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04a-integrais duplos

Integrais, duplos, Areas, volumes, Propriedades, Fubini, Aplicacões, Mudança de variáveis, Coordenadas, Polares, Polares generalizadas, Applets Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com

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04a-integrais duplos

  • 1. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Integrais Duplos An´alise Matem´atica II – C´alculo II Sandra Gaspar Martins 2o Semestre 2013/14 Vers˜ao de 9 de Maio de 2014 sandra.martins@adm.isel.pt 1/42
  • 2. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Revis˜oes de R2 2/42
  • 3. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Rectas y = mx + b m, b ∈ R m declive b ordenada na origem 3/42
  • 4. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Par´abolas y = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R zeros: x = −b ± √ b2 − 4ac 2a a > 0 ∪ a < 0 ∩ 4/42
  • 5. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Circunferˆencias (x − a)2 + (y − b)2 = r2 a, b, r ∈ R (a, b) centro r raio 5/42
  • 6. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Elipses x − a c 2 + y − b d 2 = 1 a, b, c, d ∈ R c = 0 ∧ d = 0 (a, b) centro c, d semi-eixos 6/42
  • 7. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Hip´erboles x − a c 2 − y − b d 2 = 1 a, b, c, d ∈ R c = 0 ∧ d = 0 (a, b) centro c distˆancia ao centro d c abertura dos arcos 7/42
  • 8. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets x3 y = ax3 + bx2 + cx + d a, b, c, d ∈ R 8/42
  • 9. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets M´odulo y = |x| |x| = x se x ≥ 0 −x se x < 0 9/42
  • 10. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Raiz y = √ x 10/42
  • 11. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets 1 x y = 1 x 11/42
  • 12. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Exponenciais y = ax , a ∈ R+ a > 1 a < 1 12/42
  • 13. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Logaritmos y = loga(x), a ∈ R+ a > 1 a < 1 13/42
  • 14. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Seno y = sin(x) 14/42
  • 15. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Coseno y = cos(x) 15/42
  • 16. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Tangente y = tan(x) 16/42
  • 17. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Arco-seno y = arcsin(x) D = [−1, 1] CD = −π 2 , π 2 17/42
  • 18. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Arco-coseno y = arccos(x) D = [−1, 1] CD = [0, π] 18/42
  • 19. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Arco-tangente y = arctan(x) D = R CD = −π 2 , π 2 19/42
  • 20. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Integrais Duplos 20/42
  • 21. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Revis˜ao de integrais simples b a f (t) dt = lim n→+∞ n i=1 f (xi )∆xi 21/42
  • 22. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Integral duplo de Riemann 1 R f (x, y) dx dy = lim n,m→+∞ n i=1 m j=1 f (xi , yj )∆xi ∆yj 1 http://www.santarosa.edu/~gsturr/StewartAnimations/movies/ Sec15-1fig8.html 22/42
  • 23. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets ´Areas e volumes usando integrais duplos Seja V = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ D ent˜ao volume de V = D f dA Seja D uma regi˜ao limitada de R2 ent˜ao ´area de D = D 1 dA 23/42
  • 24. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Propriedades Sejam D1 e D2 duas regi˜oes de R2: int(D1) ∩ int(D2) = ∅ e D = D1 ∪ D2 ent˜ao D f dA = D1 f dA + D2 f dA Se f (x, y) ≤ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D ent˜ao D f dA ≤ D g dA Se f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D ent˜ao D f dA ≥ 0 Seja λ ∈ R ent˜ao D f + λg dA = D f dA + λ D g dA D f dA ≤ D |f | dA 24/42
  • 25. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Teorema de Fubini: 2 Suponhamos que f uma fun¸c˜ao que admite descontinuidades de 1a esp´ecie num conjunto de ´area nula em D. Se D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x) ent˜ao D f (x, y)dxdy = b a g2(x) g1(x) f (x, y)dydx. Se D = (x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y) ent˜ao D f (x, y)dxdy = d c h2(y) h1(y) f (x, y)dxdy. 2 http://www.santarosa.edu/~gsturr/StewartAnimations/movies/ Sec15.2.1-2.html 25/42
  • 26. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Exerc´ıcios Indique R f (x, y) dydx e R f (x, y) dxdy onde 1 R = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x2 2 R = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4 3 R = (x, y) ∈ R2 : x ≤ 1, y ≤ 1, y ≥ −x + 1 Calcule e interprete os resultados no caso de f (x, y) = x + y, f (x, y) = x2 + 3y2 e f (x, y) = 1. 26/42
  • 27. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Exerc´ıcios Indique R f (x, y) dydx e R f (x, y) dxdy sendo: 1 R = (x, y) ∈ R2 : y ≤ 2x, y ≤ x2 2 R = (x, y) ∈ R2 : x ≤ √ y, x ≥ y2 3 R = (x, y) ∈ R2 : y ≤ 2, y ≥ x + 1, y ≥ −x + 1 4 R = (x, y) ∈ R2 : y ≥ ln(x), y ≤ 2, y ≥ 0, x ≥ 0 5 R = (x, y) ∈ R2 : y ≥ 1 2 x, y ≤ √ x, x ≥ 2 27/42
  • 28. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Exerc´ıcios Indique R f (x, y) dydx e R f (x, y) dxdy sendo: 1 R = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4 2 R = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, y ≤ 0 3 R = (x, y) ∈ R2 : (x − 2)2 + (y + 3)2 ≤ 9, x ≤ 2 4 R = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x + 5 4 2 + (y + 1)2 ≤ 4, x ≥ −5 (trabalhoso) 28/42
  • 29. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Exerc´ıcios Inverta a ordem de integra¸c˜ao de: 1 1 0 ex 1 f (x, y)dydx 2 1 0 −x+2 x f (x, y)dydx 3 0 −1 x+1 x2−1 f (x, y)dydx 4 1 0 1 y−2 f (x, y)dxdy + 2 1 −y+2 y−2 f (x, y)dxdy 5 * 1 0 1 x2−2 f (x, y)dydx 6 * 1 −1 1 − √ 1−x2 f (x, y)dydx 29/42
  • 30. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Aplica¸c˜oes Sendo ρ(x, y) a fun¸c˜ao que indica a densidade em cada ponto de uma placa com a forma da regi˜ao R. A massa de uma placa com a forma da regi˜ao R ´e dada por R ρ(x, y) dA O centro de massa de uma regi˜ao R ´e (x, y) onde x = R xρ(x, y) dA R ρ(x, y) dA y = R yρ(x, y) dA R ρ(x, y) dA 30/42
  • 31. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Exerc´ıcios 1 Calcule a massa e o centro de massa da regi˜ao D = (x, y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4 sabendo que a fun¸c˜ao densidade ´e dada por ρ(x, y) = 2x + 3y. 31/42
  • 32. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Mudan¸ca de vari´aveis Para mudar das coordenadas (x, y) para (u, v), usando a fun¸c˜ao bijectiva ϕ : R2 −→ R2, (x, y) = ϕ(u, v) = (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v)) para a qual enquanto (x, y) percorre D, (u, v) percorre T, ou seja, T = ϕ−1(D). Supondo que ϕ ∈ C1 (T) 2 ; o Jacobiano de ϕ: J = 0; e f ´e integr´avel em D, ent˜ao a fun¸c˜ao f ◦ ϕ ´e integr´avel em T, tendo-se D f (x, y) dx dy = T f (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v)). |detJ| du dv 32/42
  • 33. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Coordenadas polares Teorema (Coordenadas polares R2 −→ R2 ) Tem-se a seguinte rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas (x, y) e polares (ρ, θ) x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) , θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+ J = ρ ρ = x2 + y2 θ = arctan y x 33/42
  • 34. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Nota: ρ ´e a distˆancia entre o ponto e o polo (a origem: (0,0)). θ ´e o ˆangulo entre duas semirretas: ´e o ˆangulo que come¸ca na semirreta que ´e a parte positiva do eixo dos xx e termina na semirreta que une o ponto ao polo (no sentido anti-hor´ario). 34/42
  • 35. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Exerc´ıcios I Usando coordenadas polares calcule: 1 R x2 + y2 dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, y ≤ 0, x ≥ 0 2 R x dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9, y ≤ 0, x ≤ 0 3 R 1 x2+y2 dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 25, y ≤ x 4 R 1dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : 4 ≤ x2 + y2 ≤ 16, y ≤ 0, x ≤ 0 5 R x2 + y2dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4, y ≤ 0 35/42
  • 36. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Coordenadas polares generalizadas Teorema (Coordenadas polares generalizadas R2 −→ R2 ) Tem-se a seguinte rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas (x, y) e polares generalizadas (ρ, θ) x−a c = ρ cos(θ) y−b d = ρ sin(θ) , θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+ . J = cdρ    ρ = x−a c 2 + y−b d 2 θ = arctan (y−b)c (x−a)d 36/42
  • 37. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Nota: ρ ´e a distˆancia entre o ponto e o polo (o ponto (a,b)). θ ´e o ˆangulo entre duas semirretas: ´e o ˆangulo que come¸ca na semirreta formada pelos pontos (x, b) para x ≥ a e termina na semirreta que une o ponto ao polo (no sentido anti-hor´ario). 37/42
  • 38. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Exerc´ıcios I Usando coordenadas polares (indique quais) indique o integral que lhe permitiria calcular: 1 R x + y dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + y2 ≤ 4, x ≥ 1 2 R x dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : x2 + (y + 2)2 ≤ 4, y ≤ −x − 2 3 R x + 2y dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : (x + 1)2 + (y − 2)2 ≤ 25, y ≥ x + 3 38/42
  • 39. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Exerc´ıcios II 4 R 1 dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : x 3 2 + y 2 2 ≤ 1, x ≤ 0 5 R x + y dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x 2 2 + y 5 2 ≤ 4, y ≤ 0 6 R x + 2y dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : x − 1 3 2 + y − 3 4 2 ≤ 1, y ≤ 3 39/42
  • 40. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Exerc´ıcios III 7 R 5x + 2y dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x + 5 4 2 + (y + 1)2 ≤ 4, x ≥ −5 8 * R x + y dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : y ≤ −x + 1, x ≥ 0, y ≥ 0 9 * R x dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x + 2 10 * R x + 2y dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 4, y ≤ −x2 + 4 11 R x2 dxdy onde R = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4, y ≥ −x2 40/42
  • 41. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Confirme os seus resultados usando os applets: http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/ doubint/double_integrals.html (ao introduzir um integral duplo mostra a regi˜ao de integra¸c˜ao) http://www.wolframalpha.com/widgets/gallery/ ?category=math procure por ”double integral calculator” (calcula o valor de um integral duplo) 41/42
  • 42. AM2 Revis˜oes R2 Integrais duplos Defini¸c˜ao ´Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸c˜oes Mudan¸ca de vari´aveis Polares Polares gener. Applets Autora: Sandra Gaspar Martins Com base no trabalho de: Nuno David Lopes e Cristina Janu´ario 42/42