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Dr. Ole Peter Smith
                                      Instituto de Matemática e Estatística
                                         Universidade Federal de Goiás
                              ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter


                   Data:                         15/04/2009
                   Semestre:
                   Curso:                        Engenharia de Computação
                   Disciplina:                   Álgebra Linear
                   Prova:                        I
1. 4 pts. Dado as matrizes:              0                  1                       0                1
                                       1          −2      0                      −1          0     0
                                   A=@ 0           1      1 A                B=@ 0           2     0 A
                                       1          −2      1                      0           0     3
     (a) Encontrar: det A e det B.
     (b) Encontrar as matrizes adjuntas: A∗ e B ∗ .
     (c) Encontrar os inversos: A−1 e B −1 .
     (d) Encontrar os determinantes dos inversos: det (A−1 ) e det (B −1 ).
     (e) Encontrar os produtos: A B e B A.
     (f) Mostre que em geral vale por matrizes do mesmo ordem: (A B)−1 = B −1 A−1 .
     (g) Encontrar o inverso do produto: (A B)−1 .
     (h) Encontrar o inverso do produto: (B A)−1 .
2. 4 pts. Dado a sistema linear:
                                    8                                                                      9
                                    < x1     +    2x2     +        3x3     +    4x4     +    5x5    =    1 =
                              (∗) :   2x1    +    3x2     +        4x3     +    5x4     −     x5    =    2
                                      3x1    +    4x2     +        5x3     +    6x4     −    3x5    =    3
                                    :                                                                      ;

     (a) Encontrar a solução completa do sistema homogêneo do (∗).
     (b) Encontrar a solução completa do sistema não homogêneo.
     (c) Encontrar a solução completa do sistema:
                                    8                                                                          9
                                    < x1 + 2x2                 +       3x3      +     4x4   +     5x5    =   2 =
                             (∗∗) :    2x1 + 3x2               +       4x3      +     5x4   −      x5    =   3
                                       3x1 + 4x2               +       5x3      +     6x4   −     3x5    =   4
                                    :                                                                          ;

3. 2 pts. (Cabeludo) Dado as matrizes:
                                                  0                        1
                                                 1         2       3     4
                                               B 4         3       2     1 C
                                             A=@
                                               B                           C,       (a, b) ∈ R2
                                                 a         2       3     4 A
                                                 4         3       2     b
                                                      0                      1
                                                   0           a       0   0
                                                 B a           0       a   0 C
                                               B=B
                                                 @ 0
                                                                             C,       a∈R
                                                               a       0   a A
                                                   0           0       a   0
     (a) Encontrar para quaisquer valores de a e b o determinante do A.
     (b) Encontrar para quaisquer valores de a e b o posto do A.
     (c) Encontrar para qualquer valor de a o determinante do B.
     (d) Para quais valores de a o matriz B tem inverso? Para estes valores, encontrar o inverso.




                                                                1                                                  µατ µατ ικα
                                                                                                                   Made in LTEX
                                                                                                                           A
Dr. Ole Peter Smith
                                           Instituto de Matemática e Estatística
                                              Universidade Federal de Goiás
                                 ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                       Data:                        05/05/2009
                       Semestre:
                       Curso:                       Engenharia Civil
                       Disciplina:                  Álgebra Linear
                       Prova:                       I
1. 4 pts. Dado as matrizes:                 0                 1                   0               1
                                           1         −2     0                    −1       0     0
                                       A=@ 0          1     1 A              B=@ 0        2     0 A
                                           1         −2     1                    0        0     3
   Sabendo que:

                                                                                    1
                                                    det (A−1 ) = det A−1 =
                                                                                  det A
   e:

                                                           (A B)−1 = B −1 A−1
   responde o seguinte:
        (a) Encontrar: det A e det B.
        (b) Encontrar as matrizes adjuntas: A∗ e B ∗ .
        (c) Encontrar os inversos: A−1 e B −1 .
        (d) Encontrar os determinantes dos inversos: det (A−1 ) e det (B −1 ).
        (e) Encontrar os produtos: A B e B A.
        (f) Encontrar o inverso do produto: (A B)−1 .
2. 4 pts. Dado a sistema linear:
                                      8                                                                 9
                                      < x1      +    2x2     +       3x3    +   4x4   +   5x5    =    1 =
                                (∗) :   2x1     +    3x2     +       4x3    +   5x4   −    x5    =    2
                                        3x1     +    4x2     +       5x3    +   6x4   −   3x5    =    3
                                      :                                                                 ;

        (a) Encontrar a solução completa do sistema homogêneo do (∗).
        (b) Encontrar a solução completa do sistema não homogêneo.
        (c) Encontrar a solução completa do sistema:
                                       8                                                                    9
                                       < x1 + 2x2 + 3x3 +                          4x4    +   5x5     =   2 =
                                (∗∗) :    2x1 + 3x2 + 4x3 +                        5x4    −    x5     =   3
                                          3x1 + 4x2 + 5x3 +                        6x4    −   3x5     =   4
                                       :                                                                    ;

3. 2 pts. (Cabeludo) Dado as matrizes:
                                                     0                      1
                                                    1        2       3    4
                                                  B 4        3       2    1 C
                                                A=B                         C , (a, b) ∈ R2
                                                  @ a        2       3    4 A
                                                    4        3       2    b
                                                    0                         1
                                                      0          a       0 0
                                                    B a          0       a 0 C
                                                  B=B                         C, a ∈ R
                                                    @ 0          a       0 a A
                                                      0          0       a 0
        (a)   Encontrar para quaisquer valores de a e b o determinante do A.
        (b)   Encontrar para quaisquer valores de a e b o posto do A.
        (c)   Encontrar para qualquer valor de a o determinante do B.
        (d)   Para quais valores de a o matriz B tem inverso? Para estes valores, encontrar o inverso.



                                                                  2                                             µατ µατ ικα
                                                                                                                Made in LTEX
                                                                                                                        A
Dr. Ole Peter Smith
                                        Instituto de Matemática e Estatística
                                           Universidade Federal de Goiás
                              ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                    Data:                       27/05/2009
                    Semestre:
                    Curso:                      Engenharia de Computação
                    Disciplina:                 Álgebra Linear
                    Prova:                      II
1. 2 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 ), em R5 :

           v1 = (1, 1, 1, 1, 1)T      v2 = (1, −1, 1, −1, 1)T         v3 = (3, −1, 3, −1, 3)T       v4 = (0, 1, 0, 1, 0)T

     (a) Mostre que: V = ger(v1 , v2 ) = ger(v3 , v4 ). Qual a dimensão do V ?
     (b) Escreve v1 e v2 como combinações lineares de v3 e v4 .
     (c) Escreve v3 e v4 como combinações lineares de v1 e v2 .
2. 6 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 ), em R4 :

              v1 = (1, 1, 1, 1)T       v2 = (1, −1, 1, −1)T          v3 = (1, 1, −1, −1)T       v4 = (1, −1, −1, 1)T

     (a) Mostre que os vi ’s são mutualmente ortogonais, isto é: vi · vj = 0 por i = j.
     (b) Encontrar um base ortonormal de R4 , (d1 , d2 , d3 , d4 ), tal que: di = ci vi .
     (c) Encontrar uma relação matricial entre os coordenados em relação aos ei ’s (antigos), xA , e os coordenados em
         relação aos di ’s (novos), xN :

                                                               xA = D xN
     (d) Encontrar uma relação matricial entre os coordenados novos, xN , e os coordenados antigos, xA :

                                                               xN = D xA
                                       −1       T
     (e) Justificar que vale: D = D          = D = D.
     (f) Encontrar os coordenados dos vetores:

                                              w1 = (−1, 1, −1, 1)T         w2 = (1, 2, 3, 4)T

         em relação ao base novo, (d1 , d2 , d3 , d4 ).
3. 2 pts. (Cabeludo?) Ortogonalização de Graham-Schmidt
   Dado os vetores em R3 :

                                v1 = (1, 1, 1)T       v2 = (1, −1, 1)T           v3 = (1, 1, −1)T

     (a) Mostre que v1 , v2 , v3 não são mutualmente ortogonais.
     (b) Mostre que v1 , v2 , v3 são linearmente independentes.
     (c) Escolhendo: d1 = v1 e d2 = v2 + αd1 , mostre que por:

                                                                       d1 · v2
                                                              α=−
                                                                       d1 · d1
         obtemos um vetor, d2 ⊥ d1 . Encontrar d2 .
     (d) Escolhendo: d3 = v3 + βd1 + γd2 , mostre que por:

                                                          d1 · v 3                  d2 · v 3
                                                    β=−                   γ=−
                                                          d1 · d1                   d2 · d2
         obtemos um vetor, d3 ⊥ d1 e d3 ⊥ d2 . Encontrar d3 .



                                                               3                                                 µατ µατ ικα
                                                                                                                 Made in LTEX
                                                                                                                         A
Dr. Ole Peter Smith
                                        Instituto de Matemática e Estatística
                                           Universidade Federal de Goiás
                              ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                    Data:                       05/06/2009
                    Semestre:
                    Curso:                      Engenharia de Computação
                    Disciplina:                 Álgebra Linear
                    Prova:                      II - 2a chamada
1. 2 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 ), em R5 :

               v1 = (1, 2, 2, 2, 1)T      v2 = (1, 0, 0, 0, 1)T       v3 = (2, 2, 2, 2, 2)T     v4 = (0, 1, 1, 1, 0)T

     (a) Mostre que: V = ger(v1 , v2 ) = ger(v3 , v4 ). Qual a dimensão do V ?
     (b) Escreve v1 e v2 como combinações lineares de v3 e v4 .
     (c) Escreve v3 e v4 como combinações lineares de v1 e v2 .
2. 3 pts. Qual a dimensão dos conjuntos gerados de:
     (a) f1 (x) = x(1 − x), f2 (x) = x(1 + x), f3 (x) = x(1 − x2 ) e f4 (x) = x(3 − x2 ).
     (b) v1 = (1, −1, −1, −1)T , v2 = (1, 1, −1, −1)T , v3 = (1, 1, 1, −1)T , v4 = (1, 1, 1, 1)T , v5 = (0, 0, 1, 1)T .
               „        «         „            «         „         «          „        «
                  1 3               −2       1              5 3                  1 1
     (c) A1 =             , A2 =                 , A3 =              , A4 =              .
                  2 2                 3 −4                  1 2                  1 0
3. 3 pts. Dado os vetores em R3 :

                                  v1 = (1, 1, 1)T       v2 = (1, 1, 0)T       v3 = (1, 0, 1)T

     (a) Mostre que (v1 , v2 , v3 ) formam uma base em R3 .
     (b) Encontrar uma relação matricial expressando os coordenados em relação ao base (v1 , v2 , v3 ), em termos dos
         coordenados em relação ao base canônica, (i, j, k).
     (c) Encontrar os coordenados em relação ao base (v1 , v2 , v3 ) dos vetores: w1 = (1, 2, 3)T e w2 = (3, 2, 1)T
4. 2 pts. Considere os vetores do exercísio anterior:

                                  v1 = (1, 1, 1)T       v2 = (1, 1, 0)T       v3 = (1, 0, 1)T

     (a) Definindo: d1 = v1 e d2 = d1 × v2 . Encontrar d1 e d2 . Mostrar que d1 e d2 são ortogonais.
     (b) Definindo: d3 = d1 × d2 . Encontrar d3 . Mostrar que d1 é ortogonal em d1 e d2 .
     (c) Encontrar uma base ortonormal de R3 , cuja os eixos são paralelos com os vetores d1 , d2 e d3 . Encontrar o matriz
         deste substituição ortonormal, M. Demostrar que M−1 = MT e encontrar seu determinante.
     (d) Encontrar neste base os coordenados dos vetores: w1 = (0, 1, 1)T e w2 (0, 0, 1)T .




                                                               4                                                 µατ µατ ικα
                                                                                                                 Made in LTEX
                                                                                                                         A
Dr. Ole Peter Smith
                                        Instituto de Matemática e Estatística
                                           Universidade Federal de Goiás
                              ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                    Data:                       17/06/2009
                    Semestre:
                    Curso:                      Engenharia Civil
                    Disciplina:                 Álgebra Linear
                    Prova:                      II
1. 2 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 ), em R5 :

               v1 = (1, 2, 2, 2, 1)T      v2 = (1, 0, 0, 0, 1)T       v3 = (2, 2, 2, 2, 2)T     v4 = (0, 1, 1, 1, 0)T

     (a) Mostre que: V = ger(v1 , v2 ) = ger(v3 , v4 ). Qual a dimensão do V ?
     (b) Escreve v1 e v2 como combinações lineares de v3 e v4 .
     (c) Escreve v3 e v4 como combinações lineares de v1 e v2 .
2. 3 pts. Qual a dimensão dos conjuntos gerados de:
     (a) f1 (x) = x(1 − x), f2 (x) = x(1 + x), f3 (x) = x(1 − x2 ) e f4 (x) = x(3 − x2 ).
     (b) v1 = (1, −1, −1, −1)T , v2 = (1, 1, −1, −1)T , v3 = (1, 1, 1, −1)T , v4 = (1, 1, 1, 1)T , v5 = (0, 0, 1, 1)T .
               „        «         „            «         „         «          „        «
                  1 3               −2       1              5 3                  1 1
     (c) A1 =             , A2 =                 , A3 =              , A4 =              .
                  2 2                 3 −4                  1 2                  1 0
3. 3 pts. Dado os vetores em R3 :

                                  v1 = (1, 1, 1)T       v2 = (1, 1, 0)T       v3 = (1, 0, 1)T

     (a) Mostre que (v1 , v2 , v3 ) formam uma base em R3 .
     (b) Encontrar uma relação matricial expressando os coordenados em relação ao base (v1 , v2 , v3 ), em termos dos
         coordenados em relação ao base canônica, (i, j, k).
     (c) Encontrar os coordenados em relação ao base (v1 , v2 , v3 ) dos vetores: w1 = (1, 2, 3)T e w2 = (3, 2, 1)T
4. 2 pts. Considere os vetores do exercísio anterior:

                                  v1 = (1, 1, 1)T       v2 = (1, 1, 0)T       v3 = (1, 0, 1)T

     (a) Definindo: d1 = v1 e d2 = d1 × v2 . Encontrar d1 e d2 . Mostrar que d1 e d2 são ortogonais.
     (b) Definindo: d3 = d1 × d2 . Encontrar d3 . Mostrar que d3 é ortogonal em d1 e d2 .
     (c) Encontrar uma base ortonormal de R3 , cuja os eixos são paralelos com os vetores d1 , d2 e d3 . Encontrar o matriz
         deste substituição ortonormal, M. Demostrar que M−1 = MT e encontrar seu determinante.
     (d) Encontrar neste base os coordenados dos vetores: w1 = (0, 1, 1)T e w2 (0, 0, 1)T .




                                                               5                                                 µατ µατ ικα
                                                                                                                 Made in LTEX
                                                                                                                         A
Dr. Ole Peter Smith
                                      Instituto de Matemática e Estatística
                                         Universidade Federal de Goiás
                            ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                   Data:                       03/07/2009
                   Semestre:
                   Curso:                      Engenharia Civil
                   Disciplina:                 Álgebra Linear
                   Prova:                      III - Chamada Extra
1. (465) 4 pts. Dado o matriz, A, de uma aplicação linear, f : R4 → R4 :
                                                      0                         1
                                                     1           0    0      −3
                                                  B 2            3    0       3 C
                                                A=@
                                                  B                             C
                                                    −2          −1    2      −3 A
                                                     0           0    0       4
     (a) Mostre que o núcleo (kernel), kerf = {x ∈ R4 | A x = 0}, tem dimensão 0.
     (b) Encontrar autovalores e autovetores de f .
     (c) Mostre que é possível escolher um base de autovetores de f .
     (d) Encontre o matriz, B, de f ao respeito desde base. Qual a relação entre A e B?
2. (341, c) 4 pts. Dado a forma quadrática:

                                                   (∗) x2 + y 2 − z 2 + 2xy
     (a) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que reduz (∗) em uma forma sem termos mistos: λ1 x2 + λ2 y1 + λ3 xz1
                                                                                                    1
                                                                                                            2        2

         - onde λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 .
     (b) Classificar geométricalmente: x2 + y 2 − z 2 + 2xy − 2x − 4y − 1 = 0.
3. (471) 2 pts. (Projeção ortogonal.) Uma aplicação linear, f , é dado por:

                                                      f (x) = (x · e)e − x
   onde e é um vetor de unidade dado (fixo).

     (a) Fazer uma figura indicando os vetores e, x e f (x).
     (b) Mostre que a imagem do f é perpendicular em e.
                                                                      √          √
                                                                       2          2
     (c) Seja i e j dois vetores unitários e ortogonais. Pondo: e =   2
                                                                         i   +   2
                                                                                    j.   Encontrar o matriz, A, de f em relação ao
         base (i, j).




                                                            6                                                      µατ µατ ικα
                                                                                                                   Made in LTEX
                                                                                                                           A
Dr. Ole Peter Smith
                                       Instituto de Matemática e Estatística
                                          Universidade Federal de Goiás
                             ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                   Data:                       08/07/2009
                   Semestre:
                   Curso:                      Engenharia Civil e Computação
                   Disciplina:                 Álgebra Linear
                   Prova:                      III
1. (410) 4 pts. Em R4 são dado os vetores:
                      d1 = (1, 2, 2, 0)T     d2 = (0, 1, 1, 1)T       d3 = (0, 0, 1, 1)T    d4 = (1, 1, 1, 1)T
     (a) Mostre que d1 , d2 , d3 , d4 formam uma base em R4 .
     (b) Uma aplicação linear, f : R4 → R3 é dado por:

                     f (d1 ) = (1, 1, 2)T    f (d2 ) = (3, −1, 1)T       f (d3 ) = (4, 0, 3)T   f (d4 ) = (−5, 3, 0)T
         Encontrar a matriz do f em respeito ao base di em R4 e a base canônica em R3 .
     (c) Encontrar a matriz do f em respeito ao base canônica em R4 e R3 .
     (d) Encontrar a dimensão do imagem do f .
     (e) Dados os vetores: v1 = d1 + d2 − d3 e v2 = −d1 + 2d2 + d4 .
         Mostre que: kerf = x ∈ R4 | f (x) = 0 = ger(v1 , v2 ).
                              ˘                ¯

     (f) Encontrar a solução completa da equação: f (x) = f (d1 ).
2. (403) 4 pts. Dado a superfície:

                                     (∗) 3x2 − 3y 2 + 12xz + 12yz + 4x − 4y − 2z = 0
     (a) Encontrar a parte linear do (∗), F1 (x, y, z).
     (b) Encontrar a parte quadrática do (∗), F2 (x, y, z), e escreve-a na forma matricial: rT A r.
     (c) Encontrar autovalores e autovetores da matriz A.
     (d) Encontrar uma base ortonormal, di , de autovetores da A.
     (e) Encontrar uma substituição ortogonal, D, e uma matriz diagonal, B, tal que: B = DT A D.
     (f) Transformar, usando o item anterior, F2 em uma forma quadrática sem termos mistos.
     (g) Encontrar F1 (x, y, z) em termos dos coordenados novos.
     (h) Classificar (∗) geometricalmente.
3. (442) 2 pts. Seja a e b vetores fixos em R3 que satisfaz:
                                                              √
                                                |a| = |b| =       2         a·b=1
   A aplicação, f , é dado por:
                                                    f (x) = a × x + (a · x)b
     (a) Mostrar que f é uma aplicação linear.
         No resto deste exercísio, pomos: c = a × b
     (b) Mostre a, b, c formam uma base em R3 . Mostre que o matrix ao respeito desde base é dado por:
                                                              0                1
                                                              0         0    1
                                                          A=@ 2         1   −2 A
                                                              0         1    0
         Informamos, que para o produto vetorial duplo, vale:
                                                  a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c
     (c) Encontrar autovalores e autovetores do f .
     (d) Encontrar a dimensão da imagem e uma base da mesma.



                                                              7                                                  µατ µατ ικα
                                                                                                                 Made in LTEX
                                                                                                                         A
Dr. Ole Peter Smith
                                        Instituto de Matemática e Estatística
                                           Universidade Federal de Goiás
                            ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                   Data:                       06/10/2009
                   Semestre:                   2009.2
                   Curso:                      *
                   Disciplina:                 Álgebra Linear
                   Prova:                      I
1. (390) 4 pts. Dado o matriz:
                                               0                        1
                                                  2−λ        −1      −1
                                            A = @ −1        2−λ      −1 A , λ ∈ R
                                                   −1        −1     2−λ
     (a) Encontrar det A para qualquer valor de λ.
     (b) Para quais valores de λ A é singular?
     (c) Para λ = 1 encontrar o matriz adjunto de A.
     (d) Para λ = 2 encontrar o matriz inversa de A.
     (e) Para λ = 0 resolver o sistema homogêneo (1) : A x = 0. Encontrar a dimensão e uma base desde espaço
         solucional.
     (f) Para λ = 3 resolver o sistema homogêneo (2) : Ax = 0. Encontrar a dimensão e uma base desde espaço
         solucional.
     (g) Mostre que qualquer vetor do espaço solucional de (1) é ortogonal em qualquer vetor do espaço solucional de (2).
2. (387) 2 pts. Dado os vetores:

               a1 = (0, 1, 2, 2, 0)T    a2 = (1, 1, 4, 0, 0)T   a3 = (1, 2, 6, 2, 1)T   a4 = (−1, 2, 2, 6, −1)T
     (a) Mostrar que a1 , a2 , a3 são linearmente independentes.
     (b) Escrever a4 como uma combinação linear de a1 , a2 , a3
3. (371) 4 pts. Dado o matriz e o vetor::
                                    0                         1                  0   1
                                  1            0      −a    0                      0
                               B 0             1       0    2 C                  B b C
                                                              C, a ∈ R
                             A=@                                                 @ 0 A, b ∈ R
                               B                                                 B   C
                                 −1            0       1    0 A
                                  0           1+a      0    1                      b
   Considerando o sistema linear:

                                                         (∗) A x = b

     (a) Encontrar det A para qualquer a ∈ R.
     (b) Encontrar o posto do matriz A para qualquer a ∈ R.
     (c) Encontrar o posto do matriz total do sistema (∗) para qualquer a, b ∈ R e no cada caso a dimensão do espaço
         solucional.
     (d) Resolver o sistema (∗) para quaisquer a, b ∈ R.




                                                            8                                               µατ µατ ικα
                                                                                                            Made in LTEX
                                                                                                                    A
Dr. Ole Peter Smith
                                       Instituto de Matemática e Estatística
                                          Universidade Federal de Goiás
                              ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                   Data:                         13/10/2009
                   Semestre:                     2009.2
                   Curso:                        Estatística
                   Disciplina:                   Álgebra Linear
                   Prova:                        I - 2a Chamada
1. 4 pts. Dado o matriz, A, e o vetor, b:
                              0                                      1               0            1
                             1         a−1           2           a+2                     a+b
                           B 1          2a           0            a  C              B   2a + b    C
                         A=B                                         C,           b=B             C
                           @ 0        −a − 1       2a + 2         0  A              @      0      A
                                                               2
                             0        2a + 2       4a − 4     a +a−8                  4a + ab + b
   E o sistema linear:

                                                            (∗) :     Ax=b
     (a) Encontrar o posto da matriz coefficiente, A, por qualquer valor de a ∈ R.
     (b) Encontrar o posto da matriz augmentada, T = (A|b), por quaisquer valores de a, b ∈ R.
     (c) Encontrar os valores (a, b) tal que o sistema (∗) não tem solução.
     (d) Encontrar os valores (a, b) tal que o sistema (∗) tem solução única.
     (e) Encontrar os valores (a, b) tal que o sistema (∗) tem infinitas solução.
     (f) Resolver o sistema (∗) para (a, b) = (−1, 1). Identificar nesta solução a solução completa do sistema homogênea
         (SCSH) e uma solução particular do sistema inhomogênea (SPSñH).
2. 3 pts. Dado os vetores:


    a1 = (1, −1, 2, 1)T       a2 = (0, 1, 1, 3)T     a3 = (1, −2, 2, −1)T     a4 = (0, 1, −1, 3)T   a5 = (1, −2, 2, −3)T

     (a) Mostre que a1 , a2 , a3 , a4 formam uma base de R4 .
     (b) Encontrar os coordenados do vetor a5 neste base.
     (c) Encontrar os coordenados dos vetores a1 , a2 , a3 , a4 neste base.
     (d) Encontrar os coordenados dos vetores a1 , a2 , a3 , a4 no base canônica.

3. 3 pts. Dado os matrices:
                                                                          0                1
                                            „                 «               1      1   1
                                                 0   2   2
                                    A=                            ,    B = @ −1      1   1 A
                                                −2   0   2
                                                                             −1     −1   1

     (a) Mostre que B é regular.
     (b) Encontrar B−1 .
     (c) Resolver a equação matricial: X B = A.




                                                                  9                                        µατ µατ ικα
                                                                                                           Made in LTEX
                                                                                                                   A
Dr. Ole Peter Smith
                                      Instituto de Matemática e Estatística
                                         Universidade Federal de Goiás
                             ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                   Data:                      16/10/2009
                   Semestre:                  2009.2
                   Curso:                     Física
                   Disciplina:                Álgebra Linear
                   Prova:                     I - 2a Chamada
1. 4 pts. Dado o matriz, A, e o vetor, b:
                                              0                      1          0 1
                                           1         1    2a       a            1
                                         B 1         a    2a       1 C        B 1 C
                                       A=B
                                         @ 1
                                                                     C,     b=B   C
                                                     1    a       2a A        @ 1 A
                                           1         a    a       2a            a
   E o sistema linear:

                                                         (∗) :    Ax=b
     (a) Encontrar o posto da matriz coefficiente, A, por qualquer valor de a ∈ R.
     (b) Encontrar o posto da matriz aumentada, T = (A|b), por qualquer valores de a ∈ R.
     (c) Encontrar os valores a tal que o sistema (∗) não tem solução.
     (d) Encontrar os valores a tal que o sistema (∗) tem solução única.
     (e) Encontrar os valores a tal que o sistema (∗) tem infinitas soluções.
     (f) Resolver o sistema (∗) para a = 1.
     (g) Identificar na solução do item anterior a solução completa do sistema homogênea (SCSH) e uma solução particular
         do sistema inhomogênea (SPSñH).
2. 3 pts. Dado os vetores:

                                  a1 = (1, 0, −1)T       a2 = (1, 1, 1)T    a3 = (1, −1, 1)T

     (a) Mostre que a1 , a2 , a3 formam uma base de R3 .
     (b) Encontrar uma equação expressando coordenados em relação à base a1 , a2 , a3 , em termos dos coordenados em
         relação à base canônica em R3 .
     (c) Encontrar os coordenados dos vetores básicos da base canônica em R3 , na base a1 , a2 , a3 .

3. 3 pts. Dado a matriz:
                                                           0                1
                                                       0             1    1
                                                   A=@ 1            −1    0 A
                                                       1             0    1

     (a) Mostre que A é singular.
     (b) Resolver a sistema homogênea: A x = 0.
     (c) Resolver a equação matricial: A X = A2 .
         Hint: Pode ser conveniente usar, que X = A é uma solução particular da equação matricial.




                                                             10                                         µατ µατ ικα
                                                                                                        Made in LTEX
                                                                                                                A
Dr. Ole Peter Smith
                                         Instituto de Matemática e Estatística
                                            Universidade Federal de Goiás
                              ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                    Data:                       19/10/2009
                    Semestre:                   2009.2
                    Curso:                      Engenharia Mecânica
                    Disciplina:                 Álgebra Linear
                    Prova:                      I - 2a Chamada
1. 4 pts. Dado as matrizes, A e B:
                                       0                    1                0                   1
                                    1            1       −1                  1             −1
                                  B 0            a        1 C             B −2               2   C
                                A=B                         C,          b=B                      C
                                  @ 2           a+2     a−2 A             @ b                b   A
                                    1           a+1     a−1                 b−1           2b + 1
   E a equação:

                                                        (∗) :     AX=B
     (a) Encontrar o posto da matriz coefficiente, A, por qualquer valor de a ∈ R.
     (b) Encontrar o posto da matriz augmentada, T = (A|B), por quaisquer valores de (a, b) ∈ R2 .
     (c) Encontrar os valores (a, b) tal que a equação (∗) não tem solução (incompatível).
     (d) Encontrar os valores (a, b) tal que a equação (∗) tem solução única (determinado).
     (e) Encontrar os valores (a, b) tal que a equação (∗) tem infinitas soluções (indeterminado).
     (f) Resolver a equação (∗) para (a, b) = (2, 0).
2. 3 pts. Dado as matrizes:
                                            0               1               0               1
                                          1        −2     0              −1           0   0
                                      A=@ 0         1     1 A,        B=@ 0           2   0 A
                                          1        −2     1               0           0   3

     (a) Encontrar A−1 .
     (b) Encontrar B−1 .
     (c) Encontrar (A B)−1 .

3. 3 pts. Dado os vetores:


          1                         1                           1                           1
   d1 =     (1, 1, 1, 1)T    d2 =     (−1, 1, −1, 1)T   d3 =      (−1, −1, 1, 1)T    d4 =     (−1, 1, 1, −1)T     d5 = (1, 2, 1, 2)T
          2                         2                           2                           2
     (a) Mostre que (d1 , d2 , d3 , d4 ) formam uma base ortonormal em R4 .
     (b) Encontrar os coordenados do vetor d5 em relação a base (d1 , d2 , d3 , d4 ).
     (c) Encontrar os coordenados dos vetores da base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 ), em relação a base (d1 , d2 , d3 , d4 ).




                                                             11                                                   µατ µατ ικα
                                                                                                                  Made in LTEX
                                                                                                                          A
Dr. Ole Peter Smith
                                       Instituto de Matemática e Estatística
                                          Universidade Federal de Goiás
                            ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                  Data:                      08/12/2009
                  Semestre:                  2009.2
                  Curso:                     Física
                  Disciplina:                Álgebra Linear
                  Prova:                     II - 1a Chamada
1. 4 pts. Dado a forma quadrática:

                                                   F2 (x, y, z) = 6y 2 + 12xz

     (a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x) = xT A x, onde x = (x, y, z).
     (b) Encontrar os autovalores do A.
     (c) Encontrar os autovetores do A.
     (d) Encontrar uma base ortonormal de autovetores do A.
     (e) Encontrar uma matriz ortogonal,D, e uma matriz diagonal, B, tal que: B = D−1 A D.
     (f) Com este substituição ortogonal, encontre uma relação entre os coordenados novos, x , e os coordenados antigos,
         x, e vice-versa.
     (g) Encontrar F2 (x ) = F2 (x).
     (h) Classifique a superfície:
                                                 6y 2 + 12xz + 2x − 2y + 2z = 3

2. 2 pts. Dado a matriz:
                                                             0                1
                                                        2             −1    2
                                                 A = @ −1              5   −1 A
                                                        2             −1    2
   E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x.

     (a) Encontrar o núcleo de f e sua dimensão.
     (b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem da f .
     (c) Pondo, d = (1, 2, 1)T , encontrar a solução completa de: f (x) = f (d).

3. 2 pts. Dado a matriz:
                                                             „            √ «
                                                                  10
                                                                   √    −2 3
                                                 A=
                                                                 −2 3     6
                                             „       «
                                                 x
   E uma função bilinear: g(x, y) = (x y)A               .
                                                 y
     (a) Encontrar os autovalores e autovetores do A.
     (b) Mostre que g(x, y) define um produto interno em R2 .
     (c) Dado o vetor v1 = (1, −1)T , encontrar um vetor, v2 ortogonal ao v1 ao respeito de g.
     (d) Encontrar uma base ortonormal ao respeito do produto interno g.




                                                                 12                                     µατ µατ ικα
                                                                                                        Made in LTEX
                                                                                                                A
Dr. Ole Peter Smith
                                       Instituto de Matemática e Estatística
                                          Universidade Federal de Goiás
                            ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                  Data:                      08/12/2009
                  Semestre:                  2009.2
                  Curso:                     Estatística
                  Disciplina:                Álgebra Linear
                  Prova:                     II - 1a Chamada
1. 4 pts. Dado a forma quadrática:

                                                     F2 (x, y, z) = 4z 2 + 8xy

     (a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x) = xT A x, onde x = (x, y, z).
     (b) Encontrar os autovalores do A.
     (c) Encontrar os autovetores do A.
     (d) Encontrar uma base ortonormal de autovetores do A.
     (e) Encontrar uma matriz ortogonal,D, e uma matriz diagonal, B, tal que: B = D−1 A D.
     (f) Com este substituição ortogonal, encontre uma relação entre os coordenados novos, x , e os coordenados antigos,
         x, e vice-versa.
     (g) Encontrar F2 (x ) = F2 (x).
     (h) Classifique a superfície:
                                                       4z 2 + 8xy + 2x − 2y = 3

2. 2 pts. Dado a matriz:
                                                              0                1
                                                       1                0   −1
                                                   A=@ 1                1    1 A
                                                      −1                1    3
   E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x.

     (a) Encontrar o núcleo de f e sua dimensão.
     (b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem da f .
     (c) Pondo, d = (1, −1, 0)T , encontrar a solução completa de: f (x) = f (d).

3. 2 pts. Dado a matriz:
                                                              „              √ «
                                                                   7
                                                                   √        − 3
                                                     A=
                                                                  − 3        5
                                             „        «
                                                 x
   E uma função bilinear: g(x, y) = (x y)A                .
                                                 y
     (a) Encontrar os autovalores e autovetores do A.
     (b) Mostre que g(x, y) define um produto interno em R2 .
     (c) Dado o vetor v1 = (1, −1)T , encontrar um vetor, v2 ortogonal ao v1 ao respeito de g.
     (d) Encontrar uma base ortonormal ao respeito do produto interno g.




                                                                  13                                    µατ µατ ικα
                                                                                                        Made in LTEX
                                                                                                                A
Dr. Ole Peter Smith
                                      Instituto de Matemática e Estatística
                                         Universidade Federal de Goiás
                             ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                  Data:                         15/12/2009
                  Semestre:                     2009.2
                  Curso:                        Física
                  Disciplina:                   Álgebra Linear
                  Prova:                        II - 2a Chamada
1. 3 pts. Dado os vetores:
                                          0   1                    1
                                                                   0                0  1
                                            1                    1                   1
                                     v1 = @ 1 A           v2 = @ 0 A          v3 = @ 1 A
                                            1                    1                   0
   Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado por:

                             f (v1 ) = v2 − v3       f (v2 ) = v1 − v3        f (v3 ) = v2 − v1

     (a) Mostre que os vetores vi formam uma base em R3 .
     (b) Encontrar o matriz de f na base vi .
     (c) Encontrar o matriz de f na base canônica, ei .

2. 2 pts. Dado a matriz:
                                                          0                    1
                                                         2             −2    1
                                                  A = @ −2              5   −2 A
                                                         1             −2    2
   E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x.

     (a) Encontrar autovalores e autovetores do A.
     (b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da A e o matriz de f neste base.

3. 3 pts. Dado a forma quadrática:
                                                                 √
                                              F (x, y) = 7x2 − 2 3xy + 5y 2
                                                                        „   «
                                                                          x
     (a) Encontrar uma matriz simétrica, A, tal que: F (x, y) = (x y) A      .
                                                                          y
     (b) Encontrar autovetores e autovalores da A.
     (c) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que transforma F em uma forma sem o termo xy.
                                    √
     (d) Classificar a curva: 7x2 − 2 3xy + 5y 2 + x = 4.




                                                              14                                  µατ µατ ικα
                                                                                                  Made in LTEX
                                                                                                          A
Dr. Ole Peter Smith
                                      Instituto de Matemática e Estatística
                                         Universidade Federal de Goiás
                             ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                  Data:                         15/12/2009
                  Semestre:                     2009.2
                  Curso:                        Estatística
                  Disciplina:                   Álgebra Linear
                  Prova:                        II - 2a Chamada
1. 3 pts. Dado os vetores:
                                       0   1                   0    1             0   1
                                        1                         1                 1
                                 v1 = @ −1 A              v2 = @ 0 A        v3 = @ −1 A
                                        −1                       −1                 0
   Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado por:

                             f (v1 ) = v3 − v2       f (v2 ) = v3 − v1     f (v3 ) = v1 − v2

     (a) Mostre que os vetores vi formam uma base em R3 .
     (b) Encontrar o matriz de f na base vi .
     (c) Encontrar o matriz de f na base canônica, ei .

2. 2 pts. Dado a matriz:
                                                          0                 1
                                                         5         −4    −4
                                                  A = @ −4          5    −4 A
                                                        −4         −4     5
   E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x.

     (a) Encontrar autovalores e autovetores do A.
     (b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da A e o matriz de f neste base.

3. 3 pts. Dado a forma quadrática:
                                                                 √
                                              F (x, y) = 7x2 + 2 3xy − 5y 2
                                                                        „   «
                                                                          x
     (a) Encontrar uma matriz simétrica, A, tal que: F (x, y) = (x y) A      .
                                                                          y
     (b) Encontrar autovetores e autovalores da A.
     (c) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que transforma F em uma forma sem o termo xy.
                                    √
     (d) Classificar a curva: 7x2 + 2 3xy − 5y 2 − y = 4.




                                                              15                                  µατ µατ ικα
                                                                                                  Made in LTEX
                                                                                                          A
Dr. Ole Peter Smith
                                      Instituto de Matemática e Estatística
                                         Universidade Federal de Goiás
                             ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                  Data:                         15/12/2009
                  Semestre:                     2009.2
                  Curso:                        Estatística
                  Disciplina:                   Álgebra Linear
                  Prova:                        II - 2a Chamada
1. 3 pts. Dado os vetores:
                                       0   1                   0    1             0   1
                                        1                         1                 1
                                 v1 = @ −1 A              v2 = @ 0 A        v3 = @ −1 A
                                        −1                       −1                 0
   Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado por:

                             f (v1 ) = v3 − v2       f (v2 ) = v3 − v1     f (v3 ) = v1 − v2

     (a) Mostre que os vetores vi formam uma base em R3 .
     (b) Encontrar o matriz de f na base vi .
     (c) Encontrar o matriz de f na base canônica, ei .

2. 2 pts. Dado a matriz:
                                                          0                 1
                                                         5         −4    −4
                                                  A = @ −4          5    −4 A
                                                        −4         −4     5
   E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x.

     (a) Encontrar autovalores e autovetores do A.
     (b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da A e o matriz de f neste base.

3. 3 pts. Dado a forma quadrática:
                                                                 √
                                              F (x, y) = 7x2 + 2 3xy − 5y 2
                                                                        „   «
                                                                          x
     (a) Encontrar uma matriz simétrica, A, tal que: F (x, y) = (x y) A      .
                                                                          y
     (b) Encontrar autovetores e autovalores da A.
     (c) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que transforma F em uma forma sem o termo xy.
                                    √
     (d) Classificar a curva: 7x2 + 2 3xy − 5y 2 − y = 4.




                                                              16                                  µατ µατ ικα
                                                                                                  Made in LTEX
                                                                                                          A
Dr. Ole Peter Smith
                                      Instituto de Matemática e Estatística
                                         Universidade Federal de Goiás
                              ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                    Data:                    23/03/2010
                    Semestre:                2010.1
                    Curso:                   Matemática
                    Disciplina:              Álgebra Linear
                    Prova:                   I
1. 2 pts. Dado a matriz:
                                                  „                       «
                                                       1     1       a
                                             A=                                 ,   a∈R
                                                      −a    −1       1

     (a) Encontrar o posto do A para todo a ∈ R.
                                    „      «
                                        0
     (b) Resolver a equação: A x =           para todo a ∈ R.
                                        0
                                      0      1
                                          0
                               T
     (c) Resolver a equação: A x = @ b A para todo b ∈ R.
                                          0
     (d) Identifique a solução completa do sistema homogênea (SCSH) e uma solução particular do sistema não homogênea
         (SPSñH) no item anteriror.

2. 2 pts. Com o matriz no item anterior pomos:

                                                 B1 = AT A       B2 = A AT
     (a) Calcular B1 e B2 .
     (b) Calcular os determiantes det B1 e det B2 .
     (c) Calcular as adjuntas B∗ e B∗ .
                               1    2
     (d) Justifique que o produto de uma matriz com sua transposta é uma matriz simétrica.
3. 3 pts.

     (a) Mostre que o determinante de ordem n > 1:
                                              ˛                                                     ˛
                                              ˛ b     a     0    0       ...        0   0   0   0   ˛
                                              ˛                                                     ˛
                                              ˛ a     b     a    0       ...        0   0   0   0   ˛
                                              ˛                                                     ˛
                                              ˛ 0     a     b    a       ...        0   0   0   0   ˛
                                              ˛                                                     ˛
                                              ˛ 0     0     a    b       ...        0   0   0   0   ˛
                                              ˛                                                     ˛
                                         An = ˛
                                              ˛       .
                                                      .                  ..                 .
                                                                                            .
                                                                                                    ˛
                                              ˛       .                     .               .       ˛
                                                                                                    ˛
                                              ˛ 0     0     0    0       ...        b   a   0   0   ˛
                                              ˛                                                     ˛
                                              ˛ 0     0     0    0       ...        a   b   a   0   ˛
                                              ˛                                                     ˛
                                              ˛ 0     0     0    0       ...        0   a   b   a   ˛
                                              ˛                                                     ˛
                                              ˛ 0     0     0    0       ...        0   0   a   b   ˛

            satisfaz a fórmula de recursão: An = bAn−1 − a2 An−2 , n ≥ 3.
     (b) Pondo A1 = b, encontrar A3 .
     (c) Encontrar a determinante:             ˛                                                ˛
                                               ˛ 2−λ             −1         0             0     ˛
                                               ˛                                                ˛
                                               ˛ −1             2−λ         −1           0      ˛
                                             A=˛                                                ˛
                                               ˛ 0
                                               ˛                 −1        2−λ           −1     ˛
                                                                                                ˛
                                               ˛ 0                0         −1          2−λ     ˛




                                                           17                                           µατ µατ ικα
                                                                                                        Made in LTEX
                                                                                                                A
Dr. Ole Peter Smith
                                      Instituto de Matemática e Estatística
                                         Universidade Federal de Goiás
                            ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



4. 3 pts. Dado a matriz:
                                                0                    1
                                               α          α    0   1
                                            B 2α         2α    α   1 C
                                          A=B
                                            @ 2α
                                                                     C,     α∈R
                                                         3α    0   1 A
                                               1          1    0   0

     (a) Encontrar o posto do A por todo α ∈ R.
     (b) Por quais valores α ∈ R A é regular? Por estes valores, encontrar a inversa.
     (c) Resolver a sistema:                                     1 0
                                                               1
                                                             B a C
                                                          Ax=B   C
                                                             @ b A
                                                               0
         para todos α, a, b ∈ R.




                                                          18                            µατ µατ ικα
                                                                                        Made in LTEX
                                                                                                A
Dr. Ole Peter Smith
                                      Instituto de Matemática e Estatística
                                         Universidade Federal de Goiás
                            ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                  Data:                         30/03/2010
                  Semestre:                     2010.1
                  Curso:                        Matemática
                  Disciplina:                   Álgebra Linear
                  Prova:                        I, 2a Chamada
1. 4 pts. Dado a matriz:
                                                 0                      1
                                                 0         −a    0   a
                                              B a           0    a    0 C
                                            A=B                         C,       a∈R
                                              @ 0          −a    0   −a A
                                                −a          0    a    0

     (a) Por quais valores A é regular? Para estas valores, encontrar a inversa: A−1 .
     (b) Por quais valores A é ortogonal, isto é: A−1 = AT ?
     (c) Encontrar a matriz adjunta: A∗ .
     (d) Resolver a equação matricial: A X = 0, onde 0 ∈ M 4,4 .

2. 4 pts. Dado os planos em R3 :

                                       (α) :     x    +    y     −      2z        =      0
                                       (β) :     2x   −    y     +   (3a − 4)z    =      3
                                       (γ) :               ay    −       z        =      1
     (a) Para quais valores de a ∈ R os planos α, β e γ tem uma reta em comum?
     (b) Para quais valores de a ∈ R os planos α, β e γ tem um ponto em comum?
     (c) Para quais valores de a ∈ R os planos α, β e γ nenhum ponto em comum?
     (d) Para a = 1 encontrar a intersecção: α ∩ β.
     (e) Para a = 1 encontrar a intersecção: β ∩ γ.
     (f) Para a = 1 encontrar a intersecção: γ ∩ α.
3. 2 pts. Dado a matriz:

                                                                a2 − a
                                            0                                1
                                         1            0    0
                                       B a            a    1    a3 − 2a2 + a C
                                     A=B                                     C,       a∈R
                                       @ −1           3a   0    2a2 − 2a     A
                                                                 3
                                         a            2a   1    a −a
     (a) Encontrar o posto ρA para todo a ∈ R.
     (b) Por todo a ∈ R resolver a equação matricial: A X = A.




                                                           19                                µατ µατ ικα
                                                                                             Made in LTEX
                                                                                                     A
Dr. Ole Peter Smith
                                        Instituto de Matemática e Estatística
                                           Universidade Federal de Goiás
                              ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                   Data:                      06/04/2010
                   Semestre:                  2010.1
                   Curso:                     Engenharia de Alimentos
                   Disciplina:                Álgebra Linear
                   Prova:                     I
1. 2 pts. Calcular os determinantes:

     (a)                                                     ˛                    ˛
                                                             ˛
                                                             ˛   1    2   3   4   ˛
                                                                                  ˛
                                                             ˛
                                                             ˛   2    1   2   1   ˛
                                                                                  ˛
                                                             ˛
                                                             ˛   0    0   1   1   ˛
                                                                                  ˛
                                                             ˛   3    4   1   2   ˛

     (b)                                                     ˛                    ˛
                                                             ˛
                                                             ˛   0    3   1   1   ˛
                                                                                  ˛
                                                             ˛
                                                             ˛   1    2   3   2   ˛
                                                                                  ˛
                                                             ˛
                                                             ˛   2    4   5   7   ˛
                                                                                  ˛
                                                             ˛   1    0   0   3   ˛

2. 3 pts. Dado a matriz e os vetores:
                                0                                     1           0       1       0        1
                                    1    1    −1     0        0                       1                1
                            B
                            B       0    1     1    −1        0       C
                                                                      C
                                                                               B
                                                                               B      1   C
                                                                                          C
                                                                                                   B
                                                                                                   B   0   C
                                                                                                           C
                          A=B
                            B       0    0     1     1       −1       C
                                                                      C   b1 = B
                                                                               B      1   C
                                                                                          C   b2 = B
                                                                                                   B   0   C
                                                                                                           C
                            @       0   −1     1     1        0       A        @      1   A        @   0   A
                                    0    0    −1     1        1                       1                0
     (a) Mostre que a matriz A é regular.
     (b) Resolver o sistema A x = b1 .
     (c) Resolver o sistema A x = b2 .
3. 2 pts. Considerando a matriz:
                                                         0                      1
                                                       0              1   0   0
                                                     B 1              0   1   0 C
                                                   A=@
                                                     B                          C
                                                       0              1   0   1 A
                                                       0              0   1   0
     (a) Encontrar det A.
     (b) Encontrar a matriz inversa: A−1 .
     (c) Encontrar a matriz adjunta: A∗ .
4. 3 pts. Dado as matrizes:              0                          1                 0          1
                                         1          1    0       −1               −2           5
                                      B 1           1    1       −1 C           B −2          −4 C
                                    A=@
                                      B                             C         B=@
                                                                                B                C
                                        −1         −1    0        2 A              3           0 A
                                         1          1    2        2                1           2

     (a) Encontrar o posto da A.
     (b) Resolver o sistema matricial: A X = B.
     (c) Indicar no item anterior a solução completa do sistema homogênea e uma solução particular do sistema não-
         homogênea.




                                                                 20                                            µατ µατ ικα
                                                                                                               Made in LTEX
                                                                                                                       A
Dr. Ole Peter Smith
                                      Instituto de Matemática e Estatística
                                         Universidade Federal de Goiás
                            ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                   Data:                       14/05/2010
                   Semestre:                   2010.1
                   Curso:                      Engenharia de Alimentos
                   Disciplina:                 Álgebra Linear
                   Prova:                      II
1. 4 pts. Dados os vetores em R4 :
                           0 1                0   1              01                0    1            0  1
                           1                    0               0                     1               1
                         B 1 C                B 1 C           B 0 C                 B 0 C           B 1 C
                    d1 = B   C
                         @ 0 A           d2 = B   C
                                              @ 1 A      d3 = B   C
                                                              @ 1 A            d4 = B   C
                                                                                    @ 0 A      d5 = B   C
                                                                                                    @ 1 A
                           0                    0               1                     2               1
     (a) Mostre que os vetores d1 , d2 , d3 , d4 formam uma base em R4 .
     (b) Encontre uma relação entre as coordenadas em relação a base canônica e a base (d1 , d2 , d3 , d4 ).
     (c) Encontre as coordenadas do vetor d5 na base (d1 , d2 , d3 , d4 ).
     (d) Encontre as coordenadas antigas dos vetores básicos novos.
     (e) Encontre as coordenadas novas dos vetores básicos antigos.
2. 2 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz:
                                                          0                 1
                                                        0             1   1
                                                    A=@ 1            −1   0 A
                                                        1             0   1
     (a) Encontrar o núcleo e a sua dimensão.
     (b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem, f (R3 ).
     (c) Encontrar o conjunto: {x ∈ R3 | f (x) = (0, 1, 1)}.
     (d) f tem inversa?
3. 4 pts. Dados os vetores em R4 :
                                0   1               0   1                 0    1               0     1
                                  1                   1                     −1                    −1
                               B 2 C               B 0 C                  B 1 C                 B 0 C
                          v1 = B
                               @ 4 A
                                    C         v2 = B
                                                   @ 3 A
                                                        C            v3 = B    C
                                                                          @ −3 A           v4 = B    C
                                                                                                @ −3 A
                                 −2                  −2                      5                     1
   e uma aplicação linear, f : R4 → R4 :

                   f (v1 ) = v1 + v2 ,     f (v2 ) = −v1 + v2 ,      f (v3 ) = v3 + v4 ,    f (v4 ) = −v3 + v4
                                                                           4
     (a) Mostrar que os vetores v1 , v2 , v3 , v4 formam uma base em R .
     (b) Encontrar a matriz, A, em relação a base canônica (no domínio e na imagem).
     (c) Encontrar a matriz, B, em relação da base (v1 , v2 , v3 , v4 ) (no domínio e na imagem).
     (d) Sendo U = ger(v1 , v2 ), mostre que f (U ) = U .
     (e) Sendo V a matriz contendo os vetores v1 , v2 , v3 , v4 em colunas, mostre: B = V−1 A V.




                                                            21                                                   µατ µατ ικα
                                                                                                                 Made in LTEX
                                                                                                                         A
Dr. Ole Peter Smith
                                       Instituto de Matemática e Estatística
                                          Universidade Federal de Goiás
                              ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                   Data:                       19/05/2010
                   Semestre:                   2010.1
                   Curso:                      Matemática
                   Disciplina:                 Álgebra Linear
                   Prova:                      II
1. 5 pts. Uma aplicação linear, f : R4 → R4 é dado por sua matriz::
                                                     0                            1
                                                     2           −1    0       −1
                                                  B −1            2   −1        0 C
                                                A=@
                                                  B                               C
                                                     0           −1    2       −1 A
                                                    −1            0   −1        2
   Considerando os vetores:
                               0
                               1                    0 1                    0 1               0    1
                             1                      1                      1                    1
                          1B 1 C               1B 1 C                 1 B −1 C             1 B −1 C
                      v1 = B   C           v2 = B     C           v3 = B     C         v4 = B     C
                          2@ 1 A               2 @ −1 A               2@ 1 A               2 @ −1 A
                             1                     −1                     −1                    1

     (a) Mostre que os vetores v1 , v2 , v3 , v4 formam uma base em R4 .
     (b) Mostre que vale: f (vi ) = λi vi , i = 1, 2, 3, 4. Encontre os λi ’s.
     (c) Uma base, vi , é chamado ortonormal, se:
                                                                      
                                                                          0,     i=j
                                                    vi · vj = δij =
                                                                          1,     i=j
         Mostre que os vi ’s formam uma base ortonormal em R4 .
     (d) Organizando os vetores vi como colunas numa matriz, V, mostre: V−1 = VT .
     (e) Encontre uma relação entre coordenadas em relação a base canônica e coordenadas em relação a base vi .
     (f) Mostre que B = V−1 A V é diagonal. Quais os valores na sua diagonal?

2. 3 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz:
                                                           0                1
                                                         1          0     2
                                                     A=@ 0         −1     2 A
                                                         2          2     0

     (a) Encontrar o núcleo, ker f , e a sua dimensão. Mostrar que d1 = 1 (−2, 2, 1)T ∈ ker f .
                                                                        3
     (b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem, Imf .
     (c) Mostrar que os vetores d2 = 1 (2, 1, 2) e d3 = 3 (1, 2, −2) formam uma base ortonormal da imagem.
                                     3
                                                        1


     (d) Mostrar que: ker f ⊥ Imf .

3. 2 pts. Consideramos a aplicação e os vetores introduzidos no questão 2.

     (a) Mostre que os vetores d1 , d2 , d3 formam uma base ortonormal em R3 .
     (b) Encontrar as imagens: f (di ) em relação a base canônica.
     (c) Encontrar as imagens: f (di ) em relação a base di .
     (d) Encontrar a matriz do f usando a base di no domínio e na imagem.




                                                            22                                          µατ µατ ικα
                                                                                                        Made in LTEX
                                                                                                                A
Dr. Ole Peter Smith
                                         Instituto de Matemática e Estatística
                                            Universidade Federal de Goiás
                             ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                   Data:                        01/06/2010
                   Semestre:                    2010.1
                   Curso:                       Matemática
                   Disciplina:                  Álgebra Linear
                   Prova:                       II, 2a chamada
1. 6 pts.Dado os vetores:
                                     0 1                0 1               0   1              0 1
                                     1                  0                   0                1
                                   B 2 C              B 1 C               B 0 C            B 1 C
                              v1 = B   C
                                   @ 2 A         v2 = B   C
                                                      @ 1 A          v3 = B   C
                                                                          @ 1 A       v4 = B   C
                                                                                           @ 1 A
                                     0                  1                   1                1

     (a) Mostre que os vetores (vi ) formam uma base de R4 .
     (b) Encontrar uma relação expressando as coordenadas em relação a base canônica, em termo das coordenadas em
         relação a base (vi ).
     (c) Uma aplicação linear, f : R4 → R3 , é dado por:
                               0     1             0       1                    0   1                  0  1
                                   1                     3                        4                    −5
                    f (v1 ) = @ 2 A f (v2 ) = @ −1 A                  f (v3 ) = @ 0 A       f (v4 ) = @ 3 A
                                   2                     1                        3                     0

         Encontrar o matriz, A , da f usando base canônica em R3 e base (vi ) em R4 .
     (d) Encontrar o matriz, A, da f usando base canônica em R4 e R3 .
     (e) Encontrar a dimensão da imagem, f (R4 ).
     (f) Dado os vetores: d1 = v1 + v2 − v3 e d2 = −v1 + 2v2 − v4 . Mostre que d1 e d2 gera o núcleo da f .
     (g) Encontrar, em termos de v1 , v2 , v3 , v4 , todas as vetores que satisfaz: f (x) = f (v1 ).

2. 2 pts. Sendo v1 , v2 uma base em C2 , uma aplicação linear, f , é dado por:

                                            f (v1 ) = v1 + 2v2       f (v2 ) = iv1 + v2

     (a) Encontrar a matriz, A, da f em relação a base v1 , v2 .
     (b) Mostre que os vetores: w1 = v1 + v2 e w2 = v1 − v2 formam uma base de C2 .
     (c) Encontrar a matriz, B, da f em relação a base w1 , w2 .

3. 2 pts.Dado a matriz:                                     0               1
                                                           5         1   −1
                                                    A = @ −4         1    2 A
                                                           4         0   −1

     (a) Encontrar as imagens dos vetores: v1 = (1, −1, 1)T e v2 = (1, −2, 2)T .
     (b) Encontrar um vetor, v3 , tal que: f (v3 ) = v2 + v3 .
     (c) Encontrar a matriz da f em relação a base v1 , v2 , v3 .




                                                                23                                            µατ µατ ικα
                                                                                                              Made in LTEX
                                                                                                                      A
Dr. Ole Peter Smith
                                        Instituto de Matemática e Estatística
                                           Universidade Federal de Goiás
                              ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                   Data:                        24/06/2010
                   Semestre:                    2010.1
                   Curso:                       Engenharia de Alimentos
                   Disciplina:                  Álgebra Linear
                   Prova:                       III
1. 3 pts. Dado a matriz:
                                                                 „           «
                                                                     1   a
                                                          A=
                                                                     a   1
   Onde a = 0.
     (a) Encontrar os autovalores da A.
     (b) Encontrar os autovetores da A.
     (c) A matriz A é similar com uma matriz diagonal? Caso sim, qual?
     (d) Os autovetores da A são ortogonais? Justifique!

2. 4 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz:
                                                    0                 1
                                                          6 −4 −4
                                               A = @ −4         6 −4 A
                                                         −4 −4      6

     (a) Encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A.
     (b) Encontrar o núcleo da matriz A.
     (c) Mostre que A é diagonalizável.
     (d) Encontre uma matriz diagonal, B, e uma matriz ortogonal, D, tal que B = D−1 A D.
3. 3 pts. Dado a forma quadrática:

                                       F (x, y, z) = 6x2 + 6y 2 + 6z 2 − 8xy − 8xz − 8yz

     (a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x, y, z) = xT A x.
     (b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da matriz A, e uma relação entre as coordenadas novas, (x , y , z ),
         e as coordenadas antigas, (x, y, z).
     (c) Encontrar a matriz, B, neste base. Encontre também a forma quadrática transformada: F (x , y , z ) = F (x, y, z).
     (d) Classifique a superfície definida por: F (x, y, z) = 4, fornecendo tipo, centro e semi-eixo(s).


   Superfícies quadráticas em R3 :
   I: Elipsóide, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:

                                       (x − x0 )2        (y − y0 )2      (z − z0 )2
                                                2
                                                       +       2
                                                                     +              =1
                                             a               b              c2
   II: Hiperbolóide 1 folha, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:

                                            (x − x0 )2   (y − y0 )2   (z − z0 )2
                                                       +            −            =1
                                               a2           b2           c2
   Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R.
   III: Hiperbolóide 2 folhas, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:

                                            (x − x0 )2   (y − y0 )2   (z − z0 )2
                                                       −            −            =1
                                               a2           b2           c2

                                                                24                                        µατ µατ ικα
                                                                                                          Made in LTEX
                                                                                                                  A
Dr. Ole Peter Smith
                                    Instituto de Matemática e Estatística
                                       Universidade Federal de Goiás
                          ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R.
IV: Cone quadrático, centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:

                                        (x − x0 )2   (y − y0 )2   (z − z0 )2
                                            2
                                                   −      2
                                                                −            =0
                                           a            b            c2
V: Parabolóide eliptica, centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b:

                                             (x − x0 )2   (y − y0 )2
                                                        +            = z − z0
                                                a2           b2
VI: Parabolóide hiperbólica (sela), centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b:

                                             (x − x0 )2   (y − y0 )2
                                                        −            = z − z0
                                                a2           b2




                                                          25                         µατ µατ ικα
                                                                                     Made in LTEX
                                                                                             A
Dr. Ole Peter Smith
                                        Instituto de Matemática e Estatística
                                           Universidade Federal de Goiás
                              ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                   Data:                        24/06/2010
                   Semestre:                    2010.1
                   Curso:                       Matemática
                   Disciplina:                  Álgebra Linear
                   Prova:                       III
1. 3 pts. Dado a matriz:
                                                                 „           «
                                                                     1   a
                                                          A=
                                                                     a   1
   Onde a ∈ R.
     (a) Encontrar os autovalores da A para todo a ∈ R.
     (b) Encontrar os autovetores da A para todo a ∈ R.
     (c) A matriz A é similar com uma matriz diagonal? Caso sim, qual?
     (d) Os autovetores da A são ortogonais? Justifique!

2. 4 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz:
                                                    0                 1
                                                          3 −4 −4
                                               A = @ −4         3 −4 A
                                                         −4 −4      3

     (a) Encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A.
     (b) Encontrar o núcleo da matriz A.
     (c) Mostre que A é diagonalizável.
     (d) Encontre uma matriz diagonal, B, e uma matriz ortogonal, D, tal que B = D−1 A D.
3. 3 pts. Dado a forma quadrática:

                                       F (x, y, z) = 3x2 + 3y 2 + 3z 2 − 8xy − 8xz − 8yz

     (a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x, y, z) = xT A x.
     (b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da matriz A, e uma relação entre as coordenadas novas, (x , y , z ),
         e as coordenadas antigas, (x, y, z).
     (c) Encontrar a matriz, B, neste base. Encontre também a forma quadrática transformada: F (x , y , z ) = F (x, y, z).
     (d) Classifique a superfície definida por: F (x, y, z) = 4, fornecendo tipo, centro e semi-eixo(s).


   Superfícies quadráticas em R3 :
   I: Elipsóide, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:

                                       (x − x0 )2        (y − y0 )2      (z − z0 )2
                                                2
                                                       +       2
                                                                     +              =1
                                             a               b              c2
   II: Hiperbolóide 1 folha, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:

                                            (x − x0 )2   (y − y0 )2   (z − z0 )2
                                                       +            −            =1
                                               a2           b2           c2
   Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R.
   III: Hiperbolóide 2 folhas, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:

                                            (x − x0 )2   (y − y0 )2   (z − z0 )2
                                                       −            −            =1
                                               a2           b2           c2

                                                                26                                        µατ µατ ικα
                                                                                                          Made in LTEX
                                                                                                                  A
Dr. Ole Peter Smith
                                    Instituto de Matemática e Estatística
                                       Universidade Federal de Goiás
                          ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R.
IV: Cone quadrático, centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:

                                        (x − x0 )2   (y − y0 )2   (z − z0 )2
                                            2
                                                   −      2
                                                                −            =0
                                           a            b            c2
V: Parabolóide eliptica, centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b:

                                             (x − x0 )2   (y − y0 )2
                                                        +            = z − z0
                                                a2           b2
VI: Parabolóide hiperbólica (sela), centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b:

                                             (x − x0 )2   (y − y0 )2
                                                        −            = z − z0
                                                a2           b2




                                                          27                         µατ µατ ικα
                                                                                     Made in LTEX
                                                                                             A
Dr. Ole Peter Smith
                                        Instituto de Matemática e Estatística
                                           Universidade Federal de Goiás
                              ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter



                   Data:                        29/06/2010
                   Semestre:                    2010.1
                   Curso:                       Engenharia de Alimentos
                   Disciplina:                  Álgebra Linear
                   Prova:                       IV (Substituitiva)
1. 3 pts. Dado a matriz:
                                                                 „           «
                                                                     1   2
                                                          A=
                                                                     0   a

     (a) Encontrar os autovalores e os autovetores da A por qualquer valor do constante a ∈ R.
     (b) Os autovetores da A são ortogonais? Justifique!
     (c) Por quais valores do a ∈ R A é diagonaliável? Por estes valores, encontrar uma matriz regular, D, e uma matriz
         diagonal, B, tal que B = D−1 A D.

2. 4 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz:
                                                    0                 1
                                                         −1     1   1
                                               A = @ 1 −1           1 A
                                                          1     1 −1

     (a) Encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A.
     (b) Encontrar o núcleo da matriz A.
     (c) Mostre que A é diagonalizável.
     (d) Encontre uma matriz diagonal, B, e uma matriz ortogonal, D, tal que B = D−1 A D.
3. 3 pts. Dado a forma quadrática:

                                        F (x, y, z) = −x2 − y 2 − z 2 + 2xy + 2xz + 2yz

     (a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x, y, z) = xT A x.
     (b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da matriz A, e uma relação entre as coordenadas novas, (x , y , z ),
         e as coordenadas antigas, (x, y, z).
     (c) Encontrar a matriz, B, neste base. Encontre também a forma quadrática transformada: F (x , y , z ) = F (x, y, z).
     (d) Classifique a superfície definida por: F (x, y, z) = 2, encontrando tipo, centro e semi-eixo(s) na base canônica.


   Superfícies quadráticas em R3 :
   I: Elipsóide, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:

                                            (x − x0 )2   (y − y0 )2   (z − z0 )2
                                                       +            +            =1
                                               a2           b2           c2
   II: Hiperbolóide 1 folha, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:

                                            (x − x0 )2   (y − y0 )2   (z − z0 )2
                                                2
                                                       +      2
                                                                    −            =1
                                               a            b            c2
   Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R.
   III: Hiperbolóide 2 folhas, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:

                                            (x − x0 )2   (y − y0 )2   (z − z0 )2
                                                       −            −            =1
                                               a2           b2           c2


                                                                28                                         µατ µατ ικα
                                                                                                           Made in LTEX
                                                                                                                   A
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  • 1. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 15/04/2009 Semestre: Curso: Engenharia de Computação Disciplina: Álgebra Linear Prova: I 1. 4 pts. Dado as matrizes: 0 1 0 1 1 −2 0 −1 0 0 A=@ 0 1 1 A B=@ 0 2 0 A 1 −2 1 0 0 3 (a) Encontrar: det A e det B. (b) Encontrar as matrizes adjuntas: A∗ e B ∗ . (c) Encontrar os inversos: A−1 e B −1 . (d) Encontrar os determinantes dos inversos: det (A−1 ) e det (B −1 ). (e) Encontrar os produtos: A B e B A. (f) Mostre que em geral vale por matrizes do mesmo ordem: (A B)−1 = B −1 A−1 . (g) Encontrar o inverso do produto: (A B)−1 . (h) Encontrar o inverso do produto: (B A)−1 . 2. 4 pts. Dado a sistema linear: 8 9 < x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 1 = (∗) : 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 − x5 = 2 3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 − 3x5 = 3 : ; (a) Encontrar a solução completa do sistema homogêneo do (∗). (b) Encontrar a solução completa do sistema não homogêneo. (c) Encontrar a solução completa do sistema: 8 9 < x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 2 = (∗∗) : 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 − x5 = 3 3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 − 3x5 = 4 : ; 3. 2 pts. (Cabeludo) Dado as matrizes: 0 1 1 2 3 4 B 4 3 2 1 C A=@ B C, (a, b) ∈ R2 a 2 3 4 A 4 3 2 b 0 1 0 a 0 0 B a 0 a 0 C B=B @ 0 C, a∈R a 0 a A 0 0 a 0 (a) Encontrar para quaisquer valores de a e b o determinante do A. (b) Encontrar para quaisquer valores de a e b o posto do A. (c) Encontrar para qualquer valor de a o determinante do B. (d) Para quais valores de a o matriz B tem inverso? Para estes valores, encontrar o inverso. 1 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 2. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 05/05/2009 Semestre: Curso: Engenharia Civil Disciplina: Álgebra Linear Prova: I 1. 4 pts. Dado as matrizes: 0 1 0 1 1 −2 0 −1 0 0 A=@ 0 1 1 A B=@ 0 2 0 A 1 −2 1 0 0 3 Sabendo que: 1 det (A−1 ) = det A−1 = det A e: (A B)−1 = B −1 A−1 responde o seguinte: (a) Encontrar: det A e det B. (b) Encontrar as matrizes adjuntas: A∗ e B ∗ . (c) Encontrar os inversos: A−1 e B −1 . (d) Encontrar os determinantes dos inversos: det (A−1 ) e det (B −1 ). (e) Encontrar os produtos: A B e B A. (f) Encontrar o inverso do produto: (A B)−1 . 2. 4 pts. Dado a sistema linear: 8 9 < x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 1 = (∗) : 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 − x5 = 2 3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 − 3x5 = 3 : ; (a) Encontrar a solução completa do sistema homogêneo do (∗). (b) Encontrar a solução completa do sistema não homogêneo. (c) Encontrar a solução completa do sistema: 8 9 < x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 2 = (∗∗) : 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 − x5 = 3 3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 − 3x5 = 4 : ; 3. 2 pts. (Cabeludo) Dado as matrizes: 0 1 1 2 3 4 B 4 3 2 1 C A=B C , (a, b) ∈ R2 @ a 2 3 4 A 4 3 2 b 0 1 0 a 0 0 B a 0 a 0 C B=B C, a ∈ R @ 0 a 0 a A 0 0 a 0 (a) Encontrar para quaisquer valores de a e b o determinante do A. (b) Encontrar para quaisquer valores de a e b o posto do A. (c) Encontrar para qualquer valor de a o determinante do B. (d) Para quais valores de a o matriz B tem inverso? Para estes valores, encontrar o inverso. 2 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 3. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 27/05/2009 Semestre: Curso: Engenharia de Computação Disciplina: Álgebra Linear Prova: II 1. 2 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 ), em R5 : v1 = (1, 1, 1, 1, 1)T v2 = (1, −1, 1, −1, 1)T v3 = (3, −1, 3, −1, 3)T v4 = (0, 1, 0, 1, 0)T (a) Mostre que: V = ger(v1 , v2 ) = ger(v3 , v4 ). Qual a dimensão do V ? (b) Escreve v1 e v2 como combinações lineares de v3 e v4 . (c) Escreve v3 e v4 como combinações lineares de v1 e v2 . 2. 6 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 ), em R4 : v1 = (1, 1, 1, 1)T v2 = (1, −1, 1, −1)T v3 = (1, 1, −1, −1)T v4 = (1, −1, −1, 1)T (a) Mostre que os vi ’s são mutualmente ortogonais, isto é: vi · vj = 0 por i = j. (b) Encontrar um base ortonormal de R4 , (d1 , d2 , d3 , d4 ), tal que: di = ci vi . (c) Encontrar uma relação matricial entre os coordenados em relação aos ei ’s (antigos), xA , e os coordenados em relação aos di ’s (novos), xN : xA = D xN (d) Encontrar uma relação matricial entre os coordenados novos, xN , e os coordenados antigos, xA : xN = D xA −1 T (e) Justificar que vale: D = D = D = D. (f) Encontrar os coordenados dos vetores: w1 = (−1, 1, −1, 1)T w2 = (1, 2, 3, 4)T em relação ao base novo, (d1 , d2 , d3 , d4 ). 3. 2 pts. (Cabeludo?) Ortogonalização de Graham-Schmidt Dado os vetores em R3 : v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, −1, 1)T v3 = (1, 1, −1)T (a) Mostre que v1 , v2 , v3 não são mutualmente ortogonais. (b) Mostre que v1 , v2 , v3 são linearmente independentes. (c) Escolhendo: d1 = v1 e d2 = v2 + αd1 , mostre que por: d1 · v2 α=− d1 · d1 obtemos um vetor, d2 ⊥ d1 . Encontrar d2 . (d) Escolhendo: d3 = v3 + βd1 + γd2 , mostre que por: d1 · v 3 d2 · v 3 β=− γ=− d1 · d1 d2 · d2 obtemos um vetor, d3 ⊥ d1 e d3 ⊥ d2 . Encontrar d3 . 3 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 4. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 05/06/2009 Semestre: Curso: Engenharia de Computação Disciplina: Álgebra Linear Prova: II - 2a chamada 1. 2 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 ), em R5 : v1 = (1, 2, 2, 2, 1)T v2 = (1, 0, 0, 0, 1)T v3 = (2, 2, 2, 2, 2)T v4 = (0, 1, 1, 1, 0)T (a) Mostre que: V = ger(v1 , v2 ) = ger(v3 , v4 ). Qual a dimensão do V ? (b) Escreve v1 e v2 como combinações lineares de v3 e v4 . (c) Escreve v3 e v4 como combinações lineares de v1 e v2 . 2. 3 pts. Qual a dimensão dos conjuntos gerados de: (a) f1 (x) = x(1 − x), f2 (x) = x(1 + x), f3 (x) = x(1 − x2 ) e f4 (x) = x(3 − x2 ). (b) v1 = (1, −1, −1, −1)T , v2 = (1, 1, −1, −1)T , v3 = (1, 1, 1, −1)T , v4 = (1, 1, 1, 1)T , v5 = (0, 0, 1, 1)T . „ « „ « „ « „ « 1 3 −2 1 5 3 1 1 (c) A1 = , A2 = , A3 = , A4 = . 2 2 3 −4 1 2 1 0 3. 3 pts. Dado os vetores em R3 : v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, 1, 0)T v3 = (1, 0, 1)T (a) Mostre que (v1 , v2 , v3 ) formam uma base em R3 . (b) Encontrar uma relação matricial expressando os coordenados em relação ao base (v1 , v2 , v3 ), em termos dos coordenados em relação ao base canônica, (i, j, k). (c) Encontrar os coordenados em relação ao base (v1 , v2 , v3 ) dos vetores: w1 = (1, 2, 3)T e w2 = (3, 2, 1)T 4. 2 pts. Considere os vetores do exercísio anterior: v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, 1, 0)T v3 = (1, 0, 1)T (a) Definindo: d1 = v1 e d2 = d1 × v2 . Encontrar d1 e d2 . Mostrar que d1 e d2 são ortogonais. (b) Definindo: d3 = d1 × d2 . Encontrar d3 . Mostrar que d1 é ortogonal em d1 e d2 . (c) Encontrar uma base ortonormal de R3 , cuja os eixos são paralelos com os vetores d1 , d2 e d3 . Encontrar o matriz deste substituição ortonormal, M. Demostrar que M−1 = MT e encontrar seu determinante. (d) Encontrar neste base os coordenados dos vetores: w1 = (0, 1, 1)T e w2 (0, 0, 1)T . 4 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 5. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 17/06/2009 Semestre: Curso: Engenharia Civil Disciplina: Álgebra Linear Prova: II 1. 2 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 ), em R5 : v1 = (1, 2, 2, 2, 1)T v2 = (1, 0, 0, 0, 1)T v3 = (2, 2, 2, 2, 2)T v4 = (0, 1, 1, 1, 0)T (a) Mostre que: V = ger(v1 , v2 ) = ger(v3 , v4 ). Qual a dimensão do V ? (b) Escreve v1 e v2 como combinações lineares de v3 e v4 . (c) Escreve v3 e v4 como combinações lineares de v1 e v2 . 2. 3 pts. Qual a dimensão dos conjuntos gerados de: (a) f1 (x) = x(1 − x), f2 (x) = x(1 + x), f3 (x) = x(1 − x2 ) e f4 (x) = x(3 − x2 ). (b) v1 = (1, −1, −1, −1)T , v2 = (1, 1, −1, −1)T , v3 = (1, 1, 1, −1)T , v4 = (1, 1, 1, 1)T , v5 = (0, 0, 1, 1)T . „ « „ « „ « „ « 1 3 −2 1 5 3 1 1 (c) A1 = , A2 = , A3 = , A4 = . 2 2 3 −4 1 2 1 0 3. 3 pts. Dado os vetores em R3 : v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, 1, 0)T v3 = (1, 0, 1)T (a) Mostre que (v1 , v2 , v3 ) formam uma base em R3 . (b) Encontrar uma relação matricial expressando os coordenados em relação ao base (v1 , v2 , v3 ), em termos dos coordenados em relação ao base canônica, (i, j, k). (c) Encontrar os coordenados em relação ao base (v1 , v2 , v3 ) dos vetores: w1 = (1, 2, 3)T e w2 = (3, 2, 1)T 4. 2 pts. Considere os vetores do exercísio anterior: v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, 1, 0)T v3 = (1, 0, 1)T (a) Definindo: d1 = v1 e d2 = d1 × v2 . Encontrar d1 e d2 . Mostrar que d1 e d2 são ortogonais. (b) Definindo: d3 = d1 × d2 . Encontrar d3 . Mostrar que d3 é ortogonal em d1 e d2 . (c) Encontrar uma base ortonormal de R3 , cuja os eixos são paralelos com os vetores d1 , d2 e d3 . Encontrar o matriz deste substituição ortonormal, M. Demostrar que M−1 = MT e encontrar seu determinante. (d) Encontrar neste base os coordenados dos vetores: w1 = (0, 1, 1)T e w2 (0, 0, 1)T . 5 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 6. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 03/07/2009 Semestre: Curso: Engenharia Civil Disciplina: Álgebra Linear Prova: III - Chamada Extra 1. (465) 4 pts. Dado o matriz, A, de uma aplicação linear, f : R4 → R4 : 0 1 1 0 0 −3 B 2 3 0 3 C A=@ B C −2 −1 2 −3 A 0 0 0 4 (a) Mostre que o núcleo (kernel), kerf = {x ∈ R4 | A x = 0}, tem dimensão 0. (b) Encontrar autovalores e autovetores de f . (c) Mostre que é possível escolher um base de autovetores de f . (d) Encontre o matriz, B, de f ao respeito desde base. Qual a relação entre A e B? 2. (341, c) 4 pts. Dado a forma quadrática: (∗) x2 + y 2 − z 2 + 2xy (a) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que reduz (∗) em uma forma sem termos mistos: λ1 x2 + λ2 y1 + λ3 xz1 1 2 2 - onde λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 . (b) Classificar geométricalmente: x2 + y 2 − z 2 + 2xy − 2x − 4y − 1 = 0. 3. (471) 2 pts. (Projeção ortogonal.) Uma aplicação linear, f , é dado por: f (x) = (x · e)e − x onde e é um vetor de unidade dado (fixo). (a) Fazer uma figura indicando os vetores e, x e f (x). (b) Mostre que a imagem do f é perpendicular em e. √ √ 2 2 (c) Seja i e j dois vetores unitários e ortogonais. Pondo: e = 2 i + 2 j. Encontrar o matriz, A, de f em relação ao base (i, j). 6 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 7. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 08/07/2009 Semestre: Curso: Engenharia Civil e Computação Disciplina: Álgebra Linear Prova: III 1. (410) 4 pts. Em R4 são dado os vetores: d1 = (1, 2, 2, 0)T d2 = (0, 1, 1, 1)T d3 = (0, 0, 1, 1)T d4 = (1, 1, 1, 1)T (a) Mostre que d1 , d2 , d3 , d4 formam uma base em R4 . (b) Uma aplicação linear, f : R4 → R3 é dado por: f (d1 ) = (1, 1, 2)T f (d2 ) = (3, −1, 1)T f (d3 ) = (4, 0, 3)T f (d4 ) = (−5, 3, 0)T Encontrar a matriz do f em respeito ao base di em R4 e a base canônica em R3 . (c) Encontrar a matriz do f em respeito ao base canônica em R4 e R3 . (d) Encontrar a dimensão do imagem do f . (e) Dados os vetores: v1 = d1 + d2 − d3 e v2 = −d1 + 2d2 + d4 . Mostre que: kerf = x ∈ R4 | f (x) = 0 = ger(v1 , v2 ). ˘ ¯ (f) Encontrar a solução completa da equação: f (x) = f (d1 ). 2. (403) 4 pts. Dado a superfície: (∗) 3x2 − 3y 2 + 12xz + 12yz + 4x − 4y − 2z = 0 (a) Encontrar a parte linear do (∗), F1 (x, y, z). (b) Encontrar a parte quadrática do (∗), F2 (x, y, z), e escreve-a na forma matricial: rT A r. (c) Encontrar autovalores e autovetores da matriz A. (d) Encontrar uma base ortonormal, di , de autovetores da A. (e) Encontrar uma substituição ortogonal, D, e uma matriz diagonal, B, tal que: B = DT A D. (f) Transformar, usando o item anterior, F2 em uma forma quadrática sem termos mistos. (g) Encontrar F1 (x, y, z) em termos dos coordenados novos. (h) Classificar (∗) geometricalmente. 3. (442) 2 pts. Seja a e b vetores fixos em R3 que satisfaz: √ |a| = |b| = 2 a·b=1 A aplicação, f , é dado por: f (x) = a × x + (a · x)b (a) Mostrar que f é uma aplicação linear. No resto deste exercísio, pomos: c = a × b (b) Mostre a, b, c formam uma base em R3 . Mostre que o matrix ao respeito desde base é dado por: 0 1 0 0 1 A=@ 2 1 −2 A 0 1 0 Informamos, que para o produto vetorial duplo, vale: a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c (c) Encontrar autovalores e autovetores do f . (d) Encontrar a dimensão da imagem e uma base da mesma. 7 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 8. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 06/10/2009 Semestre: 2009.2 Curso: * Disciplina: Álgebra Linear Prova: I 1. (390) 4 pts. Dado o matriz: 0 1 2−λ −1 −1 A = @ −1 2−λ −1 A , λ ∈ R −1 −1 2−λ (a) Encontrar det A para qualquer valor de λ. (b) Para quais valores de λ A é singular? (c) Para λ = 1 encontrar o matriz adjunto de A. (d) Para λ = 2 encontrar o matriz inversa de A. (e) Para λ = 0 resolver o sistema homogêneo (1) : A x = 0. Encontrar a dimensão e uma base desde espaço solucional. (f) Para λ = 3 resolver o sistema homogêneo (2) : Ax = 0. Encontrar a dimensão e uma base desde espaço solucional. (g) Mostre que qualquer vetor do espaço solucional de (1) é ortogonal em qualquer vetor do espaço solucional de (2). 2. (387) 2 pts. Dado os vetores: a1 = (0, 1, 2, 2, 0)T a2 = (1, 1, 4, 0, 0)T a3 = (1, 2, 6, 2, 1)T a4 = (−1, 2, 2, 6, −1)T (a) Mostrar que a1 , a2 , a3 são linearmente independentes. (b) Escrever a4 como uma combinação linear de a1 , a2 , a3 3. (371) 4 pts. Dado o matriz e o vetor:: 0 1 0 1 1 0 −a 0 0 B 0 1 0 2 C B b C C, a ∈ R A=@ @ 0 A, b ∈ R B B C −1 0 1 0 A 0 1+a 0 1 b Considerando o sistema linear: (∗) A x = b (a) Encontrar det A para qualquer a ∈ R. (b) Encontrar o posto do matriz A para qualquer a ∈ R. (c) Encontrar o posto do matriz total do sistema (∗) para qualquer a, b ∈ R e no cada caso a dimensão do espaço solucional. (d) Resolver o sistema (∗) para quaisquer a, b ∈ R. 8 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 9. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 13/10/2009 Semestre: 2009.2 Curso: Estatística Disciplina: Álgebra Linear Prova: I - 2a Chamada 1. 4 pts. Dado o matriz, A, e o vetor, b: 0 1 0 1 1 a−1 2 a+2 a+b B 1 2a 0 a C B 2a + b C A=B C, b=B C @ 0 −a − 1 2a + 2 0 A @ 0 A 2 0 2a + 2 4a − 4 a +a−8 4a + ab + b E o sistema linear: (∗) : Ax=b (a) Encontrar o posto da matriz coefficiente, A, por qualquer valor de a ∈ R. (b) Encontrar o posto da matriz augmentada, T = (A|b), por quaisquer valores de a, b ∈ R. (c) Encontrar os valores (a, b) tal que o sistema (∗) não tem solução. (d) Encontrar os valores (a, b) tal que o sistema (∗) tem solução única. (e) Encontrar os valores (a, b) tal que o sistema (∗) tem infinitas solução. (f) Resolver o sistema (∗) para (a, b) = (−1, 1). Identificar nesta solução a solução completa do sistema homogênea (SCSH) e uma solução particular do sistema inhomogênea (SPSñH). 2. 3 pts. Dado os vetores: a1 = (1, −1, 2, 1)T a2 = (0, 1, 1, 3)T a3 = (1, −2, 2, −1)T a4 = (0, 1, −1, 3)T a5 = (1, −2, 2, −3)T (a) Mostre que a1 , a2 , a3 , a4 formam uma base de R4 . (b) Encontrar os coordenados do vetor a5 neste base. (c) Encontrar os coordenados dos vetores a1 , a2 , a3 , a4 neste base. (d) Encontrar os coordenados dos vetores a1 , a2 , a3 , a4 no base canônica. 3. 3 pts. Dado os matrices: 0 1 „ « 1 1 1 0 2 2 A= , B = @ −1 1 1 A −2 0 2 −1 −1 1 (a) Mostre que B é regular. (b) Encontrar B−1 . (c) Resolver a equação matricial: X B = A. 9 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 10. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 16/10/2009 Semestre: 2009.2 Curso: Física Disciplina: Álgebra Linear Prova: I - 2a Chamada 1. 4 pts. Dado o matriz, A, e o vetor, b: 0 1 0 1 1 1 2a a 1 B 1 a 2a 1 C B 1 C A=B @ 1 C, b=B C 1 a 2a A @ 1 A 1 a a 2a a E o sistema linear: (∗) : Ax=b (a) Encontrar o posto da matriz coefficiente, A, por qualquer valor de a ∈ R. (b) Encontrar o posto da matriz aumentada, T = (A|b), por qualquer valores de a ∈ R. (c) Encontrar os valores a tal que o sistema (∗) não tem solução. (d) Encontrar os valores a tal que o sistema (∗) tem solução única. (e) Encontrar os valores a tal que o sistema (∗) tem infinitas soluções. (f) Resolver o sistema (∗) para a = 1. (g) Identificar na solução do item anterior a solução completa do sistema homogênea (SCSH) e uma solução particular do sistema inhomogênea (SPSñH). 2. 3 pts. Dado os vetores: a1 = (1, 0, −1)T a2 = (1, 1, 1)T a3 = (1, −1, 1)T (a) Mostre que a1 , a2 , a3 formam uma base de R3 . (b) Encontrar uma equação expressando coordenados em relação à base a1 , a2 , a3 , em termos dos coordenados em relação à base canônica em R3 . (c) Encontrar os coordenados dos vetores básicos da base canônica em R3 , na base a1 , a2 , a3 . 3. 3 pts. Dado a matriz: 0 1 0 1 1 A=@ 1 −1 0 A 1 0 1 (a) Mostre que A é singular. (b) Resolver a sistema homogênea: A x = 0. (c) Resolver a equação matricial: A X = A2 . Hint: Pode ser conveniente usar, que X = A é uma solução particular da equação matricial. 10 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 11. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 19/10/2009 Semestre: 2009.2 Curso: Engenharia Mecânica Disciplina: Álgebra Linear Prova: I - 2a Chamada 1. 4 pts. Dado as matrizes, A e B: 0 1 0 1 1 1 −1 1 −1 B 0 a 1 C B −2 2 C A=B C, b=B C @ 2 a+2 a−2 A @ b b A 1 a+1 a−1 b−1 2b + 1 E a equação: (∗) : AX=B (a) Encontrar o posto da matriz coefficiente, A, por qualquer valor de a ∈ R. (b) Encontrar o posto da matriz augmentada, T = (A|B), por quaisquer valores de (a, b) ∈ R2 . (c) Encontrar os valores (a, b) tal que a equação (∗) não tem solução (incompatível). (d) Encontrar os valores (a, b) tal que a equação (∗) tem solução única (determinado). (e) Encontrar os valores (a, b) tal que a equação (∗) tem infinitas soluções (indeterminado). (f) Resolver a equação (∗) para (a, b) = (2, 0). 2. 3 pts. Dado as matrizes: 0 1 0 1 1 −2 0 −1 0 0 A=@ 0 1 1 A, B=@ 0 2 0 A 1 −2 1 0 0 3 (a) Encontrar A−1 . (b) Encontrar B−1 . (c) Encontrar (A B)−1 . 3. 3 pts. Dado os vetores: 1 1 1 1 d1 = (1, 1, 1, 1)T d2 = (−1, 1, −1, 1)T d3 = (−1, −1, 1, 1)T d4 = (−1, 1, 1, −1)T d5 = (1, 2, 1, 2)T 2 2 2 2 (a) Mostre que (d1 , d2 , d3 , d4 ) formam uma base ortonormal em R4 . (b) Encontrar os coordenados do vetor d5 em relação a base (d1 , d2 , d3 , d4 ). (c) Encontrar os coordenados dos vetores da base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 ), em relação a base (d1 , d2 , d3 , d4 ). 11 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 12. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 08/12/2009 Semestre: 2009.2 Curso: Física Disciplina: Álgebra Linear Prova: II - 1a Chamada 1. 4 pts. Dado a forma quadrática: F2 (x, y, z) = 6y 2 + 12xz (a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x) = xT A x, onde x = (x, y, z). (b) Encontrar os autovalores do A. (c) Encontrar os autovetores do A. (d) Encontrar uma base ortonormal de autovetores do A. (e) Encontrar uma matriz ortogonal,D, e uma matriz diagonal, B, tal que: B = D−1 A D. (f) Com este substituição ortogonal, encontre uma relação entre os coordenados novos, x , e os coordenados antigos, x, e vice-versa. (g) Encontrar F2 (x ) = F2 (x). (h) Classifique a superfície: 6y 2 + 12xz + 2x − 2y + 2z = 3 2. 2 pts. Dado a matriz: 0 1 2 −1 2 A = @ −1 5 −1 A 2 −1 2 E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x. (a) Encontrar o núcleo de f e sua dimensão. (b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem da f . (c) Pondo, d = (1, 2, 1)T , encontrar a solução completa de: f (x) = f (d). 3. 2 pts. Dado a matriz: „ √ « 10 √ −2 3 A= −2 3 6 „ « x E uma função bilinear: g(x, y) = (x y)A . y (a) Encontrar os autovalores e autovetores do A. (b) Mostre que g(x, y) define um produto interno em R2 . (c) Dado o vetor v1 = (1, −1)T , encontrar um vetor, v2 ortogonal ao v1 ao respeito de g. (d) Encontrar uma base ortonormal ao respeito do produto interno g. 12 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 13. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 08/12/2009 Semestre: 2009.2 Curso: Estatística Disciplina: Álgebra Linear Prova: II - 1a Chamada 1. 4 pts. Dado a forma quadrática: F2 (x, y, z) = 4z 2 + 8xy (a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x) = xT A x, onde x = (x, y, z). (b) Encontrar os autovalores do A. (c) Encontrar os autovetores do A. (d) Encontrar uma base ortonormal de autovetores do A. (e) Encontrar uma matriz ortogonal,D, e uma matriz diagonal, B, tal que: B = D−1 A D. (f) Com este substituição ortogonal, encontre uma relação entre os coordenados novos, x , e os coordenados antigos, x, e vice-versa. (g) Encontrar F2 (x ) = F2 (x). (h) Classifique a superfície: 4z 2 + 8xy + 2x − 2y = 3 2. 2 pts. Dado a matriz: 0 1 1 0 −1 A=@ 1 1 1 A −1 1 3 E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x. (a) Encontrar o núcleo de f e sua dimensão. (b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem da f . (c) Pondo, d = (1, −1, 0)T , encontrar a solução completa de: f (x) = f (d). 3. 2 pts. Dado a matriz: „ √ « 7 √ − 3 A= − 3 5 „ « x E uma função bilinear: g(x, y) = (x y)A . y (a) Encontrar os autovalores e autovetores do A. (b) Mostre que g(x, y) define um produto interno em R2 . (c) Dado o vetor v1 = (1, −1)T , encontrar um vetor, v2 ortogonal ao v1 ao respeito de g. (d) Encontrar uma base ortonormal ao respeito do produto interno g. 13 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 14. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 15/12/2009 Semestre: 2009.2 Curso: Física Disciplina: Álgebra Linear Prova: II - 2a Chamada 1. 3 pts. Dado os vetores: 0 1 1 0 0 1 1 1 1 v1 = @ 1 A v2 = @ 0 A v3 = @ 1 A 1 1 0 Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado por: f (v1 ) = v2 − v3 f (v2 ) = v1 − v3 f (v3 ) = v2 − v1 (a) Mostre que os vetores vi formam uma base em R3 . (b) Encontrar o matriz de f na base vi . (c) Encontrar o matriz de f na base canônica, ei . 2. 2 pts. Dado a matriz: 0 1 2 −2 1 A = @ −2 5 −2 A 1 −2 2 E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x. (a) Encontrar autovalores e autovetores do A. (b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da A e o matriz de f neste base. 3. 3 pts. Dado a forma quadrática: √ F (x, y) = 7x2 − 2 3xy + 5y 2 „ « x (a) Encontrar uma matriz simétrica, A, tal que: F (x, y) = (x y) A . y (b) Encontrar autovetores e autovalores da A. (c) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que transforma F em uma forma sem o termo xy. √ (d) Classificar a curva: 7x2 − 2 3xy + 5y 2 + x = 4. 14 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 15. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 15/12/2009 Semestre: 2009.2 Curso: Estatística Disciplina: Álgebra Linear Prova: II - 2a Chamada 1. 3 pts. Dado os vetores: 0 1 0 1 0 1 1 1 1 v1 = @ −1 A v2 = @ 0 A v3 = @ −1 A −1 −1 0 Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado por: f (v1 ) = v3 − v2 f (v2 ) = v3 − v1 f (v3 ) = v1 − v2 (a) Mostre que os vetores vi formam uma base em R3 . (b) Encontrar o matriz de f na base vi . (c) Encontrar o matriz de f na base canônica, ei . 2. 2 pts. Dado a matriz: 0 1 5 −4 −4 A = @ −4 5 −4 A −4 −4 5 E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x. (a) Encontrar autovalores e autovetores do A. (b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da A e o matriz de f neste base. 3. 3 pts. Dado a forma quadrática: √ F (x, y) = 7x2 + 2 3xy − 5y 2 „ « x (a) Encontrar uma matriz simétrica, A, tal que: F (x, y) = (x y) A . y (b) Encontrar autovetores e autovalores da A. (c) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que transforma F em uma forma sem o termo xy. √ (d) Classificar a curva: 7x2 + 2 3xy − 5y 2 − y = 4. 15 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 16. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 15/12/2009 Semestre: 2009.2 Curso: Estatística Disciplina: Álgebra Linear Prova: II - 2a Chamada 1. 3 pts. Dado os vetores: 0 1 0 1 0 1 1 1 1 v1 = @ −1 A v2 = @ 0 A v3 = @ −1 A −1 −1 0 Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado por: f (v1 ) = v3 − v2 f (v2 ) = v3 − v1 f (v3 ) = v1 − v2 (a) Mostre que os vetores vi formam uma base em R3 . (b) Encontrar o matriz de f na base vi . (c) Encontrar o matriz de f na base canônica, ei . 2. 2 pts. Dado a matriz: 0 1 5 −4 −4 A = @ −4 5 −4 A −4 −4 5 E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x. (a) Encontrar autovalores e autovetores do A. (b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da A e o matriz de f neste base. 3. 3 pts. Dado a forma quadrática: √ F (x, y) = 7x2 + 2 3xy − 5y 2 „ « x (a) Encontrar uma matriz simétrica, A, tal que: F (x, y) = (x y) A . y (b) Encontrar autovetores e autovalores da A. (c) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que transforma F em uma forma sem o termo xy. √ (d) Classificar a curva: 7x2 + 2 3xy − 5y 2 − y = 4. 16 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 17. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 23/03/2010 Semestre: 2010.1 Curso: Matemática Disciplina: Álgebra Linear Prova: I 1. 2 pts. Dado a matriz: „ « 1 1 a A= , a∈R −a −1 1 (a) Encontrar o posto do A para todo a ∈ R. „ « 0 (b) Resolver a equação: A x = para todo a ∈ R. 0 0 1 0 T (c) Resolver a equação: A x = @ b A para todo b ∈ R. 0 (d) Identifique a solução completa do sistema homogênea (SCSH) e uma solução particular do sistema não homogênea (SPSñH) no item anteriror. 2. 2 pts. Com o matriz no item anterior pomos: B1 = AT A B2 = A AT (a) Calcular B1 e B2 . (b) Calcular os determiantes det B1 e det B2 . (c) Calcular as adjuntas B∗ e B∗ . 1 2 (d) Justifique que o produto de uma matriz com sua transposta é uma matriz simétrica. 3. 3 pts. (a) Mostre que o determinante de ordem n > 1: ˛ ˛ ˛ b a 0 0 ... 0 0 0 0 ˛ ˛ ˛ ˛ a b a 0 ... 0 0 0 0 ˛ ˛ ˛ ˛ 0 a b a ... 0 0 0 0 ˛ ˛ ˛ ˛ 0 0 a b ... 0 0 0 0 ˛ ˛ ˛ An = ˛ ˛ . . .. . . ˛ ˛ . . . ˛ ˛ ˛ 0 0 0 0 ... b a 0 0 ˛ ˛ ˛ ˛ 0 0 0 0 ... a b a 0 ˛ ˛ ˛ ˛ 0 0 0 0 ... 0 a b a ˛ ˛ ˛ ˛ 0 0 0 0 ... 0 0 a b ˛ satisfaz a fórmula de recursão: An = bAn−1 − a2 An−2 , n ≥ 3. (b) Pondo A1 = b, encontrar A3 . (c) Encontrar a determinante: ˛ ˛ ˛ 2−λ −1 0 0 ˛ ˛ ˛ ˛ −1 2−λ −1 0 ˛ A=˛ ˛ ˛ 0 ˛ −1 2−λ −1 ˛ ˛ ˛ 0 0 −1 2−λ ˛ 17 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 18. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter 4. 3 pts. Dado a matriz: 0 1 α α 0 1 B 2α 2α α 1 C A=B @ 2α C, α∈R 3α 0 1 A 1 1 0 0 (a) Encontrar o posto do A por todo α ∈ R. (b) Por quais valores α ∈ R A é regular? Por estes valores, encontrar a inversa. (c) Resolver a sistema: 1 0 1 B a C Ax=B C @ b A 0 para todos α, a, b ∈ R. 18 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 19. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 30/03/2010 Semestre: 2010.1 Curso: Matemática Disciplina: Álgebra Linear Prova: I, 2a Chamada 1. 4 pts. Dado a matriz: 0 1 0 −a 0 a B a 0 a 0 C A=B C, a∈R @ 0 −a 0 −a A −a 0 a 0 (a) Por quais valores A é regular? Para estas valores, encontrar a inversa: A−1 . (b) Por quais valores A é ortogonal, isto é: A−1 = AT ? (c) Encontrar a matriz adjunta: A∗ . (d) Resolver a equação matricial: A X = 0, onde 0 ∈ M 4,4 . 2. 4 pts. Dado os planos em R3 : (α) : x + y − 2z = 0 (β) : 2x − y + (3a − 4)z = 3 (γ) : ay − z = 1 (a) Para quais valores de a ∈ R os planos α, β e γ tem uma reta em comum? (b) Para quais valores de a ∈ R os planos α, β e γ tem um ponto em comum? (c) Para quais valores de a ∈ R os planos α, β e γ nenhum ponto em comum? (d) Para a = 1 encontrar a intersecção: α ∩ β. (e) Para a = 1 encontrar a intersecção: β ∩ γ. (f) Para a = 1 encontrar a intersecção: γ ∩ α. 3. 2 pts. Dado a matriz: a2 − a 0 1 1 0 0 B a a 1 a3 − 2a2 + a C A=B C, a∈R @ −1 3a 0 2a2 − 2a A 3 a 2a 1 a −a (a) Encontrar o posto ρA para todo a ∈ R. (b) Por todo a ∈ R resolver a equação matricial: A X = A. 19 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 20. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 06/04/2010 Semestre: 2010.1 Curso: Engenharia de Alimentos Disciplina: Álgebra Linear Prova: I 1. 2 pts. Calcular os determinantes: (a) ˛ ˛ ˛ ˛ 1 2 3 4 ˛ ˛ ˛ ˛ 2 1 2 1 ˛ ˛ ˛ ˛ 0 0 1 1 ˛ ˛ ˛ 3 4 1 2 ˛ (b) ˛ ˛ ˛ ˛ 0 3 1 1 ˛ ˛ ˛ ˛ 1 2 3 2 ˛ ˛ ˛ ˛ 2 4 5 7 ˛ ˛ ˛ 1 0 0 3 ˛ 2. 3 pts. Dado a matriz e os vetores: 0 1 0 1 0 1 1 1 −1 0 0 1 1 B B 0 1 1 −1 0 C C B B 1 C C B B 0 C C A=B B 0 0 1 1 −1 C C b1 = B B 1 C C b2 = B B 0 C C @ 0 −1 1 1 0 A @ 1 A @ 0 A 0 0 −1 1 1 1 0 (a) Mostre que a matriz A é regular. (b) Resolver o sistema A x = b1 . (c) Resolver o sistema A x = b2 . 3. 2 pts. Considerando a matriz: 0 1 0 1 0 0 B 1 0 1 0 C A=@ B C 0 1 0 1 A 0 0 1 0 (a) Encontrar det A. (b) Encontrar a matriz inversa: A−1 . (c) Encontrar a matriz adjunta: A∗ . 4. 3 pts. Dado as matrizes: 0 1 0 1 1 1 0 −1 −2 5 B 1 1 1 −1 C B −2 −4 C A=@ B C B=@ B C −1 −1 0 2 A 3 0 A 1 1 2 2 1 2 (a) Encontrar o posto da A. (b) Resolver o sistema matricial: A X = B. (c) Indicar no item anterior a solução completa do sistema homogênea e uma solução particular do sistema não- homogênea. 20 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 21. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 14/05/2010 Semestre: 2010.1 Curso: Engenharia de Alimentos Disciplina: Álgebra Linear Prova: II 1. 4 pts. Dados os vetores em R4 : 0 1 0 1 01 0 1 0 1 1 0 0 1 1 B 1 C B 1 C B 0 C B 0 C B 1 C d1 = B C @ 0 A d2 = B C @ 1 A d3 = B C @ 1 A d4 = B C @ 0 A d5 = B C @ 1 A 0 0 1 2 1 (a) Mostre que os vetores d1 , d2 , d3 , d4 formam uma base em R4 . (b) Encontre uma relação entre as coordenadas em relação a base canônica e a base (d1 , d2 , d3 , d4 ). (c) Encontre as coordenadas do vetor d5 na base (d1 , d2 , d3 , d4 ). (d) Encontre as coordenadas antigas dos vetores básicos novos. (e) Encontre as coordenadas novas dos vetores básicos antigos. 2. 2 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz: 0 1 0 1 1 A=@ 1 −1 0 A 1 0 1 (a) Encontrar o núcleo e a sua dimensão. (b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem, f (R3 ). (c) Encontrar o conjunto: {x ∈ R3 | f (x) = (0, 1, 1)}. (d) f tem inversa? 3. 4 pts. Dados os vetores em R4 : 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 −1 −1 B 2 C B 0 C B 1 C B 0 C v1 = B @ 4 A C v2 = B @ 3 A C v3 = B C @ −3 A v4 = B C @ −3 A −2 −2 5 1 e uma aplicação linear, f : R4 → R4 : f (v1 ) = v1 + v2 , f (v2 ) = −v1 + v2 , f (v3 ) = v3 + v4 , f (v4 ) = −v3 + v4 4 (a) Mostrar que os vetores v1 , v2 , v3 , v4 formam uma base em R . (b) Encontrar a matriz, A, em relação a base canônica (no domínio e na imagem). (c) Encontrar a matriz, B, em relação da base (v1 , v2 , v3 , v4 ) (no domínio e na imagem). (d) Sendo U = ger(v1 , v2 ), mostre que f (U ) = U . (e) Sendo V a matriz contendo os vetores v1 , v2 , v3 , v4 em colunas, mostre: B = V−1 A V. 21 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 22. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 19/05/2010 Semestre: 2010.1 Curso: Matemática Disciplina: Álgebra Linear Prova: II 1. 5 pts. Uma aplicação linear, f : R4 → R4 é dado por sua matriz:: 0 1 2 −1 0 −1 B −1 2 −1 0 C A=@ B C 0 −1 2 −1 A −1 0 −1 2 Considerando os vetores: 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1B 1 C 1B 1 C 1 B −1 C 1 B −1 C v1 = B C v2 = B C v3 = B C v4 = B C 2@ 1 A 2 @ −1 A 2@ 1 A 2 @ −1 A 1 −1 −1 1 (a) Mostre que os vetores v1 , v2 , v3 , v4 formam uma base em R4 . (b) Mostre que vale: f (vi ) = λi vi , i = 1, 2, 3, 4. Encontre os λi ’s. (c) Uma base, vi , é chamado ortonormal, se:  0, i=j vi · vj = δij = 1, i=j Mostre que os vi ’s formam uma base ortonormal em R4 . (d) Organizando os vetores vi como colunas numa matriz, V, mostre: V−1 = VT . (e) Encontre uma relação entre coordenadas em relação a base canônica e coordenadas em relação a base vi . (f) Mostre que B = V−1 A V é diagonal. Quais os valores na sua diagonal? 2. 3 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz: 0 1 1 0 2 A=@ 0 −1 2 A 2 2 0 (a) Encontrar o núcleo, ker f , e a sua dimensão. Mostrar que d1 = 1 (−2, 2, 1)T ∈ ker f . 3 (b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem, Imf . (c) Mostrar que os vetores d2 = 1 (2, 1, 2) e d3 = 3 (1, 2, −2) formam uma base ortonormal da imagem. 3 1 (d) Mostrar que: ker f ⊥ Imf . 3. 2 pts. Consideramos a aplicação e os vetores introduzidos no questão 2. (a) Mostre que os vetores d1 , d2 , d3 formam uma base ortonormal em R3 . (b) Encontrar as imagens: f (di ) em relação a base canônica. (c) Encontrar as imagens: f (di ) em relação a base di . (d) Encontrar a matriz do f usando a base di no domínio e na imagem. 22 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 23. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 01/06/2010 Semestre: 2010.1 Curso: Matemática Disciplina: Álgebra Linear Prova: II, 2a chamada 1. 6 pts.Dado os vetores: 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 B 2 C B 1 C B 0 C B 1 C v1 = B C @ 2 A v2 = B C @ 1 A v3 = B C @ 1 A v4 = B C @ 1 A 0 1 1 1 (a) Mostre que os vetores (vi ) formam uma base de R4 . (b) Encontrar uma relação expressando as coordenadas em relação a base canônica, em termo das coordenadas em relação a base (vi ). (c) Uma aplicação linear, f : R4 → R3 , é dado por: 0 1 0 1 0 1 0 1 1 3 4 −5 f (v1 ) = @ 2 A f (v2 ) = @ −1 A f (v3 ) = @ 0 A f (v4 ) = @ 3 A 2 1 3 0 Encontrar o matriz, A , da f usando base canônica em R3 e base (vi ) em R4 . (d) Encontrar o matriz, A, da f usando base canônica em R4 e R3 . (e) Encontrar a dimensão da imagem, f (R4 ). (f) Dado os vetores: d1 = v1 + v2 − v3 e d2 = −v1 + 2v2 − v4 . Mostre que d1 e d2 gera o núcleo da f . (g) Encontrar, em termos de v1 , v2 , v3 , v4 , todas as vetores que satisfaz: f (x) = f (v1 ). 2. 2 pts. Sendo v1 , v2 uma base em C2 , uma aplicação linear, f , é dado por: f (v1 ) = v1 + 2v2 f (v2 ) = iv1 + v2 (a) Encontrar a matriz, A, da f em relação a base v1 , v2 . (b) Mostre que os vetores: w1 = v1 + v2 e w2 = v1 − v2 formam uma base de C2 . (c) Encontrar a matriz, B, da f em relação a base w1 , w2 . 3. 2 pts.Dado a matriz: 0 1 5 1 −1 A = @ −4 1 2 A 4 0 −1 (a) Encontrar as imagens dos vetores: v1 = (1, −1, 1)T e v2 = (1, −2, 2)T . (b) Encontrar um vetor, v3 , tal que: f (v3 ) = v2 + v3 . (c) Encontrar a matriz da f em relação a base v1 , v2 , v3 . 23 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 24. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 24/06/2010 Semestre: 2010.1 Curso: Engenharia de Alimentos Disciplina: Álgebra Linear Prova: III 1. 3 pts. Dado a matriz: „ « 1 a A= a 1 Onde a = 0. (a) Encontrar os autovalores da A. (b) Encontrar os autovetores da A. (c) A matriz A é similar com uma matriz diagonal? Caso sim, qual? (d) Os autovetores da A são ortogonais? Justifique! 2. 4 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz: 0 1 6 −4 −4 A = @ −4 6 −4 A −4 −4 6 (a) Encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A. (b) Encontrar o núcleo da matriz A. (c) Mostre que A é diagonalizável. (d) Encontre uma matriz diagonal, B, e uma matriz ortogonal, D, tal que B = D−1 A D. 3. 3 pts. Dado a forma quadrática: F (x, y, z) = 6x2 + 6y 2 + 6z 2 − 8xy − 8xz − 8yz (a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x, y, z) = xT A x. (b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da matriz A, e uma relação entre as coordenadas novas, (x , y , z ), e as coordenadas antigas, (x, y, z). (c) Encontrar a matriz, B, neste base. Encontre também a forma quadrática transformada: F (x , y , z ) = F (x, y, z). (d) Classifique a superfície definida por: F (x, y, z) = 4, fornecendo tipo, centro e semi-eixo(s). Superfícies quadráticas em R3 : I: Elipsóide, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c: (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 2 + 2 + =1 a b c2 II: Hiperbolóide 1 folha, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c: (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 + − =1 a2 b2 c2 Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R. III: Hiperbolóide 2 folhas, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c: (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 − − =1 a2 b2 c2 24 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 25. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R. IV: Cone quadrático, centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c: (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 2 − 2 − =0 a b c2 V: Parabolóide eliptica, centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b: (x − x0 )2 (y − y0 )2 + = z − z0 a2 b2 VI: Parabolóide hiperbólica (sela), centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b: (x − x0 )2 (y − y0 )2 − = z − z0 a2 b2 25 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 26. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 24/06/2010 Semestre: 2010.1 Curso: Matemática Disciplina: Álgebra Linear Prova: III 1. 3 pts. Dado a matriz: „ « 1 a A= a 1 Onde a ∈ R. (a) Encontrar os autovalores da A para todo a ∈ R. (b) Encontrar os autovetores da A para todo a ∈ R. (c) A matriz A é similar com uma matriz diagonal? Caso sim, qual? (d) Os autovetores da A são ortogonais? Justifique! 2. 4 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz: 0 1 3 −4 −4 A = @ −4 3 −4 A −4 −4 3 (a) Encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A. (b) Encontrar o núcleo da matriz A. (c) Mostre que A é diagonalizável. (d) Encontre uma matriz diagonal, B, e uma matriz ortogonal, D, tal que B = D−1 A D. 3. 3 pts. Dado a forma quadrática: F (x, y, z) = 3x2 + 3y 2 + 3z 2 − 8xy − 8xz − 8yz (a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x, y, z) = xT A x. (b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da matriz A, e uma relação entre as coordenadas novas, (x , y , z ), e as coordenadas antigas, (x, y, z). (c) Encontrar a matriz, B, neste base. Encontre também a forma quadrática transformada: F (x , y , z ) = F (x, y, z). (d) Classifique a superfície definida por: F (x, y, z) = 4, fornecendo tipo, centro e semi-eixo(s). Superfícies quadráticas em R3 : I: Elipsóide, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c: (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 2 + 2 + =1 a b c2 II: Hiperbolóide 1 folha, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c: (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 + − =1 a2 b2 c2 Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R. III: Hiperbolóide 2 folhas, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c: (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 − − =1 a2 b2 c2 26 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 27. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R. IV: Cone quadrático, centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c: (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 2 − 2 − =0 a b c2 V: Parabolóide eliptica, centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b: (x − x0 )2 (y − y0 )2 + = z − z0 a2 b2 VI: Parabolóide hiperbólica (sela), centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b: (x − x0 )2 (y − y0 )2 − = z − z0 a2 b2 27 µατ µατ ικα Made in LTEX A
  • 28. Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter Data: 29/06/2010 Semestre: 2010.1 Curso: Engenharia de Alimentos Disciplina: Álgebra Linear Prova: IV (Substituitiva) 1. 3 pts. Dado a matriz: „ « 1 2 A= 0 a (a) Encontrar os autovalores e os autovetores da A por qualquer valor do constante a ∈ R. (b) Os autovetores da A são ortogonais? Justifique! (c) Por quais valores do a ∈ R A é diagonaliável? Por estes valores, encontrar uma matriz regular, D, e uma matriz diagonal, B, tal que B = D−1 A D. 2. 4 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz: 0 1 −1 1 1 A = @ 1 −1 1 A 1 1 −1 (a) Encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A. (b) Encontrar o núcleo da matriz A. (c) Mostre que A é diagonalizável. (d) Encontre uma matriz diagonal, B, e uma matriz ortogonal, D, tal que B = D−1 A D. 3. 3 pts. Dado a forma quadrática: F (x, y, z) = −x2 − y 2 − z 2 + 2xy + 2xz + 2yz (a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x, y, z) = xT A x. (b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da matriz A, e uma relação entre as coordenadas novas, (x , y , z ), e as coordenadas antigas, (x, y, z). (c) Encontrar a matriz, B, neste base. Encontre também a forma quadrática transformada: F (x , y , z ) = F (x, y, z). (d) Classifique a superfície definida por: F (x, y, z) = 2, encontrando tipo, centro e semi-eixo(s) na base canônica. Superfícies quadráticas em R3 : I: Elipsóide, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c: (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 + + =1 a2 b2 c2 II: Hiperbolóide 1 folha, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c: (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 2 + 2 − =1 a b c2 Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R. III: Hiperbolóide 2 folhas, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c: (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 − − =1 a2 b2 c2 28 µατ µατ ικα Made in LTEX A