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Resolução comentada matemática 002

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AULA 04 – PROBABILIDADES
                                                                                       5) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as
               RESOLUÇÃO COMENTADA                                                     probabilidades de:
                                                                                       a) Em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola
                                                                                       vermelha (V) e depois uma bola branca (B).
1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:
a) Sair o número 3.                                                                    Solução. Lembrando a fórmula: P(V ∩ B) = ).P(B / V ) , temos:
                                                                                                                                P(V
Solução. Temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(E) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a            5
                                                                                       P(V ) =   (5 bolas vermelhas de um total de 7). Supondo que saiu bola vermelha
                                              1                                               7
probabilidade procurada será igual a P(A) =
                                              6                                                                                                         2 1
                                                                                       na primeira, ficaram 6 bolas na urna. Calculamos, então P(B / V= =
                                                                                                                                                      )
b) Sair um número par.                                                                                                                                  6 3
Solução. Agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade                                                                  5 1 5
                                                                                       Substituindo na fórmula temos: P(V ∩ B) P(V ).P(B / V )
                                                                                                                               =             = . =
                        3 1                                                                                                                    7 3 21
procurada será P(A) =    =                                                             b) Em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola
                        6 2
                                                                                       vermelha e depois uma bola branca.
c) Sair um múltiplo de 3.                                                              Solução. Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam
Solução. O evento A = {3, 6} com 2 elementos. Logo a probabilidade será P(A) =         independentes. Neste caso, a probabilidade será calculada como:
 2 1                                                                                                         5 2 10
   =                                                                                    P(V ∩ B= P(V ).P(B= . =
                                                                                               )          )
 6 3                                                                                                         7 7 49
2) Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:                   6) Ao se retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de ocorrer uma
a) Sair a soma 8                                                                       dama?
Solução. Observe que neste caso, o espaço amostral E é constituído pelos pares         Solução. O espaço amostral possui 52 elementos (um baralho tem cinqüenta e

ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente          duas cartas). O evento desejado (uma dama) possui 4 elementos (ouros, copas,

que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou                                                                     4  1
                                                                                       paus, espadas). Logo, a probabilidade procurada é: P(D)
                                                                                                                                            =           =
                                                                                                                                                       52 13
6. O mesmo ocorrendo com j.
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2). Portanto, o   7) Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra
                                                                                       caixa possui uma bola preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira
evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade será igual a         caixa para a segunda, e retira-se uma bola da segunda caixa. Qual a
                                                                                       probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde?
          5
P(A) =
         36                                                                            Solução. Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais
b) Sair a soma 12.                                                                     sejam:
Solução. Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a
                                              1                                        * Ou a bola transferida é verde ou a bola transferida é preta.
probabilidade procurada será igual a P(A) =
                                              36                                       1ª possibilidade: a bola transferida é verde.
3) Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-
                                                                                                                                                          4 2
se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes:                        Probabilidade de que a bola transferida seja verde: P(V=
                                                                                                                                              )            =  (4 bolas
a) Sair bola azul.                                                                                                                                        6 3
                    6   3                                                              verdes em 6).
Solução. P(= = = 0,30 30%
             A)              =
                   20 10                                                               Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que
b) Sair bola vermelha.
                   10 1                                                                                                                                4
Solução. P(A= )       = = 0,50 50%
                             =                                                         a bola transferida é de cor VERDE, será igual a: P(V / V ') =     (a segunda caixa
                   20 2                                                                                                                                5
c) Sair bola amarela.                                                                  possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1 bola preta,
                    4 1
Solução. P(A= )       = = 0,20 20%
                             =                                                         portanto, 4 bolas verdes em 5).
                   20 5
4) Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000                Pela regra da probabilidade condicional, vem:
pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes
                                                                                                                       2 4 8
de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa                 P(V ∩ V ')= P(V ).P(V / V ')=    . =
escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?                                                                 3 5 15
                                                                                       2ª possibilidade: a bola transferida é preta.
Solução. Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou                                                                                 2 1
                                                                                       Probabilidade de que a bola transferida seja preta: P(P=
                                                                                                                                              )            =  (2 bolas
seja, nosso espaço amostral. Teremos:                                                                                                                     6 3
                                                                                       pretas e 4 verdes).
n(E) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.
                                                                                                                                                                              Aula 04: Probabilidades – Prof. Cirço Mancilla


                                                                                       Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola
n(E) = n(J) + N(P) – N(J U P) + 800
                                                                                                                                              3
n(E) = 5000 + 4000 – 1200 + 800                                                        transferida é de cor PRETA, será igual a: P(V / P) =     (2ª caixa = 1 bola preta +
                                                                                                                                              5
n(E) = 8600
                                                                                       3 bolas verdes + 1 bola preta).
Portanto, a probabilidade procurada será igual a:
                                                                                                                              1 3 1
                                                                                       Daí, vem: P(V ∩ P) P(P).P(V / P)
                                                                                                        =             =        . =
P = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.                                                                                                 3 5 5
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.                                                      Finalmente vem:
OBS. A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma
                                                                                                                                           8 1 8   3 11
                                                                                       P[(V ∩ V ') ∪ (V ∩ P)] = P(V ∩ V ') + P(V ∩ P) =     + =  +  =
pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os                                                               15 5 15 15 15
jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser).




                                                                                     -1-
AULA 04 – PROBABILIDADES
8) Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui                13. (FUVEST-SP) Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca.
duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é                    Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta a urna.
transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da                   Repete-se essa experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem
segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja               registradas três cores distintas?
da cor vermelha é:                                                                           Solução:
                                                                                             1 verde, 1 azul, 1 branca
   18                                                                                        n(E) = 3.3.3 = 27
a)                                                                                           A: Saírem 3 cores diferentes.
   75   Solução.
        a) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(V) e sorteou                           n(A) = 3.2.1 = 6
   19
b)                                             3 3 9                                                   6 2
   45   vermelha na segunda caixa: P(V/V’) = . =                                              P(A) =     =
                                              8 6 48                                                  27 9
   19 b) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(B) e sorteou                             14. (FEI-SP) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos
c)
   48                                         5 2 10                                         pontos obtidos seja 4 ou 5?
        vermelha na segunda caixa: P(V/B) = . =                                              n(E) = 36
                                             8 6 48
   18                                                                                        A: A soma dos resultados é 4.
d)    ´                                  9 10 19
   45 Finalize somando os resultados:       +     = Letra C.                                 A={(1;3),(2;2),(3;1)}
                                         48 48 48
                                                                                                               3
   19                                                                                        n(A) = 3 P(A) =
e)                                                                                                            36
   75
                                                                                             B: A soma dos resultados é 5.
9) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-                B={(1;4),(2;3),(4;1),(3;2)}
se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3                                   4
                                                                                             n(B) = 4 P(B) =
parafusos sejam defeituosos.                                                                                   36
                                                                   50!                                   3     4    7
                                                         C 350
Solução. Podemos selecionar 3 parafusos dentre 50 de = = 19600                                P(AUB) =      +     =
                                                                  3!47!                                 36 36 36
                                                               5!                            15. (VUNESP-SP) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas
                                                     C 35
formas. Dentre as 5 defeituosas, podemos retirar de = = 1 formas.
                                                             3!2!                            uma após a outra. Qual a probabilidade de que a segunda seja um ás, sabendo-
                10                                                                           se que a primeira é um ás?
Logo, P(D)
     =               ≅ 0,05%
              19600                                                                           n(E) = 12
10) FEI-SP – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3                                                                   3
                                                                                             Como a 1ª é um às, então resta 3 cartas de ases P =
bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeiras serem pretas e                                                                11
a terceira vermelha?                                                                         16. (EEM-SP) Lançando-se simultaneamente dois dados, cujas faces são
Solução. Como não há reposição, a cada retirada diminui o número de bolas na                 numeradas de 1 a 6, qual a probabilidade de:
urna. Os eventos são independentes. Veja a tabela.                                           a) serem obtidos números cujo produto seja ímpar?
            1ª retirada          2ª retirada        3ª retirada                              n(E) = 36
               preta                     preta                vermelha                        A: o produto seja ímpar.
                   10                 9               8
 total             18                17              16
                                                                                                {
                                                                                             A= (1;1)(1;3)(1;5)( 3;1)( 3;3)( 3;5)( 5;1)( 5;3)( 5;5)         }
                                      10 9 8   720   5                                                     9 1
Logo P(P ∩ P ∩ V )= P(P).P(P).P(V )=    . . =      =    ≅ 14,7%                              n(A) = 9 P =     =
                                      18 17 16 4896 34                                                     36 4
                                                                                             b) serem obtidos números cujo produto seja par?
                                                                                             n(E) = 36
11) FMU-SP – Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas
duas bolas, uma após a outra, sem reposição; a primeira bola retirada é de cor               A: o produto seja par.
preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja vermelha?                       {                                                       }
                                                                                             A= (1;2 )(1;4 )(1;6 )( 2;1)( 2;2 )( 2;3)...( 5;2 )...( 6;6 )
Solução. Repare que esse problema difere do anterior, pois não supõe uma
                                                                                                              27 3
composição de resultados. Se a pergunta fosse: “Qual a probabilidade de a                    n(B) = 27 P =       =
                                                                                                              36 4
primeira     ser        preta   e   segunda      ser   vermelha?”,   a   solução    seria:   17. (CESCEA-SP) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o
                                                                                             experimento retirada de uma bola. Considere os eventos:
                            4 5 20 5                                                         A: “a bola retirada possui um número múltiplo de 2.”
P(P ∩ V ) = P(P).P(V ) =     . =  =   No entanto, o evento “primeira preta” não
                            9 8 72 18                                                        B: “a bola retirada possui um número múltiplo de 5.”
é calculado. Ocorreu com certeza. Logo não interfere em nada no segundo.                     Determine a probabilidade do evento A ∪ B.
                                                                                             n(E) = 20
               5                                                                             A: A bola retirada possui um número múltiplo de 2.
Logo P(V ) =
               8
                                                                                             A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 28, 20}
                                                                                                                                                                                 Aula 04: Probabilidades – Prof. Cirço Mancilla


12) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro                                      10
todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num                     n(A) = 10 P(A) =
                                                                                                                   20
determinado lance, o juiz retira ao acaso um cartão do bolso e o mostra a um
jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra
                                                                                             B: A bola retirada possui um número múltiplo de 5.
face, mostrada ao jogador ser amarela.
                                                                                             B = {5, 10, 15, 20}
                                                                                   1         n(B) = 4
Solução. A probabilidade de sortear o cartão AV (duas cores) é P(AV ) =              Uma
                                                                                   3                  4
                                                                                             P(B) =
                                                                                                     20
                                                                                       1
vez sorteado esse cartão, queremos que o juiz veja a face vermelha P(V ) =
                                                                                       2
                                                                                                                                                2
                                                                                             A  B = {10, 20} n(A  B) = 2 P(A  B) =
Logo     a     probabilidade        de    ocorrerem       essas   duas    situações    é:                                                      20
                                                                                                          10 4   2 12 3
                                    1 1 1                                                    P(A  B) =     +  −  =  =
P(AV ∩ V ) P(AV ).P(V / AV )
         =                 =         . =                                                                  20 20 20 20 5
                                    3 2 6


                                                                                        -2-
AULA 04 – PROBABILIDADES
                                                                                  n(E) = C15,5 = 3003
18. (CESGRANRIO) Dois dados perfeitos são lançados ao acaso. Determine a          n(A) = C13,3 = 286
probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 6.                                286                                   2
n(E) = 36                                                                         P(A) =       simplificando por 143 ⇒ P(A) =
                                                                                         3003                                   21
A: A soma seja 6.                                                                 27. (FUVEST-SP) Escolhidos ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores
   {
A= (1;5)( 2;4 )( 3;3)( 4;2 )( 5;1)}                                               positivos de 60, determine a probabilidade de que ele seja primo.
                                                                                  E = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
                     5
 n(A) = 5 P(A) =                                                                  n(E) 12
                    36
19. (FEI-SP) Em uma gaveta há 12 lâmpadas, das quais 4 estão queimadas. Se três   A: O número escolhido é primo.
lâmpadas são escolhidas ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de         A = {2,3,5}
apenas uma das escolhidas estar queimada?                                                               3 1
                                                                                  n(A) = 3      P(A) =    =
 n(E) = C12,3 = 220                                                                                    12 4
A: Um das lâmpadas estar queimada.                                                28. (FUVEST-SP) Numa urna há 5 bolas brancas, 3 azuis, 4 verdes, 2 amarelas e
n(A)= C4,1.C8,2 = 4.28 = 112                                                      uma marrom. Extraindo uma bola ao acaso, a probabilidade de sair uma bola azul
        112 28                                                                    ou amarela é?
P(A) =        =                                                                   .
        220 55
                                                                                   n(E)= 15                     
20. (VUNESP-SP) Um baralho tem 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se                                     
2 cartões ao acaso (sem reposição). Determine a probabilidade de que a soma         A: sai bola azul.           
dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100.                                                      3 
                                                                                   n(A) = 3           P(A) =    
n(E) = C100,2 = 4950                                                                                         15              3   2   5 1
                                                                                                                 P(A  B) =    +   =  =
n(A)=    {(1;99 )(2;98 )( 48;52)...( 49;51)}                                       B: sair bola amarela.
                                                                                                                
                                                                                                                
                                                                                                                             15 15 15 3

n(A)=49                                                                                                         
                                                                                                              2
         49                                                                        n(B) = 2           P(B) =
P(A) =                                                                                                       15 
                                                                                                                
        4950
21. (MACK-SP) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores
positivos de 30, determine a probabilidade de que ele seja par ou primo.
                                B: O número é primo.
E={1,2,3,5,6,10,15,30}          B={2,3,5}
n(E) = 8                                                      3
A: O número é par.                    n(B) = 3       P(B) =
                                                              8
A={2,6,10,30}
                            4                                               1
n(A)= 4            P(A) =             A  B = {2} n(A  B) = 1 P(A  B) =
                            8                                               8
                                         4 3 1 3
                                           + − =
                                      P(A  B)=
                                         8 8 8 4
22. (OSEC-SP) A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma
única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas e 3 vermelhas e 5 azuis, é?
n(E) = 12
A: Sair bola branca.
n(A) = 4
         4 1
P(A) =     =
        12 3
23. (FGV-SP) Uma urna contém 1000 bolinhas numeradas de 1 a 1000. Uma bola
é sorteada. Qual a probabilidade de observarmos um múltiplo de 7?
an = a1 +(n-1).r
994 = 7 +(n-1).7
n = 142
         142     71
P(A)
= =
        1000 500
24. (PUC-PR) De um grupo de 15 rapazes, cinco devem ser relacionados ao acaso
para formar um time de basquete. Entre os 15 estão Carlos e Augusto. Qual a
                                                                                                                                                                    Aula 04: Probabilidades – Prof. Cirço Mancilla


probabilidade de que ambos sejam selecionados?
25. (UFBA) Uma fábrica produz 40 peças, das quais seis com defeito. Qual a
probabilidade, escolhendo-se ao acaso uma das peças de que ela seja perfeita?
 A: Peças perfeitas.
A: Peças defeituosas.
P(A) + P(A) = 1
P(A) = 1 - P(A)
            6              17
P(A) = 1 -      ⇒ P(A) =
           40              20
26. (FUVEST-SP) Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comprando-
se 3 bilhetes, qual a probabilidade de nenhum deles ser premiado?




                                                                                -3-

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Resolução comentada matemática 002

  • 1. AULA 04 – PROBABILIDADES 5) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as RESOLUÇÃO COMENTADA probabilidades de: a) Em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B). 1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: a) Sair o número 3. Solução. Lembrando a fórmula: P(V ∩ B) = ).P(B / V ) , temos: P(V Solução. Temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(E) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a 5 P(V ) = (5 bolas vermelhas de um total de 7). Supondo que saiu bola vermelha 1 7 probabilidade procurada será igual a P(A) = 6 2 1 na primeira, ficaram 6 bolas na urna. Calculamos, então P(B / V= = ) b) Sair um número par. 6 3 Solução. Agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade 5 1 5 Substituindo na fórmula temos: P(V ∩ B) P(V ).P(B / V ) = = . = 3 1 7 3 21 procurada será P(A) = = b) Em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola 6 2 vermelha e depois uma bola branca. c) Sair um múltiplo de 3. Solução. Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam Solução. O evento A = {3, 6} com 2 elementos. Logo a probabilidade será P(A) = independentes. Neste caso, a probabilidade será calculada como: 2 1 5 2 10 = P(V ∩ B= P(V ).P(B= . = ) ) 6 3 7 7 49 2) Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: 6) Ao se retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de ocorrer uma a) Sair a soma 8 dama? Solução. Observe que neste caso, o espaço amostral E é constituído pelos pares Solução. O espaço amostral possui 52 elementos (um baralho tem cinqüenta e ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente duas cartas). O evento desejado (uma dama) possui 4 elementos (ouros, copas, que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 4 1 paus, espadas). Logo, a probabilidade procurada é: P(D) = = 52 13 6. O mesmo ocorrendo com j. As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2). Portanto, o 7) Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade será igual a caixa para a segunda, e retira-se uma bola da segunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde? 5 P(A) = 36 Solução. Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais b) Sair a soma 12. sejam: Solução. Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a 1 * Ou a bola transferida é verde ou a bola transferida é preta. probabilidade procurada será igual a P(A) = 36 1ª possibilidade: a bola transferida é verde. 3) Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando- 4 2 se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes: Probabilidade de que a bola transferida seja verde: P(V= ) = (4 bolas a) Sair bola azul. 6 3 6 3 verdes em 6). Solução. P(= = = 0,30 30% A) = 20 10 Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que b) Sair bola vermelha. 10 1 4 Solução. P(A= ) = = 0,50 50% = a bola transferida é de cor VERDE, será igual a: P(V / V ') = (a segunda caixa 20 2 5 c) Sair bola amarela. possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1 bola preta, 4 1 Solução. P(A= ) = = 0,20 20% = portanto, 4 bolas verdes em 5). 20 5 4) Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 Pela regra da probabilidade condicional, vem: pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes 2 4 8 de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa P(V ∩ V ')= P(V ).P(V / V ')= . = escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais? 3 5 15 2ª possibilidade: a bola transferida é preta. Solução. Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou 2 1 Probabilidade de que a bola transferida seja preta: P(P= ) = (2 bolas seja, nosso espaço amostral. Teremos: 6 3 pretas e 4 verdes). n(E) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.  Aula 04: Probabilidades – Prof. Cirço Mancilla Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola n(E) = n(J) + N(P) – N(J U P) + 800 3 n(E) = 5000 + 4000 – 1200 + 800 transferida é de cor PRETA, será igual a: P(V / P) = (2ª caixa = 1 bola preta + 5 n(E) = 8600 3 bolas verdes + 1 bola preta). Portanto, a probabilidade procurada será igual a: 1 3 1 Daí, vem: P(V ∩ P) P(P).P(V / P) = = . = P = 1200/8600 = 12/86 = 6/43. 3 5 5 Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%. Finalmente vem: OBS. A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma 8 1 8 3 11 P[(V ∩ V ') ∪ (V ∩ P)] = P(V ∩ V ') + P(V ∩ P) = + = + = pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os 15 5 15 15 15 jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser). -1-
  • 2. AULA 04 – PROBABILIDADES 8) Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui 13. (FUVEST-SP) Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca. duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta a urna. transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da Repete-se essa experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja registradas três cores distintas? da cor vermelha é: Solução: 1 verde, 1 azul, 1 branca 18 n(E) = 3.3.3 = 27 a) A: Saírem 3 cores diferentes. 75 Solução. a) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(V) e sorteou n(A) = 3.2.1 = 6 19 b) 3 3 9 6 2 45 vermelha na segunda caixa: P(V/V’) = . = P(A) = = 8 6 48 27 9 19 b) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(B) e sorteou 14. (FEI-SP) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos c) 48 5 2 10 pontos obtidos seja 4 ou 5? vermelha na segunda caixa: P(V/B) = . = n(E) = 36 8 6 48 18 A: A soma dos resultados é 4. d) ´ 9 10 19 45 Finalize somando os resultados: + = Letra C. A={(1;3),(2;2),(3;1)} 48 48 48 3 19 n(A) = 3 P(A) = e) 36 75 B: A soma dos resultados é 5. 9) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando- B={(1;4),(2;3),(4;1),(3;2)} se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 4 n(B) = 4 P(B) = parafusos sejam defeituosos. 36 50! 3 4 7 C 350 Solução. Podemos selecionar 3 parafusos dentre 50 de = = 19600 P(AUB) = + = 3!47! 36 36 36 5! 15. (VUNESP-SP) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas C 35 formas. Dentre as 5 defeituosas, podemos retirar de = = 1 formas. 3!2! uma após a outra. Qual a probabilidade de que a segunda seja um ás, sabendo- 10 se que a primeira é um ás? Logo, P(D) = ≅ 0,05% 19600 n(E) = 12 10) FEI-SP – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 3 Como a 1ª é um às, então resta 3 cartas de ases P = bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeiras serem pretas e 11 a terceira vermelha? 16. (EEM-SP) Lançando-se simultaneamente dois dados, cujas faces são Solução. Como não há reposição, a cada retirada diminui o número de bolas na numeradas de 1 a 6, qual a probabilidade de: urna. Os eventos são independentes. Veja a tabela. a) serem obtidos números cujo produto seja ímpar? 1ª retirada 2ª retirada 3ª retirada n(E) = 36 preta preta vermelha A: o produto seja ímpar. 10 9 8 total 18 17 16 { A= (1;1)(1;3)(1;5)( 3;1)( 3;3)( 3;5)( 5;1)( 5;3)( 5;5) } 10 9 8 720 5 9 1 Logo P(P ∩ P ∩ V )= P(P).P(P).P(V )= . . = = ≅ 14,7% n(A) = 9 P = = 18 17 16 4896 34 36 4 b) serem obtidos números cujo produto seja par? n(E) = 36 11) FMU-SP – Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas duas bolas, uma após a outra, sem reposição; a primeira bola retirada é de cor A: o produto seja par. preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja vermelha? { } A= (1;2 )(1;4 )(1;6 )( 2;1)( 2;2 )( 2;3)...( 5;2 )...( 6;6 ) Solução. Repare que esse problema difere do anterior, pois não supõe uma 27 3 composição de resultados. Se a pergunta fosse: “Qual a probabilidade de a n(B) = 27 P = = 36 4 primeira ser preta e segunda ser vermelha?”, a solução seria: 17. (CESCEA-SP) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento retirada de uma bola. Considere os eventos: 4 5 20 5 A: “a bola retirada possui um número múltiplo de 2.” P(P ∩ V ) = P(P).P(V ) = . = = No entanto, o evento “primeira preta” não 9 8 72 18 B: “a bola retirada possui um número múltiplo de 5.” é calculado. Ocorreu com certeza. Logo não interfere em nada no segundo. Determine a probabilidade do evento A ∪ B. n(E) = 20 5 A: A bola retirada possui um número múltiplo de 2. Logo P(V ) = 8 A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 28, 20}  Aula 04: Probabilidades – Prof. Cirço Mancilla 12) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro 10 todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num n(A) = 10 P(A) = 20 determinado lance, o juiz retira ao acaso um cartão do bolso e o mostra a um jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra B: A bola retirada possui um número múltiplo de 5. face, mostrada ao jogador ser amarela. B = {5, 10, 15, 20} 1 n(B) = 4 Solução. A probabilidade de sortear o cartão AV (duas cores) é P(AV ) = Uma 3 4 P(B) = 20 1 vez sorteado esse cartão, queremos que o juiz veja a face vermelha P(V ) = 2 2 A  B = {10, 20} n(A  B) = 2 P(A  B) = Logo a probabilidade de ocorrerem essas duas situações é: 20 10 4 2 12 3 1 1 1 P(A  B) = + − = = P(AV ∩ V ) P(AV ).P(V / AV ) = = . = 20 20 20 20 5 3 2 6 -2-
  • 3. AULA 04 – PROBABILIDADES n(E) = C15,5 = 3003 18. (CESGRANRIO) Dois dados perfeitos são lançados ao acaso. Determine a n(A) = C13,3 = 286 probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 6. 286 2 n(E) = 36 P(A) = simplificando por 143 ⇒ P(A) = 3003 21 A: A soma seja 6. 27. (FUVEST-SP) Escolhidos ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores { A= (1;5)( 2;4 )( 3;3)( 4;2 )( 5;1)} positivos de 60, determine a probabilidade de que ele seja primo. E = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} 5 n(A) = 5 P(A) = n(E) 12 36 19. (FEI-SP) Em uma gaveta há 12 lâmpadas, das quais 4 estão queimadas. Se três A: O número escolhido é primo. lâmpadas são escolhidas ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de A = {2,3,5} apenas uma das escolhidas estar queimada? 3 1 n(A) = 3 P(A) = = n(E) = C12,3 = 220 12 4 A: Um das lâmpadas estar queimada. 28. (FUVEST-SP) Numa urna há 5 bolas brancas, 3 azuis, 4 verdes, 2 amarelas e n(A)= C4,1.C8,2 = 4.28 = 112 uma marrom. Extraindo uma bola ao acaso, a probabilidade de sair uma bola azul 112 28 ou amarela é? P(A) = = . 220 55 n(E)= 15  20. (VUNESP-SP) Um baralho tem 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se  2 cartões ao acaso (sem reposição). Determine a probabilidade de que a soma A: sai bola azul.  dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100. 3  n(A) = 3 P(A) =  n(E) = C100,2 = 4950 15  3 2 5 1  P(A  B) = + = = n(A)= {(1;99 )(2;98 )( 48;52)...( 49;51)} B: sair bola amarela.   15 15 15 3 n(A)=49  2 49 n(B) = 2 P(B) = P(A) = 15   4950 21. (MACK-SP) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 30, determine a probabilidade de que ele seja par ou primo. B: O número é primo. E={1,2,3,5,6,10,15,30} B={2,3,5} n(E) = 8 3 A: O número é par. n(B) = 3 P(B) = 8 A={2,6,10,30} 4 1 n(A)= 4 P(A) = A  B = {2} n(A  B) = 1 P(A  B) = 8 8 4 3 1 3 + − = P(A  B)= 8 8 8 4 22. (OSEC-SP) A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas e 3 vermelhas e 5 azuis, é? n(E) = 12 A: Sair bola branca. n(A) = 4 4 1 P(A) = = 12 3 23. (FGV-SP) Uma urna contém 1000 bolinhas numeradas de 1 a 1000. Uma bola é sorteada. Qual a probabilidade de observarmos um múltiplo de 7? an = a1 +(n-1).r 994 = 7 +(n-1).7 n = 142 142 71 P(A) = = 1000 500 24. (PUC-PR) De um grupo de 15 rapazes, cinco devem ser relacionados ao acaso para formar um time de basquete. Entre os 15 estão Carlos e Augusto. Qual a  Aula 04: Probabilidades – Prof. Cirço Mancilla probabilidade de que ambos sejam selecionados? 25. (UFBA) Uma fábrica produz 40 peças, das quais seis com defeito. Qual a probabilidade, escolhendo-se ao acaso uma das peças de que ela seja perfeita? A: Peças perfeitas. A: Peças defeituosas. P(A) + P(A) = 1 P(A) = 1 - P(A) 6 17 P(A) = 1 - ⇒ P(A) = 40 20 26. (FUVEST-SP) Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comprando- se 3 bilhetes, qual a probabilidade de nenhum deles ser premiado? -3-