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Derivadas

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Instituto Superior T´ecnico
Departamento de Matem´atica
Sec¸c˜ao de ´Algebra e An´alise
Exerc´ıcios Resolvidos
Derivadas
Exerc´ıcio 1 Considere a fun¸c˜ao f : R2
{(0, 0)} → R definida pela express˜ao
f(x, y) =



x2
y
(x2 + y2)2
sin(x2
+ y2
), (x, y) = (0, 0),
0, (x, y) = (0, 0).
Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(1, 0) ;
∂f
∂y
(0, 0).
Resolu¸c˜ao: Para calcular ∂f
∂x
(1, 0) podemos simplesmente derivar f em ordem a x e obte-
mos
∂f
∂x
(x, y) =
2xy(x2
+ y2
)2
− 2x2
y(x2
+ y2
)2x
(x2 + y2)4
sin(x2
+ y2
) +
x2
y
(x2 + y2)2
2x cos(x2
+ y2
)
e, portanto,
∂f
∂x
(1, 0) = 0.
Para calcular a segunda derivada parcial usamos a defini¸c˜ao e obtemos
∂f
∂y
(0, 0) = lim
h→0
f(0, h) − f(0, 0)
h
= 0.
Exerc´ıcio 2 Considere a fun¸c˜ao f(x, y) = x2 + y2.
a) Calcule a derivada de f no ponto (0, 1).
b) Calcule a derivada de f no ponto (1, 0) segundo o vector v = (1, 1).
Resolu¸c˜ao:
a) Sendo
∂f
∂x
(x, y) =
x
x2 + y2
e
∂f
∂y
(x, y) =
y
x2 + y2
, temos,
Df(0, 1) = ∇f(0, 1) =
∂f
∂x
(0, 1),
∂f
∂y
(0, 1) = (0, 1).
b) Dvf(1, 0) = ∇f(1, 0) · v = (1, 0) · (1, 1) = 1
Exerc´ıcio 3 Considere a fun¸c˜ao f(x, y) = ln(x2
+ y2
).
a) Caracterize topologicamente o dom´ınio de f.
b) Descreva os conjuntos de n´ıvel de f.
c) Calcule a derivada de f no ponto (0, 1).
d) Calcule as derivadas direccionais de f no ponto (1, 0).
Resolu¸c˜ao:
a) Dado que deveremos ter x2
+ y2
> 0, o dom´ınio de f ´e o conjunto aberto, n˜ao limitado
e conexo R2
 {(0, 0)}.
b) Cada conjunto de n´ıvel Cα de f ser´a caracterizado pela condi¸c˜ao f(x, y) = α, em que
α ∈ R. Assim, teremos
Cα = {(x, y) ∈ R2
: ln(x2
+ y2
) = α} = {(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= eα
}
e, portanto, os conjuntos de n´ıvel de f ser˜ao as circunferˆencias centradas na origem.
c) Note-se que as derivadas parciais de f s˜ao cont´ınuas no dom´ınio de f e, portanto, a
fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel e a sua derivada no ponto (0, 1) ser´a representada pela matriz
Df(0, 1) = ∂f
∂x
(0, 1) ∂f
∂y
(0, 1) = 2x
x2+y2
2y
x2+y2
(0,1)
= 0 2 .
Alternativamente, teremos
Df(0, 1) = ∇f(0, 1) = (0, 2).
d) Seja w = (u, v) ∈ R2
um vector unit´ario qualquer. Ent˜ao, a derivada de f segundo w
ser´a dada por
Dwf(1, 0) = 2x
x2+y2
2y
x2+y2
(1,0)
u
v
= 2 0
u
v
= 2u
2
Exerc´ıcio 4 Considere a fun¸c˜ao f(x, y, z) = ex
yz e seja g : R2
→ R3
uma fun¸c˜ao de
classe C1
tal que g(0, 0) = (0, 1, 2) e
Dg(0, 0) =


1 2
3 4
0 1


Calcule a derivada direccional Dv(f ◦ g)(0, 0) em que v = (1, 2).
Resolu¸c˜ao: Pelo Teorema da Fun¸c˜ao Composta temos
D(f ◦ g)(0, 0) = Df(g(0, 0)Dg(0, 0)
= Df(0, 1, 2)Dg(0, 0)
= ∂f
∂x
(0, 1, 2) ∂f
∂y
(0, 1, 2) ∂f
∂z
(0, 1, 2)


1 2
3 4
0 1

 .
Dado que
∂f
∂x
= ex
yz ,
∂f
∂y
= ex
z ,
∂f
∂z
= ex
y, ent˜ao
D(f ◦ g)(0, 0) = 2 2 1


1 2
3 4
0 1

 = 8 13 .
Sendo v =
√
5, obtemos
Dv(f ◦ g)(0, 0) = D(f ◦ g)(0, 0)
v
v
= 8 13
1√
5
2√
5
=
8 + 26
√
5
=
34
√
5
5
Exerc´ıcio 5 Considere as fun¸c˜oes:
f(x, y, z) = (z, −x2
, −y2
) e g(x, y, z) = x + y + z.
Sejam v = (1, 2, 3) e u = (2, 3, 1
2
).
3
a) Calcule as matrizes Jacobianas de f, g e g ◦ f.
b) Calcule as seguintes derivadas direccionais:
∂f
∂v
(1, 1, 1),
∂f
∂u
(0, 0, 1),
∂g
∂v
(0, 1, 0),
∂(g ◦ f)
∂u
(2, 0, 1).
c) Determine a direc¸c˜ao de crescimento m´aximo de g ◦ f no ponto (1, 0, 1).
d) Determine a recta normal ao parabol´oide
P = {(x, y, z) ∈ R3
: z − x2
− y2
= 3},
no ponto (1, 1, 5).
Resolu¸c˜ao:
a) Temos,
Df(x, y, z) =


0 0 1
−2x 0 0
0 −2y 0

 ,
e
Dg(x, y, z) = 1 1 1 .
Temos tamb´em, g ◦ f(x, y, z) = g(f(x, y, z)) = z − x2
− y2
, pelo que
D(g ◦ f)(x, y, z) = −2x −2y 1 .
Note-se que as derivadas parciais de f, g, g ◦ f s˜ao cont´ınuas pelo que estas fun¸c˜oes s˜ao
diferenci´aveis.
b) Temos:
∂f
∂v
(1, 1, 1) = Df(1, 1, 1) · v =


0 0 1
−2 0 0
0 −2 0

 ·


1
2
3

 =


3
−2
−4

 ;
∂f
∂u
(0, 0, 1) = Df(0, 0, 1) · u =


0 0 1
0 0 0
0 0 0

 ·


2
3
1
2

 =


1
2
0
0

 ;
∂g
∂v
(0, 1, 0) = Dg(0, 1, 0) · v = 1 1 1 ·


1
2
3

 = 6.
4
∂(g ◦ f)
∂u
(2, 0, 1) = D(g ◦ f)(2, 0, 1) · u = −4 0 1 ·


2
3
1
2

 = −
15
2
.
c) A direc¸c˜ao de crescimento m´aximo ´e dada por ∇(g ◦ f)(1, 0, 1) = (−2, 0, 1), ou, norma-
lizando, por (− 2√
5
, 0, 1√
5
).
d) P ´e o conjunto de n´ıvel do campo escalar g ◦ f dado por g ◦ f(x, y, z) = 3. Logo, o
vector ∇(g ◦ f)(1, 1, 5) = (−2, −2, 1) ´e normal a P em (1, 1, 5). A recta normal a P em
(1, 1, 5) ´e ent˜ao dada por
{(x, y, z) ∈ R3
: (x, y, z) = (1, 1, 5) + t(−2, −2, 1), t ∈ R} = {(x, y, z) ∈ R3
: (x − 1, y − 1, z − 5) =
= {(x, y, z) ∈ R3
: x − 1 = −2(z − 5) ; x
= {(x, y, z) ∈ R3
: x + 2z = 11 ; x = y}
Exerc´ıcio 6 Determine a recta normal e o plano tangente ao cone
C = {(x, y, z) ∈ R3
: z = 3 − x2 + y2 }
no ponto (3, 4, −2).
Resolu¸c˜ao: Consideramos a fun¸c˜ao F(x, y, z) = z+ x2 + y2. Vemos que C = {(x, y, z) ∈
R3
: F(x, y, z) = 3} logo C ´e uma superf´ıcie de n´ıvel de F. Logo, em cada ponto, o
gradiente de F d´a-nos a direc¸c˜ao normal ao cone nesse ponto. Assim temos
∇F(x, y, z) =
x
x2 + y2
,
y
x2 + y2
, 1
e ∇F(3, 4, −2) = 3
5
, 4
5
, 1 . Portanto a recta normal a C no ponto (3, 4, −2) ´e dada por
R = (x, y, z) ∈ R3
: (x, y, z) = (3, 4, −2) + λ
3
5
,
4
5
, 1 , λ ∈ R ,
donde se conclui que as equa¸c˜oes cartesianas que definem a recta s˜ao
5x − 3z − 21 = 0 ; 5y − 4z − 12 = 0.
O plano tangente ´e dado pela equa¸c˜ao
(x − 3, y − 4, z + 2) ·
3
5
,
4
5
, 1 = 0,
5
ou seja,
3
5
(x − 3) +
4
5
(y − 4) + (z + 2) = 0 ⇐⇒ 3x + 4y + 5z = 15.
Exerc´ıcio 7 Determine o plano normal `a linha
L = {(x, y, z) ∈ R3
: z = x2
; y = 0},
no ponto (2, 0, 4).
Resolu¸c˜ao: Note-se que L ´e o conjunto dos pontos, em R3
, da forma (x, 0, x2
), com
x ∈ R3
. Portanto, ´e a linha descrita pela fun¸c˜ao γ : R → R3
, de classe C1
e definida por
γ(t) = (t, 0, t2
).
Assim, temos γ′
(t) = (1, 0, 2t) e γ(2) = (2, 0, 4).
Sabendo que o vector γ′
(2) = (1, 0, 4) ´e, por defini¸c˜ao, tangente a L no ponto γ(2) =
(2, 0, 4), o correspondente plano normal ser´a dado pela equa¸c˜ao
(1, 0, 4) · (x − 2, y, z − 4) = 0,
ou seja,
x − 2 + 4(z − 4) = 0 ⇔ x + 4z = 18.
6

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Derivadas

  • 1. Instituto Superior T´ecnico Departamento de Matem´atica Sec¸c˜ao de ´Algebra e An´alise Exerc´ıcios Resolvidos Derivadas Exerc´ıcio 1 Considere a fun¸c˜ao f : R2 {(0, 0)} → R definida pela express˜ao f(x, y) =    x2 y (x2 + y2)2 sin(x2 + y2 ), (x, y) = (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0). Calcule as derivadas parciais ∂f ∂x (1, 0) ; ∂f ∂y (0, 0). Resolu¸c˜ao: Para calcular ∂f ∂x (1, 0) podemos simplesmente derivar f em ordem a x e obte- mos ∂f ∂x (x, y) = 2xy(x2 + y2 )2 − 2x2 y(x2 + y2 )2x (x2 + y2)4 sin(x2 + y2 ) + x2 y (x2 + y2)2 2x cos(x2 + y2 ) e, portanto, ∂f ∂x (1, 0) = 0. Para calcular a segunda derivada parcial usamos a defini¸c˜ao e obtemos ∂f ∂y (0, 0) = lim h→0 f(0, h) − f(0, 0) h = 0. Exerc´ıcio 2 Considere a fun¸c˜ao f(x, y) = x2 + y2. a) Calcule a derivada de f no ponto (0, 1). b) Calcule a derivada de f no ponto (1, 0) segundo o vector v = (1, 1). Resolu¸c˜ao:
  • 2. a) Sendo ∂f ∂x (x, y) = x x2 + y2 e ∂f ∂y (x, y) = y x2 + y2 , temos, Df(0, 1) = ∇f(0, 1) = ∂f ∂x (0, 1), ∂f ∂y (0, 1) = (0, 1). b) Dvf(1, 0) = ∇f(1, 0) · v = (1, 0) · (1, 1) = 1 Exerc´ıcio 3 Considere a fun¸c˜ao f(x, y) = ln(x2 + y2 ). a) Caracterize topologicamente o dom´ınio de f. b) Descreva os conjuntos de n´ıvel de f. c) Calcule a derivada de f no ponto (0, 1). d) Calcule as derivadas direccionais de f no ponto (1, 0). Resolu¸c˜ao: a) Dado que deveremos ter x2 + y2 > 0, o dom´ınio de f ´e o conjunto aberto, n˜ao limitado e conexo R2 {(0, 0)}. b) Cada conjunto de n´ıvel Cα de f ser´a caracterizado pela condi¸c˜ao f(x, y) = α, em que α ∈ R. Assim, teremos Cα = {(x, y) ∈ R2 : ln(x2 + y2 ) = α} = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = eα } e, portanto, os conjuntos de n´ıvel de f ser˜ao as circunferˆencias centradas na origem. c) Note-se que as derivadas parciais de f s˜ao cont´ınuas no dom´ınio de f e, portanto, a fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel e a sua derivada no ponto (0, 1) ser´a representada pela matriz Df(0, 1) = ∂f ∂x (0, 1) ∂f ∂y (0, 1) = 2x x2+y2 2y x2+y2 (0,1) = 0 2 . Alternativamente, teremos Df(0, 1) = ∇f(0, 1) = (0, 2). d) Seja w = (u, v) ∈ R2 um vector unit´ario qualquer. Ent˜ao, a derivada de f segundo w ser´a dada por Dwf(1, 0) = 2x x2+y2 2y x2+y2 (1,0) u v = 2 0 u v = 2u 2
  • 3. Exerc´ıcio 4 Considere a fun¸c˜ao f(x, y, z) = ex yz e seja g : R2 → R3 uma fun¸c˜ao de classe C1 tal que g(0, 0) = (0, 1, 2) e Dg(0, 0) =   1 2 3 4 0 1   Calcule a derivada direccional Dv(f ◦ g)(0, 0) em que v = (1, 2). Resolu¸c˜ao: Pelo Teorema da Fun¸c˜ao Composta temos D(f ◦ g)(0, 0) = Df(g(0, 0)Dg(0, 0) = Df(0, 1, 2)Dg(0, 0) = ∂f ∂x (0, 1, 2) ∂f ∂y (0, 1, 2) ∂f ∂z (0, 1, 2)   1 2 3 4 0 1   . Dado que ∂f ∂x = ex yz , ∂f ∂y = ex z , ∂f ∂z = ex y, ent˜ao D(f ◦ g)(0, 0) = 2 2 1   1 2 3 4 0 1   = 8 13 . Sendo v = √ 5, obtemos Dv(f ◦ g)(0, 0) = D(f ◦ g)(0, 0) v v = 8 13 1√ 5 2√ 5 = 8 + 26 √ 5 = 34 √ 5 5 Exerc´ıcio 5 Considere as fun¸c˜oes: f(x, y, z) = (z, −x2 , −y2 ) e g(x, y, z) = x + y + z. Sejam v = (1, 2, 3) e u = (2, 3, 1 2 ). 3
  • 4. a) Calcule as matrizes Jacobianas de f, g e g ◦ f. b) Calcule as seguintes derivadas direccionais: ∂f ∂v (1, 1, 1), ∂f ∂u (0, 0, 1), ∂g ∂v (0, 1, 0), ∂(g ◦ f) ∂u (2, 0, 1). c) Determine a direc¸c˜ao de crescimento m´aximo de g ◦ f no ponto (1, 0, 1). d) Determine a recta normal ao parabol´oide P = {(x, y, z) ∈ R3 : z − x2 − y2 = 3}, no ponto (1, 1, 5). Resolu¸c˜ao: a) Temos, Df(x, y, z) =   0 0 1 −2x 0 0 0 −2y 0   , e Dg(x, y, z) = 1 1 1 . Temos tamb´em, g ◦ f(x, y, z) = g(f(x, y, z)) = z − x2 − y2 , pelo que D(g ◦ f)(x, y, z) = −2x −2y 1 . Note-se que as derivadas parciais de f, g, g ◦ f s˜ao cont´ınuas pelo que estas fun¸c˜oes s˜ao diferenci´aveis. b) Temos: ∂f ∂v (1, 1, 1) = Df(1, 1, 1) · v =   0 0 1 −2 0 0 0 −2 0   ·   1 2 3   =   3 −2 −4   ; ∂f ∂u (0, 0, 1) = Df(0, 0, 1) · u =   0 0 1 0 0 0 0 0 0   ·   2 3 1 2   =   1 2 0 0   ; ∂g ∂v (0, 1, 0) = Dg(0, 1, 0) · v = 1 1 1 ·   1 2 3   = 6. 4
  • 5. ∂(g ◦ f) ∂u (2, 0, 1) = D(g ◦ f)(2, 0, 1) · u = −4 0 1 ·   2 3 1 2   = − 15 2 . c) A direc¸c˜ao de crescimento m´aximo ´e dada por ∇(g ◦ f)(1, 0, 1) = (−2, 0, 1), ou, norma- lizando, por (− 2√ 5 , 0, 1√ 5 ). d) P ´e o conjunto de n´ıvel do campo escalar g ◦ f dado por g ◦ f(x, y, z) = 3. Logo, o vector ∇(g ◦ f)(1, 1, 5) = (−2, −2, 1) ´e normal a P em (1, 1, 5). A recta normal a P em (1, 1, 5) ´e ent˜ao dada por {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (1, 1, 5) + t(−2, −2, 1), t ∈ R} = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − 1, y − 1, z − 5) = = {(x, y, z) ∈ R3 : x − 1 = −2(z − 5) ; x = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2z = 11 ; x = y} Exerc´ıcio 6 Determine a recta normal e o plano tangente ao cone C = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 3 − x2 + y2 } no ponto (3, 4, −2). Resolu¸c˜ao: Consideramos a fun¸c˜ao F(x, y, z) = z+ x2 + y2. Vemos que C = {(x, y, z) ∈ R3 : F(x, y, z) = 3} logo C ´e uma superf´ıcie de n´ıvel de F. Logo, em cada ponto, o gradiente de F d´a-nos a direc¸c˜ao normal ao cone nesse ponto. Assim temos ∇F(x, y, z) = x x2 + y2 , y x2 + y2 , 1 e ∇F(3, 4, −2) = 3 5 , 4 5 , 1 . Portanto a recta normal a C no ponto (3, 4, −2) ´e dada por R = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (3, 4, −2) + λ 3 5 , 4 5 , 1 , λ ∈ R , donde se conclui que as equa¸c˜oes cartesianas que definem a recta s˜ao 5x − 3z − 21 = 0 ; 5y − 4z − 12 = 0. O plano tangente ´e dado pela equa¸c˜ao (x − 3, y − 4, z + 2) · 3 5 , 4 5 , 1 = 0, 5
  • 6. ou seja, 3 5 (x − 3) + 4 5 (y − 4) + (z + 2) = 0 ⇐⇒ 3x + 4y + 5z = 15. Exerc´ıcio 7 Determine o plano normal `a linha L = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 ; y = 0}, no ponto (2, 0, 4). Resolu¸c˜ao: Note-se que L ´e o conjunto dos pontos, em R3 , da forma (x, 0, x2 ), com x ∈ R3 . Portanto, ´e a linha descrita pela fun¸c˜ao γ : R → R3 , de classe C1 e definida por γ(t) = (t, 0, t2 ). Assim, temos γ′ (t) = (1, 0, 2t) e γ(2) = (2, 0, 4). Sabendo que o vector γ′ (2) = (1, 0, 4) ´e, por defini¸c˜ao, tangente a L no ponto γ(2) = (2, 0, 4), o correspondente plano normal ser´a dado pela equa¸c˜ao (1, 0, 4) · (x − 2, y, z − 4) = 0, ou seja, x − 2 + 4(z − 4) = 0 ⇔ x + 4z = 18. 6