MATEMÁTICA ELEMENTAR                       MATEMÁTICA ELEMENTAR                         Carlos Alberto G. de Almeida      ...
MATEMÁTICA ELEMENTARIntrodução                             Olá a todos!     Estudaremos neste tópico o seguinte conteúdo: ...
MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 01: Utilize o método algébrico para determinar a inversada função dada.1. f (x) = 2x + 12. f (...
MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 01: CONTINUAÇÃO     Solução: 2.     f (x) −→ y : =⇒ y = x 3 − 8     x ←→ y : =⇒ x = y 3 − 8   ...
MATEMÁTICA ELEMENTAR                                                     1Questão 02: Seja f (x) = 3x − 1, g(x) = x 3 e h(...
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MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 03: Considere a função g(x) = 4x + 7. Calculeg(3 + h) − g(3)                para h = 0 e sipli...
MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 04: Se f (1) = 5, f (3) = 7 e f (8) = −10. Encontre f −1 (7),f −1 (5) e f −1 (−10)     Solução...
MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 04: CONTINUAÇÃO     O diagrama na figura abaixo torna claro que f −1 reverte o     efeito de f ...
MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 05: Encontre o domínio da cada função          √1. f (x) = x + 2             12. g(x) = 2     ...
MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 05: CONTINUAÇÃO     2. Uma vez que                                     1       1              ...
MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 06: Dada a função f (x) = −x 2 + 2x, simplifique:   f (x) − f (1)1.       x −1   f (x + h) − f ...
MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 06: CONTINUAÇÃO     2.     Primeiro vamos calcular f (x + h). Temos:     f (x+h) = −(x+h)2 +2(...
MATEMÁTICA ELEMENTAROBSERVAÇÕES:           Caros alunos e alunas, é de extrema importância que           vocês não acumule...
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  1. 1. MATEMÁTICA ELEMENTAR MATEMÁTICA ELEMENTAR Carlos Alberto G. de Almeida (cviniro@gmail.com) 17 de setembro de 2012
  2. 2. MATEMÁTICA ELEMENTARIntrodução Olá a todos! Estudaremos neste tópico o seguinte conteúdo: Funções. Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre o assunto descrito acima, porém, é interessante que você estude antes a teoria. BOM ESTUDO!
  3. 3. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 01: Utilize o método algébrico para determinar a inversada função dada.1. f (x) = 2x + 12. f (x) = x 3 − 8 Solução: 1. f (x) −→ y : =⇒ y = 2x + 1 x ←→ y : =⇒ x = 2y + 1 x −1 y =? : =⇒ y = 2 y −→ f −1 (x) : =⇒ f −1 (x) = x − 1 2 f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = Id =⇒ f (f −1 (x)) = 2f −1 (x) + 1 = 2( x−1 ) + 1 = x 2 Portanto f −1 é definida pela equação −1 1
  4. 4. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 01: CONTINUAÇÃO Solução: 2. f (x) −→ y : =⇒ y = x 3 − 8 x ←→ y : =⇒ x = y 3 − 8 √ y =? : =⇒ y 3 = x + 8 =⇒ y √ 3 x + 8 = y −→ f −1 (x) : =⇒ f −1 (x) = 3 x + 8 f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = Id : =⇒ √ f (f −1 (x)) = (f −1 (x))3 − 8 = ( 3 x + 8)3 − 8 = x Portanto f −1 é definida pela equação √ f −1 (x) = x + 8 3
  5. 5. MATEMÁTICA ELEMENTAR 1Questão 02: Seja f (x) = 3x − 1, g(x) = x 3 e h(x) = 3 (x + 1).Calcule:1. (f ◦ g)(2) e (g ◦ f )(2)2. (f ◦ g)(x) e (g ◦ f )(x)3. (f ◦ h)(x) e (h ◦ f )(x)4. (f ◦ f )(x) e [f ◦ (g + h)](x) Solução: 1. (f ◦ g)(2) = f [g(2)] = f (23 ) = f (8) = 3(8) − 1 = 23 (g ◦ f )(2) = g[f (2)] = g[(3)(2) − 1] = g(5) = 53 = 125 2. (f ◦ g)(x) = f [g(x)] = f (x 3 ) = 3x 3 − 1 (g◦f )(x) = g[f (x)] = g[3x−1] = (3x−1)3 = 27x 3 −27x 2 +9x−1.
  6. 6. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 02: CONTINUAÇÃO Solução: 3. (f ◦ h)(x) = f [h(x)] = f [ 1 (x + 1)] = 3[ 1 (x + 1)] − 1 = x 3 3 (h ◦ f )(x) = h[f (x)] = h[3x − 1] = 1 (3x − 1 + 1) = x. 3 4. (f ◦ f )(x) = f [f (x)] = f [3x − 1] = 3(3x − 1) − 1 = 9x − 4 [f ◦ (g + h)](x) = f [(g + h)(x)] = f [g(x) + h(x)] = f [x 3 + 1 (x + 1)] 3 1 = 3[x 3 + 3 (x + 1)] − 1 = 3x 3 + x.
  7. 7. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 03: Considere a função g(x) = 4x + 7. Calculeg(3 + h) − g(3) para h = 0 e siplifique a resposta. h Solução: g(3 + h) − g(3) [4(3 + h) + 7] − [4(3) + 7] = h h 12 + 4h + 7 − 12 − 7 4h = = = 4. h h
  8. 8. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 04: Se f (1) = 5, f (3) = 7 e f (8) = −10. Encontre f −1 (7),f −1 (5) e f −1 (−10) Solução: Definição: Seja f uma função bijetora com domínio A e imagem B. Então sua FUNÇÃO INVERSA f −1 tem domínio B e imagem A, sendo definida por f −1 (y ) = x ⇐⇒ f (x) = y Da definição de f −1 temos: f −1 (7) = 3 porque f (3) = 7 f −1 (5) = 1 porque f (1) = 5 f −1 (−10) = 8 porque f (8) = −10
  9. 9. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 04: CONTINUAÇÃO O diagrama na figura abaixo torna claro que f −1 reverte o efeito de f nesse caso.
  10. 10. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 05: Encontre o domínio da cada função √1. f (x) = x + 2 12. g(x) = 2 x −x Solução: 1. Como a raiz quadrada de um número negativo não está definida (como um número real), o domínio de f consiste em todos os valores de x tais que x + 2 ≥ 0. Isso é equivalente a x ≥ −2; assim, o domínio é o intervalo [−2, ∞), ou seja, Df = {x ∈ R; x ≥ −2}
  11. 11. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 05: CONTINUAÇÃO 2. Uma vez que 1 1 g(x) = = x2 −x x(x − 1) e a divisão por 0 não é permitida, vemos que g(x) não está definida no caso de x = 0 ou x = 1. Dessa forma, o domínio de g é Dg = {x|x = 0, x = 1} que também pode ser dado na notação de intervalo como (−∞, 0) (0, 1) (1, ∞)
  12. 12. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 06: Dada a função f (x) = −x 2 + 2x, simplifique: f (x) − f (1)1. x −1 f (x + h) − f (x)2. h Solução: 1. f (x) − f (1) (−x 2 + 2x) − 1 −(x − 1)2 = = . x −1 x −1 x −1 Assim, f (x) − f (1) = −(x − 1), x = 1. x −1 Observe: f (1) = −12 + 2 = 1
  13. 13. MATEMÁTICA ELEMENTARQuestão 06: CONTINUAÇÃO 2. Primeiro vamos calcular f (x + h). Temos: f (x+h) = −(x+h)2 +2(x+h) = −x 2 −2xh−h2 = −x 2 −2xh−h2 +2x+2h Então f (x + h) − f (x) −x 2 − 2xh − h2 + 2x + 2h − (−x 2 + 2x) = h h −2xh − h2 + 2h = −2x − h + 2 h ou seja, f (x + h) − f (x) = −2x − h + 2, h = 0. h
  14. 14. MATEMÁTICA ELEMENTAROBSERVAÇÕES: Caros alunos e alunas, é de extrema importância que vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma, estarem em dia com o conteúdo. Sugiro que estudem o conteúdo apresentado neste tópico, e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum, para que eu possa tentar esclarecê-las. BOM ESTUDO!

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