Derivadas direcionais

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Derivadas direcionais

  1. 1. Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes ClarosDisciplina: Cálculo III – Profª Sara MoraisEngenharia de Controle e Automação DERIVADAS DIRECIONAIS Acadêmicos: Amanda Ramos, Ana Laissa, Elcimar, Érika e Warley
  2. 2. INTRODUÇÃO As derivadas parciais nos fornecem as taxas de variação de uma função em direções paralelas aos eixos coordenados x, y e/ou z. Utilizando a regra da cadeia, suponha que z=f(x,y) seja uma função diferenciável de x e y, onde x=g(t) e y=h(t) são funções diferenciáveis de t. Então: dz f x f y dt x t y t Podemos calcular a taxa de variação em relação a uma direção qualquer?
  3. 3. A DERIVADA DIRECIONAL  A chamada derivada direcional nos permite determinar a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis em qualquer direção.
  4. 4. A DERIVADA DIRECIONAL  Suponha que queiramos determinar a taxa de variação de z no ponto (x0,y0) na direção e sentido de um vetor unitário arbitrário u= a,b . Devemos considerar a superfície S com equação z=f(x,y) e tomar z0=f(x0,y0).
  5. 5. A DERIVADA DIRECIONAL  O ponto P(x0,y0,z0) pertence a S. O plano vertical que passa por P na direção de u intercepta S em uma curva C. A inclinação da reta tangente T a C em P é a taxa de variação de z na direção e sentido de u.
  6. 6. DEFINIÇÃO A derivada direcional de f em (x0,y0) na direção e sentido do vetor unitário u= a,b é Duf(x0,y0) se esse limite existir. f x0 ha , y0 hb f x0 , y0 Du f x0 , y0 lim h 0 h
  7. 7. TEOREMA Se é uma função diferenciável em x e y então f tem derivada direcional na direção de qualquer vetor u= a,b e Du f x0 , y0 f x x0 , y0 a f y x0 , y0 b Se o versor u faz um ângulo com o eixo x positivo, então podemos escrever u= cos ,sen e a fórmula do Teorema fica: Du f x0 , y0 f x x0 , y0 cos f y x0 , y0 sen
  8. 8. EXEMPLO 1 Utilize o mapa meteorológico da figura para estimar o valor da derivada direcional da função temperatura em Reno na direção sudeste.
  9. 9. EXEMPLO 11. Inicialmente traçamos uma reta que passa por Reno na direção Sudeste;2. Aproximamos a derivada direcional DuT pela taxa média de variação de temperatura entre os pontos onde a reta traçada intercepta as curvas isotérmicas T=50 F e T=60 F;3. A distância aproximada entre os pontos é de 75 milhas. Logo: 60 50 10 DuT 0,13o F / mi 75 75
  10. 10. EXEMPLO 2 Encontre a derivada de f(x,y)=x2+xy em P0(1,2) na direção do versor u. 1 1 u i j 2 2Solução: 1 1 1 1 5Du f 2x y x 21 2 1 2 2 2 2 2
  11. 11. EXEMPLO 3 Determine a derivada direcional Duf(x,y) se f(x,y)=x3-3xy+4y2 e u é o vetor unitário dado pelo ângulo = /6. Qual será Duf(1,2)? 1 Du f x, y 3 3x 2 3x 8 3 3 y 2 13 3 3 Du f 1,2 3,901 2
  12. 12. EXEMPLO 3 - GRAFICAMENTE
  13. 13. OBRIGADO!Fontes:THOMAS, George. Cálculo 2STEWART, James. Cálculo 2

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