1) O documento apresenta definições e conceitos fundamentais de matemática, incluindo produto cartesiano, diagrama cartesiano, relação binária, função, tipos de função e função composta. 2) O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares ordenados com o primeiro elemento em A e o segundo em B. 3) Uma função mapeia cada elemento de um conjunto de entrada (domínio) para exatamente um elemento de um conjunto de saída (contradomínio).

1. Professor Cristiano Marcell
Colégio Pedro II
RESUMO DE FUNÇÕES
Matemática
Prof.Cristiano Marcell
Produto Cartesiano Diagrama cartesiano
Produto cartesiano de um conjunto A por um Representamos os elementos de A no eixo Ox e
conjunto B (notação: AXB) é o conjunto dos pares os elementos de B no eixo Oy; o gráfico de A x B é
ordenados com o 1º elemento em A e o 2º elemento em B. constituído pelos pontos representativos dos pares de A x
Em símbolos: B.
y
A x B = {(x; y) | x  A  y  B}
3
Exemplo:
2
Sendo 1
A = {2; 4} e B = {1; 3; 5}, temos: -3 –2 –1 0 1 2
-1
A x B = {(2; 1), (2; 3), (2; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5)};
B x A = {(1; 2), (1; 4), (3; 2), (3; 4), (5; 2), (5; 4)} -2
A x A = {(2; 2), (2; 4), (4; 2), (4; 4)}, que também pode
ser denotado por A2; Relação Binária
B x B = B2 = {(1; 1), (1; 3), (1; 5), (3; 1), (3; 3), (3; 5), (5; Definição: consideremos dois conjuntos não
1), (5; 3), (5; 5)} vazios A e B. Chamamos de relação binária de A em B a
todo subconjunto de A x B.
Obs.:
1) A x  =  e  x A para todo conjunto A. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4,
2) Sendo A e B conjuntos finitos, temos: 5} temos: A x B = {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (2, 2); (2,
n (A x B) = n (A) , n (B) 3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5)}
Representação Gráfica Consideremos agora os conjuntos de pares (x, y)
com x  A e y  B:
Para representar graficamente o produto
cartesiano de dois conjuntos, usamos o diagrama de a) R = {(x, y)  A x B | x + y = 5}
flechas e o diagrama cartesiano. 1 2
R = {(1, 4); (2, 3); (3, 2)} 3
2
Exemplo: Note que R  A x B 4
5
Sendo A = {-3; -1; 2} e B = {-2; 3}, temos para A x B: 3
Diagramas de Flechas b) S = {(x, y)  A x B | 2x < y}
1 2
3
-3  2
 -2 S = {(1, 3); (1, 4); (1, 5); (2, 5)} 4
-1  Note que S  A x B
5
3 3
2 Função
Se em uma relação R de A em B todo x
Em cada par ordenado de A x B, uma flecha parte de 1º pertencente a A estiver associado a um único y pertencente
elemento e atinge o 2º elemento, relacionando-os. a B, dizemos que esta relação é uma função ou uma
injeção de A em B.
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

2. Professor Cristiano Marcell
Obs.: Sobrejetora
Uma função f: A→B será dita sobrejetora se e
1) O conjunto a também é chamado de campo de somente se todo elemento x de A.
definição da função.
2) Uma função fica bem definida quando se conhecem: o Bijetora
domínio, o contradomínio e a lei de correspondência. Uma função f: A→B será dita bijetora, quando ela
3) Quando o domínio não for dado, deve-se entender que for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
seja o maior subconjunto dos reais, de tal modo que o
conjunto das imagens seja também um subconjunto Função Inversa (f -1)
dos reais.
Dada a função BIJETORA f: A→B, chama-se
Gráfico de uma função função Inversa de f, indicada por f-1, a função f-1: B→A
y Relação R que associa cada y de B ao elemento x de A, tal que y =
f(x).
Obs.: Somente a função Bijetora admite função Inversa.
B Obtenção da Função Inversa
Imagem
Processo
Dada a função f(x) = 2x – 1, obter sua inversa:
a) y = 2x - 1
troca-se as posições de x e y x = 2y – 1
0 x
Domínio A b) determina-se o valor de y
x 1
Na relação R, a todo elemento de A corresponde y=
um único elemento de B; logo, R é função de A em B. 2 y f(x) = 2x - 1
bissetriz ímpar y = x
x 1
então f-1 (x) =
y
2 x 1
Relação S f-1 (x) =
Gráfico: 2
B 1
x
1
0 x Os gráficos de f e f-1 são simétricos em relação a
A bissetriz dos quadrantes ímpares.
Na relação S, existe, por exemplo, o elemento a 
A ao qual correspondem dois elementos distintos de B; Função Composta
logo S não é função de A em B.
Para que um gráfico represente uma função, Sejam os conjuntos A, B e C não vazios e as funções:
qualquer reta paralela ao eixo 0Y por um valor ‘x’ do f: A→B e g: B→C
domínio intercepta o gráfico da função num único ponto.
x →f(x) x→gof (x)
Tipos de funções No diagrama A C
de flechas: x g[f(x)]
Injetora gof
Uma função f: A→B é dita injetora se e somente
se elementos distintos de A têm imagens distintas em B. f g
Obs: Se cada reta horizontal traçada pelo contradomínio
interceptar o gráfico da função f em no máximo um ponto, B
f é injetora. f(x)
Nota:
Obtém-se a expressão da função composta gof(x),
trocando-se o x de g por f(x), ou seja:
gof (x) = g[f(x)]
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)