes inteligentes gostam de música.
Validade
• O valor lógico de uma fórmula predicada
depende da interpretação (propriedade
+domínio).
• Uma fórmula predicada é válida se ela é
verdadeira para qualquer interpretação.
• A validade de uma fórmula predicada deve
ser deduzida de sua forma
‣ a validade independe de qualquer interpretação
Para mostrar que uma fórmula predicada não é
válida, basta apresentar uma interpretação para
a qual a fórmula é falsa.
Exemplo:
(∃x)P(x) → (∀x)P(x)
Se o domínio de x é o conjunto dos números
inteiros e P(x) significa que “x é par”, então é
verdade que existe um número inteiro par, mas
é falso que todos os números inteiso são pares.
Lógica de Predicados
• Um sistema lógico formal que nos permite
demonstrar a validade de argumentos com
fórmulas predicadas.
‣ conjunto de regras de dedução para construir
uma seqüência de demonstração que, a partir
das hipóteses, chega à conclusão.
‣ este conjunto inclui as regras de equivalência e
inferência da lógica proposicional.
De Podemos deduzir Nome
(∀x)P(x)
P(t), t é uma variável ou
constante.
Particularização
Universal - pu
(∃x)P(x) P(c), c é uma constante.
Particularização
Existencial - pe
P(x) (∀x)P(x)
Generalização
Universal - gu
P(x) ou P(c), x é
uma variável e c é
uma constante.
(∃x)P(x)
Generalização
Existencial - ge
Exercício
• Considere o domínio dos números inteiros
• P(x):“x é ímpar”
• Q(x):“x é par”
• A fórmula a seguir é válida?
‣ (∀x) [ P(x) ∨ Q(x)] → (∀x)P(x) ∨ (∀x)Q(x)
Exercícios
• Demonstre os argumentos a seguir:
‣ “Todos os humanos são mortais. Sócrates é
humano. Portanto, Sócrates é mortal.”
‣ (∀x)[P(x)→Q(x)] ∧ (∀x)P(x) → (∀x)Q(x)
‣ (∀x)[P(x) ∧ Q(x)] → (∀x)P(x) ∧ (∀x)Q(x)
Desafio
• Mostre que o seguinte argumento é válido:
“Todo computador tem uma porta serial.
Alguns computadores têm uma porta
paralela. Portanto, alguns computadores
têm uma porta serial e uma porta paralela”.
É a forma do argumento que interessa,
não o conteúdo.

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Lógica Formal

  • 1. Demonstrações • Lógica Formal (1.1 a 1.4) ‣ Lógica Proposicional ‣ Lógica de Predicados • Técnicas básicas de demonstração (2.1) • Demonstrações por Indução Matemática (2.2) ‣ Primeiro Princípio de Indução ‣ Segundo Princípio de Indução
  • 2. Lógica Formal • Proposições e Tautologias • Lógica Proposicional • Quantificadores e Predicados • Lógica de Predicados
  • 3. Lógica é a “ciência do raciocínio”. Aristóteles (384 a.C.–322 a.C.) Leibniz (1646–1716) George Boole (1815–1864) Augustus De Morgan (1806–1871)
  • 4. Objetivos • Proporcionar universalidade na representação do “raciocínio”. ‣ Evitar ambigüidades • Garantir consistência
  • 5. A Lógica formal ignora o conteúdo de um argumento e se preocupa com a validade da argumentação. A Lógica formal fornece as estruturas básicas para descrever o método de pensar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer atividade racional.
  • 6. Conceitos Primitivos • Sentença • Valores Lógicos ‣ Falso (F ou 0) ‣ Verdadeiro (V ou 1)
  • 7. Proposições • Uma proposição é uma sentença que é falsa ou verdadeira. • Em lógica, utilizamos proposições para representar afirmações que fazemos em linguagem natural (fatos e informações) ‣ Usaremos letras maiúsculas para representar proposições.
  • 8. Exemplo 1 • Quais das seguintes sentenças são proposições? ‣ A = “Dez é menor do que sete”; ‣ B = “Como você está?”; ‣ C = “Ela é muito talentosa”; ‣ D = “Existe vida em outros planetas do universo”.
  • 9. Exemplo 1 • Quais das seguintes sentenças são proposições? ‣ A = “Dez é menor do que sete”; ‣ B = “Como você está?”; ‣ C = “Ela é muito talentosa”; ‣ D = “Existe vida em outros planetas do universo”.
  • 10. Conectivos Lógicos • Podemos usar conectivos lógicos para combinar proposições em expressões. ‣ Conjunção ‣ Disjunção ‣ Condicional ‣ Equivalência ‣ Negação
  • 11. Conjunção • A expressão A ∧ B é chamada conjunção • O símbolo ∧ é o conectivo lógico de conjunção (“e”). • A e B são os fatores (ou elementos) da expressão. • Qual é o valor lógico da expressão A ∧ B?
  • 12. A B A ∧ B V V V V F F F V F F F F Tabela-Verdade da conjunção
  • 13. Disjunção • Denotada pelo símbolo ∨ (“ou”) A B A ∨ B V V V V F V F V V F F F
  • 14. Condicional • O conectivo → representa uma expressão condicional • A → B significa “se A, então B” A B A → B V V V V F F F V V F F V
  • 15. Condicional • Uma expressão condicional é também denominada “implicação” ‣ A → B também significa “A implica B” • Suponha que A → B seja verdadeira, então: ‣ A ser verdadeira implica que B seja verdadeira ‣ B é uma condição necessária para A.
  • 16. Exemplo 2 • Expressão condicional (implicação) ‣ A = “Há fumaça” ‣ B = “Há fogo” ‣ A → B (“se há fumaça, então há fogo”)
  • 17. Equivalência • O símbolo é o conectivo de equivalência • A B = (A → B) ∧ (B → A) A B A B V V V V F F F V F F F V
  • 18. Negação • A negação é um conectivo lógico unário, simbolizada por ′ (“não”) A A′ V F F V
  • 19. Exemplo 3 • Negação de uma expressão ‣ A = “Pedro é alto” ‣ B = “Pedro é magro” ‣ (A ∧ B)′ = ???
  • 20. Exemplo 3 • Negação de uma expressão ‣ A = “Pedro é alto” ‣ B = “Pedro é magro” ‣ (A ∧ B)′ = “Pedro é baixo ou gordo”
  • 21. FBF • Uma combinação válida de proposições e conetivos lógicos é denominada uma fórmula bem formulada (FBF) ‣ (A → B) ∧ (B → C) é uma FBF ‣ A)) → ∧C não é uma FBF
  • 22. • O valor lógico de uma FBF depende dos valores lógicos associados às proposições que fazem parte da fórmula. • Podemos identificar o valor lógico para uma FBF construindo sua tabela-verdade.
  • 23. Ordem de Precedência 1. ′ 2. ∧, ∨ 3. → 4. Em uma FBF, o último conectivo a ser aplicado é denominado o conectivo principal. Exemplos: A ∨ (B′) = A ∨ B′ (A ∨ B) → C = A ∨ B → C
  • 24. Exemplo 4 • Construa a tabela-verdade para a seguinte fórmula: ‣ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′
  • 25. Exemplo 4 • Construa a tabela-verdade para a seguinte fórmula: ‣ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′ A B B′ A ∨ B′ ( A ∨ B) ( A ∨ B)′ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′ V V F V V F F V F V V V F F F V F F V F V F F V V F V V
  • 26. Tautologia • Uma tautologia é uma FBF “intrinsecamente verdadeira” pela sua própria estrutura. ‣ Ela assume o valor verdadeiro (V) independentemente do valor associado às proposições da fórmula. • Exemplos: ‣ A ∨ A′ ‣ (A → B) (B′ → A′)
  • 27. Contradição • Uma contradição é uma FBF cujo valor lógico é sempre falso • Exemplos ‣ A ∧ A′ ‣ (A ∨ A′) → (B ∧ B′)
  • 28. FBFs Equivalentes • Sejam P e Q duas FBFs • Se P Q é uma tautologia, então dizemos que P e Q são FBFs equivalentes. ‣ P Q
  • 29. Equivalências Tautológicas • A ∨ B B ∨ A (comutatividade) • (A ∨ B) ∨ C A ∨ (B ∨ C) (associatividade) • A ∨ (B ∧ C) (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (distributividade) • A ∨ F A (elemento neutro) • A ∧V A (elemento neutro)
  • 30. Leis de Morgan (A ∨ B)′ A′ ∧ B′ (A ∧ B)′ A′ ∨ B′
  • 31. Exercício 1 • Utilize a notação simbólica da lógica formal para representar as seguintes expressões. 1. Tanto ir dormir como ir nadar é uma condição suficiente para a troca de roupa; além disso, mudar a roupa não significa que se vai nadar. 2. Vai chover ou nevar, mas não ambos. 3. Se Jane vencer ou perder, ela vai ficar cansada. 4. Ou Jane irá vencer ou, se perder, ela ficará cansada.
  • 32. Exercício 2 • Construa a tabela-verdade para a seguinte fórmula: ‣ (A ∨ A′) → (B ∧ B′)
  • 33. Exercício 3 • Prove que é verdadeira a seguinte Lei de Morgan (A ∨ B)′ A′ ∧ B′
  • 34. Exercício 4 • Suponha que você está viajando em um país onde todo habitante é completamente honesto ou completamente mentiroso. Você encontra dois habitantes daquele país: Parcival e Levelim. Parcival diz:“pelo menos um de nós é mentiroso”. ‣ Parcival é honesto ou mentiroso? ‣ E Levelim?
  • 35. Lógica Formal • Proposições e Tautologias • Lógica Proposicional • Quantificadores e Predicados • Lógica de Predicados
  • 36. Lógica Proposicional • Um sistema formal de regras de dedução ‣ Como chegar a conclusões a partir de proposições dadas? • Objetivo: provar a validade de um argumento
  • 37. Argumentos • Uma argumento é uma FBF proposicional na seguinte forma: ‣ P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q ‣ P1, P2, … ,Pn são denominadas hipóteses; ‣ Q é a conclusão do argumento.
  • 38. Q pode ser deduzido de P1, P2, … ,Pn ? Q é uma conclusão lógica de P1, P2, … ,Pn ? • Q é uma conclusão lógica de P1, P2, … , Pn sempre que a verdade das proposições P1, P2, … , Pn implica na verdade de Q. ‣ Quando P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q é verdadeiro
  • 39. ArgumentosVálidos • Uma FBF proposicional na forma P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q é um argumento válido quando for uma tautologia • Um argumento válido é “intrinsecamente verdadeiro”.
  • 40. Como podemos verificar se um argumento é válido?
  • 41. Regras de Dedução • A lógica formal define regras que nos permitem deduzir uma conclusão a partir de hipóteses. ‣ Podem ser usadas para demonstrar a validade de um argumento ‣ As regras de dedução modificam as FBFs, mas preservam o seu valor lógico
  • 42. Demonstrações • Uma demonstração é uma seqüência de FBFs na qual cada fórmula é: ‣ uma hipótese ou ‣ o resultado de se aplicar uma regra de dedução às fórmulas anteriores.
  • 43. Para demonstrar a validade de um argumento P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q podemos derivar a conclusão Q aplicando as regras de dedução nas hipóteses (ou fórmulas decorrentes) P1 P2 … Pn FBF1 … FBFn Q
  • 44. As Regras de Dedução • Existem dois tipos de regras de dedução na Lógica Proposicional: ‣ Equivalências (reescrever fórmulas anteriores) ‣ Inferências (deduzir novas fórmulas a partir das anteriores)
  • 45. Regras de Equivalência • R S significa que R S é uma tautologia. • Neste caso, R pode ser substituída por S em uma fórmula, sem mudança do valor lógico da forma.
  • 46. As Regras de Equivalência Equivalência Nome da regra P ∨ Q P ∧ Q Q ∨ P Q ∧ P Comutatividade (P ∨ Q) ∨ R (P ∧ Q) ∧ R P ∨ (Q ∨ R) P ∧ (Q ∧ R) Associatividade (P ∨ Q)′ (P ∧ Q)′ P′ ∧ Q′ P′ ∨ Q′ Leis de Morgan P → Q P′ ∨ Q Condicional P (P′)′ Dupla negação P Q (P → Q) ∧ (Q → P) Equivalência
  • 47. Regras de Inferência • Permitem deduzir uma nova fórmula, a partir das fórmulas que fazem parte da seqüência da demonstração. ‣ Também preservam os valores lógicos ‣ Não são “aplicáveis em ambas as direções” como as regras de equivalência
  • 48. As Regras de Inferência De Podemos concluir Nome P , P → Q Q Modus Ponens P → Q , Q′ P′ Modus Tollens P , Q P ∧ Q Conjunção P ∧ Q P , Q Simplificação P P ∨ Q Adição
  • 49. Exemplo • Demonstre que o argumento a seguir é válido: ‣ A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
  • 50. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D
  • 51. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D 1. A hip
  • 52. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D 1. A hip 2. (B → C) hip
  • 53. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D 1. A hip 2. (B → C) hip 3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip
  • 54. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D 1. A hip 2. (B → C) hip 3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip 4. B hip
  • 55. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D 1. A hip 2. (B → C) hip 3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip 4. B hip 5. C 2, 4 mp
  • 56. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D 1. A hip 2. (B → C) hip 3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip 4. B hip 5. C 2, 4 mp 6. A ∧ B 1, 4 conjuncao
  • 57. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D 1. A hip 2. (B → C) hip 3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip 4. B hip 5. C 2, 4 mp 6. A ∧ B 1, 4 conjuncao 7. D ∨ C′ 3, 6 mp
  • 58. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D 1. A hip 2. (B → C) hip 3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip 4. B hip 5. C 2, 4 mp 6. A ∧ B 1, 4 conjuncao 7. D ∨ C′ 3, 6 mp 8. C′ ∨ D com
  • 59. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D 1. A hip 2. (B → C) hip 3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip 4. B hip 5. C 2, 4 mp 6. A ∧ B 1, 4 conjuncao 7. D ∨ C′ 3, 6 mp 8. C′ ∨ D com 9. C → D cond
  • 60. A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D 1. A hip 2. (B → C) hip 3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip 4. B hip 5. C 2, 4 mp 6. A ∧ B 1, 4 conjuncao 7. D ∨ C′ 3, 6 mp 8. C′ ∨ D com 9. C → D cond 10. ∴D 5, 9 mp
  • 61. Exercício • Demonstre que ‣ [(A ∨ B′) → C] ∧ (C→D) ∧ A → D
  • 62. Método Dedutivo P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → ( R → S ) ↕ P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn ∧ R → S
  • 63. Silogismo Hipotético (P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R)
  • 64. Como podemos representar a sentença a seguir com a simbologia da Lógica Proposicional? “Para todo X, X é maior que 0.
  • 65. Predicados • Um predicado descreve uma propriedade particular P de uma variável x ‣ Notação P(x) • O valor lógico de P(x) depende do valor e do domínio de x • Exemplo: ‣ P(x) é a propriedade de x ser par, dado que o conjunto universo é o conjunto dos inteiros.
  • 66. Quantificadores Nome Símbolo Exemplo Quantificador Universal ∀ (∀x) P(x) “Para todo x, P(x) é verdadeiro” Quantificador Existencial ∃ ∃(x) P(x) “Existe algum x, tal que P(x) é verdadeiro”
  • 67. Escopo • “Símbolos de agrupamento”, como parênteses ou colchetes, identificam o escopo de um quantificador. ‣ Escopo é a “parte” da fórmula à qual o quantificador se aplica • Uma variável livre é uma variável que não faz parte de um quantificador.
  • 68. Exemplo de Predicado • Domínio: é o conjunto dos números inteiros • P(x): “x é par” ‣ P(1) é falso ‣ P(4) é verdadeiro ‣ (∀x)P(x) é falso ‣ (∃x)P(x) é verdadeiro
  • 69. Exemplo • Determine o valor lógico da fórmula predicada a seguir: • (∃x) ( P(x) ∧ (∀y)[(Q(x,y)→R(y)] ) ‣ P(x):“x > 0” ‣ Q(x,y):“x > y” ‣ R(y):“y ≤ 0” ‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros
  • 70. Exemplo • Determine o valor lógico da fórmula predicada a seguir: • (∃x) ( P(x) ∧ (∀y)[(Q(x,y)→R(y)] ) ‣ P(x):“x > 0” ‣ Q(x,y):“x > y” ‣ R(y):“y ≤ 0” ‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros Verdadeiro
  • 71. Exemplo • Determine o valor lógico da fórmula predicada a seguir: • (∀x)(∃y) ( P(x,y) ) ‣ P(x,y):“x+y=0” ‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros
  • 72. Exemplo • Determine o valor lógico da fórmula predicada a seguir: • (∀x)(∃y) ( P(x,y) ) ‣ P(x,y):“x+y=0” ‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros Verdadeiro
  • 73. Exemplo • Escreva a sentença “Todo papagaio é feio” como uma fórmula predicada. ‣ P(x) :“x é um papagaio” ‣ F(x) :“x é feio” ‣ (∀x) [ P(x) → F(x)] • “Existe um papagaio feio” ‣ (∃x) [P(x) ∧ F(x)]
  • 74. Exercício • Usando os símbolos predicados E(x):“x é um estudante”, I(x):“x é inteligente” e M(x):“x gosta de música”, escreve fórmulas que descrevam as sentenças abaixo. O domínio é o conjunto das pessoas. ‣ Todos os estudantes são inteligentes. ‣ Alguns estudantes inteligentes gostam de música. ‣ Existem estudantes que não gostam de música. ‣ Apenas estudantes inteligentes gostam de música.
  • 75. Validade • O valor lógico de uma fórmula predicada depende da interpretação (propriedade +domínio). • Uma fórmula predicada é válida se ela é verdadeira para qualquer interpretação. • A validade de uma fórmula predicada deve ser deduzida de sua forma ‣ a validade independe de qualquer interpretação
  • 76. Para mostrar que uma fórmula predicada não é válida, basta apresentar uma interpretação para a qual a fórmula é falsa. Exemplo: (∃x)P(x) → (∀x)P(x) Se o domínio de x é o conjunto dos números inteiros e P(x) significa que “x é par”, então é verdade que existe um número inteiro par, mas é falso que todos os números inteiso são pares.
  • 77. Lógica de Predicados • Um sistema lógico formal que nos permite demonstrar a validade de argumentos com fórmulas predicadas. ‣ conjunto de regras de dedução para construir uma seqüência de demonstração que, a partir das hipóteses, chega à conclusão. ‣ este conjunto inclui as regras de equivalência e inferência da lógica proposicional.
  • 78. De Podemos deduzir Nome (∀x)P(x) P(t), t é uma variável ou constante. Particularização Universal - pu (∃x)P(x) P(c), c é uma constante. Particularização Existencial - pe P(x) (∀x)P(x) Generalização Universal - gu P(x) ou P(c), x é uma variável e c é uma constante. (∃x)P(x) Generalização Existencial - ge
  • 79. Exercício • Considere o domínio dos números inteiros • P(x):“x é ímpar” • Q(x):“x é par” • A fórmula a seguir é válida? ‣ (∀x) [ P(x) ∨ Q(x)] → (∀x)P(x) ∨ (∀x)Q(x)
  • 80. Exercícios • Demonstre os argumentos a seguir: ‣ “Todos os humanos são mortais. Sócrates é humano. Portanto, Sócrates é mortal.” ‣ (∀x)[P(x)→Q(x)] ∧ (∀x)P(x) → (∀x)Q(x) ‣ (∀x)[P(x) ∧ Q(x)] → (∀x)P(x) ∧ (∀x)Q(x)
  • 81. Desafio • Mostre que o seguinte argumento é válido: “Todo computador tem uma porta serial. Alguns computadores têm uma porta paralela. Portanto, alguns computadores têm uma porta serial e uma porta paralela”.
  • 82. É a forma do argumento que interessa, não o conteúdo.