O documento descreve conceitos fundamentais de cálculo diferencial e análise matemática, incluindo: funções compostas de variáveis escalares e vetoriais; derivadas de funções compostas; teorema da cadeia; equações implícitas e teorema da função implícita. Contém também exercícios exemplificando esses conceitos.

1. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
C´alculo Diferencial -parte2
An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2
2013/14 - Semestre de Ver˜ao
1/43

2. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Fun¸c˜ao composta (campos
escalares)
Defini¸c˜ao
Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R e f : Df ⊆ R −→ R duas fun¸c˜oes
escalares. Define-se a fun¸c˜ao composta de f com g como
f x −→ (f ◦ g) (x) = f (g(x)))
sendo
D = {x ∈ Rn
: x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df }
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3. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios
1 Seja f (t) =
√
t e g(x, y) = x2 + y2 + 2. Calcule
(f ◦ g)(1, 3), (f ◦ g)(1, 1) e (f ◦ g)(x, y).
2 Seja f (t) = t3 e g(x, y) = x − 4y. Calcule (f ◦ g)(1, 3),
(f ◦ g)(1, 1) e (f ◦ g)(x, y).
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4. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Fun¸c˜ao composta (campos
vetoriais)
Defini¸c˜ao
Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ Rp e f : Df
⊆ Rp −→ Rm duas
fun¸c˜oes vetoriais. Define-se a fun¸c˜ao composta de f com g
como
f ◦ g : D ⊆ Rn −→ Rm
x −→ (f ◦ g)(x) = f (g(x))
sendo
D = x ∈ Rn
: x ∈ Dg ∧ g (x) ∈ Df
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5. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios
1 Seja f (u, v) = (eu, ev ) e g(x, y, z) = (x2 + 2y2 + z2, xyz).
Calcule, se existir, (f ◦ g)(1, 2, 3), (f ◦ g)(1, 1, 1),
(f ◦ g)(x, y, z) e (g ◦ f )(x, y).
2 Seja f (u, v) = (u + v, u − v, uv) e g(x, y, z) = (xy, yz).
Calcule, se existir, (f ◦ g)(1, 2, 3), (f ◦ g)(1, 1, 1),
(f ◦ g)(x, y, z) e (g ◦ f )(x, y).
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6. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Revis˜ao (Derivada da fun¸c˜ao
composta em R)
[sen(x2
)] = cos(x2
).2x
pois
[f (g(x))] = f (g(x)).g (x)
ou seja, num ponto a
[f (g(x))] (a) = f (g(a)).g (a)
desde que f seja diferenci´avel em g(a) e g em a.
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7. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Regra da cadeia
Suponhamos que f (x, y) ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel e que
x = x(u, v) e y = y(u, v) s˜ao duas fun¸c˜oes diferenci´aveis,
ent˜ao g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel
de u e v, tendo-se
∂g
∂u
=
∂f
∂x
(x(u, v), y(u, v)).
∂x
∂u
(u, v)+
∂f
∂y
(x(u, v), y(u, v)).
∂y
∂u
(u, v
∂g
∂v
=
∂f
∂x
(x(u, v), y(u, v)).
∂x
∂v
(u, v)+
∂f
∂y
(x(u, v), y(u, v)).
∂y
∂v
(u, v
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8. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios: I
1 Sejam f (u, v) = u3 + uv
com u(x, y) = xy2 e v(x, y) = x sin(y),
calcule ∂f
∂x (1, 0) e ∂f
∂y (1, 0) .
2 u(x, y, z) = x + 2y + 3z com
x(t) = t2 − 2t, y(t) = cos(1 − t) e z(t) = 1
t2 .
Calcule ∂u
∂t para t = 1.
3 Sejam f (u, v) = u2v3
com u(x, y) = x + y e v(x, y) = x2 − y2,
calcule ∂f
∂x (x, y) e ∂f
∂y (x, y).
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9. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios: II
4 Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel. Verifique que a fun¸c˜ao
z = xy + xf
x
y
satisfaz a equa¸c˜ao
x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= xy + z
5 Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel. Prove que
z = xy + f (x2
+ y2
)
satisfaz a equa¸c˜ao
y
∂z
∂x
− x
∂z
∂y
= y2
− x2
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10. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios: III
6 Seja h : IR2 −→ R uma fun¸c˜ao de classe C1(R2) e
g(s, t) = h(s2
− t2
, t2
− s2
).
1 Mostre que
t
∂g
∂s
+ s
∂g
∂t
= 0
7 Seja f uma fun¸c˜ao real de vari´avel real continuamente
diferenci´avel at´e pelo menos `a 2a ordem e seja
u = xy + f (z)
com z = y
x2 e x = 0. Mostre que
∂2u
∂y2
=
1
x4
∂2f
∂z2
.
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11. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios: IV
8 Sabendo que
ϕ(x, y) =
y2
2
+ θ
1
x
+ ln(y)
onde ϕ e θ s˜ao fun¸c˜oes de classe C2, no respectivo
dom´ınio, mostrar que:
1
x2
∂2ϕ
∂y∂x
+
1
y
∂2ϕ
∂x2
+
2
xy
∂ϕ
∂x
= 0
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12. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios: V
9 A capacidade, C, de um canal de comunica¸c˜ao, como a
linha telef´onica, para transportar informa¸c˜ao depende do
r´acio entre a for¸ca do sinal, S, e o ru´ıdo, R. Para uma
dada constante positiva k,
C = k ln 1 +
S
R
Suponha que o sinal e o ru´ıdo s˜ao dados, em fun¸c˜ao do
tempo, t em segundos, por
S(t) = 4 + cos(4πt)
e
N(t) = 2 + sin(2πt).
Quanto ´e ∂C
∂t um segundo ap´os o in´ıcio da transmiss˜ao? A
capacidade est´a a aumentar ou diminuir nesse instante?
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13. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita (TFI)
Consideremos x ∈ Rn, u ∈ R, a equa¸c˜ao F(x, u) = 0 e A um
conjunto aberto que cont´em (x0, u0). Se
F(x0, u0) = 0
F ∈ C1(A)[as der. parciais de F s˜ao cont´ınuas em A]
∂F
∂u (x0, u0) = 0
Ent˜ao, numa vizinhan¸ca V de x0, u = u(x), u ∈ C1(V ) tal que
u0 = u(x0) e F(x, u(x)) = 0.
Al´em disso,
∂u
∂xi
(x0) = −
∂F
∂xi
(x0, u0)
∂F
∂u (x0, u0)
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14. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios
1 Considere a esfera de raio 3 centrada no ponto (0, 0, 0):
x2
+ y2
+ z2
= 9
Ser´a que esta equa¸c˜ao define implicitamente z = φ(x, y)
numa vizinhan¸ca do ponto (0, 3, 0)? E do ponto (0, 0, 3)?
Calcule ∂z
∂x (0, 0).
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15. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios
1 Mostre que a equa¸c˜ao x2z + 3xz2 = 4xy define
x = φ(y, z) numa vizinhan¸ca do ponto (0, 1, 0). Calcule
∂x
∂y (1, 0).
2 Determine para que valores de k a equa¸c˜ao
x2 + yz + z2 + xz = 7 define z = φ(x, y) numa vizinhan¸ca
do ponto (2, 0, k). Calcule ∂z
∂y (2, 0).
3 Mostre que a equa¸c˜ao x2 + y2 exy = 1 define
implicitamente y como fun¸c˜ao de x, y = φ(x), na
vizinhan¸ca do ponto (0, 1).
4 Seja h(x, y) = xy + cos(x). Mostre que a equa¸c˜ao
h(x, y) = π
2 define localmente y = φ(x) numa vizinhan¸ca
do ponto π
2 , 1 . Determine ∂y
∂x
π
2 .
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16. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Vimos atr´as que para uma fun¸c˜ao z = f (x, y) diferenci´avel em
(a, b) existe um plano tangente definido pela equa¸c˜ao
z − f (a, b) =
∂f
∂x
(a, b)(x − a) +
∂f
∂y
(a, b)(y − b)
Consideremos que se tem uma equa¸c˜ao
F(x, y, z) = 0
que define implicitamente z como fun¸c˜ao de x e y na
vizinhan¸ca de um ponto (a, b, c) ent˜ao,
∂f
∂x
(a, b) = −
∂F
∂x (a, b, c)
∂F
∂z (a, b, c)
e
∂f
∂y
(a, b) = −
∂F
∂y (a, b, c)
∂F
∂z (a, b, c)
.
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17. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Substituindo na equa¸c˜ao do plano tangente:
z − f (a, b) = −
∂F
∂x (a, b, c)
∂F
∂z (a, b, c)
(x − a) −
∂F
∂y (a, b, c)
∂F
∂z (a, b, c)
(y − b)
∂F
∂x (a, b, c)
∂F
∂z (a, b, c)
(x − a) +
∂F
∂y (a, b, c)
∂F
∂z (a, b, c)
(y − b) + z − c = 0
∂F
∂x
(a, b, c)(x −a)+
∂F
∂y
(a, b, c)(y −b)+
∂F
∂z
(a, b, c)(z −c) = 0
∂F
∂x
(a, b, c),
∂F
∂y
(a, b, c),
∂F
∂z
(a, b, c) |(x −a, y −b, z −c) = 0
F(a, b, c)|(P − P0) = 0,
com P = (x, y, z) e P0 = (a, b, c).
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18. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Portanto o plano tangente ´e o conjunto dos pontos
P = (x, y, z) que definem com P0 = (a, b, c) vetores P − P0
perpendiculares ao vetor gradiente.
Nota: O vetor gradiente ´e perpendicular ao plano tangente ao
gr´afico.
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19. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
A recta normal `a superf´ıcie de equa¸c˜ao F(x, y, x) = 0 no
ponto P0 = (a, b, c) tem, portanto a dire¸c˜ao do vetor
gradiente, pelo que ´e definida pelas seguintes equa¸c˜oes:



x − a = λ∂F
∂x (a, b, c)
y − b = λ∂F
∂y (a, b, c), λ ∈ R
z − c = λ∂F
∂z (a, b, c)
(equa¸c˜ao param´etrica da recta normal `a superf´ıcie)
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20. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios
1 Considere a superf´ıcie esf´erica x2 + y2 + z2 = 9 e o ponto
P = (0, 3, 0).
1 Determine a equa¸c˜ao do plano tangente `a superf´ıcie em P.
2 Determine a equa¸c˜ao da recta normal `a superf´ıcie em P.
2 Considere a superf´ıcie de equa¸c˜ao x2 + y2 − z2 = 6 e o
ponto P = (3, −1, 2).
1 Determine a equa¸c˜ao do plano tangente `a superf´ıcie em P.
2 Determine a equa¸c˜ao da recta normal `a superf´ıcie em P.
3 Considere a equa¸c˜ao xyz sin(xyz) − π
2 = 0.
1 Verifique que a equa¸c˜ao dada define implicitamente uma
fun¸c˜ao z = φ(x, y) numa vizinhan¸ca de P = (1, 1, π
2 ).
2 Determine a equa¸c˜ao do plano tangente `a superf´ıcie no
ponto P.
3 Determine a equa¸c˜ao da recta normal `a superf´ıcie no
ponto P.
4 Calcule um valor aproximado de z = φ(1.2, 0.9)
considerando π
2 ≈ 1.57.
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21. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Extremos
Defini¸c˜ao:Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e a ∈ Df
f (a) ´e um m´aximo relativo ou local de f se existe uma
vizinhan¸ca V (a) tal que
f (a) ≥ f (x) ∀x ∈ Df ∩ V (a).
f (a) ´e um m´ınimo relativo ou local de f se existe uma
vizinhan¸ca V (a) tal que
f (a) ≤ f (x) ∀x ∈ Df ∩ V (a).
O maior dos m´aximos relativos ´e o m´aximo absoluto.
O menor dos m´ınimos relativos ´e o m´ınimo absoluto.
Chamam-se extremos aos m´aximos e aos m´ınimos de f .
A a chama-se ponto maximizante (minimizante)de f .
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22. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Chamam-se pontos cr´ıticos ou pontos de estacionaridade
aos pontos que verificam o sistema:



∂f
∂x1
= 0
...
∂f
∂xn
= 0
Os extremos encontram-se entre os pontos cr´ıticos.
Os pontos cr´ıticos que n˜ao s˜ao extremos s˜ao pontos de sela.
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23. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
A matriz Hesseana de f ´e:
Hf =
∂2f
∂x2
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂y2
Sejam ∆1 = ∂2f
∂x2 , ∆2 = det(Hf ) , ent˜ao:
∆2 > 0, ∆1 > 0, → M´ınimo local.
∆2 > 0, ∆1 < 0, → M´aximo local.
∆2 < 0 → Ponto de sela.
∆2 = 0 → Nada se conclui.
Nota: Repare que ∆2 > 0 e ∆1 = 0 nunca acontece devido `a igualdade das derivadas cruzadas.
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24. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios I
Calcule e classifique os extremos de
1 f (x, y) = y2 − x2.
2 f (x, y) = y3
3 + 12y − 4x + x3
3 − 7
2y2 + 4.
3 f (x, y) = x2 + y2 + x2y + 4.
4 f (x, y) = 4xy − 2x2 − y4.
5 f (x, y) = xy2 + x2 + y2.
6 f (x, y) = x3 + 3x2 − 9x + y3 + 3y2.
7 f (x, y) = e−x2+4y2
.
8 f (x, y) = (x2 + y2)e
y
2
9 f (x, y) = y + x sin y (dif´ıcil).
10 f (x, y) = 3x2 − y2.
24/43

25. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios II
11 Uma empresa produz dois produtos que s˜ao vendidos em
dois mercados diferentes. As quantidades q1 e q2 pedidas
pelos consumidores de cada produto est˜ao relacionadas. O
lucro total da produ¸c˜ao ´e dado por
L = −16 + 598.8q1 − 0.3q2
1 + 498.5q2 − 0.2q2
2 − 0.2q1q2.
Determine a quantidade a produzir de cada produto de
modo a maximizar o lucro.
12 Um m´ıssil tem um controlo remoto que ´e sens´ıvel `a
temperatura e `a humidade. O alcance sobre o qual o
m´ıssil pode ser controlado ´e dado, em km, por:
A(h, t) = 27800 − 5t2
− 6ht − 3h2
+ 400t + 300h
Quais s˜ao as condi¸c˜oes atmosf´ericas optimais para
controlar o m´ıssil?
25/43

26. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios III
13 Dois produtos s˜ao fabricados em quantidades q1 e q2 e
vendidos aos pre¸cos p1 e p2, respetivamente. O custo de
os produzir ´e dado por
C = 2q2
1 + 2q2
2 + 10.
1 Determine o lucro m´aximo que pode ser feito, assumindo
que os pre¸cos s˜ao fixos.
2 Determine a taxa de varia¸c˜ao do lucro m´aximo quando p1
aumenta.
14 Determine A e B de modo que f (x, y) = x2 + Ax + y2 + B
tenha um m´ınimo local de valor 10 no ponto (0.5, 0).
26/43

27. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Extremos em regi˜oes limitadas I
1 Considere fun¸c˜oes de classe C2 que tˆem as seguintes
linhas de n´ıvel nas regi˜oes indicadas. Quais parecem ser os
m´aximos e m´ınimos das fun¸c˜oes nas regi˜oes estudadas?
2 Quais os extremos da fun¸c˜ao f (x, y) = 2x2 + xy no
quadrado em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
3 Quais os extremos da fun¸c˜ao f (x, y) = 3x2 − y2 no
triˆangulo limitado pelas retas y = 0, x = 2 e y = x .
27/43

28. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Composta
Impl´ıcita
Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Extremos em regi˜oes limitadas II
4 Quais os extremos da fun¸c˜ao f (x, y) = x2 + y2 + x no
c´ırculo em que x2 + y2 ≤ 4.
5 Quais os extremos da fun¸c˜ao f (x, y) = x2y2 no quadrado
em que −1 ≤ x ≤ 1 e −1 ≤ y ≤ 1.
6 Quais os extremos da fun¸c˜ao f (x, y) = −x2 − y2 no
quadrado em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
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29. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
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Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
M´etodo dos Multiplicadores de
Lagrange
Para encontrar o m´aximo ou o m´ınimo de uma fun¸c˜ao
f (x, y, x) n˜ao considerando todos os pontos do seu dom´ınio
mas apenas os que respeitam algumas condi¸c˜oes, por exemplo:
g1(x, y, z) = 0 e g2(x, y, x) = 0.
Considere a fun¸c˜ao de Lagrange:
L(x, y, z, λ1, λ2) = f (x, y, z) + λ1g1(x, y, z) + λ2g2(x, y, z)
O m´aximo e m´ınimo pretendidos encontram-se entre os pontos
em que
L = 0
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30. AM2/C2
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Matem´atica
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Otimiza¸c˜ao
Extremos
simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exemplo: (voltando ao exerc´ıcio 4 anterior...)
Para determinar os extremos da fun¸c˜ao f (x, y) = x2 + y2 + x
na linha da circunferˆencia x2 + y2 = 4 podemos utilizar o
M´etodo dos Multiplicadores de Lagrange...
Identifique os candidatos a extremos das seguintes fun¸c˜oes nos
pontos que verificam as condi¸c˜oes indicadas:
1 f (x, y) = x + y, x2 + y2 = 1
2 f (x, y) = x + 3y + 2, x2 + y2 = 10
3 f (x, y) = x3 + y, 3x2 + y2 = 4
4 f (x, y, z) = x + 3y + 5z, x2 + y2 + z2 = 1
5 f (x, y, z) = xyz, x2 + y2 + 4z2 = 12
6 f (x, y, z) = x + 3xy + z, x + y = 1, y + z = 2
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31. AM2/C2
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Matem´atica
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regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios I
Encontre a fun¸c˜ao de Lagrange que lhe permite resolver os
seguintes problemas:
1 Determine os valores extremos da fun¸c˜ao
f (x, y, x) = x − 2y + 2z2 sobre a esfera x2 + y2 + z2 = 1.
2 Determine a distˆancia m´axima e m´ınima do ponto (1, 1) `a
par´abola y = x2 + 1.
3 Determine a distˆancia m´axima e m´ınima da origem `a curva
5x2 + 6xy + 5y2 = 8.
4 Determine a distˆancia m´axima e m´ınima da origem `a curva
2x2 + 3y2 = 1.
5 Qual o retˆangulo de maior ´area inscrito na elipse
2x2 + 3y2 = 1.
6 Dado um paralelep´ıpedo de lados x,y e z, determine o que
tem maior volume entre os que x+y+z=10.
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32. AM2/C2
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M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios II
7 Uma caixa em forma de paralelep´ıpedo tem um volume de
30cm2, qual o melhor comprimento, largura e altura de
modo a minimizar a ´area dos lados.
8 Para criar um contentor cil´ındrico com capacidade para
100cm3 que seja o mais econ´omico poss´ıvel de construir,
ou seja, que tenha a menor ´area de superf´ıcie. Que
dimens˜oes deve ter?
9 Pretendemos construir uma caixa de cart˜ao (em forma de
paralelep´ıpedo) para transportar 1000cm3 de pastilhas
el´asticas. Dado que o fundo tem que ser refor¸cado, o
fundo da caixa sai a 0.20 euros por cm2 e os lados e o
topo a 0.10 euros por cm2. Quais as dimens˜oes que
minimizam o custo da caixa?
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33. AM2/C2
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M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Exerc´ıcios III
10 Suponha que pretende transportar 20m3 de parafusos em
caixas como a da figura, com largura l, comprimento c e
altura fixa 0.5m. Suponha que os lados da caixa custam a
10 euros por m2 e o fundo a 20 euros por m2. O custo de
transportar uma caixa ´e de 3 euros. Qual a largura e o
comprimento das caixas a comprar de modo a minimizar
os custos?
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34. AM2/C2
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Multiplicadores
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Exerc´ıcios IV
11 Uma empresa comanda duas f´abricas que produzem o
mesmo produto e cujas fun¸c˜oes custo s˜ao:
C1 = 8.5 + 0.03q2
1 e C2 = 5.2 + 0.04q2
2
onde q1 e q2 s˜ao as quantidades produzidas por cada
f´abrica. A empresa tem o monop´olio. A quantidade total
encomendada q = q1 + q2 relaciona-se com o pre¸co, p, por
p = 60 − 0.04q
Quanto deve produzir cada f´abrica de modo a maximizar o
lucro da empresa?
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35. AM2/C2
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Exerc´ıcios V
12 Uma empresa tem uma fun¸c˜ao produ¸c˜ao com trˆes inputs
x, y e z dada por
f (x, y, z) = 50x2/5
y1/5
z1/5
.
O or¸camento da empresa ´e de 24 000 euros e a empresa
compra x, y e z a, respetivamente, 80, 12 e 10 euros por
unidade. Que combina¸c˜ao de inputs maximiza a
produ¸c˜ao?
13 Uma empresa produz x unidades de um item e y unidades
de outro. O custo total em euros, C, de produzir esses
dois itens ´e aproximado pela fun¸c˜ao:
C = 5x2
+ 2xy + 3y2
+ 800.
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36. AM2/C2
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Exerc´ıcios VI
Se a quota de produ¸c˜ao para o n´umero total de itens
(ambos combinados) ´e 39, determine o custo de produ¸c˜ao
m´ınimo.
14 Uma organiza¸c˜ao internacional tem que decidir onde
gastar 2000 euros que foram recolhidos para combater a
fome numa zona remota. O dinheiro vais ser gasto na
compra de arroz a 5 euros o saco e de feij˜ao a 10 euros o
saco. O n´umero de pessoas, P, que ser˜ao alimentadas se
comprarem x sacos de arroz e y sacos de feij˜ao ´e dado por
P = x + 2y +
x2y2
2 × 108
.
Qual o n´umero m´aximo de pessoas que podem ser
alimentadas e como deve a organiza¸c˜ao alocar o dinheiro?
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37. AM2/C2
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Exerc´ıcios VII
15 O Ant´onio quer transportar material para uma obra num
carrinho de m˜ao. A andar em alcatr˜ao ele percorre 6 km
por hora e em terra batida ele percorre 4.5 km por hora.
Qual o trajeto que o Ant´onio vai escolher para fazer o
percurso no menor tempo?
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38. AM2/C2
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Exerc´ıcios VIII
16 Um arquiteto paisagista pretende vedar uma zona
rectangular de 30m2 num jardim botˆanico. Vai usar
arbustos que custam 25 euros por metro em trˆes dos lados
e no outro arbustos a 10 euros por metro. Calcule o menor
custo total.
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39. AM2/C2
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Exerc´ıcios IX
17 A figura seguinte mostra as linhas y =
√
x, x = 9, y = 0 e
um retˆangulo paralelo aos eixos e a extremidade esquerda
em x = a. Determine as dimens˜oes do retˆangulo tendo a
maior ´area poss´ıvel.
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40. AM2/C2
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Exerc´ıcios X
18 Pretende-se construir uma caixa em forma de
paralelep´ıpedo, sem topo, com base quadrada, com um
volume fixo V, determine as dimens˜oes que minimizam a
´area.
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Exerc´ıcios XI
19 A sec¸c˜ao transversal de um t´unel ´e um retˆangulo de altura
h ao qual ´e sobreposto um semi-c´ırculo de raio r para
formar o teto (ver figura). Se a ´area da sec¸c˜ao transversal
´e A, determine as dimens˜oes da sec¸c˜ao transversal que
minimizam o per´ımetro.
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42. AM2/C2
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Extremos
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Extremos em
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M´etodo dos
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Exerc´ıcios XII
20 Qual ´e o ponto da par´abola y = x2 que est´a mais pr´oximo
do ponto (1, 0)?
Sugest˜ao: Minimize o quadrado da distˆancia para evitar
ra´ızes quadradas.
21 Qual ´e o ponto da linha y = x3 que est´a mais pr´oximo do
ponto (3, 0)?
Sugest˜ao: Minimize o quadrado da distˆancia para evitar
ra´ızes quadradas.
22 De todos os retˆangulos com uma dada ´area, A, qual o que
tem menor diagonal?
23 De todos os retˆangulos com uma dado per´ımetro, P, qual
o que tem maior ´area?
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43. AM2/C2
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simples
Extremos em
regi˜oes limitadas
M´etodo dos
Multiplicadores
de Lagrange
Autora:
Sandra Gaspar Martins
Com base no trabalho de:
Nuno David Lopes
e
Cristina Janu´ario
Com base no livro:
Hughes-Hallett, et al. (2013) Calculus: Single and
Multivariable, John Willey and Sons.
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