Calcular Primitivas de Funções e Resolução de Problemas

Capítulo 09: Primitivas

Sandra Gaspar Martins
02/12/2009

Introdução pág.2/90

Introdução

ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL


Procurar a primitiva de uma função...



Procurar a primitiva de uma função... é procurar a função que tem essa derivada...



Por exemplo: uma primitiva de 3x 2 é ...



Por exemplo: uma primitiva de 3x 2 é ... x 3 .
Porque derivando x 3 se obtém 3x 2 ...



Uma primitiva de 3e3x é ...



Uma primitiva de 3e3x é ... e3x .
Porque derivando e3x se obtém 3e3x ...



...



As primitivas são úteis sempre que conhecemos a derivada de uma função
e pretendemos conhecer a função...



por exemplo, quando conhecemos a velocidade e queremos saber a posição...



ou quando conhecemos a aceleração e queremos saber a velocidade...



numa inﬁnidade de outras situações...



Veremos no capítulo seguinte, dos Integrais, como utilizar as primitivas
para calcular áreas, volumes, médias, etc, etc...



Vamos estudar várias técnicas de primitivação:

Primitivas imediatas...

Primitivação por partes...

Primitivas de funções racionais...

Primitivas de potências de senos e cosenos...

Primitivação por substituição...



Mas não vamos aprender a primitivar todas as funções!!!!



Até porque...



Até porque...é impossível!!!!
Nem todas as primitivas se conseguem descrever utilizando funções elementares!!!.



Objectivos

No final deste capítulo deve:
calcular primitivas imediatas;
calcular primitivas por partes;
calcular primitivas de potências de senos e cosenos;
Competências globais
calcular primitivas de funções racionais;
calcular primitivas por substituição; Também deve:
relacionar gráficos de funções com os gráficos das suas escrever e verbalizar os seu pensamentos
de uma forma clara, concisa e organizada;
primitivas;
justificar os raciocínios;
utilizar primitivas para resolver problemas.
compreender e utilizar a linguagem
matemática;
utilizar programas computacionais como
ferramenta de apoio ao estudo;
formular hipóteses; interpretar, prever e
criticar resultados no contexto do
problema;
fazer raciocínios demonstrativos, usando
métodos adequados (n290es, incluem-se o
método de redução ao absurdo, o método
de indução matemática e a utilização de
contra-exemplos);
ser autónomo na auto-avaliação e, se
necessário, na procura de elementos
complementares de estudo.



Note que:

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utilizar qualquer ferramenta do Adobe Reader :a
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a
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01 Deﬁnição de Primitiva pág.16/90

Deﬁnição de Primitiva



Primitiva
Dada uma função real de variável real f (x)
chama-se primitiva de f a qualquer função cuja
derivada seja f (x).

Representa-se uma primitiva de f (x) por P(f (x))
ou F (x).

Exemplo:
Uma primitiva de

f (x) = 2x

é


Geometricamente:
Primitiva

ou F (x).

Exemplo:
Uma primitiva de

f (x) = 2x

é
g(x) = x 2
pois
( )′
g ′ (x) = x 2 = 2x.

Note que:
h(x) = x 2 + 5
i(x) = x 2 − 3
j(x) = x 2 + 20
Qual é a primitiva de f que passa no ponto (0, 1)?
k (x) = x 2 + C, ∈ ℝ.
também são primitivas de f (x) = 2x.

Geometricamente:
Primitiva

ou F (x).

Exemplo:
Uma primitiva de

f (x) = 2x

é
g(x) = x 2
pois
( )′
g ′ (x) = x 2 = 2x.

Note que:
h(x) = x 2 + 5
i(x) = x 2 − 3
j(x) = x 2 + 20
Qual é a primitiva de f que passa no ponto (0, 1)?
k (x) = x 2 + C, ∈ ℝ.
É m(x) = x 2 + 1.
também são primitivas de f (x) = 2x.

1. Veriﬁque que qualquer das funções da direita pode ser uma primitiva da função da esquerda...

a)

b)


A viga irá deformar-se assim:
2. Seja a deformação de uma viga de
comprimento 1, simplesmente apoiada em 2
postes à mesma altura, submetida a um peso
uniformemente distribuído f (x) = 1kg.
Sabe-se que
⎧
⎨ u (4) (x) = f (x)
u(0) = u(1) = 0
⎩ ′′
u (0) = u ′′ (1) = 0

Determine a deformação u(x).
vendo com mais zoom:



3. Calcule: m) P x 2 =
( )
a) P(1) =
n) P 7x 5 =
( )
b) P(6) =
o) P (3 + 2x)5 =
( )
c) P(x) =

p) P (3 − 2x 2 )6 x =
( )
d) P(e3x ) =

e) P(5e−x ) = q) P (2 + ex )−5 ex =
( )

f) P(sin(x)) = r) P (sin(x))4 cos(x) =
( )

g) P(cos(2x)) =
s) P (cos(x) sin(x)) =
h) P(sec2 x) = ( )
1
( ) t) P =
1 x
i) P =
1 + x2 ( )
2x
(
1
) u) P 2+5
=
j) P = x
1 + (−6x)2
x4
( )
( )
x v) P =
k) P = x5 + 2
1 + x4
( )
1
l) P √ =
1 − (3x)2


Tabela de primitivas
Sejam u = f (x) e k , 𝛼, C ∈ ℝ.

P sec2 (u) u ′ = ...
( )
P(k ) = ... (k ∈ ℝ)

P csc2 (u) u ′ = ...
( )
P(ku) = ... (k ∈ ℝ)

P (u 𝛼 u ′ ) = ... (𝛼 ∈ ℝ ∖ {−1}) P(sec(u) tan(u) u ′ ) = ...

P (eu u ′ ) = ... P(csc(u) cot(u) u ′ )) = ...
( ′) ( ′
)
u √u
P u = ... P 1−u 2
= ...
( )
′ u′
P (sin(u) u ) = ... P 1+u 2
= ...

P (cos(u) u ′ ) = ...



Tabela de Primitivas



Tabela de primitivas
Sejam u = f (x) e k , 𝛼, C ∈ ℝ.

P sec2 (u) u ′ = tg(u) + C
( )
P(k ) = kx + C (k ∈ ℝ)

P csc2 (u) u ′ = − cot g(u) + C
( )
P(ku) = kP(u) (k ∈ ℝ)

u 𝛼+1
P (u 𝛼 u ′ ) = 𝛼+1 +C (𝛼 ∈ ℝ ∖ {−1}) P(sec(u) tan(u) u ′ ) = sec(u) + C

P (eu u ′ ) = eu + C P(csc(u) cot(u) u ′ )) = − csc(u) + C

u′ u′
( ) ( )
P = ln ∣u∣ + C P √ = arcsin(u) + C = − arccos(u) + C
u 1 − u2

u′
( )
P (sin(u) u ′ ) = − cos(u) + C P = arctan(u) + C = −arccot(u) + C
1 + u2

P (cos(u) u ′ ) = sin(u) + C



Primitivas quase imediatas
P (tan (u) u ′ ) = ...

P(cot (u) u ′ ) = ...

P (sec(u) u ′ ) = ...

P (csc(u) u ′ ) = ...



Primitivas quase imediatas
P (tan (u) u ′ ) = − ln ∣cos u∣ + C

P(cot (u) u ′ ) = ln ∣sin u∣ + C

P (sec(u) u ′ ) = ln ∣sec u + tan u∣ + C

P (csc(u) u ′ ) = − ln ∣csc u + cot u∣ + C



Primitivação por partes



A primitiva do produto é o produto das primitivas?




Experimente!




Experimente!
Por exemplo:

P(ex x 2 ) = P(ex ).P(x 2 )???


Calcule:

A primitiva do produto é o produto das primitivas? (P(u)v )′ =
Experimente!
Por exemplo:

P(ex x 2 ) = P(ex ).P(x 2 )???


Calcule:

A primitiva do produto é o produto das primitivas? (P(u)v )′ = (P(u))′ v + P(u)v ′
Experimente! logo
Por exemplo:
(P(u)v )′ = uv + P(u)v ′
x 2 x 2
P(e x ) = P(e ).P(x )???
se primitivarmos ambos os membros

P (P(u)v )′ = P(uv ) + P (P(u)v ′ )
( )

ou seja,

P(u)v = P(uv ) + P (P(u)v ′ )
portanto

P(uv ) = P(u)v − P (P(u)v ′ )



Primitivação por partes 1. Calcule:
a) P(x ln(x)) =

P(uv ) = P(u)v − P(P(u)v ′ )
b) P(xe−x ) =

Deve escolher-se para v a primeira função em:
c) P(ln(x)) =
L-logaritmicas
I - inversas de funções trigonométricas
A - algébricas d) P(x 2 cos(2x)) =
T - trigonométricas
E - exponenciais
e) P(ex sin(x)) =



Primitivação de funções racionais



Primitivação de funções racionais
B) Raízes reais múltiplas
1. grau do numerador ≥ grau do denominador ( )
—> divisão 2x 2 + x
P
( 3
x −2
) x 2 (x − 1)2
P (
1
)
x +1 P
( 2
x + 3x − 6
) x 3 (x − 2)
P ( )
x −2 2
P
(x − 1)4
2. grau do numerador < grau do denominador ( )
x +1
A) Raízes reais simples P
2x 2 − 20x + 50
( )
2x
P C) Raízes complexas
x2 + x − 2
( ) ( 2 )
3x + 1 x +3
P P
x 2 + 9x − 10 x3 + x
( )
2
P
x 2 + 8x + 17
( )
10
P
x 2 + 10x + 26
x2 + 1
( )
P
x(x 2 + 4x + 5)


D) Raízes complexas múltiplas
( )
1
P 2
x (x 2 + 1)
( )
x5
P 3
(x 2 + 1)
( )
1
P 2
∗
(x 2 + 1)



Primitivação de potências de seno e
coseno



Primitivação de potências de seno e coseno

Primitivação de potências de seno e 1. Calcule:
coseno a) P(sin2 t) =
Escreva a potência de seno como produto de
quadrados de seno e, eventualmente, um seno.
b) P(cos2 t) =
Substitua cada quadrado utilizando as fórmulas
que se seguem...
(Analogamente para coseno.)
c) P(sin3 t) =

Potências pares:
d) P(cos4 t) =
1+cos 2t
cos2 t = 2

sin2 t = 1−cos 2t e) P(sin5 t) =
2

Potências ímpares:
f) P(sin6 t) =
cos2 t + sin2 t = 1



Primitivação por recorrência



Primitivação por recorrência

P(ex cos(x)) = ...

P(ex sin(x)) = ...



Primitivação por substituição




Substituições aconselháveis:
Seja f : R → R primitivável num
intervalo I e g : J → I bijectiva, Função com
√ Substituição
2 2
g ∈ C 1 (J), √a − x x = a sin t
2 2
√a + x x = a tan t
P(f (x)) = P (f (g(t)).g ′ (t)) x 2 − a2 x = a sec t
ex x = ln t
1
ln(x) e x x = et
sin x e cos x x = 2 arctan t
sin x e cos x a multiplicar x = arcsin t ou x = arccos t
tan x x = arctan t
cot x x = arccott
) p1 ) pn ax+b q
cx+d = t onde
( (
ax+b q1 ax+b qn
x, cx+d , ..., cx+d
√ √ q = m.m.c(q1 , q2 , ...qn )
√
x e ax 2 + bx + c 2
√ax + bx + c = √ax + t, a > 0
ax 2 + bx + c = c + tx, c > 0
√
ax 2 + bx + c = (x − d)t
onde d é uma raíz de ax 2 + bx + c.



1. Calcule:
( )
1
a) P √ 3
√ .
x+ x

( √ )
sin( x + 1)
b) P √ .
x +1

(√ )
c) P 1−x 2 .

5x + 53x
( )
d) P .
52x + 54x

e) P (ln(x)) .

( √ √ )
x+ 3x (Nota: (loga u)′ = u′
f) P √4
√
6
. u ln a , a > 0)
x5 + x7

4x + 26x
( )
g) P .
43x + 28x + 4x − 1



( )
P e(x )
2


Para Praticar . . . pág.52/90

Para Praticar . . .



1. Quais dos seguintes gráficos representam 2. Quais dos seguintes gráficos representam
primitivas da função da figura 1? primitivas da função da figura 2?



3. Quais dos seguintes gráﬁcos representam 4. *Seja a deformação de uma viga de
primitivas da função da ﬁgura 3? comprimento 1, simplesmente apoiada em 2
postes à mesma altura, submetida a um peso
f (x) = −2x 2 . Sabe-se que
2
(1+x )
⎧
⎨ u (4) (x) = f (x)
u(0) = u(1) = 0
⎩ ′′
u (0) = u ′′ (1) = 0

Determine a deformação u(x).



5. Considere um veículo que tem o seguinte 6. Considerando que a aceleração da força
comportamento de aceleração (m/s2 ) em gravítica é 9, 8m/s2 , e desprezando a
recta: resistência do ar, determine quanto tempo
⎧ √ demora uma massa a chegar ao chão, se for
12 t t ∈ [0, 1]
largada do topo de um prédio de 98m.
⎨
2
a(t) = 12 − 6(t − 1) t ∈]1, 2]
96
t ∈]2, +∞[
⎩
(t+2)2

a) Determine aproximadamente o tempo
necessário para o veículo atingir a
velocidade de 100km/h(≈ 28m/s).
b) Qual a velocidade máxima do veículo?



O modelo matemático que obtivemos produz
7. Um pequeno foguetão de ensaios resultados signiﬁcativos apenas até ao instante em
atmosféricos é lançado verticalmente a partir que o motor pára. É óbvio que depois disso a
do solo. O foguetão tem combustível no motor aceleração será diferente, passa a ser apenas a
de tal modo que este funcione exactamente aceleração da gravidade que é de 9.8m/s2 mas no
durante 2 minutos; na sua trajectória o sentido oposto ao do movimento.
foguetão é acelerado a 4 m/s2 . Determine:
i) Durante quanto tempo o foguetão sobe depois
a) A que altura está o foguetão um minuto
de acabar o combustível?
depois de ser lançado?
b) Nesse instante, a que velocidade está a j) Que altura máxima é atingida pelo foguetão?
subir?
c) Quando o motor parar a que altura estará o
foguetão?
d) Nesse instante, qual será a velocidade
atingida pelo foguetão?
e) O foguetão atingirá a altura de 20km? E
100km?
f) Quanto tempo leva o foguetão a atingir a
velocidade de 100m/s?
g) Quanto tempo leva o foguetão a percorrer
os primeiros 50 metros?
h) Quanto tempo leva o foguetão a percorrer
os segundos 50 metros?



8. Supondo que numa corrida de carros, partem 9. Usando séries de potências, determine uma
os dois ao mesmo tempo, deslocam-se ambos 2
primitiva de ex .
linearmente, o carro 1 com aceleração
a1 (t) = t e o carro 2 com aceleração 10. Determine a função real de variável real f tal
a2 (t) = t 2 , determine o instante em que os que
carros se voltam a encontrar. 8
(Relembre que a derivada da posição é a f ′′ (x) = , f ′ (1) = −1 lim f (x) = 1
(x + 1)3 x→+∞
velocidade e a derivada da velocidade é a
aceleração.)



11. Calcule uma primitiva de : o) x arctan(x)
e2x + 2e3x sin(2x)
a) p) √
1 − ex
sin(2x) 1 + sin2 (x)
b) √
1 + sin2 (x) q) x 2 ln(x)
x4 r) (1 − x)e1+2x
c)
2x 3 − 4x 2 + 8x − 16 x 2 + 6x − 1
1 s)
d) 2 (x − 3)2 (x − 1)
x − 5x + 6
e) x √cos(x) x2 + 1
t)
f) x x + 1 (x − 1)3
cos(x) 2x 2 − 3x − 3
g) 2 u)
sin (x) + 7 sin(x) + 10 (x + 2)(x 2 − 2x + 5)
1 x3
h) 2 v) 8
x − 5x + √
√ 6 x −5
x −1+ 3x −1
i) x(x 2 + 1)
x −1 w)
2
j) sin (x) (x 2 + 1)4 − 5
k) cos(ln(x)) 3x
x) 2x
x3 3 − 3x − 2
l) 1
x +1 y) 2 + 1)3
2x 3 (x
m) + sec(5x)
sin2 (3x 4 ) z) ln 1 + x 2 .
earctan(x) z1) arctan(x), usando primitivação por partes.
n)
1 + x2

Bibliograﬁa pág.78/90

Bibliograﬁa*
José Alberto Rodrigues.
Métodos matemáticos em engenharia: Modelos em ℝ.
Edições Colibri, 2007.
Deborah Hughes-Hallett, Gleason, McCallum, Flath, Lock, and Lomen.
Calculus: Single variable.
John Willey Sons, Inc, 4th edition, 2005.
Jaime Carvalho e Silva and Carlos M. Franco Leal.
Análise matemática aplicada: exercícios, actividades, complementos e provas de avaliação.
McGraw-Hill, 1st edition, 1996.
Jaime Campos Ferreira.
Introdução à análise matemática.
Fundação Calouste Gulbenkian, 3rd edition, 1990.

*
Por ordem de adequação como complemento ao estudo.

ANEXO: Tabela de derivadas pág.79/90

ANEXO: Tabela de derivadas
Sejam u = f (x), v = g(x), k ∈ ℝ.

k′ = 0 (sin(u))′ = cos(u)u ′ (eu )′ = eu u ′

x′ = 1 (cos(u))′ = − sin(u)u ′ (au )′ = au ln(a)u ′ , a ∈ ℝ╲ {1}

(u + v )′ = u ′ + v ′ (tan(u))′ = sec2 (u)u ′ (u v )′ = u v ln(u)v ′ + vu v −1 u ′

∣u∣ ′ u ′
(ku)′ = ku ′ (cot(u))′ = − csc2 (u)u ′ (∣u∣)′ = u = u
u ∣u∣

(u.v )′ = u ′ v + uv ′ (sec(u))′ = sec(u) tan(u)u ′

( u )′ u ′ v − uv ′ u′
v = (arcsin(u))′ = √
v2 1 − u2

u′
(u 𝛼 )′ = 𝛼u 𝛼−1 u ′ , 𝛼 ∈ ℚ╲ {0} (arccos(u))′ = − √
1 − u2
(√ ) ′ u′ u′
u = √ (arctan(u))′ =
2 u 1 + u2

u′ u′
(ln(u))′ = (arccot(u))′ = −
u 1 + u2

Notas
Capítulo 09: Primitivas pág.80/90

Notas como lhe aprouver... )
(Algumas páginas em branco para utilizar


Notas


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